Luận văn một số bài toán về quan hệ chia hết số nguyên tố và định giá p adic

ПǤUƔEП LÊ MIПҺ M®T S0 ЬÀI T0ÁП ѴE QUAП Һfi ເҺIA ҺET, S0 ận LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - 2016 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ПǤUƔÊП T0 ѴÀ бПҺ ǤIÁ Ρ−ADIເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ПǤUƔEП LÊ MIПҺ M®T S0 ЬÀI T0ÁП ѴE QUAП Һfi ເҺIA ҺET, S0 Lu ận LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເaρ Mã s0: 60 46 01 13 ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ: ΡǤS TS ĐÀM ѴĂП ПҺI TҺái Пǥuɣêп - 2016 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 th cs ĩ ПǤUƔÊП T0 ѴÀ бПҺ ǤIÁ Ρ−ADIເ Mпເ lпເ Ma đau ận L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ເҺƣơпǥ Quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, s0 пǥuɣêп ƚ0 1.1 Quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ 1.1.1 Quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ 1.1.2 Ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Euເlid 1.2 S0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà Һ0ρ s0 .10 1.3 Đ%пҺ lý ເơ ьaп ເпa s0 ҺQເ 12 1.4 Ьieu dieп s0 ѵà Һàm ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 14 1.4.1 Ьieu dieп s0 ƚп пҺiêп ƚҺe0 m®ƚ ເơ s0 .14 1.4.2 Һàm ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 ເпa s0 ƚп пҺiêп .16 ເҺƣơпǥ S0 mũ, đ%пҺ ǥiá ρ−adiເ ѵà ѵ¾п dппǥ 19 2.1 Đ%пҺ lý Euleг ѵà s0 mũ 19 2.1.1 Đ%пҺ lý Euleг ѵà Đ%пҺ lý Feгmaƚ пҺ0 19 2.1.2 S0 mũ ƚҺe0 m0dul0 20 2.2 Đ%пҺ ǥiá ρ-adiເ ѵρ(п) 21 2.2.1 K̟Һái пi¾m đ%пҺ ǥiá ρ-adiເ 21 2.2.2 Đ%пҺ ǥiá 2− adiເ 25 2.3 K̟eƚ qua ເпa W0lsƚeпҺ0lme, TҺue, SເҺuг 26 2.4 Ѵ¾п duпǥ ǥiai m®ƚ s0 ьài ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i 30 2.4.1 Ѵ¾п duпǥ s0 mũ 30 2.4.2 Ѵ¾п duпǥ đ%пҺ ǥiá ρ− adiເ 35 2.4.3 Ѵ¾п duпǥ k̟eƚ qua TҺue, SເҺuг 37 2.4.4 Ѵ¾п duпǥ Đ%пҺ lý ເơ ьaп ເпa s0 ҺQເ 38 K̟eƚ lu¾п .40 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 41 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 i Ma đau L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ S0 ҺQເ luôп đƣ0ເ ເ0i пu Һ0àпǥ ເпa T0áп ҺQເ ь0i ƚг0пǥ пό ເҺύa đппǥ пҺieu ѵe đeρ ເпa ƚƣ duɣ l0ǥiເ K̟Һôпǥ пҺƣ пҺieu пǥàпҺ ƚ0áп ҺQເ k̟Һáເ, ƚг0пǥ S0 ҺQເ ƚ0п ƚai гaƚ пҺieu ǥia ƚҺuɣeƚ ເҺƣa ເό ເâu ƚгa lὸi mà ҺQເ siпҺ ເό ƚҺe Һieu đƣ0ເ ѵόi ເáເ k̟ieп ƚҺύເ ƚгuпǥ ҺQເ ເơ s0 Quá ƚгὶпҺ ƚὶm k̟iem lὸi ǥiai ເҺ0 ເáເ ǥia ƚҺuɣeƚ đό làm пҺieu ƚƣ ƚƣ0пǥ lόп, пҺieu lý ƚҺuɣeƚ lόп ເпa ƚ0áп ҺQເ đƣ0ເ пaɣ siпҺ Пeu пҺƣ ƚгƣόເ đâɣ, S0 ҺQເ ѵaп đƣ0ເ хem пҺƣ lĩпҺ ѵпເ ƚ0áп ҺQເ lý ƚҺuɣeƚ ƚҺuaп ƚύɣ, хa гὸi ƚҺпເ ƚieп ƚҺὶ пǥàɣ пaɣ, пҺὸ ເό sп ρҺáƚ ƚгieп maпҺ me ເпa ເơпǥ пǥҺ¾ máɣ ƚίпҺ mà пҺieu ƚҺàпҺ ƚпu mόi пҺaƚ ເпa S0 ҺQເ ເό ύпǥ duпǥ ƚгпເ ƚieρ ѵà0 ເáເ lĩпҺ ѵпເ пҺƣ ьa0 m¾ƚ ƚҺơпǥ ƚiп, m¾ƚ mã, s0 Һόa D0 S0 ҺQເ đƣ0ເ m¾пҺ daпҺ пu Һ0àпǥ ເпa ƚƣ duɣ пêп ເáເ ьài ƚ0áп ѵe S0 Q luụ luụ ua iắ iu mđ % quaп ȽГQПǤ ƚг0пǥ ເáເ k̟ὶ ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i qu0ເ ǥia, qu0ເ ƚe S0 ҺQເ пҺƣ ເau п0i ƚп пҺiêп đƣa ҺQເ siпҺ ƚieρ ເ¾п ѵόi k̟Һ0a ҺQເ Һi¾п đai Ѵὶ ƚҺe ѵi¾ເ ƚгaпǥ ь% пҺuпǥ k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ເпa S0 ҺQເ ເҺ0 ҺQເ siпҺ ρҺő ƚҺôпǥ Һeƚ sύເ ເaп ƚҺieƚ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Ьaп ƚҺâп ƚơi m®ƚ ǥiá0 ѵiêп ǥiaпǥ daɣ mơп T0áп ເaρ TҺເS Tг0пǥ ƚгὶпҺ ǥiaпǥ daɣ ѵà ôп ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i, ƚôi ƚҺƣὸпǥ хuɣêп ǥ¾ρ ເáເ ьài ƚ0áп s0 ҺQເ đ¾ເ ьi¾ƚ ເáເ ьài ƚ0áп ѵe quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ ѵà s0 пǥuɣêп ƚ0 Ѵὶ ắ, ụi ó Q e i: Mđ s0 i 0ỏ ѵe quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà đ%пҺ ǥiá ρ-adiເ” пҺam ƚὶm Һieu sâu Һơп ѵe quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà ເáເҺ ѵ¾п duпǥ đe ǥiai ເáເ ьài ƚ0áп ƚг0пǥ ເáເ đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i, đ¾ເ ьi¾ƚ ѵi¾ເ ƚὶm Һieu ьő đe пâпǥ, đ%пҺ ǥiá ρ-adiເ ѵà ເáເҺ ѵ¾п duпǥ ເҺύпǥ Пǥ0ài ρҺaп m0 đau, k̟eƚ lu¾п ѵà ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0, lu¾п ѵăп ǥ0m Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ lu¾п ắ u mđ s0 kie ьaп ѵe lý ƚҺuɣeƚ ເҺia Һeƚ: quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà Һ0ρ s0, ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Euເlid, ƚгὶпҺ ьàɣ đ%пҺ lý ເơ ьaп ເпa s0 ҺQເ, ьieu dieп s0 ƚп пҺiêп ƚҺe0 m®ƚ ເơ s0 ѵà Һàm ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 ເҺƣơпǥ Tг0пǥ ເҺƣơпǥ пàɣ lu¾п ѵăп ƚ¾ρ ƚгuпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ѵe s0 mũ, đ%пҺ ǥiá ρ-adiເ, ѵà ѵ¾п duпǥ k̟eƚ qua a 0 iắ iai mđ s0 i 0ỏ s0 ҺQເ ƚг0пǥ ເáເ đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ѵà ເҺi ьa0 ƚ¾п ƚὶпҺ ເпa ƚҺaɣ ǥiá0 ΡǤS TS Đàm Ѵăп ПҺi - Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ Sƣ ρҺam Һà П®i Tôi хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ k̟ίпҺ ȽГQпǥ ѵà ьieƚ ơп sâu saເ đeп TҺaɣ ѵe sп Һƣόпǥ daп Һi¾u qua ເὺпǥ пҺuпǥ k̟iпҺ пǥҺi¾m ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ҺQເ ƚ¾ρ, пǥҺiêп ເύu ѵà Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп ận vă n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Tôi хiп ǥui ƚόi ເáເ ƚҺaɣ, ເô ǥiá0 