(Luận văn) một số bài toán về đa giác và đa diện đều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG TÀI TUỆ lu an n va to VÀ ĐA DIỆN ĐỀU p ie gh tn MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC d oa nl w ll u nf va an lu oi m LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐẶNG TÀI TUỆ lu an va n MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA GIÁC VÀ ĐA DIỆN ĐỀU p ie gh tn to Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp d oa nl w Mã số: 46 01 13 an lu ll u nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC oi m z at nh NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS TRẦN NGUYÊN AN z m co l gm @ an Lu THÁI NGUYÊN - 2019 n va ac th si Mục lục Chương Đa giác đa diện 1.1 Một số yếu tố toán đa giác 1.2 Dựng đa giác thước kẻ compas 12 1.3 Đa diện phân loại đa diện 26 lu Mở đầu an 37 n va Chương Một số đa giác đa diện đặc biệt tn to 2.1 Ngũ giác ie gh 2.2 Yếu tố khối Platon p Kết luận 44 56 56 d oa nl w Tài liệu tham khảo 37 nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Mở đầu Hình học (geometry) bắt nguồn từ tiếng Hy Lạp cổ geo- "đất", -metron "đo đạc", nghĩa đo đạc đất đai Cùng với Số học, Hình học hai ngành toán học người nghiên cứu từ thời cổ đại Hình học cổ điển (Hình học Euclid) tập trung vào xây dựng hình dựa compas thước kẻ Euclid cách mạng hóa hình học cách lu an giới thiệu phương pháp chứng minh toán học tiên đề mà ngày va cịn sử dụng Cuốn sách ơng "Cơ sở hình học" (The elements) coi n Trong thời đại, khái niệm hình học khái qt hóa đến ie gh tn to sách giáo khoa có ảnh hưởng thời đại p mức độ trừu tượng cao phức tạp Hình học trở thành đối tượng phương pháp Giải tích Đại số trừu tượng Nhiều ngành đại w d học giải tích oa nl hình học khác biệt với hình học cổ điển đời Hình học đại số Hình lu an Trong Hình học cổ điển, đa giác đa giác có tất cạnh nf va góc đỉnh Đa giác chia làm hai loại đa lm ul giác lồi đa giác Luận văn tìm hiểu đa giác lồi đều, gọi z at nh oi tắt đa giác Đa giác nghiên cứu chi tiết phổ thơng Chúng khơng xuất tốn học mà xuất tự nhiên, tác phẩm nghệ thuật, cơng trình kiến trúc, mà người tạo Mục z đích thứ luận văn tìm hiểu tính chất đa @ gm giác số đa giác đặc biệt Ở phổ thông ta làm quen với tam co l giác hình vng Mặc dù cịn nhiều điều thú vị, chẳng hạn xem tài m liệu "Mysteries of the equilateral triangle" Brian J McCartin cho tam an Lu giác đều, khn khổ luận văn tìm hiểu loại đa giác ngũ giác Nội dung mục đích thứ tổng hợp từ nhiều va n nguồn tài liệu chủ yếu theo ba tài liệu báo "A Study of the ac th si regular pentagon with a classic geometric approach" A C Sparavigna M M Baldi; báo cáo môn học "A Constructibility for a regular polygons" Eric T.Eekhoff Chú ý báo cuối tìm hiểu dựng đa giác 17 cạnh nội