(Luận văn thạc sĩ) bài toán hàm ẩn và một số dạng tích phân liên quan trong toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG TỐN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người hướng dẫn: TS MAI THÀNH TẤN Mục lục MỞ ĐẦU 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm ẩn 1.2 Đạo hàm hàm số ẩn 1.3 Cơ sở lý thuyết đồng biến nghịch biến, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số 1.3.1 Các kiến thức đồng biến nghịch biến hàm số 1.3.2 Các kiến thức cực trị hàm số 1.3.3 Các kiến thức giá trị lớn giá trị nhỏ 1.3.4 hàm số 10 Sự tương giao đồ thị hàm số 11 Khảo sát số vấn đề liên quan đến hàm ẩn 2.1 12 Khảo sát tính đơn điệu hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 12 i 2.1.1 Xác định khoảng đơn điệu hàm số y = f (u(x)) dựa vào bảng biến thiên đồ thị hàm y = f ′ (x) với hàm u(x) biết 12 2.1.2 Xác định khoảng đơn điệu hàm y = f (u(x)) + g(x) dựa vào bảng biến thiên đồ thị y = f ′ (x), với hàm u(x) biết 2.1.3 15 Sáng tác số tốn hàm ẩn liên quan tính đơn điệu hàm số 18 2.2 Khảo sát cực trị hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 21 2.2.1 Xác định cực trị hàm số y = f (u(x)) biết đồ thị bảng biến thiên hàm f ′ (x), với u(x) hàm biết 21 2.2.2 Xác định cực trị hàm g(x) = f (u(x)) + v(x) biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f ′ (x), với u(x) v(x) hàm biết 24 2.2.3 2.3 Sáng tác số toán cực trị hàm ẩn 26 Khảo sát giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn thông qua số điều kiện biết 30 ii 2.3.1 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) thông qua đồ thị, bảng biến thiên y = f (x) y = f ′ (x) miền D, với u(x) biết 30 2.3.2 Xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = f (u(x)) + v(x) khoảng K thông qua đồ thị hàm số y = f ′ (x), với u(x) v(x) hàm biết 32 2.3.3 Sáng tác số toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm ẩn 34 2.4 Khảo sát tương giao đồ thị hàm ẩn 39 2.4.1 Dạng toán cho biết đồ thị bảng biến thiên hàm số y = f (x), xét toán liên quan đến phương trình f (u(x)) = a, với u(x) hàm biết 39 2.4.2 Dạng tốn tương giao biện luận nghiệm phương trình f (u(x)) = g(m) cho biết đồ thị bảng biến thiên f (x) với u(x) hàm biết 2.4.3 41 Biết đồ thị bảng biến thiên y = f (x), xét toán liên quan đến phương trình có dạng f (u(x)) = f (m),với hàm u(x) biết 44 iii 2.4.4 Dạng toán hàm ẩn liên quan đến phương trình có dạng f (|x|) = a; |f (x)| = a; f (|u(x)|) = a |f (u(x))| = a với hàm u(x) biết 49 2.4.5 Dạng toán liên quan đến đồ thị bảng biến thiên hàm y = f ′ (x) Xét tốn liên quan đến phương trình f (u(x)) = g(x) với hàm u(x), g(x) biết 56 2.4.6 Sáng tác toán tương giao hàm ẩn 60 Tích phân hàm ẩn 69 3.1 Tích phân hàm ẩn phương pháp đổi biến 69 3.2 Tích phân hàm ẩn