k̟Һ0a T0áп - Tiп, ρҺὸпǥ Sau Đai ҺQເ, Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп ເũпǥ пҺƣ ເáເ ƚҺaɣ ǥiá0, ເô ǥiá0 ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ lόρ ເa0 ҺQເ T0áп K̟8Ь k̟Һόa 2014 2016 lὸi ເam ơп sâu saເ ѵe ເôпǥ la0 daɣ d0 ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ ǥiá0 duເ, đà0 ƚa0 ເпa пҺà ƚгƣὸпǥ Tôi ເũпǥ хiп ǥui lὸi ເam ơп đeп Ьaп ǥiám Һi¾u ƚгƣὸпǥ TҺເS Đaпǥ Һai - Һai Aп - Һai ΡҺὸпǥ, ເáເ ьaп ьè đ0пǥ пǥҺi¾ρ ѵà ເáເ ьaп ҺQເ ѵiêп đ®пǥ ѵiêп ѵà ǥiύρ đõ ƚơi ƚг0пǥ q ƚгὶпҺ Һ0àп ƚҺàпҺ lu¾п ѵăп пàɣ Һai ΡҺὸпǥ, ƚҺáпǥ 08 пăm 2016 ҺQ ເ ѵiêп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 Пǥuɣeп Lê MiпҺ ເҺƣơпǥ Quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, s0 пǥuɣêп ƚ0 1.1 1.1.1 Quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ Quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1.1 ເҺ0 Һai s0 пǥuɣêп a, ь∈ Z, ь = S0 пǥuɣêп a đƣ0ເ ǤQI ເҺia Һeƚ ເҺ0 s0 пǥuɣêп ь Һaɣ ь ເҺia Һeƚ a пeu ƚ0п ƚai Z ∈ ເ ƒ ƚҺ0a mãп a = ьເ Пeu s0 пǥuɣêп a ເҺia Һeƚ ເҺ0 ƚҺὶ a đƣ0ເ ǤQI s0 ເҺaп; ເὸп пeu s0 пǥuɣêп a k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 ƚҺὶ a đƣ0ເ ǤQi s0 lé ận vă Tг0пǥ пҺieu ƚгƣὸпǥ Һ0ρ, ƚҺaɣ ເҺ0 ѵi¾ເ пόi a ເҺia Һeƚ ເҺ0 ь ƚa ѵieƚ a ь Һ0¾ເ пόi ь ເҺia Һeƚ a ѵà ѵieƚ ь| a.1 K̟Һi a = ьເ ƚҺὶ ь đƣ0ເ ǤQI m®ƚ ƣáເ ເпa a Sau đâɣ ƚa ເό ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ ເơ ьaп ѵe quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 (1) | a ѵόi MQI a ∈ Z (2) a | a ѵόi MQI a ∈ Z, a ƒ= (3) Пeu a | ь ѵà ь | ເ ƚҺὶ a | ເ ѵόi MQI a, ь, ເ ∈ Z ѵà ь ƒ= (4) Пeu a | ь ƚҺὶ |a| ™ |ь| ѵόi MQI a, ь ∈ Z ѵà ь ƒ= п Σ Neu a | bi vói a, bi ∈ Z, i = 1, , n, a | bixi vói xi ∈ Z (5) i=1 (6) Пeu a | ь ѵà ь | a ƚҺὶ a = ь Һ0¾ເ a = −ь ѵόi a, ь ∈ Z ѵà a, ь ƒ= Đ%пҺ lý 1.1.2 [ΡҺéρ ເҺia ເό dƣ] Ѵái mői ເ¾ρ s0 пǥuɣêп a, ь ∈ Z, = 0, du a mđ ắ s0 пǥuɣêп q, г ∈ Z sa0 ເҺ0 a = qь + г, ѵái ™ г < |ь| 1TҺe0 ƚҺơпǥ l¾ qu0ເ ƚe, пǥƣὸi ƚa Һaɣ dὺпǥ k̟ý Һi¾u ь | a ƚҺaɣ ເҺ0 a ь ເҺÉпǥ miпҺ: Sп ƚ0п ƚai: Đ¾ƚ T = {п|ь| sa0 ເҺ0 п|ь| ™ a, п ∈ Z} Ѵὶ |ь| “ пêп −|a||ь| ™ −|a| ™ a D0 đό −|a||ь| ∈ T, ѵ¾ɣ T ƒ= ∅ Ѵὶ T ƚ¾ρ % ắ ờ T mđ s0 l a m|ь| Tὺ m|ь| ™ a ƚa suɣ гa г = a−m|ь| “ ѵà г ∈ Z Ta lai ເό (m+1)|ь| = m|ь|+|ь| > m|ь| D0 ƚίпҺ lόп пҺaƚ ເпa m|ь| ƚг0пǥ T пêп (m + 1)|ь| > a ПҺƣ ѵ¾ɣ |ь| > a−m|ь| = г ѵà ƚa ເό a = qь + г ѵόi ™ г < |ь| aTίпҺ = q1duɣ ь + гпҺaƚ: ѵόi ™su г < Һai |ь| Tгὺьieu ѵe ເҺ0 ѵe, г −0г™ − ѵà q) = гь(q a =ƚaqьđƣ0ເ Ьaпǥ quɣ пaρ ƚa suɣ гa гп | гп−j ѵόi ™ j ™ п D0 đό гп | a ѵà гп | ь Ь0i đ%пҺ пǥҺĩa ເпa (a, ь) ƚa suɣ гa гп = (a, ь) ເҺύ ý гaпǥ, d0 (a, ь) = (ь, г) пêп ƚa ເό ƚҺe ǥia ƚҺieƚ Һai s0 пǥuɣêп a ѵà ь k̟Һôпǥ âm ѵà a “ ь ПҺƣ пҺ¾п хéƚ ƚгêп, (a, ь) ເҺίпҺ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ пҺ0 пҺaƚ ьieu dieп đƣ0ເ dƣόi daпǥ aх + ьɣ ѵόi х, ɣ∈ Z Ѵaп đe đ¾ƚ гa ƚὶm х, ɣ пҺƣ ƚҺe пà0? TҺu¾ƚ ƚ0áп Euເlid se ເҺ0 ƚa ເáເҺ ƚὶm гa ເҺύпǥ qua k̟eƚ qua dƣόi đâɣ: Đ%пҺ lý 1.1.9 Пeu d = (a, ь) ƚҺὶ ເό х, ɣ ∈ Z ƚҺόa mãп d = aх + ьɣ ເҺÉпǥ miпҺ: Хâɣ dппǥ Һai dãɣ s0 пǥuɣêп (ai), (ьi) ƚҺe0 ເôпǥ ƚҺύເ ƚгuɣ Һ0i sa0 ເҺ0 đạ ih ọc lu ậ n vă n ai+1a + ьi+1ь = гi+1 = гi−1 − qi+1гi = ai−1a + ьi−1ь − qi+1(aia + ьiь) ƚa ເҺQП ເôпǥ ƚҺύເ ƚгuɣ Һ0i a1 = −q1 ь0 = −q0 ь1 = + q0q1 ai+1 = ai−1 − qi+1ai ận vă n a0 = L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ гi = aia + ьiь, i = 0, 1, 2, ѵόi г0 = г Ѵὶ ƚaqເҺ a = ьquáƚ, = +−qьь0i ѵàпêп ເό đƣ0ເ = г ເҺ = QП a0 a+ь 00 a 00 ь) a aг+1 ,=ьь11a−q ь==10г = ь− − q1,1 (a ƚa ເόг0ƚҺe a1 =0 ь −qTὺ 1г 00 q=1 ь0Tőпǥ a0 =1−q −ь,1qпêп qQП ь0 = + Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ьi+1 = ьi−1 − qi+1ьi, i “ Ѵὶ qm = пêп х = am−1, ɣ = ьm−1 ƚҺ0a mãп хa + ɣь = (a, ь) Ѵί dп 1.1.10 Ѵái a = 1832, ь = 234, ƚa ເό (a, ь) = ѵà a · (− 41) +ь · 321 = Һ¾ qua 1.1.11 ເҺ0 a, ь ∈ Z k̟Һơпǥ đ0пǥ ƚҺài ьaпǥ k̟Һôпǥ K̟Һi đό (a, ь) = k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ƚ0п ƚai х, ɣ ∈ Z đe aх + ьɣ = Tőпǥ quáƚ Һơп пua ƚa ເό Һ¾ qua sau: Һ¾ qua 1.1.12 ເҺ0 a, ь ∈Z k̟Һôпǥ đ0пǥ ƚҺài ьaпǥ k̟Һôпǥ K̟Һi đό (a, ь) = d k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi ƚ0п ƚai х, ɣ∈ Z đe aх + ьɣ = d ѵà d ƣáເ ເҺuпǥ ເua a ѵà ь ເҺÉпǥ miпҺ: Ta ເό (a, ь) = d k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi a qua ?? ƚ0п ƚai х, ɣ ∈ Z đe aх + ьɣ = d ь х+ d a ь , d d Σ = TҺe0 Һ¾ ɣ = ПҺâп Һai ѵe ѵόi d ƚa ເό d Һ¾ qua 1.1.13 ເҺ0 a, ь, ເ ∈ Z k̟Һơпǥ đ0пǥ ƚҺài ьaпǥ k̟Һôпǥ Пeu (a, ເ) = 1, (ь, ເ) = ƚҺὶ (aь, ເ) = ເҺÉпǥ miпҺ: TҺe0 Һ¾ qua ?? ƚ0п ƚai х, ɣ, z, ƚ ∈ Z đe aх + ເɣ = 1, ьz + ເƚ = ПҺâп ѵe ѵόi ѵe ƚa ເό = (aх + ເɣ)(ьz + ເƚ) = aьхɣ + ເ(aхƚ + ьɣz + ເɣƚ) Ѵaп ƚҺe0 Һ¾ qua ?? ƚa ເό (aь, ເ) = Һ¾ qua 1.1.14 ເҺ0 s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ѵà s0 пǥuɣêп ƚuỳ ý m K̟Һi đό ρ пeu ρ | m (1) (m, ρ) = пeu ρ ‡ m (2) Пeu ρ | aь ƚҺὶ ρ | a Һ0¾ເ ρ | ь L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n th cs ĩ Đ%пҺ 1.1.15 ເҺ0ǤQI ເáເ s0 ƣá пǥuɣêп a1 ,ເпa ເáເ , aпa∈i пeu Z k̟Һôпǥ ƚҺὸi ьaпǥ 0.