(Luận văn) một số bài toán cực trị hình học trong các đề thi học sinh giỏi phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC QUÁCH THỊ TẤM lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI PHỔ THÔNG d oa nl w lu ul nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi lm Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 z at nh z @ m co l gm NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.TRỊNH THANH HẢI an Lu Thái Nguyên - 2016 n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN i Mục lục lu an n va 1 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Bài tốn cực trị hình học 1.1.1 Bài tốn cực trị hình học 1.2 Một số hướng giải toán cực trị hình học 1.2.1 Sử dụng phương pháp véctơ 1.2.2 Sử dụng phương pháp tọa độ 1.2.3 Sử dụng phương pháp đại số 1.2.4 Sử dụng phương pháp hình học tổng 3 3 3 3 p ie gh tn to MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Cấu trúc luận văn d oa nl w hợp lu 17 28 42 Kết luận 51 oi lm ul nf va an MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC 2.1 Các tốn cực trị hình học liên quan đến tính chất hình học phẳng 2.2 Các tốn cực trị hình học liên quan đến tam giác 2.3 Các tốn cực trị hình học liên quan đến đường trịn 2.4 Các tốn cực trị hình học liên quan đến hình học giải tích 2.5 Các tốn cực trị hình học khơng gian z at nh z gm @ 53 m co l Tài liệu tham khảo an Lu n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN MỞ ĐẦU 0.1 Lý chọn đề tài lu an n va p ie gh tn to Trong chương trình tốn THPT nói chung, dạng tốn dành cho học sinh giỏi nói riêng tốn tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất, đặc biệt tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến hình học tốn thú vị tương đối khó địi hỏi học sinh khơng có hệ thống kiến thức mà cịn phải có kỹ giải tốn mức độ định Hiện nay, có số tài liệu tốn dành cho bồi dưỡng học sinh giỏi đề cập đến tốn cực trị hình học chưa có tài liệu chuyên khảo viết chủ đề Với mong muốn nghiên cứu, sưu tầm số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ liên quan đến hình học để trực tiếp sử dụng công tác giảng dạy ngày bồi dưỡng học sinh giỏi, chọn chủ đề tốn cực trị hình học đề thi học sinh giỏi phổ thông để làm hướng nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ Luận văn có nhiệm vụ (1) Sưu tầm số toán cực trị liên quan đến hình học đề thi học sinh giỏi toán quốc tế, quốc gia tạp chí Tốn học tuổi trẻ; (2) Nghiên cứu lời giải để đưa gợi ý hướng giải toán cực trị thường gặp; (3) Đưa lời giải đưa lời giải chi tiết số toán mà tài liệu gốc chưa có lời giải có lời giải tóm tắt d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh 0.2 Cấu trúc luận văn z m co l gm @ Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương - Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Nội dung chương bao gồm quan niệm tốn cực trị hình học số hướng giải toán cực trị hình học thường gặp chương trình THPT; - Chương 2: Một số tốn cực trị hình học an Lu n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN lu Nội dung chương trình bày tốn cực trị hình học đề thi học sinh giỏi quốc tế, quốc gia tạp chí Tốn học tuổi trẻ em cố gắng phân loại cách tương đối Do hạn chế mặt thời gian, lực thân nên dạng tốn trình bày luận văn phần nhỏ, minh