Luận văn một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

1 M Ưu Mửc ẵch cừa à ti luên vôn CĂc bi toĂn và ữớng trỏn luổn l nhỳng bi toĂn ữủc cĂc nh toĂn hồc quan tƠm NhiÃu bi toĂn và sỹ tiáp xúc cừa cĂc ữớng trỏn  gưn liÃn vợi tản tuời cừa cĂc nh toĂn håc nh÷ b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, cĂc bi toĂn và ữớng trỏn hẳnh hồc arbelos ("hẳnh dao cừa thủ õng giƯy") Sỹ dăn d­t tø b i to¡n n y sang b i to¡n kh¡c còng cĂc ựng dửng cừa chúng  mang lÔi nhiÃu kát quÊ tuyằt với cừa hẳnh hồc Euclide  hiu biát thảm và cĂc cĂc ữớng trỏn tiáp xúc, khai thĂc cĂc tẵnh chĐt, cĂch xĂc nh chúng, Ăp dửng ữủc v o c¡c b i to¡n kh¡c, tỉi ¢ chån · t i "Mởt số bi toĂn và ữớng trỏn tiáp xúc" Mửc ẵch cừa à ti l: -Tẳm hiu cĂc bi toĂn liản quan án cĂc ữớng trỏn tiáp xúc: bi toĂn Thebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n và ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos - Trẳnh by mội bi toĂn vợi nhỳng nởi dung ữủc cêp nhêt, theo trẳnh tỹ: xuĐt cừa bi toĂn, cĂch giÊi quyát mợi cừa bi toĂn v cĂc bi toĂn liản quan - CĂc kát luên khoa hồc rót tø c¡c b i to¡n v  ¡p dưng º giÊi toĂn hồc sinh giọi phờ thổng - Bỗi dữùng nông lỹc dÔy cĂc chuyản à khõ trữớng THCS v THPT gõp phƯn o tÔo hồc sinh hồc giäi mỉn H¼nh håc 2 Nëi dung cõa à ti, nhỳng vĐn à cƯn giÊi quyát Trẳnh by mët c¡ch h» thèng c¡c b i to¡n nâi tr¶n, ¡p dửng ữủc cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn tiáp xúc vo cĂc bi toĂn khĂc Nởi dung luên vôn chia lm chữỡng: Chữỡng Tứ bi toĂn Thebault án b i to¡n Feuerbach X²t hai b i to¡n : b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach v  mèi li¶n h» giúa chóng B i to¡n Feuerbach l  mët nhúng b i to¡n µp  nhĐt cừa hẳnh hồc phng Euclide trÊi qua nhiÃu nôm thĂng vợi nhiÃu cĂch chựng minh Chữỡng ny bao gỗm: 1.1 Giợi thiằu và hai bi toĂn: bi toĂn Thebault v  b i to¡n Feuerbach 1.2 B i to¡n cì b£n 1.3 p dửng Chữỡng Bi toĂn Malfatti Giợi thiằu b i to¡n Malfatti v  b i to¡n Malfatti gèc Tr¼nh b y chi ti¸t líi gi£i b i to¡n to¡n Malfatti cho tam giĂc bĐt ký, giÊi thẵch Ưy ừ tÔi cĂc ÷íng trán Malfatti khỉng l  nghi»m cõa b i to¡n Malfattigèc v Ơu l nghiằm úng cừa bi toĂn õ Chữỡng ny bao gỗm cĂc mửc sau: 2.1 Giợi thiằu bi to¡n Malfatti 2.2 Líi gi£i cõa b i to¡n Malfatti gèc 2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti 2.4 Mët sè b i toĂn kiu Malfatti gốc Chữỡng ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc arbelos Hẳnh hồc arbelos nghiản cựu cĂc nỷa ữớng trỏn tiáp xúc, chỳ "arbelos" ữủc ghp tứ c¡i α, %, β, η, λ, θ, ς thnh (% ) Hẳnh arbelos l ba nỷa ữớng trỏn vợi cĂc ữớng kẵnh trản mởt ữớng thng Theo quan im trỹc quan, ngữới ta gồi arbelos l "hẳnh dao cừa thủ õng giƯy" Chữỡng ny à cêp án mởt số tẵnh chĐt cừa arbelos, cĂch dỹng cĂc ữớng trỏn tiáp xúc, c biằt nảu cĂch dỹng cp ữớng trỏn Archimedes cừa mởt arbelos, cêp nhêt ữủc nhỳng phĂt hiằn nhỳng nôm gƯn Ơy Nởi dung bao gỗm: 3.1 Mởt số bi toĂn ỡn giÊn 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp v ữớng trỏn Archimedes 3.3 Dỹng cĂc cp ữớng trỏn Archimedes hẳnh arbelos Chữỡng Tứ bi toĂn Thebault án bi toĂn Feuerbach Ngữới ta hay nõi án v àp cừa toĂn hồc Vêy Ơu l v àp cừa nõ? ổi ch xuĐt phĂt tứ mởt bi toĂn cử th lÔi dăn tợi mởt bực tranh thêt àp Chng hÔn bực tranh sau Ơy l hai kát quÊ toĂn hồc nời tiáng, xuĐt phĂt tứ nhỳng lắnh vỹc khĂc biằt, tững nhữ khổng cõ quan hằ gẳ lÔi gưn cht vợi Trong chữỡng ny ta s xt hai nh lỵ nời tiáng và cĂc ữớng trỏn tiáp xúc: nh lỵ Feuerbach v nh lỵ Thebault Chúng ữủc khĂm phĂ bði hai nh  to¡n håc kh¡c ð nhúng kho£ng thới gian rĐt xa nhau: nh lỵ thự nhĐt ới cĂch nh lỵ thự hai 116 nôm TrÊi qua mởt thới gian di, mội nh lỵ cõ mởt têp hủp cĂc php chựng minh dỹa trản nhỳng cĂch nhẳn nhên khĂc Khổng hà nõi quĂ rơng hai nh lỵ ny nhữ hai ch em ruởt: chúng l hai tr÷íng hđp kh¡c cõa cịng mët sü ki»n to¡n håc 1.1 Giỵi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach 1.1.1 B i to¡n Feuerbach Ta bưt Ưu bơng mởt vi khĂi niằm v kát quÊ  biát Trong mt phng tam giĂc ABC chẵn im sau nơm trản mởt ữớng trỏn: ba chƠn ữớng cao D, E, F ; ba trung im cĂc cÔnh M, N, P v ba trung im oÔn thng nối trỹc tƠm vợi nh tam giĂc, kỵ hiằu l HA , HB , HC ÷íng trán i qua im õ ữủc gồi l ữớng trỏn chẵn im Sỹ kiằn c biằt ny ữủc tẳm nôm 1765 bi nh toĂn hồc thiản ti Leonard Euler (1707-1783), bi vêy nõ cỏn cõ tản gồi l ữớng trỏn Euler Nôm 1822, K Feuerbach  chựng minh ữủc nh lỵ nõi và tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn chẵn im Tẵnh chĐt ny nời tiáng án mực lúc Đy nhiÃu ngữới cỏn gồi ữớng trỏn ny l ữớng trỏn Feuerbach nh lỵ 1.1 ( B i to¡n Feuerbach) Trong måi tam gi¡c, ÷íng trỏn chẵn im tiáp xúc vợi ữớng trỏn nởi tiáp v cĂc ữớng trỏn bng tiáp Ta nhợ rơng ữớng trỏn bng tiáp l ữớng trỏn tiáp xúc