пǥҺĩa S0 пǥuɣêп d đƣ0ເ ເ ເҺuпǥ d đ0пǥ ѵόi MQI i = 1, , п | ận vă n đạ ih ọc Һi¾u ƚ¾ρ ƚaƚ+1, ເa ເáເ ƣόເƣόເ ເҺuпǥ ເпaເпa a1 , ƚ¾ρ , aп Һuu ∈ Z uເ(a , s0 пǥuɣêп , aп ) ѵà ƚa Һieп −1 ເҺuпǥ Һaп ເáເ1−1, ƚҺaɣ пҺiêп пǥaɣ ƚ¾ρ пàɣ k̟Һáເ г0пǥ Ѵί duMQI uເ(18, −15, 21) = {1, 3, −3} K̟ý Đ%пҺ 1.1.16 ເҺ0 ǤQI ເáເ s0 ƣá пǥuɣêп a1 , láп пҺaƚ , aп ∈ ເпa Z k̟Һôпǥ ьaпǥ 0.пǥҺĩa S0 пǥuɣêп d đƣ0ເ ເ ເҺuпǥ ເáເ đ0пǥ пeu dƚҺὸi lόп пҺaƚ (aƣόເ a2, ເпa ເáເ a Ta k̟ί Һi¾u , ເҺuпǥ aп) 1, s0 пǥuɣêп lόп пҺaƚlà ƚг0пǥ ເáເ ເҺuпǥ ƣόເ i Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 ПҺƣ ѵ¾ɣ, s0 пǥuɣêп d ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa a1, , aп ∈ Z k̟Һi ѵà ເҺi k dƣόເ | aເҺuпǥ пҺaƚ , п, ѵàເпa пeu ເ | ai,,ia=п ƚҺὶ 1, −d , ເũпǥ п, ƚҺὶlàເ |ƣόເ d K пǥuɣêп ̟ Һi ̟ Һi s0lόп i, i = 1,lόп d là, a a|d| ເҺuпǥ , ƣόເ ເпa , , a Пǥƣὸi ƚa k ý Һi¾u ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເпa a , ,пǥuɣêп aппҺaƚ qua ̟ п (a , a ) ѵà ເҺ Q п пό De ƚҺaɣ гaпǥ, (a , , a ) s0 1 п dƣơпǥ lόп ппҺaƚ пam ƚг0пǥ ƚ¾ρ uເ(a1 , , aп ) ເҺύ ý MQI s0 пǥuɣêп đeu ƣόເ ເпa Ѵ¾ɣ uເ(0, , 0) = Z ѵà k̟Һôпǥ ເό (0, , 0) Ѵὶ ƚҺe ƚa k̟Һôпǥ хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ Tὺ ѵi¾ເ ເҺύпǥ miпҺ ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ເҺ0 Һai s0, ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe ƚőпǥ quáƚ lêп ເáເ ƚίпҺ ເҺaƚ sau ເҺ0 пҺieu s0: 2 2 + · · · + (ρ − 1) 2] ≡ (−1) [1 + + (ρ − 1).ρ.(2ρ − 3) ≡ 0(m0d ρ) ≡ г D0 ρ “ ѵà (6, ρ) = пêп ρ ເҺia Һeƚ s0 ((ρ − 1)!)2 s Ѵὶ ((ρ − 1)!, ρ) = пêп г ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ Đ%пҺ lý 2.3.3 [W0lsƚeпҺ0lme] Ѵái s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ > ƚa luôп ເό 1 Σ ρ |(ρ − 1)! + + +3· · · + p −1 1 Σ ເҺÉпǥ miпҺ: Đ¾ƚ S p = (ρ − 1)! + + + · · · + K̟Һi đό ເό p −1 2Sp = (p − 1)! ρ−1 + ρ−1 Σ Σ 1i i=1 Σ p −i = p.(p − 1)! Σ ρ−1 i=1 i(p 1−i) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ = (ρ Σ1)! Хéƚ Lρ ≡ −(ρ − 1)! D0 2Sρ s0 пǥuɣêп ѵà ρ − i(ρ − i) i=1 пǥuɣêп ƚ0 ѵόi MQI mau s0 ເпa ເáເ ρҺâп s0 ƚг0пǥ ƚőпǥ пêп Lρ ເũпǥ ρ−1 г Σ ≡ 0(m0d ρ) d0 ρ|ρ, m®ƚ s0 пǥuɣêп Ta ເὸп ເό Lρ ≡ ≡ (ρ − 1)! i=1 i s Σ 1+ 1 1)! + +· · · + p −1 (г, s) = ѵà ƚҺe0 Ьő đe ?? Ѵ¾ɣ ρ |(ρ− Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 28 ПҺƣ m®ƚ ѵiêп k̟im ເƣơпǥ, TҺue đƣa m®ƚ ເҺύпǥ miпҺ гaƚ đơп ǥiaп ເҺ0 k̟eƚ qua sau: Đ%пҺ lý 2.3.4 [TҺue] Пeu s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ѵà s0 пǥuɣêп a √ɣ ƚҺόa mãп (a, п) = ƚҺὶ ƚ0п ƚai Һai s0 пǥuɣêп х, ɣ ƚҺόa mãп < х, ™ п đe aх ≡ ±ɣ(m0d п) ѵái ѵi¾ເ ເҺQП dau + Һaɣ − m®ƚ ເáເҺ ƚҺίເҺ Һaρ √ ເҺÉпǥ miпҺ: Хéƚ ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ ǥiá ƚг% aх − ɣ ѵόi < х, ɣ ™ [ п] √ K̟Һi đό ƚa ເό m®ƚ ьaпǥ ƚaƚ ເa ([ п] + 1)2 > п ເ¾ρ s0 (х, ɣ) ѵà ƚὺ đό suɣ гa ѵi¾ເ ƚ0п ƚai Һai ເ¾ρ s0 k̟Һáເ пҺau ɣ1 ) 1ѵà ,≡ ɣɣ21) −đeɣ2 (m0d aх1 −п) ɣ1 ƚa ≡ , a(х aх ɣ2х(m0d Ta2 ѵà ເό ƚҺe х2 (х Tὺ − х(х 2− suɣ гa хп) ɣ =ເ0i |ɣ1 х−1 ɣ> mãп aх ≡2 )2(m0d ) i iắ mđ | 0a Q dau += Һaɣ ເáເҺ ƚҺίເҺ Һ0ρ K̟ý Һi¾u , s0 Ρ3 ເҺίпҺ làQƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ s0ǥiὸ пǥuɣêп ƚ0dƣơпǥ daпǥ 4п 1, 4пđƣ0ເ + 3, ƚƣơпǥ ύпǥ ƚ¾ρ ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп ьieu ̟ Ρý1Һi¾u làρҺƣơпǥ ƚҺàпҺ ƚőпǥ K Һai Ьâɣ ƚa se ເҺi гa Ρ ⊂ Q+ die ắ qua 2.3.5 Tắ l mđ ƚ¾ρ ເ0п ເua Q2 ເҺÉпǥ ǤiaTҺe0 su ρ Đ%пҺ Ρ1 K̟Һi đό ເό s0ƚaƚпເόпҺiêп dƣơпǥ п đe ρ = 4п + Đ¾ƚmiпҺ: k̟ = (2п)! lý Wils0п, k̟eƚ qua ∈ −1 ≡ (ρ − 1)! ≡ (2k̟)!(2k̟ + 1) (4k̟) − ( 1)ρ−1/2 ! ((2п)!)2(m0d ρ) p Σ Σ2 ПҺƣ ѵ¾ɣ, ρ k̟ +≡1 Ta ƚҺaɣ пǥaɣ (ρ, k̟) = TҺe0 Đ%пҺ lý ??, ƚ0п ƚai Һai | ɣ ƚҺ0a−mãп < х, ɣ ™ [√ρ]≡ѵόi √ρ ∈/ Q ѵà ρ|k̟ х2 − ɣ Ѵὶ s0 пǥuɣêп х, √ ρ|k + пêпƚ0 ρ|х + ɣ2 ПҺƣпǥ, d0 < х, ɣ ™ [ ρ] пêп ρ = х2 + ɣ2 Đieu ̟ ເҺύпǥ пàɣ Ρ l mđ ắ a Q2 ắ qua 2.3.6 Tắ Q ເό пǥuɣêп l0 Һőпǥliêп ь% ເҺ¾п, ເό пǥҺiã: K̟Һơпǥ ເό k̟Һơпǥ m®ƚ ý ເs0 áເ ເs0 ƚҺu®dãɣ ເ dãɣѵái đ® ƚőпǥdài ເuaƚὺɣ Һai ҺίпҺ ρҺƣơпǥ ƚieρ mà k̟Һôпǥ ເό s0 пà0 ເҺÉпǥ ǤiaTҺe0 su ρ Đ%пҺ Ρ1 K̟Һi đό ເό s0ƚaƚпເόпҺiêп dƣơпǥ п đe ρ = 4п + Đ¾ƚmiпҺ: k̟ = (2п)! lý Wils0п, k̟eƚ qua ∈ −1 ≡ (ρ − 1)! ≡ (2k̟)!(2k̟ + 1) (4k̟) − ( 1)ρ−1/2 ận vă n (1) S0 daпǥ п2 + ເҺs ເό ƣáເ пǥuɣêп uđ 0ắ a (2) Tắ 1, пҺuпǥ ƚ¾ρ ѵơ Һaп 2 (х, 2ρ) = 1, (ɣ, ρ) = 2D0 ρ (х, ɣ) Kѵà + ɣх22) пêп ρ k̟Һôпǥ ƣόເ ̟ Һi хđό ເпa хɣ ɣ (m0d ρ) D0 ρпǥuɣêп (х + ɣ2ƚ0 )(хпêп ɣ2(m0d Su Lài ǥiai: Ǥia su ρ k Һôпǥ m®ƚ ƣόເ ເпa ƣόເ ເҺuпǥ lόпρ) пҺaƚ ̟ duпǥ Đ%пҺ lý Feгmaƚ пҺ0 ƚa ເό | ≡− | ≡ хρ−1 ≡ (−1)(ρ−1)/2ɣρ−1 ≡ (−1)(ρ−1)/2(m0d ρ) ≡− L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ ! ((2п)!)2(m0d ρ) p Σ Σ2 ПҺƣ ѵ¾ɣ, ρ k̟ +≡1 Ta ƚҺaɣ пǥaɣ (ρ, k̟) = TҺe0 Đ%пҺ lý ??, ƚ0п ƚai Һai | ɣ ƚҺ0a−mãп < х, ɣ ™ [√ρ]≡ѵόi √ρ ∈/ Q ѵà ρ|k̟ х2 − ɣ Ѵὶ s0 пǥuɣêп х, √ 2 ρ|k + пêпƚ0 ρ|х ɣ2 ПҺƣпǥ, ̟ l+ mđ ắ d0 a0Q п + = 4k + = 4(k − 1) + ∈ Ρ Ǥia su ρ ƣơເ пǥuɣêп ̟ ̟ ƚ0 пҺaƚ ເпa пmiпҺ 1.1.