tiếp đường tròn nghiên cứu Carl Friedrich Gauss Năm 1796, nhà tốn học Carl Friedrich Gauss tìm cách vẽ đa giác có 17 cạnh thước thẳng compas, cách xem đỉnh đa giác vịng trịn nghiệm phương trình số phức z 17 − = Năm năm sau, ông khám phá lý thuyết mà sau gọi “Chu kỳ Gauss” (Gaussian periods) viết sách Disquisitiones Arithmeticae (Khảo cứu Số học) Lý thuyết giúp ơng tìm điều kiện đủ để đa giác vẽ thước kẻ compas Điều kiện sau “Một đa giá lu an có n cạnh vẽ thước kẻ compas n tích n va số luỹ thừa với số số Fermat nguyên tố khác tn to nhau” Gauss cho điều kiện điều kiện cần không gh chứng minh Đến năm 1837, Pierre Wantzel chứng minh điều kiện p ie Gauss w Mục đích thứ hai luận văn tìm hiểu khối đa diện oa nl khối đa diện khối đa diện có tất mặt đa giác d cạnh Đa diện chia thành đa diện an lu lồi lõm Luận văn tìm hiểu số yếu tố đa diện nf va lồi gọi tắt đa diện Trong khơng gian ba chiều, có khối đa lm ul diện lồi gọi khối đa diện Platon tứ diện (tetrahedron), hình lập phương (hexahedron), bát diện (octahedron), thập nhị diện z at nh oi (dodecahedron) nhị thập diện (icosahedron) Chúng tìm thấy nhiều vùng khác Scotland trở thành tảng kiến trúc z giới cổ đại Xuất từ sớm thời điểm cách @ gm 2500 năm quy luật tốn học xung quanh vấn đề khối đa diện co l Platon lần đề cập tới nghiên cứu sâu rộng Một điều thú vị theo Platon đa diện cịn đại diện cho yếu m an Lu tố vũ trụ: lửa (tứ diện đều), nước (hình lập phương), khơng khí (bát diện đều), trái đất (thập nhị diện đều) vũ trụ (nhị thập diện đều) va Tài liệu trình bày mục đích cơng trình "A geometric analysis of n ac th si the platonic solids and other semi-regular polyhedra" K.J.M Maclean Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày số vấn đề đa giác (một số tính chất bản, dựng đa giác nội tiếp đường tròn thước kẻ compas), đa diện (một số tính chất bản, Định lý Euler mối liên hệ số cạnh, số đỉnh, số mặt đa diện phân loại đa diện) Chương trình bày lớp đa giác đặc biệt ngũ giác (một số tính chất liên quan đến tỉ số vàng, cách dựng ngũ giác), khối Platon (thể tích, diện tích xung quang, số khoảng cách, góc bản) Trong q trình làm luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình TS Trần Nguyên An - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy lu an Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao n va học khóa Cao học Tốn khóa 11B (2017-2019) - trường Đại học Khoa học tn to - Đại học Thái Nguyên, truyền thụ đến cho nhiều kiến thức kinh gh nghiệm nghiên cứu khoa học p ie Lời cuối cùng, tác giả muốn dành để tri ân bố mẹ gia đình oa nl w chia sẻ khó khăn để tác giả hồn thành cơng việc học tập d Thái Ngun, ngày 20 tháng 10 năm 2019 Tác giả nf va an lu lm ul Đặng Tài Tuệ z at nh oi z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Đa