vợi mởt cÔnh tam giĂc v phƯn ko di cừa hai cÔnh Nhữ vêy ữớng trỏn bng tiáp tam giĂc ABC ựng vợi gõc A l ữớng trỏn tiáp xúc vợi cÔnh BC v phƯn ko di cÔnh AB (và phẵa B ) v cÔnh AC (và phẵa C ) Mội tam giĂc cõ ba ữớng trỏn bng tiáp TĂc giÊ cừa nh lỵ l Karl Wilhelm Feuerbach (1800-1834) l mởt nh toĂn hồc ngữới ực, anh trai cừa nh triát hồc nời tiáng Ludwig Feuerbach Sau nhên hồc v tián sắ vo nôm 22 tuời tr thnh giĂo sữ toĂn hồc cừa trữớng Gymnasium tÔi thnh phố Erlangen Th nh n y sau 50 n«m ph¡t minh cõa Feuerbach, nôm 1872, xuĐt hiằn "chữỡng trẳnh Erlangen" cừa Felix Klein và "Hằ thống hõa hẳnh hồc", m Ưu cho hẳnh hồc hiằn Ôi Ngy cĂc php chựng minh nh lỵ Feuerbach a số Ãu sỷ dửng cổng cử mÔnh nhữ php nghch Êo, nh lỵ Ptolemy tờng quĂt Nh÷ng cơng câ nhúng ph²p chùng minh ho n to n c§p Mët nhúng ph²p chùng minh â thuëc v· V.Protasop, t¡c gi£ cõa b i b¡o [7], â t¡c giÊ coi nh lỵ Feuerbach l trữớng hủp riảng cừa nh lỵ và khoÊng Sau Ơy l cĂch giÊi quyát bi toĂn Feuerbach bơng phữỡng phĂp sỡ cĐp: Chựng minh GiÊ sỷ O9, O, I, r, R nhữ kỵ hiằu  biát, QOS l ữớng kẵnh vuổng gõc vợi BC , F, N l hẳnh chiáu cừa O9 , I lản BC , P l hẳnh chiáu cừa A lản OQ Bữợc (O9) tiáp xúc vợi (I, r) O9I = R2 r Bữợc chựng minh thỹc hiằn theo sỡ ỗ sau: Chựng minh P O = 2EF Chùng minh IN.QP = M K.DN = M N.N K R2 R2 Chùng minh O9 I = + r − IN (QP + P O) = + r2 − Rr = 2  2 R r 2 Bữợc Chựng minh (O9) tiáp xúc ngoi vợi, chng hÔn, ữớng trỏn (Ia) bng tiáp Ab Bữợc chựng minh thỹc hiằn theo sỡ ỗ sau: HÔ Ia Xa BC , chựng minh M N.Xa K = M K.Xa D OA2 + Xa Ia2 + P O.Xa Ia + HÔ O9 L ⊥ Xa Ia , chùng minh O9 Ia2 = M N.Xa K  2 R R Tứ õ bián ời thu ữủc O9 Ia = = O9 Ia = + ρa + ρa , 2 õ a = bĂn kẵnh ữớng trỏn bng tiáp Ab Hẳnh 1.1: Bi toĂn Feuerbach Vợi sỡ ỗ õ ta chựng minh ữủc nh lỵ Feuerbach (xem [1]), phƯn sau ta s tiáp cên bi toĂn ny b¬ng c¡ch kh¡c 1.1.2 B i to¡n Thebault Kh¡c vợi Feuerbach, nh toĂn hồc nời tiáng ngữới PhĂp Victor Thebault (1882-1960), tĂc giÊ cừa hỡn 1000 nh lỵ v bi toĂn (riảng mởt tÔp chẵ "American mathematical monthly"  ông 582 nh lỵ v bi toĂn chúng) iÃu â chùng tä Thebault l  mët t¡c gi£ câ uy tẵn iÃu khĂ ngÔc nhiản l Thebault lúc õ chữa ữủc phong giĂo sữ Khi õ (v cÊ bƠy giớ) kián thực và hẳnh hồc khổng mang lÔi mởt thu nhêp Ăng k nản Thebault suốt nhiÃu nôm lm viằc văn mởt côn thuả cừa ng nh b£o hiºm Trong c¡c cæng bè cõa Thebault nêi tiáng