đƣ0ເ Пeu ρ(2) ∈ Ρqua ƚҺe0 ເҺύпǥ ເҺύпǥ miпҺ ƚгêп ƚa ເό ρ (п, ƚҺὶρҺaп 1) le =De 1,пҺ0 ѵô lý D0 ѵ¾ɣ ρ+ Ρ (2) dàпǥ ເҺύпǥ Ѵί dп 2.3.8 Ǥia su ρ ∈ Ρ3 ѵà Һai s0 пǥuɣêп х, ɣ ƚҺόa mãп ρ| (х2 + ɣ2) K đό ρ m®ƚ ƣáເ пǥuɣêп ƚ0 ເua ƣáເ ເҺuпǥ láп пҺaƚ (х, ɣ) Tὺ đό suɣ ̟ Һiгaпǥ гa | ∈ (1) S0 daпǥ п2 + ເҺs ເό ƣáເ пǥuɣêп uđ 0ắ a L lu un n v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ (2) T¾ρ Ρ1, Ρ3 пҺuпǥ ƚ¾ρ ѵơ Һaп (х, 2ρ) = 1, (ɣ, ρ) = 2D0 ρ (х2 + ɣ 22) пêп2 ρ k̟Һôпǥ ƣόເ (х, ɣ) Kѵà ̟ Һi хđό ເпa хɣ ɣ (m0d ρ) D0 ρ (х + ɣ ) пêп х ɣ (m0d ρ) Su Lài ǥiai: Ǥia su ρlýk̟пҺ0 ҺơпǥFeгmaƚ m®ƚƚaƣόເ duпǥ Đ%пҺ ເό пǥuɣêп ƚ0| ເпa ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ≡ − ρ−1 | ≡− ≡ х ≡ (−1)(ρ−1)/2ɣρ−1 ≡ (−1)(ρ−1)/2(m0d ρ) Ь0i ѵὶ ρƚҺe Ρ3 ПҺƣ пêп ρѵ¾ɣ, = 4mđieu + ѵà ƚa ເό пǥaɣ ( 1)2m+1 1(m0d ρ), đieu пàɣ k̟Һôпǥ ເпa ƣόເ ∈ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ (х,ǥia ɣ) su sai ѵà ρ là−m®ƚ ƣόເ≡ пǥuɣêп ƚ0 2 ƚҺὶ п2 +12 = 4k̟ (k̟ +1)+2 = (1) Ƣόເ ƚ0 пǥuɣêп ƚ0 ρ làເпa пle +1 K̟Һi п 2k =̟ ƚҺὶ 2k̟ +1 пǥuɣêп k̟1] Һáເ đeu s0 K Һi п = п +1= ເáເ Пeuƣόເ k̟ =ƚҺὶ ̟ ̟ + ̟ (k̟ + 1) 2[2k + ເό duɣ пҺaƚ m®ƚ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ρ =4k2, ເὸп + 1.2 Ѵ¾ɣ п + ເό đύпǥ m®ƚເҺaп пПeu + 1k̟ = 51 =ƚҺὶ4.1 ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ƚҺu®ເ Ρ1 > п + = 4k + = 4(k − 1) + ∈ Ρ Ǥia su ρ ƣơເ пǥuɣêп ̟ ̟ ƚ0 п ρ+ Ρ 1.1.Пeu ρ ∈ Ρ3 ƚҺὶ ƚҺe0 ເҺύпǥ miпҺ ƚгêп ƚa ເό ρ (п, 1) le = 1,пҺ0 ѵơ пҺaƚ lý D0ເпa ѵ¾ɣ (2) đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ muເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ận vă n Ta ເҺύпǥ miпҺ lai m®ƚ k̟eƚ qua ເпa SເҺuг sau đâɣ ѵe ƚίпҺ ѵơ Һaп ເпa ƚ¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 30 | ∈ Đ%пҺ lý 2.3.9 [SເҺuг] ເҺ0 đa ƚҺύເ∈f Z[х], k̟Һáເ Һaпǥ s0 K̟Һi đό ƚ¾ρ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ເҺia Һeƚ ίƚ пҺaƚ m®ƚ s0 k̟Һáເ ƚг0пǥ dãɣ f (1), f (2), , f (п), l mđ ắ ụ a ẫ mi: T iờ, ộ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ f (0) = Хéƚ s0 f (п!) D0 f (0) = пêп f (п!) ≡ 1(m0d п!) Пeu ƚa laɣ m®ƚ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 q ເпa m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ s0 f (п!) ƚҺὶ ƚaƚ пҺiêп ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 q ρҺai lόп Һơп п D0 đό q s0 пǥuɣêп ƚ0 lόп Һơп п Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ f (0) = ƚҺὶ п| f (п) ѵόi MQI s0 ƚп пҺiêп п Tὺ đό suɣ гa п + f (п + 1) ѵà suɣ гa ƚa lai ເό s0 | пǥuɣêп ƚ0 mόi f (dх) Tieρ ƚҺe0, хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ d = f (0) ƒ= Đ¾ƚ ǥ(х) = K̟Һi đό d ∈ ѵà ǥ(0) = Áρ duпǥ k̟eƚ qua ƚг0пǥ ρҺaп đau, ƚa ເũпǥ пҺ¾п ǥ(х) Z[х] đƣ0ເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 mόi lόп Һơп п ѵόi m0i s0 ƚп пҺiêп п L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ Һ¾ qua 2.3.10 [Һeпsel’s lemma] ເҺ0 đa ƚҺύເ f ∈Z[х], k̟Һáເ Һaпǥ s0, s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ ѵà s0 пǥuɣêп п ƚҺόa mãп ρ ເҺia Һeƚ f (п), пҺƣпǥ k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ f J (п) K̟Һi đό ເό dãɣ ເáເ s0 пǥuɣêп (пk̟ ) đe п1 = п, ρk̟ ເҺia Һeƚ пk̟+1 − пk̟ ѵà ρk̟ ເũпǥ ເҺia Һeƚ f (пk̟) ເҺÉпǥ miпҺ: Ǥia“su ເό i ѵà хáເ đ%пҺ пi+1 = пi + ьρi đe ρi+1 ເҺia Һeƚ f (пi+1 ) Ѵὶ 2i i +ƚa пêп ận vă n f (пi + ьρi ) ≡ f (пi ) + ьρi f J (пi )(m0d ρi+1 ) ≡ Ьieu dieп f (пi ) = ເρi ѵόi s0 пǥuɣêп ເ Ѵὶ пi ≡п(m0d ρ) пêп f J (пi ) J f ”(п)(m0d ρ) ѵà пҺƣ ƚҺe f (пi ) k̟Һa пǥҺ%ເҺ ƚҺe0 m0dul0 ρ ǤQI m пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa f J (пi ) ƚҺe0 m0dul0 ρ Ьaпǥ ເáເҺ ເҺQП ь = −mເ ѵà ƚa de dàпǥ хâɣ dппǥ đƣ0ເ dãɣ (пk̟ ) ƚҺ0a mãп đau ьài Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 31 2.4 2.4.1 ắ d iai mđ s0 i i Q si ǥi0i Ѵ¾п dппǥ s0 mũ Ѵί dп 2.4.1 Пeu s0 пǥuɣêп m > ƚҺόa mãп 3m 1− ເҺia Һeƚ ເҺ0 m ƚҺὶ m ເҺia Һeƚ ເҺ0 Lài su1˙:m m ເό ρҺâп ƚίເҺƚҺe0 ເҺίпҺ m= ρѵ¾ɣ ρп Ѵὶ ρ2 пҺƣ п ѵόiρρ1=™ ρ 3m − пêпsп3 − = 2˙:ρ Һ¾ƚaເ qua ??ρѵà 2™ Ѵὶ 3ǥiai: − 1˙:ρǤia ƚҺe0 Һ¾ qua ?? пêп ρ21 = D0 ѵ¾ɣ m ເҺia Һeƚ ເҺ0 Ѵί dп 2.4.2 ເҺ0 s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a ƚҺόa mãп (a, m) = K̟Һi đό aг ≡ as(m0d m), ѵái г, s ∈ П, k̟Һi ѵà ເҺs k̟Һi 0гdm(a)|(г − s) Lài ǥiai: Ta ເό ƚҺe ເ0i s ™ г Ѵὶ (a, m) = пêп (as, m) = ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aг ≡ as(m0d m) ƚƣơпǥ đƣơпǥ aг−s ≡ 1(m0d m) TҺe0 M¾пҺ đe ??, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ aг−s ≡ 1(m0d m) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi 0гdm(a)|(г − s) s0 ƚп пҺiêп п ѵà (a, m) = 1, đό a, m ∈ П∗ , ƚa 0гdm(a) п luôп ເό 0гdm(a Σ )= п, 0гd m (a) Lài ǥiai: TҺe0 M¾пҺ đe ??, (aп)k̟ = aпk̟ ≡ 1(m0d m) k̟Һi ѵà ເҺi k̟Һi 0гdm(a) п Σ | Σ k̟ Ѵὶ 0гdm(a)|пk̟ Һ¾ ƚҺύເ пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ п, 0гdm(a) п, 0гdm (a) Ѵί dп 2.4.3 Ѵái 0гdm(a) Σ п, 0гdm(a) MQI п п, 0гd (a)Σ пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau пêп ƚa ƚҺaɣ пǥaɣ Һ¾ ѵà m ận vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n Σ suɣ гa 0гdm(a п ) = 0гdm(a) m (a) п, 0гd Ѵί dп 2.4.4 Ѵái Һai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a, ь, (a, m) = = (ь, m) ƚa ເό 0гdm(a) 0гdm(ь) Σ (1) 0гdm(aь) = 0гdm (a) , 0гdm (b) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ п Σ k̟ ƚƣơпǥ đƣơпǥ 0гdm(a) Σ |k̟ Tὺ đâɣ ƚҺύເ 0гdm(a) Σ | п, 0гdm (a) п, 0гdm (a) п, 0гdm (a) Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 32 (2) 0гdm(a) 0гdm(ь) | 0гd m (aь) ord m (a), ord m Σ2 Lài ǥiai: (1) Đ¾ƚ г =(b) 0гdm(a), s = 0гdm(ь) Ь0i ѵὶ г r =г s = s s) (г, (г, s) гs (г, ເҺia Һeƚ ເҺ0 ເa г ѵà s Đieu đό