Trong bài viết xác lập công thức liên hệ giữa tỉ số kép của bốn đường thẳng Lobachevsky đồng quy và tỉ số kép của bốn điểm. Kết quả chính của bài báo là Định lý 2.1 và Hệ quả 2.3. Kết luận Định lý 2.1 và Hệ quả 2.3 đã thể hiện mối liên hệ giữa tỉ số kép của bốn đường thẳng Lobachevsky đồng quy, tỉ số kép của những giao điểm trên cát tuyến và tỉ số kép của các tâm.
Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 28 (2021), 47-51 47 TỈ SỐ KÉP CỦA BỐN ĐƯỜNG THẲNG LOBACHEVSKY ĐỒNG QUY TRONG HÌNH HỌC VỚI MƠ HÌNH NỬA MẶT PHẲNG POINCARÉ Lê Hào* Trường Đại học Phú Yên Ngày nhận bài: 22/08/2021; Ngày nhận đăng: 01/10/2021 Tóm tắt Trong báo chúng tơi xác lập công thức liên hệ tỉ số kép bốn đường thẳng Lobachevsky đồng quy tỉ số kép bốn điểm Kết báo Định lý 2.1 Hệ 2.3 Từ khóa: Tỉ số kép, Các đường đồng quy, Đường thẳng Lobachevsky, Mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Giới thiệu Trong mặt phẳng 𝔼𝟐 với hệ tọa độ trực chuẩn 𝑂𝑥𝑦 ta xét nửa mặt phẳng nằm phía trục 𝑂𝑥: 𝐻 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 / 𝑦 > 0} = {𝑧 ∈ ℂ / 𝐼𝑚𝑧 > 0} Tạo thành mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Hình học Lobachevsky Trong báo trước đề cập đến khái niệm độ dài đại số Lobachevsky ̅̅̅̅) cung đoạn định hướng nối từ 𝐴 đến 𝐵 trục (𝐿ê 𝐻à𝑜, 2018) 𝐿(𝐴𝐵 -Nếu trục trục cong với cực âm 𝐼 cực dương 𝐾 thì: 𝐴−𝐾 𝐴−𝐼 ̅̅̅̅) = 𝑙𝑛 ( 𝐿(𝐴𝐵 ∶ ) 𝐵−𝐾 𝐵−𝐼 -Nếu trục trục thẳng vng góc với 𝑂𝑥 𝐾 thì: 𝐴−𝐾 ̅̅̅̅) = 𝑙𝑛 ( 𝐿(𝐴𝐵 ) 𝐵−𝐾 Chúng đề cập giá trị sau: 𝑒 𝜌(𝐴𝐵) − 𝑒 −𝜌(𝐴𝐵) 𝑠ℎ(𝐴𝐵) = ̅̅̅̅ ) ̅̅̅̅ ) 𝐿(𝐴𝐵 𝑒 − 𝑒 −𝐿(𝐴𝐵 ̅̅̅̅ 𝑠ℎ(𝐴𝐵 ) = Trong 𝜌(𝐴𝐵) độ dài Lobachevsky cung đoạn 𝐴𝐵 (𝑁𝑔𝑢𝑦ễ𝑛 𝐵á 𝐾ℎ𝑖ế𝑛, 2011), rõ ̅̅̅̅)| ràng 𝜌(𝐴𝐵) = |𝐿(𝐴𝐵 Định nghĩa 1.1 Cho bốn điểm 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 phân biệt nằm đường thẳng Lob Tỉ số kép của 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 (theo thứ tự) số; kí hiệu (𝐴𝐵𝐶𝐷); xác định sau: ̅̅̅̅) ̅̅̅̅) 𝑠ℎ(𝐶𝐴 𝑠ℎ(𝐷𝐴 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = ∶ ̅̅̅̅) ̅̅̅̅) 𝑠ℎ(𝐷𝐵 𝑠ℎ(𝐶𝐵 Chúng ta dễ dàng nhận thấy tính chất tương tự tỉ số kép hình học Euclide * Email: lehaodhpy@gmail.com 48 Journal of Science – Phu Yen University, No.28 (2021), 47-51 Tiếp theo vận dụng khái niệm nêu để khảo sát mối liên hệ tỉ số kép bốn đường thẳng Lobachevsky đồng quy, tỉ số kép giao điểm cát tuyến tỉ số kép tâm Kết Nếu đường thẳng Lob (𝑙) nửa đường trịn tâm 𝐻, ta nói điểm 𝐻 tâm (𝑙) Nếu đường thẳng Lob (𝑙) nửa đường thẳng vng góc trục 𝑂𝑥, ta nói (𝑙) có tâm 𝐻 vô tận (𝐻 ≡ ∞) Định lý 2.1 Cho bốn đường thẳng Lob phân biệt (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) cố định, đồng quy 𝑆 Xét cát tuyến (∆) đường thẳng Lob khơng qua 𝑆 cắt (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) tương ứng 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 Khi tỉ số kép (𝐴𝐵𝐶𝐷) số không phụ thuộc vào (∆), nữa: (𝐴𝐵𝐶𝐷) = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 ) Trong 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 , 𝐼4 tương ứng tâm (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) Chứng minh Xét đường thẳng Lob (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) đồng quy 𝑆(𝑝, 𝑞) tương ứng với nửa đường tròn sau: (𝐿1) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎1 𝑥 = 𝑝2 + 𝑞 − 2𝑎1 𝑝 (𝐿2) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎2 𝑥 = 𝑝2 + 𝑞 − 2𝑎2 𝑝 (𝐿3) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎3 𝑥 = 𝑝2 + 𝑞 − 2𝑎3 𝑝 (𝐿4) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎4 𝑥 = 𝑝2 + 𝑞 − 2𝑎4 𝑝 Lần lượt có tâm 𝐼1 (𝑎1 , 0), 𝐼2 (𝑎2 , 0), 𝐼3 (𝑎3 , 0), 𝐼4 (𝑎4 , 0) Trước tiên ta xét (∆) trục thẳng, vng góc cắt 𝑂𝑥 𝐾(𝑚, 0) với 𝑚 ≠ 𝑝: Ta có: 𝐴 (𝑚, √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎1 (𝑚 − 𝑝)) 𝐵 (𝑚, √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎2 (𝑚 − 𝑝)) 𝐶 (𝑚, √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎3 (𝑚 − 𝑝)) 𝐷 (𝑚, √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎4 (𝑚 − 𝑝)) Suy ra: 𝐶−𝐾 √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎3 (𝑚 − 𝑝) ̅̅̅̅) = 𝑙𝑛 ( 𝐿(𝐶𝐴 ) = 𝑙𝑛 ( ) 𝐴−𝐾 √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎1 (𝑚 − 𝑝) ̅̅̅̅) ⇒ 𝑒 𝐿(𝐶𝐴 = √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎3 (𝑚 − 𝑝) √𝑝2 + 𝑞 − 𝑚2 + 2𝑎1 (𝑚 − 𝑝) Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 28 (2021), 47-51 49 (𝑚 − 𝑝)(𝑎3 − 𝑎1 ) 𝐶𝐾 𝐴𝐾 Tương tự ta có: ̅̅̅̅) = ⇒ 𝑠ℎ(𝐶𝐴 ̅̅̅̅) = 𝑠ℎ(𝐶𝐵 (𝑚 − 𝑝)(𝑎3 − 𝑎2 ) 𝐶𝐾 𝐵𝐾 ̅̅̅̅) = 𝑠ℎ(𝐷𝐴 (𝑚 − 𝑝)(𝑎4 − 𝑎1 ) 𝐷𝐾 𝐴𝐾 ̅̅̅̅) = 𝑠ℎ(𝐷𝐵 (𝑚 − 𝑝)(𝑎4 − 𝑎2 ) 𝐷𝐾 𝐵𝐾 Suy ra: (𝐴𝐵𝐶𝐷) = ̅̅̅̅) ̅̅̅̅) 𝑠ℎ(𝐶𝐴 𝑠ℎ(𝐷𝐴 𝑎3 − 𝑎1 𝑎4 − 𝑎1 ∶ = ∶ = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 ) ̅̅̅̅) ̅̅̅̅) 𝑎3 − 𝑎2 𝑎4 − 𝑎2 𝑠ℎ(𝐷𝐵 𝑠ℎ(𝐶𝐵 Trường hợp (∆) trục cong có cực âm 𝐼: Khơng ảnh hưởng kết quả, ta xem gốc trục 𝑂𝑥 𝑂 ≡ 𝐼 Dùng phép nghịch đảo tâm 𝑂 tỉ số 𝑘 > biến (∆) thành trục thẳng (∆′ ) vuông góc với 𝑂𝑥; biến đường thẳng Lob (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) thành đường thẳng Lob (𝑎′ ), (𝑏′), (𝑐′), (𝑑′) đồng quy cắt (∆′ ) 𝐴′ , 𝐵 ′ , 𝐶 ′ , 𝐷′ Phép