hỡn cÊ Hẳnh 1.2: Dỹng ữớng trỏn Thebault chẵnh l nh lỵ và ba ữớng trỏn cõ tƠm thng hng Ta gồi tam giĂc cong l hẳnh giợi hÔn bi oÔn thng v mởt cung trỏn Chng hÔn trản hẳnh 1.2, tam giĂc cong ADB giợi hÔn bi hai oÔn thng AD, DB v cung _ BA cừa ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam giĂc ABC Ngữới ta gồi cĂc ữớng trỏn nởi tiáp cĂc tam giĂc cong ADB, ADC l cĂc ữớng trỏn Thebault ựng vợi ữớng trỏn nởi tiáp Tữỡng tỹ cõ cĂc ữớng trỏn Thebault ựng vợi cĂc ữớng trỏn bng tiáp Ta cõ cĂch dỹng ữớng trỏn Thebault nhữ sau: \ - Dỹng tƠm nởi tiáp I cừa ABC v phƠn giĂc Dt cừa ADB - Düng qua I ÷íng Ix ⊥ Dt, Ix ∩ BC = F - Düng qua F ÷íng F y ⊥ BC , F y ∩ Dt = K - Dỹng ữớng trỏn tƠm (K, KF ) õ l ữớng trỏn cƯn dỹng nh lỵ 1.2 (Bi toĂn Thebault) Trản cÔnh BC cừa tam giĂc ABC lĐy im D tũy ỵ Dỹng cĂc ữớng trỏn nởi ti¸p c¡c tam gi¡c cong ADB v  ADC Khi õ ữớng thng tƠm cừa hai ữớng trỏn õ i qua tƠm nởi tiáp cừa ABC Hẳnh 1.3: nh lỵ Thebault nh lỵ ny ữủc Thebault cổng bố dữợi dÔng mởt bi toĂn vo nôm 1938 (khổng chựng minh), cĂc php chựng minh Ưu tiản nhên ữủc bơng phữỡng phĂp tẵnh toĂn vo nhỳng nôm 1970 sau Thebault  mĐt MÂi án nôm 1986, mởt php chựng minh bi toĂn bơng hẳnh hồc thuƯn túy mợi ữủc hon thnh GƯn Ơy cụng cõ mởt php chựng minh nh lỵ ữủc cổng bố bơng tiáng Nga bi nh to¡n håc E D Kulannin "Gi¡o döc To¡n håc", têp 11, nôm 2007 CĂch tiáp cên hai nh lỵ ny cừa chúng tổi l nhữ sau: Trữợc hát nhưc lÔi v bờ sung mởt số tẵnh chĐt liản quan án tƠm ữớng trỏn nởi tiáp, sau õ phĂt biu v  chùng minh b i to¡n cì b£n (bê · Sawayama), chựng minh nh lỵ Thebault, cuối chựng minh nh lỵ Feuerbach tứ nh lỵ Thebault 1.2 Bi toĂn cỡ bÊn Chừ à chẵnh cừa phƯn ny l trẳnh by mởt cĂch giÊi quyát hai bi toĂn nảu trản bơng cĂch dỹa vo mởt bi toĂn cỡ bÊn, hay ữủc gồi l bờ à Sawayama, ỵ tững chẵnh cõa b i b¡o [7] º th§y hai b i to¡n l  cĂc trữớng hủp riảng cừa mởt sỹ kiằn hẳnh hồc ta hÂy nhợ lÔi mởt số khĂi niằm hẳnh håc sau â s³ ph¡t biºu v  chùng minh b i toĂn cỡ bÊn, tứ õ rút nh lỵ Thebault, tứ õ chựng minh nh lỵ Feuerbach Ta bờ sung thảm cĂc tẵnh chĐt sau cừa tƠm nởi tiáp: Hẳnh 1.4: Bờ sung tẵnh chĐt cừa tƠm I Mằnh à 1.1 (a) Cho ABC , ữớng trỏn ngoÔi tiáp (O), ữớng trỏn \ cưt ữớng trỏn ngoÔi tiáp nởi tiáp l  (I) K²o d i ph¥n gi¡c gâc BAC ð L thẳ LI = LB = LC (b) Trản mt ph¯ng cho c¡c ÷íng trán C1 v  C2, C1 ð C2, ti¸p xóc C2 ð T , ti¸p xóc vợi