Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học ngành khoa học giữ vị trí quan trọng lĩnh vực ứng dụng đời sống người Các kiến thức phương pháp Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học hỗ trợ hữu hiệu nhà nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác Vật lý, hóa học, sinh học, nông học, kinh tế học,… Ngày nay, lý thuyết Xác suất Thống kê toán học đưa vào giảng dạy hầu hết ngành đào tạo trường Đại học Cao đẳng nước Do đối tượng sinh viên đa dạng, với trình độ tốn khác nhau, chúng tơi cố gắng tìm cách tiếp cận đơn giản hợp lý để biên soạn Tập giảng “Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học” dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Nam Định Tập giảng gồm chương, chương đầu dành cho phần xác suất chương sau dành cho thống kê toán học Chương 1: Khái niệm xác suất Chương 2: Biến ngẫu nhiên Chương 3: Lý thuyết ước lượng Chương 4: Lý thuyết kiểm định Chương 5: Phân tích hồi quy Tập giảng trình bày cách thích hợp sinh viên khối ngành kinh tế, sau phần lý thuyết có ví dụ để minh họa trực tiếp khái niệm, định lý thuật toán giúp người học tiếp thu kiến thức dễ dàng Cuối chương biên soạn phần hướng dẫn tự học nhằm giúp sinh viên chuẩn bị tốt phần tự học nhà phù hợp với hình thức đào tạo theo hệ thống tín Đặc biệt, sinh viên cần ý đến nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn, mở rộng tổng quát kết hướng ứng dụng vào thực tế Tiếp theo, biên soạn câu hỏi ôn tập bao trùm toàn nội dung vừa học giúp sinh viên kiểm tra kiến thức vừa học, có câu hỏi yêu cầu sinh viên phải vận dụng kiến thức tổng hợp sáng tạo để giải Phần tập tổng hợp chủ yếu để giúp sinh viên kiểm tra kiến thức, khả tổng hợp vận dụng kiến thức Mặc dù, có nhiều cố gắng, nhiên Tập giảng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận nhiều ý kiến đóng góp đồng nghiệp bạn đọc để Tập giảng hoàn thiện Các tác giả MỤC LỤC Lời nói đầu Chƣơng 1: Khái niệm xác suất 1.1 Giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc đếm 1.1.2 Hoán vị 1.1.3 Chỉnh hợp 1.1.4 Chỉnh hợp lặp 1.1.5 Tổ hợp 1.2 Phép thử biến cố 1.2.1 Khái niệm 1.2.2 Các phép toán mối quan hệ biến cố 1.2.3 Nhóm đầy đủ biến cố 12 1.2 Xác suất 12 1.3.1 Khái niệm xác suất 12 1.3.2 Các định nghĩa xác suất 12 1.3.3 Tính chất xác suất 14 1.3.4 Các cơng thức tính xác suất 14 Hướng dẫn tự học chương 22 Câu hỏi ôn tập chương 27 Bài tập chương 28 Hướng dẫn đáp số tập chương 33 Chƣơng 2: Biến ngẫu nhiên 34 2.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 34 2.1.1 Định nghĩa 34 2.1.2 Phân loại biến ngẫu nhiên 34 2.2 Các phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 34 2.2.1 Bảng phân phối xác suất 34 2.2.2 Hàm phân phối xác suất 37 2.2.3 Hàm mật độ xác suất 39 2.3 Các đặc trưng số biến ngẫu nhiên 42 2.3.1 Kỳ vọng 42 2.3.2 Phương sai 43 2.3.3 Mode ………………………………………………………………45 2.3.4 Median ………………………………………………………… 46 2.4 Các phân phối xác suất thường dùng 46 2.4.1 Phân phối nhị thức 46 2.4.2 Phân phối Poisson 48 2.4.3 Phân phối chuẩn 49 2.4.4 Phân phối bình phương 56 2.4.5 Phân phối Student 56 2.4.6 Phân phối Fisher – Sendecor 57 Hướng