giác đa diện 1.1 Một số yếu tố toán đa giác Định nghĩa 1.1.1 (Đường gấp khúc) Đường gấp khúc n cạnh hình hợp lu thành n đoạn thẳng A1 A2 , A2 A3 , , An An+1 , hai đoạn thẳng liên an tiếp Ai−1 Ai Ai Ai+1 không nằm đường thẳng (i=2,3, ,n) n va Đường gấp khúc kí hiệu A1 A2 An+1 Các điểm Ai gọi to tn đỉnh đường gấp khúc (có n + đỉnh), đoạn thẳng Ai Ai+1 gọi ie gh cạnh đường gấp khúc p Từ định nghĩa ta suy hai cạnh liên tiếp Ai−1 Ai Ai Ai+1 d oa nl w có điểm chung đỉnh Ai nf va an lu z at nh oi lm ul Hình 1.1: Các đường gấp khúc z @ Định nghĩa 1.1.2 (Đa giác) Đa giác n cạnh đường gấp khúc n cạnh l gm (n ≥ 3) A1 A2 An+1 cho đỉnh đầu A1 đỉnh cuối An+1 trùng nhau, cạnh đầu A1 A2 cạnh cuối An An+1 (cũng coi hai cạnh liên tiếp) không co m nằm đường thẳng Đa giác kí hiệu A1 A2 An Đa giác an Lu n cạnh gọi n-giác Các điểm Ai gọi đỉnh đa giác, đoạn va thẳng Ai Ai+1 gọi cạnh đa giác Góc Ai−1 Ai Ai+1 gọi góc đa giác n đỉnh Ai (Hình 1.1b) ac th si Hình 1.2: Các đa giác Định nghĩa 1.1.3 (Đa giác lồi) Đa giác lồi đa giác mà nằm lu phía đường thẳng chứa cạnh đa giác Ở Hình an 1.2b) đa giác lồi, đa giác cịn lại khơng phải đa giác lồi va n Nội dung luận văn phần đa giác tác giả trình bày to gh tn nội dung xoay quanh đa giác lồi p ie Định nghĩa 1.1.4 (Đường chéo đa giác lồi) Đường chéo đa giác lồi đường thẳng nối đỉnh không liên tiếp w n(n + 3) Mệnh đề 1.1.6 Tổng góc đa giác n-cạnh (n − 2)180o d oa nl Mệnh đề 1.1.5 Số đường chéo đa giác n-cạnh nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ Hình 1.3: an Lu Chứng minh Chia đa giác n cạnh thành tam giác Hình 1.3 Có ac th n góc đa giác n cạnh (n − 2)180o va n − tam giác, lại có tổng ba góc tam giác 180o Suy tổng si Hệ 1.1.7 Tổng số đo góc ngồi đa giác (mỗi đỉnh xét góc ngồi) 360o Chứng minh Giả sử đa giác có n-cạnh Khi có n góc n góc ngồi Tại đỉnh có góc góc ngồi nằm vị trí kề bù với (α + α0 = 180o ) Tổng số đo cặp góc n180o , mà ta có tổng số đo góc đa giác n-cạnh (n − 2)180o theo Mệnh đề 1.1.6 Vậy tổng số đo góc ngồi đa giác n-cạnh n180o − (n − 2)180o = 360o lu an n va p ie gh tn to d oa nl w an lu nf va Hình 1.4: Tên gọi Tam giác Hình vng Ngũ giác Lục giác Thất giác Bát giác Cửu giác Thập giác Tên tiếng Anh Equilateral triangle Square Pentagon Hexagon Heptagon Octagon Nonagon Decagon z at nh oi lm ul z gm @ Số cạnh 10 m co l Bảng 1.1: Bảng tên gọi đa giác Định nghĩa 1.1.8 (Đa giác đều) Đa giác đa giác có tất cạnh an Lu góc đỉnh Đa giác chia làm hai loại n va là: đa giác lồi đa giác ac th si Ở nội dung luận văn tác giả trình bày đa giác lồi gọi tắt đa giác lồi đa giác Chú ý 1.1.9 (Nhóm đối xứng) Cho H tập điểm hình Một phép s H gọi phép đẳng cự với M, N ∈ H, khoảng cách hai điểm M, N khoảng cách hai điểm s(M ), s(N ) Tập hợp phép đẳng