dƠy cung BC cừa C2 Q Tia T Q cưt C2 tÔi \ L Khi õ, L l trung iºm cung CB , T L l  ph¥n gi¡c gâc BT C v  2 LQ.LT = LB = LC [ = LAC [ n¶n L l  trung im cừa Chựng minh (a) Thêt vêy, vẳ LAB \ cung _ BC hay LB = LC Gåi M l  giao iºm cõa ph¥n gi¡c gâc ACB [ ch­n cung M L nản vợi ữớng trỏn ngoÔi tiáp tam gi¡c ABC Gâc IBL câ sè o b¬ng nûa tờng cĂc cung M C v CL Nõ lÔi bơng nûa têng sè o 10 c¡c cung AM v  LB (v¼ _ AM =_ M C v  _ LB =_ CL), b¬ng gâc [ Suy IBL [ = BIL [ , cuèi còng, LI = LB = LC Ho n to n t÷ìng BIL tü ta câ thº ph¡t biu v chựng minh tẵnh chĐt ối vợi tƠm ữớng trán b ng ti¸p tam gi¡c (b) X²t ph²p tü tƠm T , bián C1 thnh C2 Nõ s bián im Q thnh im L, ữớng thng BC tiáp xúc vợi C1 tÔi Q thnh ữớng thng song song vợi BC , tiáp xúc C2 tÔi L Vẳ tiáp tuyán ny song song vợi BC nản [ LT [ L l  trung iºm cõa cung CB Hìn núa cĂc gõc nởi tiáp LCB, C bơng nản tam giĂc LCQ ỗng dÔng vợi tam giĂc LT C , tø â LQ.LT = LB = LC Ho n to n t÷ìng tü ta câ thº ph¡t biºu v  chựng minh tẵnh chĐt ối vợi tƠm ữớng trỏn bng tiáp tam giĂc Khi õ, T L l phƠn giĂc gõc kà vợi gõc BT C nh lỵ 1.3 (Bi toĂn cỡ bÊn) Trản cÔnh BC cừa tam giĂc ABC lĐy tũy ỵ mởt im M V nởi tiáp tam giĂc cong mởt ữớng trỏn tƠm J , tiáp xúc vợi M A, M B lƯn lữủt tÔi P v Q, tiáp xúc ữớng trỏn (O) iºm T Khi â ÷íng th¯ng P Q i qua I H¼nh 1.5: B i to¡n cì b£n 40 Chùng minh Xem \ \ = h¼nh 3.1b) Ta câ c¡c gâc vuæng AU C = ADB b , D, b Vb cõa tù gi¡c CU DV ·u b¬ng 1v Suy \ CV B = 1v n¶n ba gõc U tự giĂc CU DV l hẳnh chỳ nhêt Bi toĂn 3.3 GiÊ thiát nhữ bi toĂn trản, õ ữớng thng U V l tiáp tuyán cừa hai nûa ÷íng trán (AC) v  (CB) Chùng minh Gåi O l  trung iºm CD Ta câ" \ \ \ AU C = 900 , U AC = 900 − U CA \ \ \ \ LÔi cõ U CD = 1v U CA nản AU C =U CD, vêy ∆U O1 C ∼ ∆U CD \ \ \ v  suy U\ O1 C = U OD V¼ C, O, D th¯ng h ng n¶n CU O+U OD = 0 0 \ \ \ 180 hay U\ O1 C + U OC = 180 m  O CO = 90 n¶n O1 U C = 90 hay O1 U U O Nhữ thá U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AC) tÔi U Hon ton tữỡng tỹ, U V tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (CB) tÔi V 3.2 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos Ta xt nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp, phĂt biu v chựng minh mởt số tẵnh chĐt  tứ õ cõ cĂc cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp mởt Arbelos 3.2.1 Tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos nh nghắa 