Giải phương trình vi phân phi tuyến cấp ba bằng phương pháp phân tích Adomian

Phương pháp phân tích Adomian (ADM) được sử dụng để giải các phương trình vi phân cấp nguyên, cả tuyến tính và phi tuyến, phương trình vi phân thường cũng như phương trình đạo hàm riêng. Phương pháp lặp mới này đã được chứng minh là thành công hơn đối với cả những bài toán tuyến tính cũng như phi tuyến, nó cho ra nghiệm giải tích và có ưu điểm hơn các phương pháp số thông thường: Không phải làm tròn sai số và việc tính toán không phức tạp.

nNgày nhận bài: 08/3/2021 nNgày sửa bài: 19/4/2021 nNgày chấp nhận đăng: 07/5/2021 Giải phương trình vi phân phi tuyến cấp ba phương pháp phân tích Adomian Solving third-order nonlinear ordinary differential equation by adomian method TH.S TRẦN THỊ TRÂM Trường Đại học Mỏ - Địa chất (Bài báo thẩm định TS Bùi Thị Thúy - Bộ môn Cơ học Lý thuyết - Khoa Khoa học Cơ bản, Đại học Mỏ-Địa chất) TĨM TẮT: Những tốn Vật lý, Hoá học, Sinh học Khoa học kỹ thuật mơ hình hố tốn học hệ phương trình vi phân cấp nguyên Vì hầu hết phương trình vi phân thực khơng có nghiệm giải tích xấp xỉ kỹ thuật số xác, đó, chúng sử dụng cách bao quát Phương pháp phân tích Adomian (ADM) sử dụng để giải phương trình vi phân cấp ngun, tuyến tính phi tuyến, phương trình vi phân thường phương trình đạo hàm riêng [2] Phương pháp lặp chứng minh thành công tốn tuyến tính phi tuyến, cho nghiệm giải tích có ưu điểm phương pháp số thông thường: làm trịn sai số việc tính tốn khơng phức tạp Trong báo này, ta sử dụng phương pháp phân tích Adomian cải tiến để đạt nghiệm phương trình vi phân phi tuyến cấp ba Ta chứng minh nghiệm chuỗi đạt hội tụ nhanh so với chuỗi đạt phương pháp ADM thông thường Thí dụ mơ đưa Từ khóa: phương trình vi phân, phi tuyến, cấp ba, Adomian ABSTRACT: Numerous problems in Physics, Chemistry, Biology and Engineering science are modeled mathematically by systems of ordinary and fractional differential equations Since most realistic differential equations not have exact analytic solutions approximation and numerical techniques, therefore, are used extensively Recently introduced Adomian Decomposition Method (ADM) [2] has been used for solving a wide range of problems Adomian decomposition method has been known to be a powerful device for solving many functional equations as algebraic equations, ordinary and partial differential equations, integral equations and so on It is demonstrated that this method has the ability of solving systems of both linear and non-linear differential equations: it yields analytical solutions and offers certain advantages over standard numerical methods It is free from rounding off errors since it does not involve discretization, and is computationally inexpensive In this paper, we used the revised Adomian decomposition method for solving third-order nonlinear ordinary differential equation It demonstrated that the series solution thus obtained converges faster relative to the series obtained by standard ADM Several illustrative examples have been presented Keywords: differential equation, nonlinear, third-order, Adomian Mở đầu Một toán đặc biệt quan trọng lĩnh vực khoa học kỹ thuật nghiệm xác hệ phi tuyến hệ ngẫu nhiên mơ hình phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng điều kiện biên/ điều kiện đầu tổng quát Về chất, phương pháp giải tích thơng thường cần phải biến đổi toán để dễ xử lý mặt toán học nhờ phương pháp thiết lập Đáng tiếc thay đổi cần thiết phải thay đổi nghiệm; đó, chúng làm trệch hướng (đôi nghiêm trọng) khỏi trạng thái vật lý thực tế Những phương pháp bao gồm kỹ thuật tuyến tính hố, phương pháp nhiễu, hạn chế lên trình tự nhiên biên độ trình ngẫu nhiên Việc tránh hạn chế để thu nghiệm xác cần ý xét ứng xử tự nhiên hệ phức tạp đưa khả cải tiến khoa học công nghệ ISSN 2734-9888 05.2021 67 NGHIÊN CỨU KHOA HỌC Những đề tài nghiên cứu trước giải tích tốn học thiết phải dựa vào phương pháp hạn chế Do