phương pháp phần 76 3.3 Một số tốn tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức: f ′ (x) + p(x) · f (x) = h(x) (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) 83 3.4 Sáng tác tốn tích phân hàm ẩn 85 Kết luận 89 Tài liệu tham khảo 90 iv MỞ ĐẦU Theo xu đổi giáo dục, trình dạy học để đạt kết cao đòi hỏi giáo viên phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh, để đưa phương pháp phù hợp với kiến thức, với đối tượng học sinh cần truyền thụ Mỗi người thầy, cô giáo luôn học hỏi cập nhật sáng tạo phương pháp cách giải cho học sinh dễ tiếp cận để học sinh thích nghi với thay đổi kì thi thi tốt nghiệp trung học phổ thơng quốc gia Khơng cịn giúp học sinh vượt qua nỗi lo âu, sợ hãi phải luyện tập câu mức độ vận dụng cao giải tập đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông quốc gia Từ năm học 2016-2017 (kì thi THPT Quốc Gia 2017), mơn Tốn áp dụng hình thức thi trắc nghiệm Qua kì thi THPT Quốc Gia năm 2017, 2018, 2019 gần năm 2020 kiến thức toán THPT xây dựng phát triển theo nhiều hướng Đây thách thức lớn hội để giáo viên phải luôn học hỏi nâng cao kỹ giảng dạy thân Trong mảng kiến thức mà Bộ Giáo dục thường xuyên trọng xoáy sâu “Khảo sát đồ thị hàm số liên quan đến hàm ẩn” “Tích phân liên quan đến hàm ẩn” Các toán liên quan đến chuyên đề “Hàm số tích phân phong phú đa dạng Chính phương pháp để giải dạng toán liên quan đến đồ thị hàm ẩn tích phân hàm ẩn cần thiết giúp giáo viên có trình độ kiến thức giảng dạy học sinh để tiếp cận giúp cho học sinh vận dụng kiến thức tốt để xử lí câu mức độ vận dụng cao đề thi TN THPT Quốc Gia cho năm tới Nội dung luận văn chia làm ba chương Chương I: Giới thiệu, nhắc lại số kiến thức chung hàm số sơ cấp chương trình phổ thơng Chương II: dành để trình bày phương pháp xử lý tốn hàm ẩn liên quan đến tính chất đồ thị hàm số tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ tương giao đồ thị hàm số Cụ thể chương phân mục tương ứng cho nội dung đặt Chương III: dành để trình bày phương pháp xử lý tốn tích phân hàm ẩn Cụ thể chương phân mục đích tích phân biến đổi số tích phân phần Và cuối chương II III có mục sáng tác riêng dạng tốn thường gặp kì thi TN THPT Quốc Gia Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS Mai Thành Tấn, Phó Trưởng khoa Tốn Thống Kê Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến TS Mai Thành Tấn – giảng viên hướng dẫn thực đề tài luận văn Thầy người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Phương Pháp Toán Sơ Cấp trường Đại học Quy Nhơn toàn thể quý thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn ln quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Bình Định, tháng năm 2021 Tác giả luận văn CHÂU ĐÌNH TÍN Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm ẩn Cho phương trình F (x, y) = (1.0.1) Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp U ⊂ R2 Nếu với giá trị x = x0 khoảng I đó, có hay nhiều giá trị y0 cho F (x0 , y0 ) = 0, ta nói phương trình (1.0.1) xác định hay nhiều hàm số ẩn y theo x khoảng I Vậy hàm số f : I → R hàm số ẩn xác định (1.0.1) ∀x ∈ I, (x, f (x)) ∈ U F (x, f (x)) = Tương tự vậy, phương trình F (x, y, z) = (1.0.2) Trong F : U → R hàm số xác định tập hợp mở U ⊂ R3 , có thê xác định hay nhiều hàm số ẩn x biến số x, y Hệ hai phương trình   F (x, y, z, u, v) =  G(x, y, z, u, v) = F : U → R, G : U → R hàm số xác định tập hợp U ⊂ R5 , xác định hay nhiều cặp hàm só ẩn u, v biến số x, y, z Ta có định lí sau tồn tại, tính liên tục tính khả vi hàm số ẩn  x = a suy g(y) = a hay y = α Đổi cận:  x = b suy g(y) = b hay y = β Suy ra: I = b a f (x)dx = β α y.g(y)dy Ví dụ 3.1.10 Cho hàm số f (x) liên tục R thỏa: f (x) + f (x) = x, ∀x ∈ R Tính f (x)dx Lời giải Đặt y = f (x) x = y + y suy dx = (3y + 1) dy Đổi cận: x = ⇒ y3 + y = ⇒ y = x = ⇒ y3 + y = ⇒ y = Khi f (x)dx = y (3y + 1) dy = 5/4 Ví dụ 3.1.11 Cho hàm f (x) liên tục R thỏa mãn 2f (x) − 3f (x) + 6f (x) = x, ∀x ∈ R Tính I = f (x)dx Lời giải Đặt y = f (x) x = 2y − 3y + 6y suy dx = (6y − 6y + 6) dy Đổi cận: x = ⇒ 2y − 3y + 6y = ⇒ y = x = ⇒ 2y − 3y + 6y = ⇒ y = I= 3.2 f (x)dx = y.(6y − 6y + 6)dy = Tích phân hàm ẩn phương pháp phần Trong mục Luận Văn trình bày số ví dụ xoay quanh dạng tốn tích phân phần số tốn với cách giải đặt biệt 76 Tích phân phần với hàm ẩn thường áp dụng cho toán mà giả thiết kết luận có tích phân sau: b b µ(x)f ′ (x)dx µ′ (x).f (x)dx a a Ví dụ 3.2.1 Cho hàm số f (x) thỏa mãn 2f (1) − f (0) = Tính I = (x + 1)f ′ (x)dx = 10 f (x)dx Lời giải A = 0 (x + 1)f ′ (x)dx Đặt Khi  u = x + ⇒ du = dx  dv = f ′ (x)dx ⇒ v = f (x) A = (x + 1)f (x)|0 − f (x)dx = 10 2f (1) − f (0) − f (x)dx = 10 hay − f (x)dx = 10 suy f (x)dx = −8 Ví dụ 3.2.2 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho f thỏa mãn f (x3 + 3x + 1) = 3x + 2, ∀x ∈ R Tính I = xf ′ (x)dx Lời giải   u = x ⇒ du = dx Đặt  dv = f ′ (x)dx ⇒ v = f (x) Khi I = xf (x) 5 − f (x)dx = 5f (5) − f (1) − f (x)dx  f (1) = (x = 0) Ta có: f (x + 3x + 1) = 3x + f (5) = (x = 1) 77 Suy I = 5.5 − − Xét 5 f (x)dx f (x)dx = 23 − f (x)dx Đặt x = t3 + 3t + suy dx = (3t2 + 3) dt Đổi cận: x t −3 Khi 1 f t + 3t + (3t + 2) 3t2 + dt 3t + dt = −3 −3 Khi I = 23 − −3 (3t + 2) (3t2 + 3) dt = 33 Ví dụ 3.2.3 Cho hàm f (x) với f (0) = f (1) = Biết ex (f (x) + f ′ (x)) dx = ae + b; a, b ∈ R Hỏi giá trị biểu thức a2019 + b2019 bằng? Lời giải Xét ex (f (x) + f ′ (x)) dx = (ex f (x) + ex f ′ (x)) dx 1 (ex f (x)) dx = ex f (x) ′ = 0 = ef (1) − 1.f (0) = e − ⇒ a = 1; b = −1 Suy a2019 + b2019 = Ví dụ 3.2.4 