3.1 Cho Arbelos ABC ữớng trỏn tiáp xúc ngoi vợi (BC), (CA) tÔi X, Y v tiáp xúc vợi (AB) tÔi Z ữủc gồi l ữớng trán nëi ti¸p cõa arbelos ABC Ba iºm X, Y, Z l cĂc tiáp im Mằnh à 3.1 ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC cõ bĂn kẵnh = ab(a + b) a2 + ab + b2 Chùng minh Gåi l tƠm v l bĂn kẵnh ữớng trỏn nëi ti¸p , °t \ ωOO2 = θ Theo ành lỵ cổsin Ăp dửng vo O1 O, O2 O: O1 ω = Oω + OO12 + 2Oω.OO1 cosθ O2 ω = Oω + OO22 + 2Oω.OO2 cos 41 Hẳnh 3.2: ữớng trỏn nởi tiáp arbelos tữỡng ữỡng vợi (a + )2 = (a + b ρ)2 + b2 + 2b(a + b − ρ)cosθ (b + ρ)2 = (a + b − ρ)2 + a2 + 2a(a + b − ρ)cosθ Khû cosθ ta ÷đc a(a + ρ)2 + b(b + ρ)2 + b2 = (a + b)(a + b − ρ)2 + ab2 + ba2 Khai trin hai vá v giÊn ữợc ta ữủc phữỡng trẳnh bêc nhĐt ối vợi : a3 + b3 + 2(a2 + b2 )ρ = (a + b)2 + ab(a + b) − 2(a + b)2 ρ hay ρ = ab(a + b) a2 + ab + b2 Trong [5], P.Woo  ữa cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp cừa hẳnh arbelos rĐt ỡn giÊn, tĐt c£ ·u suy tø vi»c ph¡t hi»n iºm thuởc ữớng trỏn Ngay sau Ơy ta s trẳnh by cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng trỏn nởi tiáp Tứ õ suy cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp hẳnh arbelos Mằnh à 3.2 (nh lỵ Bankoff thự nhĐt) GiÊ sỷ Q1, Q2 l  trung iºm nûa ÷íng trán (AC), (BC) Vợi kỵ hiằu nhữ nh nghắa ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC thẳ i, A, C, X, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q1 ii, B, C, Y, Z nơm trản ữớng trỏn, tƠm l Q2 42 Hẳnh 3.3: nh lỵ Bankoff thự nhĐt Chựng minh Xem hẳnh 3.3 Gồi D l giao cừa nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB vợi ữớng thng CtAB Lữu þ r¬ng ta câ AB.AC = AD2 X²t ph²p nghch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l (A, AD) Hai iºm B, C l  nghàch £o cõa nhau, cán AB l  ÷íng th¯ng k²p ƒnh cõa c¡c nûa ÷íng trán (AB), (AC) t÷ìng ùng l  c¡c ÷íng th¯ng `, `0 vuổng gõc vợi AB , lƯn lữủt i qua C v  B Nûa ÷íng trán (AB) trüc giao vợi AB (kp) nản cụng l nỷa ữớng trỏn kp ữớng trỏn nởi tiáp (XY Z) nghch Êo thnh ữớng trỏn tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (BC) v cĂc ữớng thng `, `0 tữỡng ựng tÔi im P, Y , Z Vẳ nỷa ữớng trỏn (BC) k²p n¶n c¡c iºm A, X, P th¯ng h ng; c¡c im Y , Z , cƯn thọa mÂn iÃu ki»n º BP Z v  CP Y l  cĂc ữớng thng tÔo vợi AB cĂc gõc 450 Ta lÔi cõ ữớng thng BP Z i qua trung iºm L cõa ÷íng trán (AB) ƒnh nghàch £o cõa nâ l  ÷íng i trán i qua