họa cho tốn cực trị hình học Em mong nhận quan tâm, giúp đỡ Thầy, Cô để thân em hồn thiện nội dung luận văn để tổ chức chun đề tốn cực trị hình học để bồi dưỡng học sinh công việc giảng dạy Sau em chân thành cảm ơn trường ĐHKH Thái Nguyên, khoa Toán - Tin, thầy giáo PGS.TS Trịnh Thanh Hải, thầy cô giáo bạn đẫ giúp đỡ em hoàn thành luận văn an n va tn to Học viên p ie gh Quách Thị Tấm d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ lu an 1.1 Bài tốn cực trị hình học n va Bài tốn cực trị hình học tn to 1.1.1 p ie gh Trong tốn hình học, có loại tốn có nội dung sau: Trong tất hình có chung tính chất, tìm hình mà đại lượng (như độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích ) có giá trị lớn nhỏ Đó tốn cực trị hình học, hấp dẫn học sinh vấn đề đặt mang tính thực tiễn: Đi tìm lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, , tối ưu thường gặp đời sống kĩ thuật Đường lối tổng qt giải tốn cực trị hình học: Để tìm vị trí hình H miềm D cho biểu thức f có giá trị lớn (hoặc nhỏ nhất), ta phải thực bước sau: Bước Chứng tỏ với vị trí hình H miền D f ≥ m (hoặc f ≤ m), với m số Bước Xác định vị trí hình H miền D cho f = m d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh Ví dụ tốn cực trị hình học z @ 1.1.2 m co l gm Ví dụ 1.1 (Đề thi IMC, THCS, 2015) E điểm nằm cạnh BC hình vng ABCD cho BE = 20cm CE = 28cm P điểm đường chéo BD Giá trị nhỏ độ dài PE + PC cm? an Lu n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN Ví dụ 1.2 (Dựa theo Đề thi IMO) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh Các điểm M, N, I theo thứ tự di động AA’, BC, C’D’ cho A’M=BN=C’I=a (0 ≤ a ≤ 1) 1) (α) mặt phẳng qua M, N, I Chứng minh (α) tự song song; 2) Tính d(A, (α)) (khoảng cách từ A đến (α)) theo a; 3) Tính diện tích tam giác MNI theo a xác định vị trí điểm M để diện tích nhỏ nhất; 4) Chứng minh trọng tâm G tam giác MNI thuộc đường thẳng cố định lu 1.2 Một số hướng giải toán cực trị hình học an n va 1.2.1 Sử dụng phương pháp véctơ p ie gh tn to Một số tốn cực trị hình học giải gọn ta biết sử dụng cơng cụ vectơ thích hợp Ngồi kiến thức quen thuộc học bậc THPT tính chất, phép biến đổi vectơ, bất đẳng thức vectơ hệ thức vectơ tam giác , cần biết thêm khái niệm tính chất trọng tâm hệ điểm, cơng thức Lagrange Jacobi, tâm tỉ cự hệ điểm, định lí "con nhím " cho khối tứ diện Định nghĩa 1.1 Giả sử A1 , A2 , , Am hệ m điểm xếp tùy ý không gian không phân biệt thứ tự Điểm G gọi trọng m − P −→ − → tâm hệ điểm có GAi = d oa nl w an lu va i=1 oi lm ul nf Dễ thấy trọng tâm hệ điểm tồn Hơn nữa, G gọi trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , Am với điểm M m −−→ −−→ P khơng gian, có MG = MAi m i=1 Định lý 1.1 (Công thức Lagrange - Jacobi): Giả sử G trọng tâm hệ điểm A1 , A2 , , Am M điểm tùy ý khơng gian Thế m X X 2 MG = MAi − Ai Aj m i=1 m 1≤i x gần với π π π ′ ′ z, thay x x = thay z z = z − + x Khi đó, tổng 6 x′ + y + z ′ không đổi, tích sin x′ sin y sin z ′ lại tăng lên.) sin α1 sin α2 = d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN 28 Bài toán 2.12 Cho tam giác ABC, gọi MH1 , MH2 , MH3 khoảng cách từ M tới ba cạnh tam giác.Tìm điểm M thuộc miền tam giác ABC cho: Bài toán 2.12.1 Tổng MA + MB + MC đạt giá trị bé Bài toán 2.12.2 Tổng MH1 + MH2 + MH3 đạt giá trị bé Bài toán 2.12.3 Tổng MH1 + MH2 + MH3 đạt giá trị lớn b A H3 b H2 b lu M an b n va B b b b C to H1 gh tn p ie Hình 2.8: d oa nl w Lời bình Bài tốn 2.12 gọi tốn Torricelli, điểm M cần tìm gọi điểm Torricelli Kết ba toán giải Cụ thể sau: Ở tốn 2.12.1 - Nếu tam giác ABC có ba góc nhỏ 1200 điểm M cần tìm điểm nhìn ba cạnh với góc 1200 - Nếu tam giác ABC có góc khơng nhỏ 1200 điểm M cần tìm đỉnh góc Ở tốn 2.12.2 Điểm M cần tìm trùng với đỉnh tam giác ứng với đường cao nhỏ nhất, di động toàn miền tam giác ABC tam giác Ở tốn 2.12.3 Điểm M cần tìm trùng với đỉnh tam giác ứng với đường cao lớn nhất, di động toàn miền tam giác ABC tam giác Ta mở rộng ba toán sang ba toán cực trị tương ứng cho đa giác là: Cho đa giác lồi A1 A2 An(n ≥ 3) Gọi MHi khoảng cách từ M tới cạnh AiAi+1 đa giác (coi An+1 ≡ A1 ) Tìm điểm M thuộc miền đa giác A1 A2 An cho: oi lm ul nf va an lu z at nh z m co l gm @ an Lu n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN 29 Bài toán 2.12.1’ (Bài toán Torricelli): Đại lượng n P MAi đạt giá trị bé i=1 n P Bài toán 2.12.2’ (Bài toán Torricelli): Đại lượng MHi đạt giá trị bé i=1 n P Bài toán 2.12.3’ (Bài toán Torricelli): Đại lượng MHi đạt giá trị lớn i=1 lu an n va p ie gh tn to Lời bình Bài tốn 2.12.1 tam giác ABC có nhiều cách giải khơng thể áp dụng vào giải tốn 2.12.1’ đa giác Ta ý tới tính chất sau, mà nhờ áp dụng vào toán 2.12.1’ đa giác tổng quát, đồng thời giải ln tốn 2.12 2’ 2.12 3’ ta thấy toán 2.12.1’ với tốn 2.12.2’ 2.12.3’ khơng liên quan với 1) Một tính chất đẹp tam giác đều: Trong tam giác đều, tổng khoảng cách (đoạn thẳng vng góc) từ điểm M tới ba cạnh tam giác số, khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M 2) Ta áp dụng tính chất vào giải tốn 2.12.1 tam giác có ba góc nhỏ 1200 Ta chứng minh mệnh đề 2.1 sau: Nếu tam giác ABC có điểm T nhìn ba cạnh tam giác với góc 1200 T điểm Torricelli tam giác Chứng minh: Cho tam giác ABC Qua A, B, C dựng đường thẳng tương ứng vng góc với TA, TB, TC Chúng cắt A’, B’, C’ với A thuộc B’C’, B thuộc A’C’ , C thuộc A’B’ d oa nl w oi lm ul nf va an lu z at nh ′ B = BA ′ C = CB ′ A = 600 [ [ \ \ \ Do AT B =\ BT C = AT C = 1200 nên AC hay tam giác A’B’C’ Lấy M điểm tam giác ABC Gọi h1 , h2 , h3 theo thứ tự khoảng cách từ M tới ba cạnh B’C’, C’A’, A’B’ tam giác A’B’C’ (hình 2.9) Rõ ràng z l gm @ m co nên MA ≥ h1 ; MB ≥ h2 , MC ≥ h3 an Lu MA + MB + MC ≥ h1 + h2 + h3 n va http://www.lrc.tnu.edu.vn ac th si S hóa bi Trung tâm Hc liu – ĐHTN 30 A′ b b b C B b h3 b h2 b b M T h1 b b b b C′ B′ A lu an Hình 2.9: n va tn to Áp dụng tính chất đẹp cho tam giác A’B’C’ ta có: gh T A + T B + T C = h1 + h2 + h3 p ie Vậy w (đpcm) T A + T B + T C ≤ MA + MB + MC d oa nl Lời bình Tính chất đẹp tam giác cịn có đa giác khơng đều, chẳng hạn, hình bình hành có tính chất đẹp tương tự tam giác đa giác Ta gọi tam giác số, tứ giác số, đa giác số Muốn tìm điều kiện cần đủ để đa giác lồi đa giác số, ta cần xác hóa khái niệm mở rộng cho trường hợp điểm M miền đa giác Áp dụng vào giải toán 2.12.2’, toán 2.12.3’ Trong hệ thức (1), điểm O cố định miền đa giác n P r = r(r > 0) ri số oi lm ul nf va an lu z at nh i=1 z Xét điểm M thuộc miền đa giác hi = hi (hi > 0) (1) trở thành − −−→ n n n n P P P P −−→ − →