cự hình H làm thành nhóm với phép hợp thành ánh xạ, ta gọi nhóm phép đẳng cự H Giả sử H tập điểm nằm cạnh tam giác với đỉnh 1, 2, Khi độ dài cạnh lớn độ dài đoạn thẳng nối hai điểm tuỳ ý H Vì phép đẳng cự lu hình H biến đỉnh thành đỉnh Theo tiêu chuẩn này, ta có an thể kiểm tra có phép đẳng cự hình H , phép quay n va 1200 , 2400 , 3600 với tâm quay trọng tâm tam giác chiều quay to tn ngược kim đồng hồ; phép đối xứng qua đường cao Nếu ta đồng ie gh phép quay 1200 , 2400 , 3600 với phép (123), (132), p (1); đồng phép đối xứng qua đường cao qua đỉnh 1, 2, nl w với phép (23), (13), (12) bảng tốn nhân nhóm d oa phép đẳng cự H trùng với bảng tốn nhân nhóm phép S3 an lu Nhóm gọi nhóm nhị diện hay nhóm đối xứng tam giác Tổng quát nhóm đối xứng (nhóm nhị diện) đa giác n cạnh nf va gọi theo tên tiếng Anh nhóm dihedral group Dn Nó bao gồm phép lm ul quay quanh tâm Cn (tâm đối xứng), với n số trục qua tâm Nếu z at nh oi n số chẵn nửa số trục đối xứng qua hai đỉnh đối đa giác nửa lại qua trung điểm hai cạnh đối Nếu n lẻ tất trục đối xứng qua đỉnh trung điểm cạnh đối diện z gm @ với đỉnh m co Hơn hai đường tròn đồng tâm l Mệnh đề 1.1.10 Tồn đường tròn ngoại tiếp nội tiếp đa giác an Lu \ BCD \ Chứng minh Gọi O giao điểm đường phân giác ABC c2 = C c3 Kéo theo 4OBC cân O OB = OC \ = BCD \ nên B Vì ABC va c5 = C c4 (c − g − c) nên OB = OD Suy D n Ta có 4OCB = 4OCD ac th si = cos 90o = cos(72o + 18o ) r =(2 cos2 36o − 1) + cos 36o − sin 36o cos 36o r − cos 36o Đặt u = cos 36o Ta có < u < Từ ta có r r p 1+u 1−u − − u2 u =0 (2u2 − 1) 2 √ + từ ta 4u2 − 2u − = 0, suy u = lu an n va p ie gh tn to d oa nl w Hình 2.6: lu nf va an Từ người ta có cách dựng Hình 2.6 Chú ý 2.1.6 Người ta cịn nghiên cứu số phương pháp dựng ngũ giác lm ul biết cạnh cho trước, dựng thước đo độ, gấp hình origami, z at nh oi 2.2 Yếu tố khối Platon z Ghi 2.2.1 (Phân tích yếu tố hình tứ diện đều) Tứ diện có @ gm cạnh, mặt, đỉnh, mặt tứ diện tam giác đều.√ l Giả sử cạnh tứ diện s1 Ta có diện tích mặt s Đường m co cao tứ diện AH, H tâm tam giác BCD Ta có BH = √ s1 Do h2 = AH = AB − HB = s21 hay 3 √ h = √ s1 an Lu n va ac th 44 si Hình 2.7: 1 S1 BCDh = √ s31 √ Diện tích xung quanh tứ diện 4SBCD = 3s21 lu Thể tích tứ diện an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hình 2.8: Tứ diện nội tiếp hình cầu Ta tính tốn yếu tố mặt cầu từ tứ diện Tuy nhiên ta dễ thấy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện z ta đặt tứ diện hình lập phương Bốn đỉnh tứ diện @ gm H, F, C, A Bốn mặt tứ diện CF H, CF A, HF A HCA Ta có đường l kính mặt cầu đường chéo hình lập phương Để tìm mối liên hệ m co khối đa diện ta giả sử bán kính hình cầu 1, tức OF = OD = an Lu Lưu ý mặt cầu qua đỉnh hình lập phương Ta có √ F D2 = F C + DC , F C = 2.F