A, C, X, Z V¼ ph²p nghàch £o b£o to n gâc nản ữớng trỏn ny cụng tÔo vợi AB gõc 450 Do â t¥m cõa nâ l  trung iºm Q1 cừa ữớng trỏn (AC) PhƯn thự hai hon ton tữỡng tỹ 43 Hẳnh 3.4: Ba cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC Mằnh à 3.3 CĂc ữớng thng AX, BY, CZ cưt tÔi im S trản ữớng trỏn nởi tiáp (XYZ) Chựng minh Xem hẳnh 3.4 b) Ta luæn câ A, X, Q2 th¯ng h ng, B, Y, Q1 th¯ng h ng Gåi S = AQ2 ∩ (XY Z) v xt php nghch Êo vợi ữớng trỏn nghch Êo l  A(AD) ƒnh nghàch £o cõa S l  S = AQ2 ∩(Q2 Y Z ) 0 0Z = Q 0 0 \ \ \0 \ Lữu ỵ rơng AS S Z = Q2 Y Z = 45 = ABZ n¶n A, B, S , Z thuởc mởt ữớng trỏn Bơng cĂch x²t £nh nghàch £o cõa ÷íng trán n y ta rót CZ chùa S Nâi c¡ch kh¡c AQ2 v  CZ cưt tÔi im S trản ữớng trỏn (XY Z) Cụng giống nhữ vêy ối vợi BQ1 v CZ M»nh · 3.4 Gåi M l  trung iºm cõa nỷa ữớng trỏn (AB) ối xựng vợi nỷa ữớng trỏn (AB) cõa arbelos ABC Khi â, c¡c iºm A, B, X, Y nơm trản ữớng trỏn tƠm M v CZ i qua M Chùng minh Xem h¼nh 3.4 c) V¼ C, Q2, Y nơm trản ữớng thng tÔo vợi AB gâc 450 n¶n £nh nghàch £o cõa nâ l  mët ÷íng trán i qua A, B, X, Y cơng tÔo vợi AB gõc 450 TƠm cừa ữớng trỏn n y ph£i l  trung iºm M cõa nûa ÷íng trán (AB) èi xùng vỵi nûa (AB) cõa arbelos qua AB Nèi M n¶n iºm A, Z , B, M \ = 450 = BZ \ AM , nâ c­t ` ð M Vẳ BAM ỗng viản Sỷ dửng php nghch Êo ta suy CZ i qua M 44 3.2.2 CĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp arbelos ABC Ta cõ nhiÃu cĂch dỹng ữớng trỏn nởi táp mởt arbelos: CĂch düng (Suy tø m»nh · 3.2), h¼nh 3.4 a)) - Düng Q1 , Q2 l  trung iºm c¡c nûa ÷íng trán (AB), (CB) - Düng ÷íng trán Q1 (Q1 A) cưt cĂc nỷa ữớng trỏn (CB), (AB) lƯn lữủt ð X, Y - Düng ÷íng trán Q2 (Q2 B) cưt cĂc nỷa ữớng trỏn (AC), (AB) lƯn lữủt Y, Z - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng CĂch dỹng (Suy tứ mằnh · 3.3), h¼nh 3.4 b)) - Düng X = AQ2 ∩ (CB), Y = BQ1 = ∩(AC), gåi S l  giao cõa c¡c ÷íng th¯ng AQ2 , BQ1 - ÷íng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng C¡ch düng (Suy tø m»nh · 3.4), h¼nh 3.4 c)) - Düng M l  trung iºm nûa ÷íng trán ối xựng vợi nỷa ữớng trỏn (AB) Arbelos - Düng ÷íng trán M (M A), nâ c­t c¡c nûa ữớng trỏn (CB), (AC) lƯn lữủt X, Y - Düng ÷íng th¯ng M C , nâ c­t nûa ÷íng trỏn (AB) Z - ữớng trỏn ngoÔi tiáp XY Z l ữớng trỏn cƯn dỹng Ta lÔi thĐy rơng tƠm cừa (XY Z) chẵnh l giao cừa cĂc ữớng thng nối X, Y, Z lƯn lữủt l tƠm cĂc nỷa ữớng trỏn (BC), (AC), (AB) Tuy