Cho f, g liên tục có đạo hàm R thỏa mãn f ′ (0).f ′ (2) = g(x).f ′ (x) = x (x − 2) ex Tính I = Lời giải Ta có: g(x)f ′ (x) = x (x − 2) ex ta g(0) = g(2) = (Vì f ′ (0).f ′ (2) = 0) I= f (x)g ′ (x)dx = f (x)g(x) − 78 g(x)f ′ (x)dx f (x)g ′ (x)dx = f (2)g(2) − f (0)g(0) − Suy I = − g(x)f ′ (x)dx x (x − 2) ex dx = Ví dụ 3.2.5 (SGD Thanh Hóa - 2018) Cho hàm số f (x) liên tục π = 3; π/4 π/4 [sinx.tanx.f (x)] dx = Tính sinx.f ′ (x)dx có đạo hàm [0;π/4] thỏa mãn f π/4 f (x) dx = cosx Lời giải π/4 Ta có: I = sinxf ′ (x)dx    u = sinx  du = sinxdx Đặt ⇒ dv = f ′ (x)dx v = f (x) I = sinxf (x) π Ta có: = = π π π − √ f (x)cosxdx = − I1 f (x) dx cosx f (x) − cosxf (x) dx = − I1 cos(x) π (sinx.tanx.f (x)) dx = (1 − cos2 x) f (x) dx = cosx π sin2 x I1 = −1 Như vậy: I = −I1 = Ví dụ 3.2.6 Cho hàm số f (x) có đạo hàm R thỏa mãn xf ′ (2x − 4) dx = 8; f (2) = Tính I = −2 f (2x)dx Lời giải Xét 0 x.f ′ (2x − 4) dx =  u = x Đặt   dv = f ′ (2x − 4) dx Khi Mà du = dx ⇒  v = f (2x − 4) 3 1 xf (2x − 4)dx = x · f (2x − 4) − f (2x − 4)dx 2 1 = f (2) − f (2x − 4)dx 2 ′    x.f ′ (2x − 4) dx = 8, suy f (2x − 4)dx = −10 79 Đặt 2t = 2x − suy 2dt = 2dx Đổi cận x = hay t = −2 x = hay t = 1 f (2t)dt = I1 = −2 −2 f (2x)dx = −10 Trường hợp đặc biệt:[6] b a Khi cho f (a), f (b), u(x)f ′ (x)dx = h; b ′ a [f (x)] dx = k (với u(x) biểu thức chứa x), để tìm f (x) Trước tiên ta tìm số α, β cho: b a [f ′ (x) + αu(x) + β] dx = suy f ′ (x) = −αu(x) − β , sau ngun hàm vế tìm f (x) Ví dụ 3.2.7 Cho hàm số y = f (x) liên tục [0;2] thỏa mãn f (x) = f (x)dx = 2 [f ′ (x)] dx = Tính f (x) dx x2 Lời giải Xét Đặt  f (x)dx u = f (x)  dv = dx = ⇒  du = f ′ (x)dx f (x)dx = v=x  xf (x)|0 2 − xf (x)dx = 2f (2) − 2 xf ′ (x)dx −2=− xf ′ (x)dx Hay − = − Khi Ta có: xf ′ (x)dx ′ x2 dx = 80 Do đó: 2 [f ′ (x)] dx − xf ′ (x)dx + 2 x dx = 0, f (x) − x dx = ⇒ f ′ (x) − x = 0, hay 2 x2 ′ xdx = + c, f (x) = x ⇒ f (x) = 2 22 Mà f (2) = hay f (2) = + c, suy c = Vậy f (x) = x2 2 1/4x2 f (x) dx = dx = x2 x2 1 ′ Ví dụ 3.2.8 Cho hàm số f (x) liên tục có đạo hàm [0;1] thỏa mãn f (1) = 4, phân ′ [f (x)] dx = 4, ′ [f (x)] dx = 36 f (x)dx bằng? xf (x)dx = Tích Lời giải Từ giả thiết: xf (x)dx =   x = f (x) Đặt  dv = xdx 1   du = f ′ (x)dx hay  v = x2 1 2 x2 x ′ x ′ xf (x)dx = f (x) − f (x)dx = · − f (x)dx 2 0 2 2 x ′ x ′ Khi =2− f (x)dx ta f (x)dx = 5 2 1 x ′ 10x2 f ′ (x)dx = 36 f (x)dx = 36 Suy 20 0 81 Ta có: ′ 10x2 f ′ (x)dx = [f (x)] dx − [f ′ (x)] − 10x2 f ′ (x) = f ′ (x) f ′ (x) − 10x2 = suy f ′ (x) = 0; f ′ (x) = 10x2 hay f (x) = c; f (x) = 10x2 dx Với f (x) = c loại [f ′ (x)] dx = 36 10 x + c′ , 10 + c′ f (1) = nên f (1) = c′ = 23 Với f (x) = Vậy 10x2 dx = f (x)dx = 10 x + dx = 23 Ví dụ 3.2.9 Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f (1) = (f ′ (x)) + (6x2 − 1) f (x) = 40x6 − 44x4 + 32x2 − 4, với x ∈ [0; 1] Tính tích phân f (x)dx Lời giải Ta có: (f ′ (x)) + · 6x2 − f (x) = 40x6 − 44x4 + 32x2 − 4, với x ∈ [0; 1] [f (x)] dx+4 0 Do 1 ′ 6x − f (x)dx = (6x2 − 1) f (x)dx = 0 40x6 − 44x4 + 32x2 − dx (24x2 − 4) f (x)dx 82   u = f (x) Đặt  dv = (24x2 − 4) dx   du = f ′ (x)dx hay  v = 8x3 − 4x 24x − f (x)dx = 8x − 4x f (x) − 1 8x3 − 4x f ′ (x)dx =4 − 8x3 − 4x f ′ (x)dx Suy ′ [f (x)] dx + − 8x3 − 4x f ′ (x)dx = 376 105 4x3 − 2x dx ta được: Cộng vế đẳng thức ′ = [f (x)] dx − 4+ 1 ′ 4x − 4x f (x)dx + 4x3 − 2x dx 376 + 105 hay 4x3 − 2x dx f ′ (x) − 4x3 − 2x dx + = Khi f ′ (x) = 4x3 − 2x f (x) = (4x3 − 2x) dx = x4 − x2 + c Vi f (1) = nên f (1) = 14 − 12 + c ⇒ = c 13 Do f (x)dx = 3.3 Một số tốn tích phân hàm ẩn liên quan đến biểu thức: f ′ (x) + p(x) · f (x) = h(x) (phương trình vi phân tuyến tính cấp 1) Hiện dạng tốn tính tích phân liên quan đến điều kiện hàm f (x) thỏa mãn phương trình vi phân tuyến tính cấp mở rộng đưa vào giảng dạy nên mục Luận Văn trình bày bước giải tích phân hàm f (x) thỏa mãn phương trình vi phân tuyến tính cấp Phương pháp:[9] 83 Tìm P (x) = p(x)dx; Nhân hai vế với e f ′ (x)e p(x)dx p(x)dx + p(x)e p(x)dx , ta được: · f (x) = h(x) · e p(x)dx f ′ (x) · eP (x) + p(x)eP (x) · f (x) = h(x) · eP (x) f (x)e p(x)dx ′ = h(x)eP (x) Lấy tích phân hai vế ta được: f (x)eP (x) = h(x)eP (x) dx ⇒ f (x) Ví dụ 3.3.1 Cho hàm số f (x) thỏa mãn f (0) = f (x) + f ′ (x) = x3 , ∀x ∈ R Tính giá tri f (1) Lời giải f (x) + f ′ (x) = x3 ex f (x) + ex f ′ (x) = x3 · ex ′ [ex f (x)] = x3 ex Suy ′ [ex f (x)] dx = x3 ex dx ex f (x) = x3 ex − = x3 ex − (x2 ex − (x2 ex − 2xex dx) = x3 ex − 3x2 ex + (xex − = x3 ex − 3x2 ex + 6xex − 6ex + c Như f (x) = x3 − 3x2 + 6x − + c ex c − hay c = 10 Suy ra: f (1) = 13 − 3.12 + 6.1 + 10 =1−3+6+ e1 Mặt khác f (0) = nên f (0) = 10 e = −2 + Ví dụ 3.3.2 Cho hàm số y = f (x) thỏa mãn f (1) = 9e , f ′ (x) + 3x2 f (x) = (15x4 + 12x) e−x Tính I = Lời giải Ta có: f ′ (x) + 3x2 f (x) = (15x4 + 12x) e−x Nhân vế cho e 3x2 dx = ex ex 3x2 dx Suy ra: 84 f (x)dx 10 e ex dx) 3 ex · f ′ (x) + 3x2 · ex · f (x) = (15x4 + 12x) e−x − ex 3 ′ ex f (x) = 15x4 + 12x ex f (x) = 3x5 + 6x2 + c Ta có: f (1) = e· suy e1 f (1) = 3.15 + 6.12 + c e =9+c e c=0 Vậy f (x) = 3x5 + 6x2 e−x Khi 1 f (x)dx = 0 3.4 3x5 + 6x2 · e−x dx Sáng tác tốn tích phân hàm ẩn b a Với dạng tích phân đổi biến u′ (x)f (u(x))dx ta thay đổi hàm u(x) thành nhiều dạng hàm để tạo tư cho học sinh, thêm điều kiện hàm f (x) Ví dụ sau minh họa Ví dụ 3.4.1 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, thỏa mãn π tan x.f (cos x) dx = e2 e f (ln x2 ) dx = Tính x ln x Lời giải Đặt t = cos2 x, suy dt = −2sinx.cosxdx Suy sin x f (cos2 x) dx = 0 cos x π −2 sin x cos x 1 f (t) − 04 f (cos x) dx = dt cos2 x 2 t I1 = π tan x.f (cos2 x) dx = π 85 f (2x) dx x Đặt t = ln x, suy dt = Suy I2 = e2 e f ln2 x dx = ln x dx x ln x.f ln2 x e2 2 e dx = x ln x xln x Đặt t = 2x suy dt = 2dx, ta tính f (2x) f (2x) f (t) I= dx = d (2x) = d (t) 4 x 2x t f (t) f (t) dt + dt = (I1 + I2 ) = (2 + 2) = = t t f (t) dt t Ví dụ 3.4.2 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, thỏa mãn xf (x5 ) + f (1 − x4 ) = x11 + x8 + x6 − 3x4 + x + 3, ∀x ∈ R Hỏi f (x) dx bằng? −1 Lời giải Với x ∈ R: xf (x5 ) + f (1 − x4 ) = x11 + x8 + x6 − 3x4 + x + Nhân vế cho x3 , ta được: x4 f (x5 ) + x3 f (1 − x4 ) = x14 + x11 + x9 − 3x7 + x4 + 3x3 Lấy tích phân vế đoạn [0; 1], ta được: x f (x ) dx+ x f (1 − x ) dx = 0 (x14 + x11 + x9 − 3x7 + x4 + 3x3 ) dx 1 33 1 f (x5 ) d (x5 ) − f (1 − x4 ) d (1 − x4 ) = 50 40 40 1 1 11 33 f (x) dx + f (x) dx = , suy f (x) dx = 50 40 40 Mặt khác ta lấy tích phân vế đoạn [−1; 0] ta được: −1 x4 f (x5 ) dx+ x3 f (1 − x4 ) dx = −1 0 −1 (x14 + x11 + x9 − 3x7 + x4 + 3x3 ) dx 1 f (x5 ) d (x5 ) − f (1 − x4 ) d (1 − x4 ) = − −1 −1 24 1 f (x) dx − f (x) dx = − −1 40 24 11 Suy f (x) dx = − + = 24 6 −1 Nhận xét: Đối với dạng tốn tích phân phần ta thay đổi hàm u′ (x) để tạo nhiều toán Hoặc sử dụng tính chất hàm chẵn, lẻ hay dạng 86 tích phân đặt biệt trình bày để sáng tác tốn Ví dụ 3.4.3 Cho hàm số y = f (x) liên tục R, thỏa mãn f (x) dx = 1, f (1) = cot Tính tích phân I = [f (x) tan2 x + f ′ (x) tan x] dx Lời giải Ta có : [f (x) tan2 x + f ′ (x) tan x] dx = 1 f (x) tan2 xdx+ f ′ (x) tan xdx(1) 0 Tính J = f ′ (x) tan xdx    u = tan x  du = (1 + tan2 x) dx Đặt , ta có  dv = f ′ (x) dx  v = f (x) J=f (x) tan x|0 − f (x) (1 + tan2 x)dx = f (1) tan − f (0) tan − = cot tan − =1− 0 f (x) tan xdx − f (x)dx f (x) tan2 xdx − 10 f (x) tan2 xdx − 10 = −9 − Thay J vào (1) ta được: I= f (x) tan2 xdx + −9 − 1 f (x) tan2 xdx f (x) tan2 xdx = −9 Nhận xét: dạng tốn tích phân liên quan đến phương trình vi phân tuyến tính cấp ta thay đổi hàm p(x) hàm h(x) với điều kiện hai hàm liên tục đoạn lấy tích phân tạo nhiều tốn vận dụng cao Ví dụ 3.4.4 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục [0; π] Biết f (0) = 2e f (x) thoả mãn hệ thức f ′ (x) + sin x.f (x) = cos x.ecos x , với x ∈ [0; π] Tính I = π f (x) dx Lời giải Theo giả thiết: f ′ (x) + sin x.f (x) = cos x.ecos x 87 Nhân hai vế cho e− cos x , ta được: e− cos x f ′ (x) + e− cos x sin x.f (x) = cos x ′ ⇒ [e− cos x f (x)] = cos x ⇒ e− cos x f (x) = sin x + C1 (1) Do f (0) = 2e vào (1), ta C1 = suy f (x) = (2 + sin x) ecos x Dùng máy tính I = π π f (x) dx = 0 88 (2 + sin x) ecos x dx ≈ 10, 30532891 Kết luận Với mục đích tìm hiểu toán hàm ẩn số dạng tích phân liên quan đến tốn sơ cấp