Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất

Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - Bài 4: Một số định lý quan trọng trong lý thuyết xác suất cung cấp đến người học các kiến thức về định lý Poisson, luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm.

Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất BÀI4: MỘT SỐ ĐỊNH LÝ QUAN TRỌNG TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Các kiến thức cần có • Định lý Poisson • Luật số lớn • Định lý giới hạn trung tâm Mục tiêu Giới thiệu dạng đơn giản (không chứng minh) số định lý Lý thuyết Xác suất Đây sở quan trọng lý thuyết Ước lượng Lý thuyết Kiểm định Thời lượng • tiết 101 Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất 4.1 Định lý Poisson Trong thực hành ta thường bắt gặp tình cần xác định khả xuất k lần biến cố A n phép thử, biết trước xác suất p việc xảy biến cố A phép thử Lúc ta dùng cơng thức phân phối nhị thức để tính tốn Tuy nhiên cơng thức thích hợp cho trường hợp số lượng n phép thử tương đối nhỏ, số lượng phép thử lớn áp dụng Định lý Poisson để tính gần Định lý Poisson: Xác suất biến cố xuất k lần n phép thử (xác suất xuất biến cố phép thử p) với n tương đối lớn, p np ≈ λ với λ số cố định đó, tính xấp xỉ theo công thức: n! (np)k (λ ) k Pn (k) = p k (1 − p)n − k ≈ e− np ≈ e−λ k!(n − k)! k! k! Trong trường hợp cần tính xác suất biến cố A xuất từ k1 đến k2 lần n phép thử, ký hiệu xác xuất Pn(k1,k2), áp dụng định lý Poisson để tính xấp xỉ cho giá trị Pn (k1 , k ) ta có cơng thức: k k 2 (λ ) k P (k , k ) = ∑ P (k) ≈ ∑ e−λ n n k! k=k k=k 1 Ví dụ 1: Tổng sản phẩm xí nghiệp A quý 800 Xác xuất để sản xuất phế phẩm 0,005 Tìm xác suất Có sản phẩm phế phẩm Có khơng q 10 phế phẩm Giải: Ta có n = 800, p = 0,005 Vậy λ = np = , từ P800 (3) = e −4 43 = 0,1954 3! 4k P800 (0,10) = ∑ e = 0,997 k! k =0 10 4.2 −4 Luật Số lớn Đối với tham số biến ngẫu nhiên (kỳ vọng, phương sai, xác suất, v.v.), người ta dùng nhiều thống kê khác để ước lượng Do người ta đưa số tiêu chuẩn để đánh giá ước lượng tham số tính vững, tính khơng chệch, tính hiệu quả, v.v Luật Số lớn cơng cụ giúp đánh giá tính vững cho ước lượng hai tham số thống kê xác suất kỳ vọng 102 Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất Định lý Bernoulli: Nếu f tần suất xuất biến cố A n phép thử độc lập p xác suất xuất biến cố phép thử với ε dương nhỏ tùy ý ta ln có lim P( f − p < ε) = n →∞ Định lý gọi Luật số lớn Bernoulli Định lý cho thấy tần suất ước lượng vững xác suất Đối với kỳ vọng, ta có định lý dạng tổng quát, phát biểu sau: Luật Số lớn: Giả sử X1, X , , X n , dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố với kỳ vọng chung μ phương sai σ2 hữu hạn Khi với ε dương nhỏ tùy ý ta ln có ⎛ X + X + + X n ⎞ − μ | < ε ⎟ = lim P ⎜ | n n→∞ ⎝ ⎠ 4.3 Định lý Giới hạn trung tâm Trên ta thấy tính xấp xỉ xác suất luật phân phối nhị thức với số lượng phép thử lớn thông qua luật phân phối Poisson Các định lý Giới hạn trung tâm trình bày cung cấp cơng cụ khác để tính xấp xỉ xác suất thông qua luật phân phối chuẩn tắc Định lý Moivre-Laplace: Giả sử X n biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức với tham số (n,p) Đặt Sn = X n − np np(1 − p) Khi với x ∈ (−∞, +∞) ta có lim P ( Sn < x ) = P ( Z < x ) n →∞ Z biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn tắc Định lý cho thấy tính xấp xỉ xác suất Pn (k) để biến cố xuất