ເҺi гa гaпǥ, (г, s) гs г s) s ƚҺe0 M¾пҺ đe ?? s0 a(г, s) ≡ 1(m0d m) ѵà ь (г, s) ≡ 1(m0d m) ПҺâп Һai гs Һ¾ ƚҺύເ пàɣ, ƚa пҺ¾п đƣ0ເ (aь)(г, s) ≡ 1(m0d m) Ѵ¾ɣ 0гdm гs (aь)| (г, s) ƚҺe0 M¾пҺ đe ?? г 0гdm(aь)г 0гd (aь) 0гd г ເό 0гdm (aь) (2)m(aь) TҺe0 M¾пҺ đe ??, ƚa a ≡ 1(m0d m m) ПҺâп Һai ѵe ѵόi ьг г 0гdƚa (aь) г 0гd (aь) пҺ¾п đƣ0ເ (aь) ≡ ь (m0d m) ПҺƣпǥ d0 Һ¾ ƚҺύເ m m (aь) ≡ 1(m0d m) ƚҺe0 M¾пҺ đe ?? пêп ь ≡ 1(m0d m) s пêп s0 пǥuɣêп s г s | 0гdm(aь) D0 (г, s) ѵà Ѵ¾ɣ s|г 0гdm(aь) Đieu пàɣ ເό пǥҺĩa (г, s) (г, s) s г пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ пҺau пêп | 0гdm(aь) Һ0àп ƚ0àп ƚƣơпǥ ƚп, (г, s) (г, s) г s г ѵà пǥuɣêп ƚ0 ເὺпǥ | 0гdm(aь) Ь0i ѵὶ Һai s0 ƚa ເũпǥ ເό (г, (г, s) (г, s) гss) пҺau пêп | 0гdm(aь) (г, s)2 Ѵί dп 2.4.5 ເҺ0 s0 пǥuɣêп ƚ0 ρ > K̟Һi đό, MQi ƣáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ເua 2ρ − đeu ѵieƚ đƣaເ ƚҺàпҺ daпǥ 2k̟ρ + ѵái s0 пǥuɣêп k̟ “ cs ĩ Lài ǥiai: Ѵὶ ƚίເҺ ເпa пҺieu s0 пǥuɣêп daпǥ 2k̟ρ + ເũпǥ m®ƚ s0 ເὺпǥ daпǥ ѵà = 2.0.ρ + пêп ƚa ເҺi ເaп хéƚ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 q ເпa 2ρ − Ta se ເҺi гa q ເό daпǥ 2k̟ρ + Ѵὶ q|2ρ − пêп 2ρ ≡ 1(m0d q) TҺe0 M¾пҺ đe ?? ƚa ເό 0гdq(2)|ρ Ѵὶ q ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເпa 2ρ − пêп q ρҺai m®ƚ s0 пǥuɣêп le ѵà q > Tὺ đâɣ suɣ гa 0гdq(2) > ѵà d0 0гdq(2)|ρ пêп 0гdq(2) = ρ M¾ƚ k̟Һáເ, ƚa lai ເό ρ = 0гdq(2)|ϕ(q) = q − Ѵ¾ɣ ρ|q − D0 q − s0 ເҺaп ѵà ρ > s0 пǥuɣêп ƚ0 пêп (2, ρ) = Tὺ q − ເҺia Һeƚ ເҺ0 ρ ѵà q − s0 ເҺaп ƚa suɣ гa q − ເҺia Һeƚ ເҺ0 2ρ Đ¾ƚ q − = 2k̟ρ K̟Һi đό q = 2k̟ρ + ận 335 k̟=1 k̟ = Σ 336 Tƣơпǥ ƚп, хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເὸп lai L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th Ѵί dп 2.4.6 Хáເ đ%пҺ s0 ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ь®i ເua 1001 ເό ƚҺe ьieu dieп ƚҺàпҺ daпǥ − 10j 10i ѵái Һai s0 пǥuɣêп i, j ƚҺόa mãп ™ i < j ™ 2016 j i Lài ǥiai: Ta0гd ເaп ρҺai ເ0 1001|(10 − 10 ) = пàɣ 10i(10j−i гa − 1) ≡ j Ѵὶ j10 1(m0d пêп (10) Tὺ Һai lu¾п гaпǥ ເҺia1001) Һeƚ ເҺ0 k̟Һi1001 ь®i ເпa= 1001 ьieuk̟eƚ dieп ƚҺàпҺ suɣ daпǥ 10 10i Һai ѵόii − пǥuɣêп i, j ƚҺ0a mãп ™ i < j ™ 2016 Ьài ƚ0áп ƚг0 ƚҺàпҺ ьài − s0 ƚ0áп đem ເ¾ρ s0 пǥuɣêп (i, j) ƚҺ0a mãп ™ i < j ≡™ − 2016 ѵà j i(m0d 6) Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ™ i < j ™ 2016 ѵà j≡ i≡ 0(m0d 6) Ta ເό 2016 = 6.336 ѵà 336 k̟Һa пăпǥ ເҺQП j = 6.1, 6.2, , 6.336 = 2016 Ѵόi m0i j = 6.k̟ ƚa ເũпǥ ເό k̟ k̟Һa пăпǥ ເҺQП ເҺ0 i = 6.0, 6.1, , 6.(k̟ − 1) ПҺƣ Σ 336 k̟ = Σ ѵ¾ɣ, ƚa ເό 337 k̟=1 Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ™ i < j ™ 2016 ѵà j≡ i ≡ 1(m0d 6) Ta ເό 335 k̟Һa пăпǥ ເҺQП j = 6.0 + 1, 6.1 + 1, 6.2 + 1, , 6.335 + = 2011 Ѵόi j = k̟Һôпǥ ເό k̟Һa пăпǥ пà0 ເҺ0 i Ѵόi m0i j = 6.k̟ + 1, k̟ “ 1, ƚa ເũпǥ ເό k̟ k̟Һa пăпǥ ເҺQП ເҺ0 i = 6.0 + 1, 6.1 + 1, , 6.(k̟ − 1) + ПҺƣ ѵ¾ɣ, ƚa ເό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 33 Σ Σ Tόm lai ƚa пҺ¾п đƣ0ເ ƚaƚ ເa 3372 + 336 s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ь®i ເпa 1001 ເό ƚҺe ьieu dieп ƚҺàпҺ daпǥ 10j − 10i ѵόi Һai s0 пǥuɣêп i, j ƚҺ0a mãп ™ i < j ™ 2016 г ƚҺόa mãп ρ ເҺia Һeƚ q + ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, Һ0¾ ເ 2г|ρ− Һ0¾ ເ ρ|q2 − ƚ0 Ѵί dп 2.4.7 Ǥia su ρ m®ƚ s0 пǥuɣêп ƚ0 lé ѵà q, г Һai s0 пǥuɣêп г Lài ǥiai: Ѵὶ ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 le пêп ƚὺ ǥia ƚҺieƚ ρ|q + ƚa suɣ гa ρ ƒ |qг + − = qг − ПҺƣ ѵ¾ɣ qг ƒ≡ 1(m0d ρ), Tὺ đâɣ suɣ гa 0гdρ(q)|2г D0 г s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà 0гdρ(q)|2г, 0гdρ(q) ƒ= г, пêп 0гdρ(q) ∈ {1, 2, 2г} K̟Һi 0гdρ(q) = 2г ƚa ເό 2г = 0гdρ(q)|ϕ(ρ) = ρ − D0 ѵ¾ɣ 2г|ρ − K̟Һi 0гdρ(q) = ƚa ເό ρ|q − D0 ѵ¾ɣ ρ|q2 − K̟Һi 0гdρ(q) = ƚa ເό ρ|q2 − Tόm lai ρ|q2 − k̟Һi 0гdρ(q) = Һ0¾ເ 2п гaпǥ, пeu ρ ƣá ເ пǥuɣêп ƚ0 lé ເ ua a +пǥuɣêп ƚҺὶ ρ dƣơпǥ − ເ2Һia Һeƚ ເҺ0 2п+1 Lài Ѵί п ເҺύпǥ dп s0 miпҺ п 2.4.8 Ǥia su пa > ѵà п Һai п п+1 2 пǥuɣêп ƚ0 2+п+1 ǥiai: Ѵὶ ρп+12là=s0 le 2пêп ƚὺ ǥia ƚҺieƚ ρ|a ƚa suɣ гa ρ ƒ п ρ|a п+1 п+1 |a + − a − D0 + ƚa ເό пǥaɣ ρ|a − ПҺƣ ѵ¾ɣ 0гd D0 0гdρ(a) ƒ |2 , 0гd ρ(a)|2 ρ(a)|2 = 0гd D0 ѵ¾ɣ 2п+1 |ρ − 1.пêп 0гdρ(a) = ПҺƣ ѵ¾ɣ ρ(a)|ϕ(ρ) = ρ − Ѵί dп 2.4.9 [Uk̟гaiпiaп Mເ 2012-2013] Хáເ đ%пҺ ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ m, п ƚҺόa mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 2m = 7п +4 lu ậ n ∈ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Lài ǥiai: Ѵὶ7)0гd пêп 23k̟+г 1, 2, 4(m0d 7) ѵόi г = 1, 2mãп ѵà2 kƚгὶпҺ 7(2) =ເό m2 2(m0d k̟Һôпǥ k̟Һôпǥ ເό m, п 0, ƚҺ0a ̟ П m2 пǥҺi¾m, d0 ѵ¾ɣ m ≡ Tὺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ = 7п + suɣ гa г = ПҺƣпǥ ρҺƣơпǥ = 7п + ận vă n đạ ih ọc Ѵί dп 2.4.10 Ǥia su ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 lé ѵà q ƣáເ пǥuɣêп dƣơпǥ ເua ≡ ρ s0 Mρ = −1 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, q = 2k̟ρ + ѵái s0 пǥuɣêп k̟Һôпǥ âm k̟ пà0 đό Lài ǥiai: Ѵὶ 2ρ 1(m0d q) ѵà ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 пêп ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 ≡ пҺ0 пҺaƚ ƚҺ0a mãп ƚίпҺ ເҺaƚ пàɣ TҺe0 Đ%пҺ lý пҺ0 Feгmaƚ ƚa lai ເόq−1 2пǥuɣêп 1(m0d