chương trình tốn học phổ thơng Luận Văn hồn thành nhiệm vụ sau: Phân tích phương pháp giải dạng tốn khảo sát hàm ẩn chương trình tốn phổ thơng mức độ vận dụng, vận dụng cao dạng toán khảo sát hàm ẩn vận dụng cao đề thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia năm gần Giáo Dục Đào Tạo, đề thi thử Tốt Nghiệp trường chuyên sở Giáo Dục Đào Tạo nước Tìm hiểu phân dạng tốn tích phân liên quan đến hàm ẩn, trình bày cụ thể chi tiết ví dụ minh họa để người đọc có cách nhìn đa chiều dạng tích phân đổi biến, tích phân phần số tích phân liên quan đến phương trình vi phân tuyến tính chương trình tốn phổ thơng dạng tốn tích phân vận dụng cao trích đề thi thử Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Quốc Gia sở Luận văn đưa số phương pháp sáng tạo toán khảo sát hàm ẩn, tích phân hàm ẩn Từ sáng tác số toán với phương pháp giải trình bày Một số tốn sáng tác làm tài liệu tham khảo để bồi dưỡng học sinh giỏi trường phổ thông luyện thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia 89 Tài liệu tham khảo [1] Trần Đình Cư, Kỹ thuật giải nhanh chuyên đề khảo sát hàm số Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2014 [2] Đặng Việt Đông, Chuyên đề hàm số Tài liệu lưu hành nội bộ, 2017 [3] Nhóm giáo viên Lê Văn Tuấn, Nguyễn Thế Duy, Đặng Công Đức Tuyển chọn 3600 tập khảo sát hàm số ứng dụng Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2021 [4] Phan Huy Khải , Tốn nâng cao giải tích tập 2: Hàm số ứng dụng hàm số Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 [5] Đề thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia năm gần đề thi thử sở Giáo Dục Đạo Tạo nước [6] Phan Huy Khải , Tốn nâng cao giải tích tập : Tích phân giải tích tổ hợp Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2000 [7] James Stewart , Giải tích - tập 1, - Calculus 7e Nhà xuất Hồng Đức, 2016 [8] Nguyễn Hữu Bắc, Chinh phục nguyên hàm - tích phân từ A-Z Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2016 [9] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp 3: Phép tính giải tích nhiều biến số Nhà xuất giáo dục Việt Nam 90 ... thị hàm số liên quan đến hàm ẩn? ?? ? ?Tích phân liên quan đến hàm ẩn? ?? Các toán liên quan đến chuyên đề ? ?Hàm số tích phân phong phú đa dạng Chính phương pháp để giải dạng toán liên quan đến đồ thị hàm. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN CHÂU ĐÌNH TÍN BÀI TỐN HÀM ẨN VÀ MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN LIÊN QUAN TRONG TỐN SƠ CẤP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 Người... Chương Khảo sát số vấn đề liên quan đến hàm ẩn Chương trình bày dạng tốn mức độ vận dụng cao phần hàm số chương trình trung học phổ thông liên quan đến hàm ẩn Phân dạng rõ dạng toán liên quan, phương