ta nói vật lý thường lý thuyết nhiễu toán học chủ yếu lý thuyết toán tử tuyến tính Dĩ nhiên có số phương pháp giải phương trình phi tuyến khơng phải phương pháp tổng quát Ví dụ, đổi biến tốt đưa đến phương trình tuyến tính, nhiên điều làm Mục đích phương pháp phân tích tìm nghiệm thực tồn hệ phức tạp mà không cần phải mơ hình hố áp đặt điều kiện vào nghiệm để dễ xử lý Thêm nữa, việc kết hợp phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường cần thiết Trong toán biên có tính phi tuyến mạnh tính ngẫu nhiên theo tham số, để tìm phương pháp việc quan trọng Phương pháp phân tích Adomian sử dụng để giải miền rộng toán Biazar [9] áp dụng phương pháp Adomian vào hệ phương trình vi phân thơng thường Daftardar-Gejji Jafari [11, 13] gợi ý cải tiến phương pháp ứng dụng để giải hệ phương trình đại số phi tuyến Trong báo này, ta sử dụng phương pháp phân tích Adomian cải tiến để giải phương trình vi phân phi tuyến cấp ba Phương pháp phân tích Adomian giải hệ phương trình vi phân thường Xét hệ phương trình vi phân thường sau Ta xấp xỉ nghiệm nghiệm y i  x  chuỗi rút gọn k 1 fik  x    y im  x  lim  fik  x  y i  x  , i 1,2, ,n Thí dụ 1: Xét phương trình vi phân phi tuyến cấp ba thơng thường [9] với điều kiện đầu y   0, y   y    Phương trình có nghiệm xác y  x   xe x y  y x  Đặt y1  x  y  x  , y  x  y  x  , y  x  y  x   y j1 y i   c i , i 1,2,n, liên tục với đối số Tích phân hai vế phương trình (1) từ đến x sử dụng điều kiện đầu, ta có x x n x 0 j1 yi  x   ci   gi  x  dx    bij  x  y jdx   Ni  x, y1 , y , , y n  dx, (2) i  1,2, ,n ADM thông thường [2] cho nghiệm y i  x  dạng chuỗi  y i  x    y im  x  (3) m0 Và số hạng phi tuyến cho dạng chuỗi vô hạn đa thức Adomian  Ni  x,y1,y2 ,,yn   Aim  y10 ,y11,y1m ,y20 ,y21,y2m ,yn0 ,yn1,ynm  , (4) m0 Những đa thức Aim xây dựng sử dụng công thức tổng quát [3]  dm      Aim N x,  y1m m , ,  y nm m   m  i m! d    m 0m   0 (5) m    d  m m  Ni  x,  y1m , ,  y nm      m  m 0m    0  m! d  y 20 1 y 2n1 phương pháp hồi quy Xét thấy phương trình (2)-(4), ADM xác định thành phần y im ,m  mối quan hệ hồi quy sau: x y x y i0  x   ci   gi  x  dx, i  1,2, ,n, 68 j1 05.2021 ij x jm 3n dx  n 0,1, 1   x y  y 30  y 3n1 (11) 1n   y 3n  dx  Ký hiệu y p  y10  y11  y1p xấp xỉ nghiệm với p  số   x2  x x3  y3 x 1 x   y4 x 1 x    3 12    (12)    x x x x2 x3 7x4 x5  y  x 1 x     y  x 1 x      60  180 360     x x x 31x x7    y 7 x  1 x     24 4320 2520    x2 x3 x x5 167x7 x8  y 8 x  1 x        24 120 151200 20160    Từ ta kết luận nghiệm xác phương trình y  x   xe x Phương pháp phân tích Adomian cải tiến giải hệ phương trình vi phân thường Trong phần ta đề xuất cải tiến phương pháp phân tích Adomian Ta thiết lập x y10  x   c1   g1  x  dx,  y1,m1  x  dx   Aimdx,  m 0,1, ISSN 2734-9888 (6) x n  b x y j1 1j x jm dx   A1mdx, x x l1 0 j1 (13) y l0  x   cl   gl  x  dx    blj  x  y j0 dx, l  2, ,n, x  b x y dx thành phần y im ,m  xác định theo y i,m1  x 2n hạng Từ phương trình (11), số xấp xỉ tính tốn sau Trong bij  x  ,gi  x   C  0, T  Ni hàm phi tuyến x n (9) x y  y10 0 y1n1 (1) (8) Khi phương trình (8) chuyển thành hệ ba phương trình vi phân phi tuyến cấp sau (10)  y1 y ,  y2 y ,  y3 y1  y x Ta áp dụng toán tử nghịch đảo sử dụng thuật tốn biến đổi cho việc tính tốn đa thức Adomian, ta có kỹ thuật sau n yi  x    bij  x  y j  Ni  x, y1, y , , yn   gi  x , (7) k  m0 x n x lj jm1  j 1 j l y l,m1  x   x l1  b  x  y Trong A  lm  dx    blj  x  y jmdx   Alm dx, định nghĩa sau Alm1, Nl   yl ,yl1,,yn  , 1 A  A  A Nl  Nl  y1,,yl1   Nl  yl ,,yn  , l  2,3, (14)  l,m1 l,m A ,  lm Ở 1Al,m1 , Al,m đa thức Adomian tương ứng với  lm  y12 x 2xdx  x2 , x x 3x ,  y 22 x y 21dx  y 31dx  x 3xdx  x 1  1  y 32    y12  y 31  dx    x  3x  dx  2x ,   0 x 0x Nl Nl định nghĩa phương trình (4)  Biazar giải thí dụ sử dụng ADM thường [9] Ta vẽ đồ thị y1  x  so sánh với nghiệm xác, nghiệm đưa phương pháp Adomian thường nghiệm đưa phương pháp Adomian cải tiến Trong hình 1, ta