Bài viết trình bày khái niệm về trục và độ dài đại số Lobachevsky của cung đoạn định hướng, sau đó tìm mối quan hệ giữa các đoạn thẳng Lobachevsky tạo nên khi cho các trục chắn lên hai đường thẳng Lobachevsky cố định. Kết quả mà chúng tôi thu được là Định lý 2.1, Định lý 2.2 và Hệ quả 2.3.
1 TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 19 * 2018 ĐỘ DÀI ĐẠI SỐ LOBACHEVSKY TRONG HÌNH HỌC VỚI MƠ HÌNH NỬA MẶT PHẲNG POINCARÉ, MỘT SỐ ÁP DỤNG Lê Hào* Trường Đại học Phú Yên Tóm tắt Trong báo chúng tơi trình bày khái niệm trục độ dài đại số Lobachevsky cung đoạn định hướng, sau tìm mối quan hệ đoạn thẳng Lobachevsky tạo nên cho trục chắn lên hai đường thẳng Lobachevsky cố định Kết mà thu Định lý 2.1, Định lý 2.2 Hệ 2.3 Từ khóa: Độ dài đại số Lobachevsky, cung đoạn định hướng, mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, đoạn thẳng Lobachevsky, đường thẳng Lobachevsky Abstract Lobachevskian algebraic distance in geometry with the Poincaré half-plane model and some applications In this paper we present the concept of axis and Lobachevskian algebraic distance of the directional segmental-arcs, and then find the relationship between the Lobachevskian line segments created by intercepting the axes on two fixed Lobachevskian lines The results we obtained are Theorem 2.1, Theorem 2.2 and Corollary 2.3 Keywords: Lobachevskian algebraic distance, directional segmental-arc, Poincaré half-plane model, Lobachevskian line segment, Lobachevskian line 1.Giới thiệu Trong mặt phẳng E ta xét hệ tọa độ trực chuẩn Oxy gọi nửa Ox ứng với tập hợp: H (x,y) R /y z C/ Im z 0 nửa mặt phẳng Pointcaré Từ nửa mặt phẳng Pointcaré người ta xây dựng mơ hình hình học Lobachevsky (xem [5]) Mỗi điểm thuộc H gọi điểm Lobachevsky Nửa đường thẳng mở nằm H 2 trực giao với Ox điểm thuộc Ox, hay nửa đường tròn mở nằm H có tâm thuộc Ox, gọi đường thẳng Lobachevsky (còn gọi đường thẳng Lob), cung đoạn đoạn thẳng Lobachevsky (cịn gọi đoạn thẳng Lob) (xem [4]) Mỗi đường thẳng Lob bổ sung điểm mút thuộc Ox gọi đường trắc địa ứng với đường thẳng Lob * Email: lehaodhpy@gmail.com TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Định nghĩa 1.1 Xét đoạn thẳng Lob nối hai điểm A, B ứng với cung có phương trình tham số ( s) ( x( s), y( s)) với ( s1 ) A , ( s2 ) B ( s1 s ) Khi độ dài Lobachevsky đoạn thẳng Lob là: x' ( s ) 2 y ' ( s ) 2 ( AB ) ds y ( s ) s s2 Định lý 1.2.(xem [3]) Với đoạn thẳng Lob nối hai điểm A, B nằm đường trắc địa a) Nếu đường trắc địa nửa đường trịn với hai mút R, S Ox thì: A R A S : BR BS b) Nếu đường trắc địa nửa đường thẳng với mút R Ox thì: ( AB ) ln A R BR ( AB ) ln Ta kí hiệu sau: e ( AB) e ( AB) ch( AB ) , e ( AB) e ( AB) sh( AB ) Rất nhiều nghiên cứu phát nhiều hệ thức thú vị liên quan đến độ dài Lob cạnh góc tam giác Lobachevsky (xem [ 1]) Trong hình học Euclide phẳng biết đến Định lý Thales, hình học Lobachebsky phẳng nửa mặt phẳng Pointcaré có kết tương tự ? Bắt nguồn từ ý tưởng chúng tơi đưa khái niệm trục độ dài đại số Lobachevsky cung