G, DC = 1, √ √ F D = Ta có F D = 3s2 , s2 cạnh hình lập phương n va ac th 45 si √ √ √ s2 Vì tỉ lệ F G : F C : F D : : 3, F G cạnh hình lập phương, F C cạnh tứ diện đều, F D đường kính mặt cầu OF = lu an n va Ta tìm mối liên√hệ cạnh tứ diện bán kính mặt√cầu ngoại 2 FC FC = √ mà F D = 2OF , từ ta = √ Suy tiếp tứ diện 3 √ FD √ √ √OF 2 2 FC s1 2 = √ , Vì = √ , hay s1 = √ R, R = √ s1 OF R 3 2 Ta xác định trọng tâm tứ diện, điểm O hình trước Trọng √ tâm tứ diện trọng tâm hình lập phương Ta có OF = R = √ s1 2 So sánh với chiều cao tứ diện ta có √ √ √ √ s1 3 R 2√ = = √ √ = = 0, 75 h 2 2 √ s1 to tn Do AO = 3OH p ie gh Tiếp theo ta xác định góc góc tâm tứ diện (central angle), tức \ góc tạo đỉnh trọng tâm O Ví dụ F OH Hình 2.8 Ta có d oa nl w OF = OH bán kính mặt cầu ngoại tiếp F H = s1 , IF = s1 √ [ = IF = sin( √2 ), kéo theo Vậy sin IOF OF √ [ = arcsin( √2 ) = 54, 73561032o IOF \ [ = 109, 47122064o Do F OH = 2IOF nf va an lu z at nh oi lm ul Góc mặt tứ diện (surface angle), góc mặt tứ z diện 60o ( mặt tam giác đều) @ m co l gm Bây ta xác định góc nhị diện tứ diện Ta có BAC BDC giao \ theo trung tuyến BC Gọi E trung điểm BC Ta có AED √ góc nhị diện Gọi P trung điểm AD Ta có P D = s1 , ED = s1 2 PD \ Do sin P ED = = √ Kéo theo ED \ P ED = arcsin( √ ) = 35, 26438968o an Lu n va ac th 46 si \ = 2P \ Vậy AED ED = 70, 52877936 Cuối ta tính khoảng cách từ trọng tâm đến 1) trọng tâm mặt (OJ), 2) trung điểm cạnh (OI), 3) đỉnh (OH) √ Ta có OF = OH = OC = OA = √ s1 , OI = OF − IF = s1 , 2 1 hay OI = √ s1 Tam giác F IO vuông J Ta lại có F J = √ s1 , OJ = 2 OF = IJ = s21 24 √ Vậy OJ = √ s1 tỉ số OJ : OI : OH : : lu an Ghi 2.2.2 (Phân tích yếu tố hình bát diện đều) Bát diện va có 12 cạnh, mặt đỉnh Mỗi mặt bát diện tam giác n p ie gh tn to Ta có BCDE, ABF D, ACF E hình vng vng góc với d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul Hình 2.9: hình bát diện z gm @ đôi Ta tính thể tích bát diện Giả sử cạnh bát diện s3 Chú l co ý đỉnh bát diện nằm mặt cầu Gọi O trực tâm m bát diện đều, G trọng tâm tam giác CDF, H trung điểm an Lu CD Bát diện bao gồm hình chóp ABCDE F BCDE Đáy va hình chóp hình vng BCDE , diện tích s23 n Chiều cao hình chóp h = OF = OA = OC Ta có OF + ac th 47 si OC = F C , OF + OF = F C hay 2OF = s23 Vậy h = OF = √ s3 √ 1 s Do thể tích bát diện V = 2( s23 √ s3 ) = 3 2√ √ Diện tích xung quanh bát diện s3 = 3s23 Ta tìm mối liên hệ bán kính đường trịn ngoại tiếp bát diện cạnh bát diện lu Đường kính hình cầu F A = CE = BD 1 Bán kính F A = √ s3 2 Vì R = √ s3 Vì bát diện tạo tam giác vng góc đơi nên gốc tâm (central angle) bát diện (tạo đỉnh liền \ kề trọng tâm O) 90o (Ví dụ F OC ) Các góc mặt (surface angles) an n va p ie gh tn to bát diện 60o mặt tam giác Ta xác định góc nhị diện \ góc nhị