vẽ xe x nghiệm xác, y1 ký hiệu nghiệm đạt ADM cải tiến (sau bước lặp) y1 ký hiệu nghiệm đạt ADM thường Hình Thí dụ 2: Xét phương trình vi phân phi tuyến cấp ba thí dụ với điều kiện đầu y   0, y   y    Phương trình có nghiệm xác y  x   xe x  y y  y x (15) Đặt  y1  x  y  x  , y  x  y  x  , y  x  y  x  (16) Khi phương trình (15) chuyển thành hệ ba phương trình vi phân phi tuyến cấp sau (17)  y1 y ,  y2 y ,  y3 y1  y x Hệ tương đương với hệ phương trình tích phân sau x x 0 y1  y1     y dx, y  y     y 3dx, (18) x 1  y y      y1  y  dx, x   Áp dụng phương pháp Adomian cải tiến ta có y10 0, y1m1 x y 2m dx  y 20 1,  y 2m1 x y dx m  3m 0,1, (19) x x 1  y 30    y10 dx  2, y 3m1   y1m1  y 3m  dx  x x   0 Những số hạng  y11 x y  dx 20  y 21 x dx  x x dx  2dx  y 30 x x, 2x, (sau bước lặp) Kết luận Phân tích Adomian phương pháp hữu hiệu dẫn tới nghiệm chuỗi hội tụ toán phi tuyến/ tuyến tính Phương pháp tốt phương pháp số, khơng phải làm trịn sai số khơng u cầu hiệu suất tính tốn lớn Daftardar-Gejji Jafari gợi ý cải tiến phương pháp này, gọi “ADM cải tiến” Trong báo này, ta sử dụng ADM cải tiến để giải hệ phương trình vi phân thường Phương pháp cải tiến dẫn tới nghiệm chuỗi hội tụ nhanh so với ADM thơng thường Những thí dụ mơ chứng minh điều cách rõ ràng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] K Abboui, Y Cherruault (1995), “New ideas for proving convergence of decomposition methods”, Comput Appl Math., 29 (7), pp 103–105 [2] G Adomian (1994), Solving Frontier Problems of Physics: The Decomposition Method, Kluwer [3] G Adomian (1988), “A review of the decomposition method in applied mathematics”, J Math Anal Appl., 135, pp 501–544 [4] G Adomian and R Rach (1989), “Smooth Polynomial Approximations of Piecewisedifferentiable Functions”, Appl Math Lett, 2, pp 377-379 [5] G Adomian (1986), Nonlinear Stochastic Operator Equations, Academic Press [6] G Adomian (1991), “A Review of the Decomposition Method and Some Recent Results for Nonlinear Equarions”, Comp and Math with Applic., 21, pp 101-127 [7] T.M Atanackovic, B Stankovic (2004), “On a system of differential equations with fractional derivatives arising in rod theory”, J Phys A: Math Gen., 37, pp 1241–1250 [8] E Babolian, J Biazar (2000), “Solution of a system of nonlinear Volterra integral equations of the second kind”, Far East J Math Sci., (6), pp 935–945 [9] J Biazar, E Babolian, R Islam (2004), “Solution of the system of ordinary differential equations by Adomian decomposition method”, Appl Math Comput., 147 (3), pp 713–719 [10] Y Chermault (1989), Convergence of Adomian's Method, Kyberneres, 18, pp 31 -38 [11] V Daftardar-Gejji, H Jafari (2005), “Adomian decomposition: a tool for solving a system of fractional differential equations”, J Math Anal Appl., 301 (2), pp 508–518 [12] L Gabet, Equisse d'une theorie decompositionelle, Modtlisation Marhtrnatique et Analyse Numerique, in publication [13] H Jafari, V Daftardar-Gejji, “Solving a system of nonlinear fractional differential equations using Adomian decomposition”, J.Comput Appl Math., in press [14] H Jafari, V Daftardar-Gejji (2006), “Revised Adomian decomposition method for solving a system of nonlinear equations”, Appl Math.Comput., 175 (1), pp 1–7 (20) x 1  1  y 31    y11  y 30  dx    x   dx  3x, x x     0 ISSN 2734-9888 05.2021 69 ... để giải hệ phương trình đại số phi tuyến Trong báo này, ta sử dụng phương pháp phân tích Adomian cải tiến để giải phương trình vi phân phi tuyến cấp ba Phương pháp phân tích Adomian giải hệ phương. .. kết luận nghiệm xác phương trình y  x   xe x Phương pháp phân tích Adomian cải tiến giải hệ phương trình vi phân thường Trong phần ta đề xuất cải tiến phương pháp phân tích Adomian Ta thiết... nữa, vi? ??c kết hợp phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường cần thiết Trong toán biên có tính phi tuyến mạnh tính ngẫu nhiên theo tham số, để tìm phương pháp vi? ??c quan trọng Phương pháp