dẫn tự học chương 59 Câu hỏi ôn tập chương 62 Bài tập chương 63 Hướng dẫn đáp số tập chương 67 Chƣơng 3: Lý thuyết ƣớc lƣợng 711 3.1 Lý thuyết mẫu 71 3.1.1 Khái niệm mẫu ngẫu nhiên 71 3.1.2 Các phương pháp lấy mẫu 72 3.1.3 Bảng phân phối thực nghiệm 73 3.1.4 Các đặc trưng mẫu 74 3.1.5 Cách tính đặc trưng mẫu 76 3.2 Ước lượng điểm 80 3.2.1 Khái niệm ước lượng điểm 80 3.2.2 Các tính chất ước lượng điểm 811 3.3 Ước lượng khoảng 82 3.3.1 Khái niệm ước lượng khoảng 82 3.3.2 Khoảng tin cậy cho kỳ vọng 83 3.3.3 Khoảng tin cậy cho phương sai 90 3.3.4 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ 94 Hướng dẫn tự học chương 99 Câu hỏi ôn tập chương 100 Bài tập chương 101 Hướng dẫn đáp số tập chương 104 Chƣơng 4: Kiểm định giả thuyết thống kê 105 4.1 Giả thuyết thống kê 105 4.2 Quy tắc kiểm định 105 4.2.1 Tiêu chuẩn kiểm định 105 4.2.2 Quy tắc kiểm định 106 4.3 Các dạng miền tới hạn 106 4.3.1 Kiểm định đối xứng 106 4.3.2 Kiểm định trái 107 4.3.3 Kiểm định phải 107 4.4 Kiểm định kỳ vọng 107 4.4.1 Bài toán 1: Phương sai VX = σ2 biết 108 4.4.2 Bài toán 2: Phương sai VX = σ2 chưa biết 110 4.5 Kiểm định phương sai 113 4.5.1 Bài toán 1: Kỳ vọng EX biết 113 4.5.2 Bài toán 1: Kỳ vọng EX chưa biết 114 4.6 Kiểm định tỷ lệ 115 4.6.1 Kiểm định hai phía 115 4.6.2 Kiểm định phía trái 116 4.6.3 Kiểm định phía phải 116 4.7 Kiểm định hai kỳ vọng 118 4.7.1 Bài toán 1: Trường hợp biết VX  12 VY  22 118 4.7.2 Bài toán 2: Trường hợp chưa biết VX  12 VY  22 119 4.8 Kiểm định tỷ lệ 121 4.8.1 Kiểm định hai phía 121 4.8.2 Kiểm định phía trái 122 4.8.3 Kiểm định phía phải 122 Hướng dẫn tự học chương 1244 Câu hỏi ôn tập chương 1255 Bài tập chương 1266 Hướng dẫn đáp số tập chương 1300 Chƣơng 5: Phân tích hồi quy 1311 5.1 Biến ngẫu nhiên nhiều chiều 1311 5.1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên chiều 1311 5.1.2 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên chiều rời rạc 1311 5.1.3 Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên chiều liên tục 1333 5.2 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên chiều 1355 5.2.1 Các số đặc trưng biến thành phần 1355 5.2.2 Hệ số tương quan 1355 5.2.3 Hệ số tương quan mẫu 1377 5.2.4 Tiêu chuẩn độc lập hai biến ngẫu nhiên 1388 5.2.5 Kiểm định giả thuyết hệ số tương quan 13939 5.3 Hồi quy 1400 5.3.1 Mô hình tuyến tính 1400 5.3.2 Công thức ước lượng hệ số đường hồi quy tuyến tính 1411 Hướng dẫn tự học chương 1455 Câu hỏi ôn tập chương 1466 Bài tập chương 1477 Hướng dẫn đáp số tập chương 1511 Phụ lục: Các bảng số 1555 Tài liệu tham khảo 1622 CHƢƠNG 1: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT Chúng ta sống làm việc mơi trường có nhiều biến động Người sản xuất kinh doanh cần dự báo xác ngày mai thị trường sao, thị hiếu, nhu cầu khách hàng Lý thuyết xác suất công cụ quan trọng để mô tả, nghiên cứu thị trường Chương giới thiệu khái niệm số cơng thức tính xác suất 1.1 Giải tích tổ hợp Từ lâu, đời sống người gặp giải toán tổ hợp Những kiến thức tổ hợp có nhiều ứng dụng khoa học thực tiễn, đặc biệt ứng dụng máy tính, vi mạch, quy hoạch tốn học, tốn kinh tế,… Trong phần