nghịch đảo nói có phương trình: 𝑘𝑥 𝑘𝑥′ 𝑥′ = 𝑥= 2 𝑥 +𝑦 𝑥′ + 𝑦 ′2 ⟺ 𝑘𝑦 𝑘𝑦′ 𝑦′ = 𝑦= 2 𝑥 +𝑦 { 𝑥′ + 𝑦′2 { Từ suy đường thẳng Lob (𝑎′ ), (𝑏′), (𝑐′), (𝑑′) tương ứng với nửa đường trịn có tâm (𝑎𝑖′ , 0), với: 𝑘𝑎𝑖 (𝑖 = 1,2,3,4) 𝑎′𝑖 = − 𝑝 + 𝑞 − 2𝑎𝑖 𝑝 Suy ra: (𝐴𝐵𝐶𝐷) = (𝐴′ ′ ′ 𝐵𝐶𝐷 ′) 𝑎′ − 𝑎′ 𝑎′ − 𝑎′ 𝑎3 − 𝑎1 𝑎4 − 𝑎1 = ′ ∶ = ∶ = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 ) 𝑎 − 𝑎′ 𝑎′ − 𝑎′ 𝑎3 − 𝑎2 𝑎4 − 𝑎2 50 Journal of Science – Phu Yen University, No.28 (2021), 47-51 Xét đường thẳng Lob (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) đồng quy 𝑆(𝑝, 𝑞); tương ứng với nửa đường tròn nửa đường thẳng, chẳng hạn: (𝐿1) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎1 𝑥 = 𝑝2 + 𝑞 − 2𝑎1 𝑝 (𝐿2) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎2 𝑥 = 𝑝2 + 𝑞 − 2𝑎2 𝑝 (𝐿3) 𝑥 + 𝑦 − 2𝑎3 𝑥 = 𝑝2 + 𝑞 − 2𝑎3 𝑝 (𝐿4) 𝑥 = 𝑝 Bằng phương pháp ta có: 𝑎3 − 𝑎1 (𝐴𝐵𝐶𝐷) = = (𝐼3 𝐼1 𝐼2 ) = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 ∞) = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 ) ■ 𝑎3 − 𝑎2 Định nghĩa 2.2 Cho bốn đường thẳng Lob phân biệt (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) đồng quy Tỉ số kép (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) số; kí hiệu (𝑎𝑏𝑐𝑑); xác định sau: (𝑎𝑏𝑐𝑑) = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 ) Trong 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 , 𝐼4 tương ứng tâm (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) Hệ 2.3 Cho bốn đường thẳng Lob phân biệt (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) đồng quy 𝑆; có tâm 𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 , 𝐼4 Khi đó: (𝑎𝑏𝑐𝑑) = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 ) = (𝐴𝐵𝐶𝐷) Với 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 tương ứng giao điểm cát tuyến khơng qua 𝑆 với (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) Ví dụ Cho bốn đường thẳng Lob (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) đồng quy Trong (𝑏) nửa đường thẳng (có tâm 𝐼2 ≡ ∞); (𝑎), (𝑐), (𝑑) tương ứng có tâm 𝐼1 (−2, 0), 𝐼3 (3, 0), 𝐼4 (8, 0) Ta tính tỉ số kép (𝑎𝑏𝑐𝑑): 𝑎1 − 𝑎3 −2 − (𝑎𝑏𝑐𝑑) = (𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝐼4 ) = (𝐼3 𝐼4 𝐼1 𝐼2 ) = (𝐼3 𝐼4 𝐼1 ∞) = (𝐼1 𝐼3 𝐼4 ) = = = ■ 𝑎1 − 𝑎4 −2 − Hệ 2.4 Cho hai đường thẳng Lob (𝑎), (𝑏) cắt 𝑆 Xét đường thẳng Lob (𝑐), (𝑑) qua 𝑆; phân giác góc tạo (𝑎), (𝑏) Khi đó: (𝑎𝑏𝑐𝑑) = −1 Chứng minh Xét đường thẳng Lob (∆) không qua 𝑆; cắt (𝑎), (𝑏), (𝑐), (𝑑) tương ứng 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 