diện bát giác Gọi X trung điểm BC , ta có AXF Ta có OF = r = h OX = s3 Do √ \ ) = OF = tan(OXF OX √ \ = arctan( 2) = 54, 73561032o Kéo theo OXF \ = 2OXF \ = 109, 4712206o Góc nhị diện AXF d oa nl w an lu Cuối ta tính khoảng cách từ trọng tâm đến nf va 1) trung điểm cạnh (OH), lm ul 2) trọng tâm mặt (OG), z at nh oi 3) đỉnh (OF ) z 1 Theo ta có OH = s Ta có F G = √ s3 OF = h = √ s3 Tam √ giác F GO vuông nên OG = OF − F G2 = √ s3 Khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh OF = √ s3 co l gm @ m Ghi 2.2.3 (Phân tích yếu tố hình lập phương) Hình lập an Lu phương có 12 mặt, đỉnh, mặt Ta kí hiệu cạnh hình lập phương s2 va Các đỉnh hình lập phương nằm mặt cầu, đường kính n đường chéo hình lập phương Ta dễ thấy thể tích hình lập phương ac th 48 si Hình 2.10: lu s32 , diện tích xung quanh hình lập phương 6s22 Ta thấy mối liên hệ an n va p ie gh tn to bán kính mặt cầu ngoại tiếp cạnh Ta có √ 1 OI = BF = s2 , GE = 2s2 , IE = √ s2 2 √ √ Do r = OE = OI + IR2 = s2 Thể tích hình lập phương \ Gọi J trung r = √ r3 Góc tâm hình lập phương HOE 3 [ = JE = √1 Do JOE [ = arcsin( √1 ) = điểm HE Ta có sin(JOE) OE 3 o o \ = 2JOE [ = 70, 52877936 35, 26438968 Vậy HOE d oa nl w an lu nf va Góc mặt góc nhị diện hình lập phương 90o Khoảng cách từ trọng tâm tới trọng tâm mặt OI = s2 Khoảng cách từ trọng tâm tới trung điểm cạnh OJ = √ s2 √ Khoảng cách từ trọng tâm tới đỉnh OE = s2 z at nh oi lm ul z nhị diện có 12 đỉnh, 20 mặt 30 cạnh l gm @ Ghi 2.2.4 (Phân tích yếu tố thập nhị diện đều) Hình thập co Hình 2.11a) ngũ giác LGF DC , ABKIH hình thập m nhị diện Hình 2.12 hình thập nhị diện hình ngũ giác an Lu cài vào nhau, CDF HL, CEHIK, EF HIL, CDELK n va Hình 2.13 hình chiếu hình thập nhị diện Thập nhị diện 49 ac th chia làm 20 hình chóp tam giác, đáy mặt thập nhị diện si lu an Hình 2.11: n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu Hình 2.12: lm ul z at nh oi đỉnh trọng tâm O thập nhị diện z Xét hình chóp OABD Gọi M trọng tâm tam giác √ ABD Ta có SABD = s4 , OM đường cao; OM = √ s4 Ta tìm mối liên hệ bán kính mặt cầu ngoại tiếp thập nhị diện r với gm @ cạnh thập nhị diện Ta có DI, BG F K đường kính mặt l co cầu, BF GK hình chữ nhật, BG, F K đường chéo m Chú ý F B, GK đường chéo ngũ giác ϕ× an Lu cạnh ngũ giác đều, ϕ tỉ lệ vàng, tức F B = ϕs4 FK = n va Vì F K = F B + BK = ϕ2 s24 + s24 = (ϕ2 + 1)s24 nên r = ac th 50 si Hình 2.13: p ϕ2 + s4 lu ϕ4 ϕ2 Ta có h = OM = r − DM = s Suy h = √ s4 đường 12 cao hình chóp Vậy thể tích thập nhị diện √ 5ϕ2 3 ϕ2 s V = 20( s4 √ s4 ) = √ Diện tích mặt s nên diện tích tồn phần thập nhị diện 4 √ √ 20 s4 = 3s24 Ta biết mối liên hệ bán kính mặt cầu ngoại tiếp thập nhị diện 2 2 an n va p ie gh tn to d oa nl w an lu cạnh nf va p ϕ2 + r= s4 , cạnh lớn bán kính mặt