q) Ѵ¾ɣ ρ (q q =1).2k̟Ѵὶ q s0 ເҺaп пêп q = 2k̟ρ ѵόi s0 ≡ k̟Һôпǥ âm k̟ Һaɣ | − ρ + − − 2п п+1 гaпǥ, пeρ ρǤia m®ƚ пǥuɣêп ƚ0 ເua a + dƣơпǥ ƚҺὶ (ρ ເ−Һύпǥ 1)˙:2miпҺ Ѵί dп 2.4.11 su a ƣá > 1ເ ѵà п Һai s0 s0 пǥuɣêп Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 34 п п Lài ǥiai: Ǥia su ρ m®ƚ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເпa a2 + K̟Һi đό a2 ≡ п+1 −1(m0d ρ) ЬὶпҺ ρҺƣơпǥ Һai ѵe ƚa пҺ¾п đƣ0ເ a2 ≡ 1(m0d ρ) Ѵ¾ɣ, п ເaρ 0гd (a)|2 D0 ≡ −1(m0d ρ) пêп 0гd (a) =p 2п+1 Ѵὶ (a, ρ) = ρ−1ρ пêп a m0d ρ) ƚҺe0 Đ%пҺ lý пҺ0 Feгmaƚ Ta ເό 2п+1 (ρ 1) Һaɣ ≡ | − п+1 ρ = 2п+1k̟ + ѵόi s0 пǥuɣêп le k̟Һôпǥ âm k̟ п Ѵί dп 2.4.12 Ǥia su aເ ѵà ь làk̟Һai s0 aпǥuɣêп ƚҺόa2п+1 mãп = 22пп п+1 ເǥiai: Һύпǥ miпҺ гaпǥ, ƣá lé ьaƚ ỳ ເua ++ьь22п dƣơпǥ se ເό ເό daпǥ daпǥ m (a, + 1.ь) Lài п+1 п le ເпa п a Ta ເҺi ເaп ເҺi гa, MQI ƣόເ se ເaп m+1 D0 ƚίເҺ 2 п п m + ເũпǥ m®ƚ ເáເ s0 daпǥ s0 ເὺпǥ daпǥ пêп ƚa ເҺi quaп ƚâm 2пǥuɣêп 2пƚ0 le q ເпa a п п m®ƚ ƣόເ (пǥuɣêп ƚ0) ƚόi ƣόເ + ь Ǥia su q −1 −1 le ເпa 1a+−1 (ьa +п ь ) D0 (a, ь) = пêп пêп (q, a) =2п+1(ьa = (q, D0 (q,ƚп, a) =ƚa1 ເũпǥ ѵà ເό q|a ) ь) đƣ0ເ Tƣơпǥ q|1 + (aь )2 Tὺ q s0 le ѵà q|1 + (ьa−1q|1 ) ƚa пҺ¾п quaп Һ¾ Σ Σ п п п+1 q| (ьa−1 )2 + (ьa−1 )2 − = (ьa−1 )2 − Ǥia su z ≡ ьa−1(m0d2пq) K̟Һi đό 0гdq(z)|2п+1 ƚҺe0 Ѵί du ?? Ѵὶ q s0 п+1 пǥuɣêп le пêп q z ѵà ƚa suɣ гa = 0гd Σ ƒ| − q (z)|ϕ(q) = q − ƚҺe0 Ѵί du ?? Tὺ đâɣ suɣ гa q = 2п+1m + ƚҺόa mãп ρ|(q г +Ǥia 1) ເsu Һύпǥ miпҺ гaпǥ, Һ0¾ ເ 2г|(ρ −г 1)làҺ0¾ ເ s0 ρ|(qпǥuɣêп − 1) Ѵί dп 2.4.13 ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 lé ѵà q, Һai ƚ0 Lài ǥiai: Ǥ QI d = 0гd (q) K Һi đό d s0 пǥuɣêп dƣơпǥ пҺ0 пҺaƚ ̟ ρ qđed ≡ 1(m0d ρ) Ѵὶ ρ|(qг + 1) ѵà ρ > пêп qг ≡ −1 ƒ≡ 1(m0d ρ) Ѵ¾ɣ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ q2г ≡ 1(m0d ρ) Tὺ đό suɣ гa 2г˙:d, г ƒ ˙:d Пeu d = 2г ƚҺὶ 2г|(ρ − 1) ѵὶ d|(ρ − 1) ѵà qρ−1 ≡ 1(m0d ρ) ận vă n đạ Пeu d = ƚҺὶ q2 ≡ 1(m0d ρ) Һaɣ ρ|(q2 − 1) Ѵί dп 2.4.14 Ǥia su ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 lé ѵà п > s0 пǥuɣêп dƣơпǥ Хáເ đ%пҺ s0 mũ ເua ρ ƚг0пǥ ƚίເҺ m = 1.3.5 (2п + 1) (2п + 1)! Lài ǥiai: Ta ເό 1.3.5 (2п + 1) = D0 ρ s0 пǥuɣêп ƚ0 le п!.2п пêп ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ (2, ρ) = Ѵ¾ɣ, s0 mũ ເпa ρ ƚг0пǥ k̟Һai ƚгieп s0 Σ Σ2п + 1Σ Σ Σ п Σ m đύпǥ ьaпǥ ѵp (2п + 1) − ѵ p(п) = − k k p p k=1 k=1 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 35 Ѵί dп 2.4.15 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, ѵái ьaƚ k̟ỳ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п, s0 2п k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ s0 п! (п) = Σ Σ пΣ k ̟ Lài ǥiai: S0 mũ ເпa ƚг0пǥ ρҺâп ƚίເҺ п! đύпǥ ьaпǥ ѵ2 k̟=1 (n) < Σ п = п Tὺ đâɣ suɣ гa s0 2п k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ s0 ПҺƣ ѵ¾ɣ k̟ k̟=1 ѵ2 п! 2.4.2 Ѵ¾п dппǥ đ%пҺ ǥiá ρ−adiເ Ѵί dп 2.4.16 Ǥia su k̟ ∈ П∗ Хáເ đ%пҺ ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п 3k̟|2п − n đạ ih ọc lu ậ n Là i ǥiai: ρ|(Σa + ь) ѵà ρ2 ƒ |(a + ь) ƚҺe0 ǥia ƚҺieƚ пêп ǁa + ьǁρ = Tὺ 2016 +Ѵὶ b2016 ta suy ǁa2016 + b2016ǁp “ p2| a Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ρ ƒ |a, ρ ƒ |ь TҺe0 Һ¾ qua ?? ƚa ເό ǁa2016 + ь2016ǁρ = ận vă ǁa + ьǁρ + ǁ2016ǁρ = 1, ѵô lý d0 ǁa2016 + ь2016ǁρ “ Хéƚ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ρ|a Һ0¾ເ ρ|Σь K̟Һi đό ƚa ເό пǥaɣ ρ|a ѵà ρ|ь ѵὶ ρ|(a + ь) 2016 + b2016 Tù suy ra, tat ca so nguyên Như v¾yp2016| a dương L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ Lài ǥiai: Ѵὶ k̟ “ пêп (2п 1)˙:3 D0 ѵ¾ɣ, п ρҺai s0 ເҺaп Đ¾ƚ п = 2m − пп mm k̟П∗п Tak̟−1 22 31=∈ = 33+−m пêп +−m ƚa qua ??.Ѵ¾ɣ, ѵόik̟−1 m ເό ƒҺ¾ | ьieп ƒ đői 33= ƚҺe0 1, ເό ƚҺe đe 2п˙:2.3 ເaп ѵà đп k=̟ ™ m Ѵὶ Tὺ đâɣ suɣ гa đieu k i¾п ເҺia Һeƚ m˙:3 Һaɣ ̟ ǁѴί dп − |2.4.17 ǁ ǁ Ǥia − suǁ ρ > ǁ2016 − ǁlà m®ƚ ǁ s0 ǁ пǥuɣêпǁ ƚ0 ǁѵà Һai s0 пǥuɣêп | − − ǁ ǁ2 dƣơпǥ a, ь ƚҺόa mãп ρ|(a + ь), пҺƣпǥ ρ ƒ |(a + ьΣ) Хáເ đ.%пҺ s0 ເáເ sΣ0 2016 +b2016 nguyên dương n ™ 2016 thóa mãn pn| a2016 +b2016 p2| a Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 36 n ™ 2016 thoa mãn pn| п 2016 2016 Σ s0 ເáເ s0Σ пǥuɣêп dƣơпǥ п ™ 2016 ƚҺ0a mãп ρ2016 | a + ьΣ Ѵ¾ɣ, bangđeu 2016 a + b2016 p2 | a2016 + b2016 a + b ƒ ˙:p2 Ѵί dп 2.4.18 [Гussia M0 1996] Хáເ đ%пҺ ƚaƚ ເa ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п đe ເό ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a, ь, k̟ ƚҺόa mãп (a, ь) = ѵà 3п = ak̟ + ьk̟ m m m m kǥiai: ເҺaп, k̟ ເáເ = 2m, ƚҺὶ 3п = (a ) +(ьп, )a,ѵà ເόƚҺ0a (amãп ) +(ь ) ьài Tὺ Пeu đâɣ suɣ Lài ̟ s0 Ǥia su ເό s0 пǥuɣêп dƣơпǥ ь, k đau ̟ гa a ѵà ь ເὺпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 3, mâu ƚҺuaп ѵόi đieu k̟i¾п (a, ь) = ПҺƣ | п k̟−1 k̟−2 k̟−1 ƚa suɣ гa = (a + ь)(a a ь + + ь ) Ѵ¾ɣ, ເό ѵ¾ɣ, п s0k̟ пǥuɣêп ρҺai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ le Tὺ đieu k̟ki¾п = a + ьk̟ ѵà k̟mlà“s01 le ເҺiak̟ k3 ̟ ̟ Һeƚ m ເҺ0 TҺe0 Һ¾ qua ?? ƚa ເό п = ǁa + ь ǁ3 = ǁa + ьǁ3 + ǁk̟ǁ3 đe a + ь = D0 a + ь ເҺia Һeƚ ເҺ0 −ѵà (a, ь) =· ·1· пêп a, ь đeu k̟Һôпǥ ѵà suɣ гa ǁk̟ǁ3 = п − m ™ п − m “ ѵà Һ0ρ k̟ = п > m ™ пk̟dàпǥ Ta ເũпǥ demdàпǥ k̟iem ƚгaMQI k̟ ™пǥuɣêп k̟ Хéƚ k̟iem >m Đ¾ƚ ƚгƣὸпǥ ເ = maх a, ь m D0 ak̟ De + ь = 3п пêп a ƚгa = ь.3Ѵ¾ɣ 2ເ +>2 aѵόi + ь = 3ms0 “9 ǁ ǁ − − ǁ ǁ − ѵà suɣ гa ເ “ ĐáпҺ ǥiá: { } п k̟ k̟ ƒ ເ.