đoạn định hướng, sau tìm mối quan hệ đoạn thẳng Lob tạo nên cho trục chắn lên hai đường thẳng Lob cố định Kết mà thu Định lý 2.1, Định lý 2.2 Hệ 2.3 Một số kết Xét đường trắc địa nửa đường tròn với hai mút I, K (thuộc Ox) Ta qui ước gọi I mút âm vô tân, K mút dương vô tận Chiều chuyển động dọc đường trắc địa đó, chạy mút dương vơ tận K gọi chiều dương, chiều chuyển động ngược lại chạy mút âm vô tận I gọi chiều âm Đường trắc địa với chiều chuyển động gọi trục cong Lobachevky (gọi đơn giản trục) Trong lớp trục cong có chung mút âm vô tận I cố định cho trước, với cung đoạn định hướng nối từ A đến B ( A, B H ) nằm trục, độ dài đại số TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 19 * 2018 Lobachevsky số kí hiệu L(AB) , xác định sau: A K A I L( AB) ln : BK BI (*) Với K mút lại trục Hàm L gọi hàm độ dài đại số Lobachevsky ứng với lớp trục cong nói Nếu đường trắc địa nửa đường thẳng vng góc với Ox K Ta qui ước gọi K mút dương vô tận Chiều chuyển động dọc đường trắc địa đó, chạy mút dương vô tận K gọi chiều dương, chiều chuyển động ngược lại gọi chiều âm Đường trắc địa với chiều chuyển động gọi trục thẳng Lobachevky (gọi đơn giản trục) Trong lớp trục thẳng vng góc với Ox, với đoạn định hướng nối từ A đến B ( A, B H ) nằm trục, độ dài đại số Lobachevsky số xác định sau: A K L( AB) ln BK Với K mút trục Hàm L gọi hàm độ dài đại số Lobachevsky ứng với lớp trục thẳng nói Ta dễ dàng thấy với điểm A, B, C thuộc trục Lobachevsky thì: L( AB) L( BA), L( AB) L( BC ) L( AC) Định lý 2.1 Cho hai đường thẳng Lob ( ) , ( ) cố định Một cặp hai trục thẳng (m), (n) phân biệt; thay đổi vng góc với trục Ox (m) cắt ( ), ( ) A B; (n) cắt ( ), ( ) M N Khi đó: TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN sh( MA) L ( AB) L ( MN ) e số không sh( NB ) phụ thuộc hai trục (m), (n) Chứng minh Gọi H(x2 ;0 ) , G(x1 ;0 ) tương ứng mút hai trục (m), (n) Khơng tính tổng qt ta xem x1 x ( ), ( ) tương ứng hai đường trịn mở có bán kính R1 , R2 A(a R1 cos t1 ; R1 sin t1 ), B(b R2 cos t ; R2 sin t ) M (a R1 cos t3 ; R1 sin t3 ), N (b R2 cos t ; R2 sin t ) (t1 t3 , t t ) a R1 cos t1 b R2 cos t x2 tan t1 R1 a x2 t , tan R1 x2 a R2 b x2 R2 x2 b a R1 cos t3 b R2 cos t x1 tan t3 R1 a x1 t , tan R1 x1 a R2 b x1 R2 x1 b e ( MA) e ( NB ) t3 sh(MA) t tan t tan sh(NB) t tan 2 tan R1(x2 x1 ) R12 R 2 (a x1 ) R12 (a x2 ) R1GH AH.MG (1 ) R2GH BH.NG (2) R2(x2 x1 ) (b x1 )2 R22 (b x2 )2 Từ (1) (2) suy ra: sh( NB) R2 AH MG R2 L( AB) L( MN ) sh(MA) L( AB) L( MN ) R1 e e const □ sh(MA) R1 BH NG R1 sh( NB) R2 Định lý 2.2 Cho hai đường thẳng Lob ( ) , ( ) cố định I điểm cố định Ox Một cặp hai trục cong (m), (n) phân biệt; thay đổi ln có chung mút âm vô tận I (m) cắt ( ), ( ) A B; (n) cắt ( ), ( ) M N Khi đó: TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 19 * 2018 sh( MA) L ( AB) L ( MN ) e số không phụ thuộc hai trục (m), (n) sh( NB ) Chứng minh Dùng phép nghịch đảo tâm I biến trục cong (m), (n) thành hai trục thẳng vng góc với Ox Phép nghịch đảo với tâm mút âm vô tận I