cầu ngoại tiếp Ta xác định góc tâm, \ Gọi X trung điểm BD, ta có chẳng hạn DOB p ϕ2 + \ = XB = p OD = OB = r = s4 , sin XOB OB ϕ2 + z at nh oi lm ul z @ m co l gm \ = arcsin( p Suy XOB ) = 31, 7174744o ϕ2 + \ = 2XOB \ = 63, 4349488o Vậy DOB an Lu \ Ta xác định góc nhị diện Gọi Y là√trung điểm AD, dễ thấy F Y B s4 ; F B = ϕs4 (đường chéo góc nhị diện Ta có F Y = Y B = ϕ ngũ giác ABCEF ) P B = s4 Tam giác Y P B Y P F vuông P , n va ac th 51 si 1\ PB ϕ ϕ \ \ \ P XB = F Y B sin P XB = = √ Kéo theo P Y B = arcsin √ = XB 3 o o 69, 09484258 Vậy góc nhị diện 138, 1896852 Ta xác định khoảng cách từ tâm đến đỉnh, trung tâm mặt, trung điểm p cạnh Ta có hai đại lượng OD = OA = OB = r = ϕ2 + ϕ2 s4 ; OM = r4 = √ s4 2 Cuối ta xác định khoảng cách từ tâm đến trung điểm của cạnh Chẳng hạn ta gọi khoảng cách OX Ta có OXB tam giác vng AB = s4 , lu OB = r nên p ϕ OX = OB − BX = s4 Thập nhị diện có nhiều tính chất thú vị, ta tính DQ = p s4 , ϕ2 + an n va gh tn to Q tâm hình ngũ giác ABCEF p ie FQ QZ = ϕ, = ϕ, DQ DQ nl w Z tâm ngũ giác GHJKL d oa Ghi 2.2.5 (Phân tích yếu tố hình nhị thập diện đều) Hình nf va an lu nhị thập diện (dodecaheron) có 30 cạnh, 20 đỉnh, 12 mặt z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Hình 2.14: n va Hình 2.14 hình lập phương đa diện bên hình thập 52 ac th nhị diện si lu Hình 2.15: an n va Hình bát diện tạo trung điểm hình tứ diện tn to Hình thập nhị diện hình nhị thập diện "đối ngẫu" theo nghĩa ta đặt đỉnh trung tâm mặt nối lại ta hình đối gh p ie ngẫu Bằng cách đặt đỉnh trọng tâm mặt hình nhị thập diện ta hình thập nhị diện ngược lại Tương tự hình lập oa nl w phương đối ngẫu hình bát diện Để tạo hình nhị thập diện ta nối đỉnh hình thập nhị diện với tất đỉnh hình thập d nf va điểm giao an lu nhị diện với tất đỉnh lại Các đỉnh hình nhị thập diện lm ul Ta tính thể tích nhị thập diện Chia nhị thập diện thành 12 z at nh oi hình chóp ngũ giác Gọi cạnh nhị thập diện s5 Ta có diện 5ϕ2 s25 Gọi U trọng tâm ngũ giác HLGBC Ta tích mặt p ϕ2 + có OH bán kính hình cầu ngoại tiếp nhị thập diện HOZ = GON = z gm @ M OF đường kính, M F đường chéo ngũ giác (lớn) M DAKQ, cạnh ϕs5 (cạnh đường chéo ngũ giác cạnh s5 ) nên M K = ϕ2 s5 l m co Ta có M KIF hình chữ nhật, an Lu M K = IF = ϕ2 s5 , M I = KF = s5 , q q √ 2 2 HZ = M F = M K + M F = ϕ s5 + s5 = (ϕ4 + 1).s5 n va ac th 53 si Lại có ϕ4 + = (3ϕ + 2) + = 3ϕ + = 3(ϕ + 1) = 3ϕ2 nên √ HZ 3ϕ = s5 r = OH = 2 ϕ Ta có U H = p s5 , nên ϕ2 + √ h= OU = p OH − ϕ3 = p s5 ϕ2 + U H2 ϕ3 5ϕ2 p Thể tích hình chóp ngũ giác p ϕ ϕ2 + 2 ϕ2 lu 20ϕ2 Vậy thể tích nhị thập diện √ 3(ϕ2 + 2) Diện tích tồn phần hình thập nhị diện dều an n va 5ϕ2 15ϕ2 15ϕ2 20 12s5 p =p s5 = p ( √ r)2 = p r2 ϕ2 + ϕ2 + ϕ2 + 3ϕ ϕ2 + tn to gh \ , ta có Góc tâm nhị thập diện HOC p ie √ HX = HC = s5 , OH = ϕs5 , 2 \ = 2XOH \ = arcsin( √1 ) = 41, 81031488o \ = XH = √1 , HOC sin(XOH) OH 3ϕ 3ϕ d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z l gm @ Hình 2.16: m co Góc mặt nhị thập diện 108o mặt ngũ giác √ ϕ2 2 Khoảng cách từ tâm đến trung điểm cạnh OX = OH − HX = s5 \ p Ta có góc nhị diện AY H AY, HY chiều cao ngũ giác ϕ ϕ2 + ϕ2 IH ϕ [ s5 AH = ϕ s5 nên IH = s5 , sin IY H= =p , 2 XH ϕ2 + an Lu n va ac th 54 si ϕ \ [ AY H = 2IY H = arcsin( p ) = 116, 5650512o ϕ +1 Cuối ta tổng kết khoảng cách từ tâm nhị thập diện đến ϕ3 1) trọng tâm mặt p s5 , ϕ2 + ϕ2 s5 , 2) trung điểm cạnh √ ϕs5 3) đỉnh lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 55 si Kết luận Luận văn Một số toán đa giác đa điện dều đạt kết sau: - Tìm hiểu số tính chất cở đa giác đều, liên hệ với số toán tổ hợp - Tìm hiểu cách dựng đa giác (chia đường tròn thành n phần lu an nhau) thước kẻ compas va - Tìm hiểu ngũ giác đều, số phương pháp dựng ngũ giác n - Tìm hiểu tính chất khối Platon ie gh tn to - Tìm hiểu góc đa diện, đa diện đều, phân loại đa diện p - Tìm hiểu số đa giác đặc biệt, tính chất khác khối Platon, khối tốn phổ thơng nghiên cứu d oa nl w tương lai nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 56 si Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vi Quốc Dũng (1995), Những toán chọn lọc phương pháp chứng minh hình học phẳng, NXB Đại học Sư phạm Việt Bắc lu an [2] Đào Tam (2004), Giáo trình hình học sơ cấp, NXB Đại học sư phạm va n [3] Ngô Việt Trung (2006), Lý thuyết Galois, NXB Đại học Quốc gia Hà gh tn to Nội p ie Tiếng Anh nl w [4] W Bishop (1978), "How to Construct a Regular Polygon." Amer Math d oa Monthly 85, 186-188 an lu [5] R Courant and H Robbins (1996), Regular Polygons, §3.2 in What Is nf va Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, 2nd ed, lm ul Oxford University Press, pp 122-125 z at nh oi [6] P R Cromwell (1999), Polyhedra, Cambridge University Press [7] E T Eekhoff (2002), Constructibility of Regular Polygons, Iowa State z University (Math 599) @ gm [8] W Harris and H Stocker(1998), Regular n-gons (Polygons) §3.7 in Springer-Verlag, pp 86-89 m co l Handbook of Mathematics and Computational Science New York: an Lu [9] K.J.M Maclean (2007), A geometric analysis of the platonic solids and n va other semi-regular polyhedra, Loving Healing Press ac th si [10] , H W Richmond (1893), "A Construction for a Regular Polygon of Seventeen Sides", Quart J Pure Appl Math 26, 206-207 [11] A C Sparavigna and M M Baldi (2016), "Symmetry and golden ratio in the analysis of regular pentagon", [12] A C Sparavigna and M M Baldi (2016), "A study of the regular pentagon with a classic geometric approach", lu an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 58 si