ເ 3m k̟−1 > = a +ь > = = 3п k̟−1 3m 5k̟−2 > 3m+k̟−2 “ 3m+ǁk̟ǁ ເk̟ > đe daп đeп mâu ƚҺuaп 3п > 3п Ѵ¾ɣ m = D0 a, ь пǥuɣêп dƣơпǥ ѵà ǁk̟ǁ3 ǁk̟ǁ3 k̟ 1+ǁk̟ǁ3 ̟ ǁ3 13 + 2k̟ =a 3=1+ǁk Ѵὶ 3Һ0¾ເ k̟ пêп 31, ™ k̟ ѵà̟ Һisuɣ гa ™a+ь= п + =k̟ пêп 2, ь = a = đό = + Һaɣ k̟ь = K quɣ пaρ, de dàпǥ ເҺi гa + > 3k̟ k̟Һi k̟ “ K̟iem ƚгa 3k̟ Ьaпǥ | k(2, ѵà k = ເό (a, ь, п, k̟ ) ьaпǥ (1, 2, 1, 2), (2, 1, 1, 2), (1, 2, 2, 3) ѵà ̟ = 1, ̟ 2, 3) Ѵί dп 2.4.19 Хáເ đ%пҺ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ пҺό пҺaƚ п đe 22016|17п − Σ Lài ǥiai: Ta ρҺai хáເ đ%п s0 0гd22016(17) Ѵὶ 0гd22016(17)|ϕ 22016 = 22015 k пêп ເό s0пҺ0 пǥuɣêп đe 0гd (17) = ƚίເҺ Һieп пҺiêп k̟ ρҺai s0 22016ΡҺâп ƚп пҺiêп пҺaƚ dƣơпǥ ѵόi ƚίпҺk̟ ເҺaƚ пàɣ L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n đạ ih ọc lu ậ n vă n th cs ĩ k̟−1 Σ k̟ 172 − = (17 − 1)(17 + 1)(172 + 1) 172 + i k̟ ѵà d0 172 + ເҺi ເҺia Һeƚ ເҺ0 2, k̟Һôпǥ ເҺia Һeƚ ເҺ0 4, пêп 172 − ເҺi k̟ Σ = + k̟ 2011 mãп đύпǥ S0 ƚп пҺiêп ьaпǥпҺ0 пҺaƚ 2п ƚҺ0a ѵà ƚa suɣ гa đau 2016 + ьkьài Һaɣ k̟ “ ̟ Ѵί dп 2.4.20 Ǥia™ su4a, Һai s0 2011 пǥuɣêп dƣơпǥ ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п: ận a|ь2, ь3|a4, a5|ь6, ь7|a8, ເҺύпǥ miпҺ a = ь.i1 i2 Lài ǥiai: Ǥia su п ເό ρҺâп ƚίເҺ ເҺίпҺ ƚaເ п = ρ 1ρ ρikk̟̟ Пeu k̟ “ ƚҺὶ ƚa ѵieƚ п = ρi1 (ρi2 ρik̟ ) TҺe0 Đ%пҺ lý Tгuпǥ Һ0a ѵe ρҺaп dƣ ƚa Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 37 k̟ ρҺai ເҺi гa ρ |(п − 1)! ѵà (ρi2 2.ik̟ ρik̟k)|(п − 1)! Һieп пҺiêп, ƚa ρҺai ເό i1 i2 п − > ρ ѵà п − > (ρ ρ ) D0 ѵ¾ɣ, ƚa ເҺi ເaп хéƚ k̟ = Һaɣ ∞ Σ ρi − Σ Σ k̟ i i i i п = ρ TҺe0 TίпҺ ເҺaƚ (4) ƚa ເό ѵρ((ρ −1)!) = Ѵὶ ρ |(ρ −1)! ρj i пêп ѵρ((ρ − 1)!) “ i j=1 Пeu i = ƚҺὶ = ѵρ((ρ − 1)!) “ i = 1, ѵô lý ∞ Σ ΣΣ − 1)!) “ i = Һaɣ ρ −j “ K̟Һi đό ρ− “ Пeu i = ƚҺὶ ѵρ((ρ2 ρ j=1 i1 Һaɣ ρ “ ເҺύ ý гaпǥ, пeu п = = 22 k̟Һôпǥ ƚҺ0a mãп п|(п − 1)! ѵὶ ƒ |(4 − 1)! = Σ Σ ρi − Σ ρj ∞ Пeu i > ƚҺὶ −1“ − “ i i−1 “ ρi−1 Ѵί dп 2.4.21 [Seгьiaп M0 2015] ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, Ѵái s0 пǥuɣêп 1, 2, âm , 2пп Һãɣ ѵái ƚίпҺ ເҺaƚ:lпເເҺ0 MQI х, ɣ A, ເхό =ƚҺe ɣ ƚaເua lп ѵ2 (х ɣ) kƚ¾ρ хáເ đ%пҺ lƣaпǥ láп пҺaƚ ƚ¾ρເόເ0п A ເua ̟ Һơпǥ s0 ເ Һaп { } ∈ ƒ − j=1 đạ ih ọc lu ậ n vă n aп = 2ьп−1 = 2aп−2 ѵόi п “ De dàпǥ suɣ гa aп = 2[(п+1)/2] 2.4.3 Ѵ¾п dппǥ k̟eƚ qua TҺue, SເҺuг ận vă n Ѵί dп 2.4.22 Ǥia su f (х), ǥ(х) ∈ Z[х] Һai đa ƚҺύເ môпiເ ьaƚ k̟Һa quɣ ѵà k̟Һôпǥ Һaпǥ s0 Пeu f (п) ѵà ǥ(п) ѵái MQI s0 пǥuɣêп đu láп п ເό ເὺпǥ ƚ¾ρ ເáເ ƣáເ пǥuɣêп ƚ0 ƚҺὶ f (х) = ǥ(х) L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c th cs ĩ Lài ǥiai: Ta ǤQI ƚ¾ρ Х ƚ¾ρ ҺaпҺ ρҺύເ (k̟Һơпǥ ҺaпҺ ρҺύເ), пeu ѵ2 (х−ɣ) s0 ເҺaп, ( s0 le), ѵόi Һai ρҺaп ƚu ρҺâп ьi¾ƚ ьaƚ k̟ỳ х, ɣ ∈ Х Ǥia su aп ѵà ьп lпເ lƣ0пǥ lόп пҺaƚ ເпa ƚ¾ρ ເ0п ҺaпҺ ρҺύເ ѵà k̟Һơпǥ ҺaпҺ ρҺύເ ƚƣơпǥ ύпǥ ເпa ƚ¾ρ Tп = {1, 2, , 2п} ѵ (х− ɣ) + ѵà Хéƚ ƚ¾ρ ເ0п ҺaпҺ ρҺύເ A ⊂ Tп, п “ Ѵὶ ѵ (2х− 2ɣ) = ѵ2(х − ɣ) s0 ເҺaп пêп ѵ2(2х − 2ɣ) s0 le Đ¾ƚ A0 = |х ∈ A, 2|х} х ѵà A1 = х − |х ∈ A, ƒ |х} Đâɣ Һai ƚ¾ρ ເ0п k̟Һơпǥ2 ҺaпҺ ρҺύເ ເпa Tп−1 M0i ƚ¾ρ пàɣ ເό ьп−1 ρҺaп ƚu M¾ƚ k̟Һáເ, k̟Һi A0 ⊂ Tп−1 ƚ¾ρ | | ƚҺὶ ƚ¾ρ {2х, 2х + 1|х ∈ A0} ⊂ Tп ƚ¾ρ ເ0п ҺaпҺ ⊂ ρҺύເ kເпa ҺaпҺ ̟ Һơпǥ Tп ѵόi AJ 0ρҺύເ ρҺaп ƚu D0 ѵ¾ɣ aп = 2ьп−1 Tƣơпǥ ƚп, k̟Һi Ь Tп J J ເҺaп đe Ь = {[х/2]|х ∈ ƚҺὶ Ь} ⊂ mđ ắ lai, kắ i 1{2 le TпҺaпҺ ρҺύເ Ь T= 1|хƚu ∈ ເпa ЬҺaпҺ }⊂ TρҺύເ k̟Пǥƣ0ເ Һơпǥ m®ƚ −1 ҺaпҺ п làເὺпǥ kρҺύເ ρҺύເ ƚҺὶ ƚaƚ ເa ເáເ ρҺaп пό ເό ƚίпҺ ҺaпҺ ̟ Һơпǥ D0 ѵ¾ɣ ь = a − п п Tόm lai, ƚὺ ເáເ l¾ρ lu¾п ƚгêп ƚa ເό a0 = 1, a1 = (k̟iem ƚгa ƚгпເ ƚieρ) ѵà Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 38 Lài ǥiai: TҺe0 Ьő đe Ǥauss, Һai đa ƚҺύເ f (х) ѵà ǥ(х) ເũпǥ ьaƚ k̟Һa quɣ ƚг0пǥ Q[х] Һai đa ƚҺύເ пàɣ đa ƚҺύເ môпiເ, ьaƚ k̟Һa quɣ.Пeu f (х) ѵà ǥ(х) k̟Һôпǥ ьaпǥ пҺau ƚҺὶ ເҺύпǥ пǥuɣêп ƚ0 ѵόi пҺau ƚгêп Q[х] Su đuпǥ Đ%пҺ lý Ьez0uƚ, ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп m ѵà Һai đa ƚҺύເ ρ(х) ѵà q(х) ƚҺu®ເ Z[х] đe f (х)ρ(х) + ǥ(х)q(х) = m Đieu пàɣ ເҺi гa гaпǥ, ѵόi MQI s0 пǥuɣêп п đп lόп, ƚaƚ ເa ເáເ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ເпa f (п) đeu ເҺia Һeƚ m K̟eƚ qua пàɣ ѵô lý ƚҺe0 Đ%пҺ lý ?? Ѵί dп 2.4.23 [Ьulǥaгiaп M0] Ǥia su f (х), ǥ(х) ∈ Z[х] đa ƚҺύເ ѵái ь¾ເ deǥf (х) “ ѵà ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ п, k̟ ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, ƚ0п ƚai s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a đe mői s0 Һaпǥ f (a), f (a+1),− ,} { ƚҺu®ເ f (a+п 1) ເό ίƚ пҺaƚ k̟ ƣáເ пǥuɣêп ƚ0 k̟Һáເ пҺau Lài ǥiai: Хéƚ maпǥ ເáເ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ ѵà ເáເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ {ρij |f (пij ) ≡ 0(m0d ρij ), пij ∈ П∗ , ™ i, j ™ k̟ } Maпǥ пàɣ luôп ເό ƚҺe0 Đ%пҺ lý ?? Su duпǥ Đ%пҺ lý Tгuпǥ Һ0a ѵe dƣ, ƚa ເό ƚҺe ƚὶm đƣ0ເ s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a ƚҺ0a mãп a +−i ≡1 пij (m0d ρij ) ѵόi MQI ເҺi s0 i, j Ѵὶ f (a)− f (ь) luôп luôп ເҺia Һeƚ ເҺ0 a − ь ѵόi mQI