Mục lục Lời nói đầu 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 5 1 1 Dãy số 5 1 1 1 Định nghĩa 5 1 1 2 Cách cho một dãy số 6 1 1 3 Một vài dãy số đặc biệt 6 1 1 4 Giới hạn của dãy số 8 1 2 Sơ lược về phương[.]
Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Cách cho dãy số 1.1.3 Một vài dãy số đặc biệt 1.1.4 Giới hạn dãy số 1.2 Sơ lược phương pháp sai phân 11 1.3 Số học 14 1.3.1 Đồng dư thức 14 1.3.2 Một số định lý số học 15 Chương Tính chất số học dãy số 17 2.1 Tính chia hết 17 2.2 Tính chất số nguyên 36 2.3 Tính phương 46 2.4 Bài tập 57 60 Chương Giới hạn dãy số 3.1 Giới hạn tổng 60 3.2 Dãy hội tụ dãy số 65 3.3 Dãy số xác định phương trình 73 3.4 Bài tập 81 Kết luận 84 Tài liệu tham khảo 85 Lời nói đầu Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế thường xuất toán dãy số Để giải toán dãy số địi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số, vấn đề quan tâm nhiều tính chất số hoc tính chất giải tích dãy số Tính chất số học dãy số thể tính chia hết, tính nguyên, tính phương , tính chất giải tích có nhiều dạng quan trọng tốn tìm giới hạn dãy số Các toán dãy số thường tốn hay khó, tác giả luận văn sưu tầm, chọn lọc phân loại theo chủ đề Luận văn với đề tài “Một số toán dãy số” có mục đích trình bày cách hệ thống, chi tiết tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn trình bày với chương Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương hệ thống lại kiến thức dãy số, số học, phương pháp sai phân dùng để giải toán chương sau Chương Tính chất số học dãy số Chương trình bày số vấn đề tính chất số học dãy số tính chia hết, tính nguyên, tính phương nêu phương pháp giải tốn, phân tích toán cụ thể Chương Giới hạn dãy số Chương đề cập đến số toán giới hạn dãy số như: Giới hạn tổng, dãy hội tụ dãy số, dãy số xác định phương trình với phương pháp giải cụ thể cho dạng toán Luận văn hoàn thành với quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn khoa học TS Phạm Văn Quốc, thày tận tình bảo cách tập nghiên cứu khoa học, cách làm trình bày luận văn đồng thời thày có nhiều ý kiến q báu để hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thày Nhân dịp tác giả xin cảm ơn khoa Toán – Cơ – Tin học, phịng Sau đại học, phịng Cơng tác trị sinh viên trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt hai năm học trình làm luận văn, cảm ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp trường THPT Nguyễn Trung Ngạn giúp đỡ cho tác giả công tác học tập thời gian qua, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 25 tháng 11 năm 2011 Học viên Nguyễn Thành Giáp Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u :N∗ 7−→ R n 7−→ u(n) Dãy số thường viết dạng khai triển: u1 , u2 , , un , Trong un = u(n) gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Mỗi hàm số u xác định tập M = 1, 2, 3, , m với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Dãy số (un ) gọi là: • Dãy đơn điệu tăng un+1 > un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu khơng giảm un+1 ≥ un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu giảm un+1 < un với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu khơng tăng un+1 ≤ un với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi là: • Dãy số bị chặn tồn số M cho un < M , với N = 1, 2, • Dãy số bị chặn tồn số m cho un > m, với N = 1, 2, • Dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn Dãy số (un ) gọi tuần hoàn với chu kỳ k un+k = un , với n ∈ N Dãy số (un ) gọi dãy dừng tồn số N0 cho un = C với n ≥ N0 (C số, gọi số dừng) 1.1.2 Cách cho dãy số Dãy số cho công thức số hạng tổng quát: Ví dụ xét dãy số (un ) cho √ √ − n + n −√ un = √ 2 5 Dãy số cho phương pháp truy hồi: Dãy số (un ) xác định u1 = 1, u2 = 50 un+1 = 4un + 5un−1 − 1975, n = 2, 3, 4, Dãy số cho phương pháp mơ tả: Ví dụ xét dãy số (un ) cho bởi: a1 = 19, a2 = 98 Với số nguyên n ≥ 1, xác định an+2 số dư phép chia an + an+1 cho 100 1.1.3 Một vài dãy số đặc biệt 1.1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.1.1 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số cộng với công sai d (d khác 0) un = un−1 + d với n = 2, 3, Tính chất: un = u1 + (n − 1)d uk = uk−1 + uk+1 với k = 2, 3, Nếu cấp số cộng có hữu hạn phần tử u1 , u2 , , un u1 +un = uk +un−k với k = 2, 3, , n − Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.2 n n (u1 + un ) = [2u1 + (n − 1)d] 2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.1.2 Dãy số u1 , u2 , u3 , gọi cấp số nhân với công bội q (q khác khác 1) un = un−1 q với n = 2, 3, Tính chất: un = u1 q n−1 với n = 2, 3, u2k = uk−1 · uk+1 với k = 2, 3, Sn = u1 + u2 + · · · + un = 1.1.3.3 u1 (q n − 1) q−1 Dãy Fibonacci Định nghĩa 1.1.3 Dãy u1 , u2 , xác định sau: u1 = 1, u2 = un = un−1 + un−2 , với n = 2, 3, gọi dãy Fibonacci Bằng phương pháp sai phân tìm công thức tổng quát dãy là: √ √ + n − n un = √ −√ 2 5 1.1.4 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1.4 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực a hữu hạn với số dương ε (có thể bé tùy ý), ln tồn số n0 ∈ N (n0 phụ thuộc vào ε vào dãy số (un ) xét), cho với số n ∈ N, n ≥ n0 ta ln có |un − a| < ε Khi kí hiệu lim un = a n→+∞ lim un = a cịn nói dãy số (un ) hội tụ a Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kì Định lý 1.1.5 Nếu dãy số hội tụ giới hạn Định lý 1.1.6 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ Định lý 1.1.7 Nếu (un ) → a (vn ) ⊂ (un ), (vn ) 6= C (vn ) → a Định lý 1.1.8 (định lý kẹp giới hạn) Nếu với n ≥ n0 ta có un ≤ xn ≤ lim un = lim = a lim xn = a Định lý 1.1.9 (định lý Lagrange) Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c ∈ (a; b) thỏa mãn: f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Định lý 1.1.10 (định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số (un ) có giới hạn u + u + · · · + u n có giới hạn hữu hạn a dãy trung bình cộng n a Định lý phát biểu dạng tương đương sau: Định lý 1.1.11 (định lý Stolz) Nếu lim (un+1 − un ) = a n→+∞ un = a n→+∞ n lim Chứng minh Ta cần chứng minh cho trường hợp a = Vì lim (un+1 − un ) = a nên với ε > tồn N0 cho với n→+∞ n ≥ N0 , ta có |un+1 − un | < ε Khi đó, với n > N0 ta có u ... giả luận văn sưu tầm, chọn lọc phân loại theo chủ đề Luận văn với đề tài ? ?Một số toán dãy số? ?? có mục đích trình bày cách hệ thống, chi tiết tính chất số học dãy số, giới hạn dãy số Luận văn trình... Các toán dãy số nguyên đa dạng, nhiều trường hợp dãy số bề ngồi cịn chất tốn tốn số học 2.1 Tính chia hết Một số toán chia hết số hạng dãy số thường giải cách xác định số hạng tổng quát dãy số. .. học dãy số tính chia hết, tính nguyên, tính phương nêu phương pháp giải tốn, phân tích toán cụ thể Chương Giới hạn dãy số Chương đề cập đến số toán giới hạn dãy số như: Giới hạn tổng, dãy hội