k lần n phép thử (p) xác suất xuất biến cố A phép thử lược đồ Bernoulli với n tương đối lớn theo công thức Pn (k) = ( 2π ) −1/ − ( k − np ) / 2np(1− p) e = ϕ(x k ) với ϕ hàm mật độ phân bố chuẩn tắc: −x2 −1/ 2 ϕ(x) = ( 2π ) e 103 Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất Còn: xk = k − np np(1 − p) Ví dụ 2: Xác suất để sản xuất chi tiết loại tốt 0,4 Tìm xác suất để 26 chi tiết sản xuất có 13 chi tiết loại tốt Giải: Ta cần tìm P26(13) với n = 26 , p = 0,4 , 1− p = 0,6 xk = 0, 2323 (k − np) = 0, 093 = 1, 04 , ϕ(x k ) = ϕ(1, 04) = 0, 2323 , P26 (13) ≈ 2,5 np(1 − p) Khi áp dụng Định lý Moivre - Laplace để tính xấp xỉ cho giá trị Pn (k1 , k ) ta có cơng thức Pn (k1 , k ) = Φ (β) − Φ (α) Với: α= (k − np) (k1 − np) , β= np(1 − p) np(1 − p) Và: −x e dx Φ (x) = ∫ 2π x Ví dụ 3: Một phân xưởng sản xuất bóng đèn đạt trung bình 70% sản phẩm loại tốt Tìm xác suất để 1000 bóng đèn có từ 652 đến 760 bóng đèn loại tốt Giải: Ta có n = 1000, p = 0,7, 1-p = 0,3 , k1 = 652, k2 = 700 Xác suất phải tìm P1000(652 ;760) Như α= (k1 − np) = −3,31 ; Φ (α) = Φ (−3,31) = - 0,499520 np(1 − p) β= (k − np) = 4,14 ; Φ (β) = Φ(4,14) = 0,499968 np(1 − p) Từ P1000(652 ;760) = Φ (β) − Φ (α) = 0,999488 104 Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất Định lý Moivre − Laplace dạng đặc biệt Định lý Giới hạn trung tâm, áp dụng cho biến ngẫu nhiên có phân phối 0−1 Đối biến ngẫu nhiên có phân phối dạng bất kỳ, ta có định lý tổng quát sau đây: Định lý Giới hạn trung tâm: Nếu X1, X , , X n , dãy biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật phân phối xác suất với kỳ vọng toán μ phương sai hữu hạn σ2 , quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên n S − E(Sn ) Sn − nμ Un = n = với Sn = ∑ X k V(Sn ) k =1 n.σ2 hội tụ tới quy luật chuẩn tắc N(0,1) n → ∞ Các định lý Giới hạn trung tâm có ý nghĩa quan trọng việc áp dụng thống kê tốn học thực tế, khơng với cơng dụng tính xấp xỉ xác suất trình bày mà cịn trình tiến hành phép kiểm định thống kê Thật vậy, phần lớn tiêu chuẩn kiểm định thống kê cổ điển kiểm định so sánh tần suất, so sánh giá trị trung bình, so sánh phương sai, v.v xây dựng dựa sở ban đầu biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Tuy nhiên số liệu thực tế bắt gặp biến ngẫu nhiên thực có phân phối chuẩn Lúc phải dựa vào hiệu lực định lý Giới hạn trung tâm để áp dụng tiêu chuẩn kiểm định thống kê cách gần cho trường hợp số liệu có cỡ mẫu đủ lớn 105 Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Bài cung cấp cho học viên số định lý Lý thuyết Xác suất : Định lý Poisson, Luật Số lớn, Định lý Giới hạn trung tâm Những định lý sở quan trọng Lý thuyết Ước lượng Lý thuyết Kiểm định trình bày phần giáo trình này, cung cấp cho học viên cơng thức tính gần với số toán xác suất phổ biến 106 ... CUỐI BÀI Bài cung cấp cho học viên số định lý Lý thuyết Xác suất : Định lý Poisson, Luật Số lớn, Định lý Giới hạn trung tâm Những định lý sở quan trọng Lý thuyết Ước lượng Lý thuyết Kiểm định. .. v.v Luật Số lớn công cụ giúp đánh giá tính vững cho ước lượng hai tham số thống kê xác suất kỳ vọng 102 Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất Định lý Bernoulli: Nếu f tần suất xuất... phải dựa vào hiệu lực định lý Giới hạn trung tâm để áp dụng tiêu chuẩn kiểm định thống kê cách gần cho trường hợp số liệu có cỡ mẫu đủ lớn 105 Bài 4: Một số định lý quan trọng lý thuyết xác suất