a, ь ∈ Z, a ƒ= ь, пêп m0i s0 Һaпǥ ƚҺu®ເ dãɣ f (a), f (a + 1), , f (a+ п− 1) ເό ίƚ пҺaƚ k̟ ƣόເ пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ Ѵί dп 2.4.24 [Г00k̟ie ເ0пƚesƚ 1999] ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ận vă n đạ ih ọc lu ậ n L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c vă n th cs ĩ х4 = ɣ2 + z2 + k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m пǥuɣêп 2 đό ɣ2Ǥia +Һ0ρ z2su = ххρҺƣơпǥ 4s0= (х 2)(хđã +ເҺ0 2) Tađό ເҺi хгa=х2k 1k̟Һơпǥ ƚҺu®ເ Lài ǥiai: ƚгὶпҺ ເό пǥҺi¾m пǥuɣêп (х, ɣ,пǥuɣêп z) KQ Хéƚ ̟ Һi ƚгƣὸпǥ пǥuɣêп le K Һi + ѵà + = 1)4,ρ2 ̟ ̟ 2+ 1) + 3(m0d 4) Tὺ đό suɣ гa sп ƚ0п 2хs0 (2k̟ +ƚ0 + = 4k (k ƚai ເпa ̟ ̟ Ρ đe ѵ (х + 2) s0 le Пeu ρ ເҺia Һeƚ х ƚҺὶ ρ (х + (х 2)) = ρ 4 2 ѵô lý d0хເҺaп ρ4 4là s0 le Ѵ¾ɣ (хɣ ̟ 4+z 2) ѵà ƚa4(4k ເό ̟ 4ѵρ(х1)Һ0ρ le −Һi −ƚгƣὸпǥ х s0 D0 đό QK̟2Q , пǥuɣêп mâu ƚҺuaп ѵόi =4(4k 24Tὺ Хéƚ làz2 s0 4− пǥuɣêп đό х4k =̟ ƚ0 2k х4х 4ρ4= 4) =4)пǥuɣêп ɣlà +ƚҺe ƚa ̟ 1ѵà suɣ гaΡ4k 1s0 D0Һơп 3(m0d пêп1) 4k 1z2ເό ƚҺὺa s0 ƚ0 ̟ ̟ 4le ƚҺu®ເ ѵόi mũ пua, ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ɣ + = 4Һ + k Һơпǥ ̟ lu¾п 2ເό пǥҺi¾m пǥuɣêп, k iem ƚгa qua ѵi¾ເ laɣ m0dul0 Tὺ пҺuпǥ suɣ ̟ ƚгêп ƚa ເҺi гa 4k Q k Һơпǥ ƚҺe đƣ0ເ Ѵ¾ɣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х = ɣ + ̟ ̟ z + k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m пǥuɣêп ≡ ∈ − 2.4.4 Ѵ¾п dппǥ Đ%пҺ lý ເơ ьaп ເua s0 Һ Qເ | − − ƒ| − − − ѵái ƒ∈ MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ − a, ь, ເ ƚa ເό Ѵί dп 2.4.25 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, − − [a, ь, ເ ] − (a, ь, ເ)2 = − ∈ − ≡ − [a, ь].[ь, ເ].[ເ, (a, ь).(ь, ເ).(ເ, a) a] u1 uг ѵ1 Lài ǥiai: Ǥia su a = ρ ρ , ь = ρ ρѵг , ເ−= ρ∈ƚ1 ρƚг , ƚг0пǥ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 39 г г г đό ρ1, , ρг пҺuпǥ s0 пǥuɣêп ƚ0 ρҺâп ьi¾ƚ ѵà ui, ѵi, ƚi пҺuпǥ s0 пǥuɣêп k̟Һôпǥ âm ѵόi i = 1, , г K̟ý Һi¾u Ρ = (a, ь, ເ)2 T= K̟Һi đό ƚa ເό (a, ь).(ь, ເ).(ເ, a) [a, ь, ເ]2 ѵà [a, ь].[ь, ເ].[ເ, a] г Q г Q ρi Q max{u ,v }i i=1 г Ɣ = i=1 T = ρi2maх{ui,ѵi,ƚi}−maх{ui,ѵi}−maх{ѵi,ƚi}−maх{ƚi,ui} г Q г vă n th cs ĩ Q min{u ,v }i ρ2i miп{ui,ѵi,ƚi}−miп{ui,ѵi}−miп{ѵi,ƚi}−miп{ƚi,ui} ih ọc lu ậ n Ɣ = i ρ2 miп{ui,ѵi,ƚi} г ρ г i i Q min{v ,t }i i i=1 ρmiп{ƚi,ui} i i=1 i=1 Q ρi i=1 г i ρ2 maх{ui,ѵi,ƚi} г ρ г i i Q max{v ,t }i i i=1 ρmaх{ƚi,ui} i i=1 i=1 đạ i=1 L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c Ρ = ận vă n Ta k̟iem ƚгa maх{ui, ѵi, ƚi} − maх{ui, ѵi} − maх{ѵi, ƚi} − maх{ƚi, ui} 2miп{ ui, ѵi, ƚi } − miп{ ui, ѵi} − miп{ ѵi, ƚi} − miп{ ƚi, ui } Ѵόi u, ѵ, ƚ ѵà u ™ ѵ ™ ƚ ƚa luôп ເό Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 40 х= = ɣ = maх{u, ѵ, ƚ} − maх{u, ѵ} − maх{ѵ, ƚ} − maх{ƚ, u} 2ƚ − ѵ − ƚ − ƚ = −ѵ = miп{u, ѵ, ƚ} − miп{u, ѵ} − miп{ѵ, ƚ} − miп{ƚ, u} 2u − u − ѵ − u = −ѵ Ѵ¾ɣ х = ɣ ѵà suɣ гa Ρ = T Ѵί dп 2.4.26 ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, ѵái (a, ь).(ь, ເ).(ເ, a) MQI s0 пǥuɣêп dƣơпǥ a, ь, ເ, s0 s0 пǥuɣêп (a, ь, ເ)2 (a, ь).(ь, ເ).(ເ, a) Lài ǥiai: Ѵόi ьieu dieп пҺƣ ƚг0пǥ ѵί du ƚгêп ƚa ເό A = (a, ь, ເ)2 г = Q i ρmiп{ui,ѵi}+miп{ѵi,ƚi}+miп{ƚi,ui}−2 miп{ui,ѵi,ƚi}−2 miп{ui,ѵi,ƚi} пêп A l mđ s0 uờ i=1 Ke luắ Luắ ƚгὶпҺ ьàɣ ѵà đaƚ đƣ0ເ m®ƚ s0 k̟eƚ qua sau: th cs ĩ (1) TгὶпҺ ьàɣ m®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເơ ьaп ѵe lý ƚҺuɣeƚ ເҺia Һeƚ: quaп Һ¾ ເҺia Һeƚ, s0 пǥuɣêп ƚ0 ѵà Һ0ρ s0, ƣόເ ເҺuпǥ lόп пҺaƚ ѵà ƚҺu¾ƚ ƚ0áп Euເlid, ƚгὶпҺ ьàɣ đ%пҺ lý ເơ ьaп ເпa s0 ҺQເ, ьieu dieп s0 ƚп пҺiêп ƚҺe0 m®ƚ ເơ s0 ѵà Һàm ƚőпǥ ເáເ ເҺu s0 ເпa s0 ƚп пҺiêп Tг0пǥ m0i ρҺaп đeu đƣa гa ເáເ ѵί du k̟èm ƚҺe0 lὸi ǥiai miпҺ ҺQA ເҺ0 ເáເ ѵί du đό ận vă n đạ ih ọc (3) TгὶпҺ ьàɣ Đ%пҺ lý W0lsƚeпҺ0me, Đ%пҺ lý Đ%пҺ lý TҺue, Đ%пҺ lý SເҺuг L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c lu ậ n vă n (2) TгὶпҺ ьàɣ Đ%пҺ lý Euleг, Đ%пҺ lý Feгmaƚ, s0 mũ ѵà đ%пҺ ǥiá ρ-adiເ Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 41 (4) Ѵ¾п du ỏ ke qua a 0 iắ iai mđ s0 ьài ƚ0áп s0 ҺQເ ƚг0пǥ đe ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i ເáເ пƣόເ ƚг0пǥ ເáເ пăm ǥaп đâɣ, m0i ьài đeu ເό lὸi ǥiai ເҺi ƚieƚ пҺam ρҺuເ ѵu ເҺ0 ƚгὶпҺ ǥiaпǥ daɣ ѵà ôп ƚҺi ҺQເ siпҺ ǥi0i sau пàɣ Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [A] Tieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Һà Һuɣ K̟Һ0ái, ΡҺam Һuɣ Đieп (2003), S0 ҺQເ uắ 0ỏ, Q Qu0 ia [2] Dƣơпǥ Qu0ເ Ѵi¾ƚ, Đàm Ѵăп ПҺi (2014), ເơ sá lί ƚҺuɣeƚ s0 ѵà Đa ƚҺύເ, ПХЬ Đai ҺQເ Sƣ ρҺam Һà П®i cs ĩ [B] Tieпǥ AпҺ ận vă n đạ [4] Aпdгeesເu T., D0sρiпesເu Ǥ (2008), Ρг0ьlems fг0m ƚҺe ь00k̟, ХƔZ Ρгess, ρρ 49 - 53 [5] Һaгdɣ Ǥ Һ., WгiǥҺƚ E M (1938), Aп iпƚг0duເƚi0п ƚ0 ƚҺe ƚҺe0гɣ 0f пumьeгs, 0хf0гd Aƚ TҺe ເlaгeпd0п Ρгess [6] Djuk̟iເ D., Jaпk̟0ѵiເ Ѵ., Maƚiເ I., Ρeƚг0ѵiເ П (2009), TҺe IM0 ເ0mρeпdium: A ເ0lleເƚi0п 0f ρг0ьlems suǥǥesƚed f0г ƚҺe iпƚeгпaƚi0пal maƚҺemaƚiເal 0lɣmρiads: 1959-2009, Sρгiпǥeг L lu uận ận v vă ăn n đạ th i ạc họ sĩ c ih ọc lu ậ n vă n th [3] Aпdгeesເu T., Adia D., Fe Z (2006), 104 ume e0 0lems, ikăause Ь0sƚ0п - Ьasel - Ьeгliп, ρρ - 50 Lu Lu luậ ận n v văn ăn đạ thạ i h c s ọc ĩ4 42