Giả sử 𝐶 nằm cung đoạn 𝐴𝐵 𝐷 nằm cung đoạn Áp dụng Định lý hàm số sin hyperbolic (Nguyễn Thị Liên & Nguyễn Bá Khiến, 2011) cho tam giác Lobachevsky 𝑆𝐶𝐴, 𝑆𝐶𝐵 với ∠𝐶𝑆𝐴 = ∠𝐶𝑆𝐵 = 𝛼, ∠𝑆𝐶𝐴 = 𝜃 𝑡𝑎 𝑐ó: 𝑠ℎ(𝐶𝐴) 𝑠ℎ(𝑆𝐴) 𝑠ℎ(𝐶𝐵) 𝑠ℎ(𝑆𝐵) = 𝑣à = 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑠𝑖𝑛𝜃 ̅̅̅̅) 𝑠ℎ(𝐶𝐴 𝑠ℎ(𝐶𝐴) 𝑠ℎ(𝑆𝐴) ⇒ = − = − (1) ̅̅̅̅) 𝑠ℎ(𝐶𝐵) 𝑠ℎ(𝑆𝐵) 𝑠ℎ(𝐶𝐵 Tạp chí Khoa học – Trường Đại học Phú Yên, Số 28 (2021), 47-51 51 Áp dụng Định lý hàm số sin hyperbolic cho tam giác Lobachevsky 𝑆𝐷𝐴, 𝑆𝐷𝐵 ta có: ̅̅̅̅) 𝑠ℎ(𝐷𝐴 𝑠ℎ(𝐷𝐴) 𝑠ℎ(𝑆𝐴) = = (2) ̅̅̅̅) 𝑠ℎ(𝐷𝐵) 𝑠ℎ(𝑆𝐵) 𝑠ℎ(𝐷𝐵 Từ (1) (2) áp dụng Định lý 2.1 ta có: (𝑎𝑏𝑐𝑑) = (𝐴𝐵𝐶𝐷) = −1 ■ Kết luận Định lý 2.1 Hệ 2.3 thể mối liên hệ tỉ số kép bốn đường thẳng Lobachevsky đồng quy, tỉ số kép giao điểm cát tuyến tỉ số kép tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hào (2018) Độ dài đại số Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, số áp dụng Tạp chí Khoa học, Đại học Phú Yên, 01-06 Lê Hào (2020) Định lý điểm thẳng hàng hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré Tạp chí Khoa học, Đại học Phú Yên, 11-15 Nguyễn Thị Liên (2011) Hình học nửa mặt phẳng Poincaré Luận văn Thạc sĩ - Đại học Vinh, 12-38 Nguyễn Bá Khiến (2011) Một số vấn đề hình học Hyperbolic n chiều Luận văn Thạc sĩ – Đại học Vinh, 15-34 Nguyễn Thị Xuyên (2008) Một số vấn đề hình học phi Euclide Đại học An Giang, 35-44 Phan Thị Ngọc (2007) Nửa phẳng Poincaré hình học Hyperbolic Luận văn Thạc sĩ - Đại học Vinh, 25-45 Royster, C (2002) Non Euclidean geometry Course Spring, 34-90 Parker, H (1989) Non Euclidean geometry Boston USA, 20-74 CROSS RATIO OF FOUR CONCURRENT LOBACHEVSKIAN LINES IN GEOMETRY WITH THE POINCARÉ HALF - PLANE MODEL Le Hao Phu yen University Email: lehaodhpy@gmail.com Received: August 22, 2021; Accepted: October 01, 2021 Abstract In this paper, we establish the relationships between the Cross ratio of four concurrent Lobachevskian lines and the Cross ratio of four points The main findings of the paper are Theorem 2.1 and Consequence 2.3 Keywords: Cross ratio, Concurrent lines, Lobachevskian line, Poincaré half - plane model ... hệ tỉ số kép bốn đường thẳng Lobachevsky đồng quy, tỉ số kép giao điểm cát tuyến tỉ số kép tâm TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Hào (2018) Độ dài đại số Lobachevsky hình học với mơ hình nửa mặt phẳng Poincaré, ... hệ tỉ số kép bốn đường thẳng Lobachevsky đồng quy, tỉ số kép giao điểm cát tuyến tỉ số kép tâm Kết Nếu đường thẳng Lob (