không làm thay đổi độ dài đại số Lobachevsky trục (m), (n) Phép nghịch đảo không làm thay độ dài Lobachevsky đoạn thẳng Lob Áp dụng Định lý 2.1 có điều phải chứng minh □ Hệ 2.3 Cho hai đường thẳng Lob ( ) ( ) Ba trục phân biệt (m), (n), (k) ba trục cong có chung mút âm vơ tận, ba trục thẳng vng góc với Ox (m) cắt ( ), ( ) A B; (n) cắt ( ), ( ) M N; (k) cắt ( ), ( ) C D Khi đó: sh( MA) L ( AB) sh( MC ) L (CD ) e e sh( NB ) sh( ND ) Chứng minh Từ Định lý 2.2 ta có: sh( MA) L ( AB) L ( MN ) sh( MC ) L (CD ) L ( MN ) e e sh( NB ) sh( ND ) Suy điều phải chứng minh □ Ví dụ Cho tam giác Lobachevsky với đỉnh A(5; 3), B(4; 4) C Gọi M điểm đường thẳng Lob (CA) Đường trắc địa qua A, B có hai mút I (6; 0) K thuộc Ox Đường trắc địa qua I, M cắt đường thẳng Lob (CB) N1 ; đường trắc địa qua K, M cắt đường thẳng Lob (CB) N TRƯỜNG ĐẠI HỌC PHÚ YÊN Ta so sánh sh( N1C ) sh( N 2C ) sh( N1 B) sh( N B) Xét lớp trục cong có chung mút âm vơ tân I, hàm độ dài đại số Lobachevsky lớp trục kí hiệu L1 , theo hệ 2.3 ta có: sh(MA) L1 ( AB) sh(MC) e sh( N1 B) sh( N1C ) Xét lớp trục cong có chung mút âm vơ tân K, hàm độ dài đại số Lobachevsky lớp trục kí hiệu L2 , theo hệ 2.3 ta có: sh(MA) L2 ( AB) sh(MC) e sh( N B) sh( N 2C ) Để ý từ công thức (*) suy L1 ( AB) L2 ( AB) đó: sh( N1C ) L1 ( AB) sh( N 2C ) e sh( N1 B) sh( N B) 3i 3i A K A I 3 L1 ( AB ) ln : ln : ln BK BI 2 4i 4i sh( N C ) sh( N1C ) ln sh( N1C ) e sh( N B) sh( N1 B) sh( N1 B) Kết luận Định lý 2.1, Định lý 2.2 Hệ 2.3 thể mối quan hệ đoạn thẳng Lob tạo nên cho truc chắn lên hai đường thẳng Lob Kết thu áp dụng để khảo sát điều kiện thẳng hàng điểm, tính đồng quy đường thẳng Lob liên quan đến tam giác Lobachevsky [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thị Liên (2011), Hình học nửa mặt phẳng Poincaré, Luận văn Thạc sĩ - Đại học Vinh,12-38 Nguyễn Bá Khiến (2011), Một số vấn đề hình học Hyperbolic n chiều, Luận văn Thạc sĩ - Đại học Vinh, 15-34 Nguyễn Thị Xuyên (2008), Một số vấn đề hình học phi Euclide, Đại học An Giang, 35-44 Phan Thị Ngọc (2007), Nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic, Luận văn Thạc sĩ Đại học Vinh, 25-45 Nguyễn Mộng Hy (1999), Xây dựng hình học phương pháp tiên đề, Nhà xuất Giáo dục, 95-134 C.Royster (2002), Non Euclidean geometry, Course Spring, 34-90 Henry Parker Manning (1989), Non Euclidean geometry, Boston USA, 20-74 (Ngày nhận bài: 16/07/2018; ngày phản biện:27/08/2018; ngày nhận đăng: 01/10/2018) ... trục, độ dài đại số TẠP CHÍ KHOA HỌC SỐ 19 * 2018 Lobachevsky số kí hiệu L(AB) , xác định sau: A K A I L( AB) ln : BK BI (*) Với K mút lại trục Hàm L gọi hàm độ dài đại số Lobachevsky. .. nằm trục, độ dài đại số Lobachevsky số xác định sau: A K L( AB) ln BK Với K mút trục Hàm L gọi hàm độ dài đại số Lobachevsky ứng với lớp trục thẳng nói Ta dễ dàng thấy với điểm... thức thú vị liên quan đến độ dài Lob cạnh góc tam giác Lobachevsky (xem [ 1]) Trong hình học Euclide phẳng biết đến Định lý Thales, hình học Lobachebsky phẳng nửa mặt phẳng Pointcaré có kết tương