này, giới thiệu số kiến thức giải tích tổ hợp có ứng dụng lý thuyết xác suất 1.1.1 Quy tắc đếm a Quy tắc cộng Cơng việc A thực m phương án khác A1 , A ,… , A m Mỗi phương án Ai có ni cách thực Số cách để thực công việc A m å ni i= Ví dụ 1.1: Một nhóm có 15 sinh viên gồm nam 10 sinh viên nữ Chọn ngẫu nhiên từ nhóm sinh viên làm nhóm trưởng Hỏi có cách chọn ? Giải: Công việc ta chọn sinh viên làm nhóm trưởng, cơng việc có phương án thực hiện: - Phương án 1: Nhóm trưởng sinh viên nam – có cách chọn - Phương án 2: Nhóm trưởng sinh viên nữ – có 10 cách chọn Vậy số cách để chọn sinh viên nhóm trưởng là: n = + 10 = 15 (cách) b Quy tắc nhân Công việc A chia thành m công đoạn A1 , A2 , , Am Ứng với cách thực cơng đoạn Ai có ni+ cách thực cơng đoạn Ai+ Số cách để thực công m việc A Õn i i= Ví dụ 1.2: Một doanh nhân dự định từ Kiên Giang tới Hà Nội, qua Thành phố Hồ Chí Minh Hỏi ơng ta có cách đi, biết từ Kiên Giang tới Thành phố Hồ Chí Minh dùng ba phương tiện: tơ, tàu thủy, máy bay; từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội dùng bốn phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy, máy bay Giải Công việc A: từ Kiên Giang tới Hà Nội chia thành công đoạn - Công đoạn 1: từ Kiên Giang Thành phố Hồ Chí Minh, có cách thực - Công đoạn 2: từ Thành phố Hồ Chí Minh tới Hà Nội , có cách thực Vậy số cách từ Kiên Giang tới Hà Nội là: 3.4 = 12 (cách) 1.1.2 Hốn vị Định nghĩa: Cho tập có n phần tử Mỗi cách đặt phần tử tập hợp theo thứ tự định gọi hốn vị n phần tử Số hốn vị n phần tử, kí hiệu Pn : Pn = n! = 1.2.3 (n - 1)n Ví dụ 1.3 Sắp chỗ ngổi cho học sinh A, B, C bàn, ta có số cách xếp 3! = cách sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA 1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên k phần tử từ tập có n phần tử, hai cách lấy gọi khác chúng có phần tử khác thứ tự lấy phần tử khác Số cách lấy k phần tử gọi chỉnh hợp chập k n phần tử, ký hiệu là: Ank , xác định công thức : Ank = n! (n  k )! Quy ước: 0! = Ví dụ 1.4: Chọn ngẫu nhiên người người làm nhiệm vụ, người chọn trước làm nhóm trưởng Hỏi có cách chọn Giải: Số cách chọn A52 = 20 cách 1.1.4 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử nhóm có thứ tự gồm k phần tử phần tử lặp lại lấy từ n phần tử cho Số chỉnh hợp lặp chập k ~ k n phần tử, kí hiệu A n : ~ k A n = nk Ví dụ 1.5: Với chữ số 1, 2, 3, viết số có chữ số? Giải: Số số có chữ số chỉnh hợp lặp chập 3 ° A4 = = 64 Ta có: 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa: Lấy ngẫu nhiên k phần tử từ tập có n phần tử, hai cách lấy gọi khác chúng có phần tử khác Số cách lấy k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử, ký hiệu là: Cnk , xác định công thức : C kn = a kn n!  k! k!(n  k )! Tính chất: C 0n = C nn = C kn = C nn  k C kn 11 + C kn 1 = C kn Ví dụ 1.6 Có cách lập hội đồng gồm người tổng số người? Giải Hội đồng nhóm người lấy ngẫu nhiên từ người, số cách lập hội đồng C83 = 1.2 8! = 56 (cách) 3!(8 - 3)! Phép thử biến cố 1.2.1 Khái niệm Trong tự nhiên xã hội, tượng gắn liền với điều kiện bản, tượng xảy nhóm điều kiện gắn liền với thực Do đó, muốn nghiên cứu tượng, ta cần thực nhóm điều kiện Chẳng hạn muốn nghiên cứu chất lượng lô sản phẩm, ta phải lấy ngẫu nhiên sản phẩm lơ sản phẩm để kiểm tra Việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng xảy hay không gọi thực phép thử, cịn tượng xảy kết phép thử gọi biến cố (sự kiện) Trong thực tế ta gặp loại biến cố sau đây: - Biến cố chắn: biến cố định xảy thực phép thử Biến cố chắn ký hiệu là:  - Biến cố không: biến cố xảy thực phép thử Biến cố không ký hiệu là:  - Biến cố ngẫu nhiên: biến cố xảy không xảy thực phép thử Các biến cố ngẫu nhiên thường ký hiệu chữ cái: A, B, C Ví dụ 1.7 Tung đồng tiền xu xuống đất phép thử, cịn việc xuất mặt biến cố Ta có hai biến cố: N = “xuất mặt ngửa” S = “xuất mặt sấp” Ví dụ 1.8 Gieo son súc sắc phép thử - Gọi A biến cố “xúc xắc xuất mặt có số chấm nhỏ sáu” A biến cố chắn - Gọi B biến cố “ xuất mặt chấm” B biến cố không - Gọi Ak = “Xuất mặt k chấm” Khi đó: A1, A2, A6 biến cố ngẫu nhiên 1.2.2 Các phép toán mối quan hệ biến cố a Quan hệ kéo theo Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy B xảy Ký hiệu: A Ð B Mơ tả hình học quan hệ kéo theo hình dung A tập tập B B A Hình 1.1: Minh họa hình học quan hệ kéo theo b Quan hệ tương đương Hai biến cố A B gọi tương đương A xảy B xảy ngược lại Ký hiệu: A = B c Biến cố tổng Biến cố C gọi biến cố tổng hai biến cố A, B C xảy có A B xảy Ký hiệu C = A + B Chú ý: - Biến cố sơ cấp biến cố khơng thể phân tích thành tổng biến cố khác - Mọi biến cố ngẫu nhiên A biểu diễn thành tổng biến cố sơ cấp Các biến cố sơ cấp tổng gọi biến cố thuận lợi cho biến cố A - Biến cố chắn  tổng biến cố sơ cấp có, nghĩa biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố  Do  cịn gọi khơng gian biến cố sơ cấp Ví dụ 1.9 Gieo đồng thời súc sắc C = “tổng số chấm xuất 2”, A = “con súc sắc thứ xuất mặt chấm”, B = “con súc sắc thứ hai xuất mặt chấm” Khi C = A + B Mơ tả hình học biến cố tổng hình dung C hợp hai tập hợp A B A B A+B Hình 1.2: Minh họa hình học biến cố tổng d Biến cố hiệu Biến cố C gọi hiệu hai biến cố A B C xảy A xảy cịn B khơng xảy Ký hiệu C = A \ B Chú ý: Hai biến cố A \ B B \ A nói chung thường khác Mơ tả hình học biến cố hiệu hình dung C hiệu hai tập hợp A B A B A\B Hình 1.3: Minh họa hình học biến cố hiệu e Biến cố tích Biến cố C gọi tích hai biến cố A B C xảy A, B đồng thời xảy Ký hiệu C = AB Ví dụ 1.10 Hai xạ thủ bắn vào mục tiêu, người bắn viên đạn Gọi C = “mục tiêu bị trúng viên đạn”, A = “xạ thủ thứ bắn trúng mục tiêu”, B = “xạ thủ thứ hai bắn trúng mục tiêu” Vậy C = AB 10 ... nghĩa xác suất: định nghĩa cổ điển, định nghĩa theo thống kê, - Các tính chất xác suất; - Các cơng thức tính xác suất: cơng thức cộng, công thức nhân, xác suất biến cố đối, công thức xác suất. .. giải toán xác suất sau thực hành giải nhiều tập thực tốt kỹ Bước 1: Xác định biến cố cần tính xác suất ( Cần đọc kỹ giả thiết toán, xác định yêu cầu toán ) Bước 2: Sau xác định biến cố cần tính xác. .. nhân để tìm xác suất, sinh viên cần lưu ý có loại biến cố: biến cố toán cho biến cố cần tìm xác suất - Trước hết, ta cần xác định đâu biến cố toán cho đâu biến cố cần tìm xác suất - Tiếp theo,