nhiản ta cõ th dỹng tƠm mởt cĂch ỡn giÊn hỡn, bơng cĂch ch cƯn dỹng hai hẳnh vuổng (hẳnh 3.5) Ta kỵ hi»u t¥m cõa (XY Z) l  ω º sû dưng và sau 45 Hẳnh 3.5: CĂch dỹng thự tữ cừa ữớng trỏn nởi tiáp 3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes arbelos CĂc cp ữớng trỏn cõ tẵnh chĐt gièng c°p ÷íng trán Archimedes ÷đc ph¡t hi»n v  cỉng bố nhiÃu cĂc bi bĂo khoa hồc gƯn Ơy Cp ữớng trỏn thự nhĐt chẵnh Archimedes tẳm ra, chựng minh ữủc chúng cõ bĂn kẵnh bơng khổng phử thuởc vo v trẵ cừa im C trản AB 3.3.1 Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai Mằnh à 3.5 (nh lỵ Archimedes) Hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi CD, vợi nỷa ữớng trỏn O(a+b) v  mët hai nûa ÷íng trán O1(a), O2(b) câ b¡n k½nh t = a ab khỉng phư thc v o v trẵ cừa C trản AB +b Chựng minh Xt ữớng trỏn tiáp xúc vợi cĂc nỷa ữớng trỏn O(a + b), O1 (a) v CD Kỵ hiằu t l bĂn kẵnh ữớng trỏn Bơng cĂch tẵnh khoÊng cĂch tứ tƠm ữớng trỏ ny tợi AB theo cĂch ta cõ phữỡng trẳnh (a + b t)2 (a − b − t)2 = (a + t)2 − (a − t)2 ab a+b Do t½nh èi xùng cõa biºu thùc èi vỵi a, b ta suy ữớng trỏn thự hai cụng cõ bĂn kẵnh t Tứ õ, t = 46 Hẳnh 3.6: Cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai Hai ữớng trỏn nõi trản l cp ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt Php dỹng ữớng trỏn Archimedes ữủc thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau - Düng Q1 , Q2 l  trung iºm nûa ÷íng trán (AB) v  CB - Düng K = O1 Q2 ∩ O2 Q1 , th¼ K ∈ CD v  KC = KC = ab Chú ỵ rơng a+b ab = t - bĂn kẵnh cừa cĂc ữớng trỏn Archimedes a+b - Düng M1 , M2 ∈ AB cho CM1 = CM2 = KC - Düng W1 = O1 (O1 M2 ) ∩ M1 u vỵi M1 u⊥AB â l tƠm Archimedes thự nhĐt - Dỹng W10 = O2 (O2 1M1 ) ∩ M2 v vỵi M1 v⊥AB õ l tƠm Archimedes thự hai Trản hẳnh 3.6 ta kỵ hiằu (W1 ), (W10 ) Sau Archimedes ngữới ta tẳm ữủc ab khĂ nhiÃu cĂc cp ữớng trỏn cõ bĂn kẵnh v cõ tẵnh chĐt tiáp xúc a+b giống nhữ thá Chúng tổi s lƯn lữủt trẳnh by mởt sè c°p, câ c£ nhúng c°p ÷đc ph¡t hi»n nhỳng nôm gƯn Ơy Cp ữớng trỏn (W2 ), (W20 ) lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa (W1 ), (W10 ) lản AB õ l cp ữớng trỏn Archimedes thù hai, c¡c c°p ÷íng trán (W1 ), (W20 ) 47 câ ti¸p tuy¸n chung i qua B , cán c¡c c°p (W10 ), (W2 ) câ ti¸p tuy¸n chung i qua A, hẳnh 3.6 Cp ny ữủc phĂt hiằn bi C.W Dodge, cổng bố tÔp chẵ Math Mag.,72(1999) Hẳnh 3.7: nh lỵ Bankoff thự hai Mằnh à 3.6 (nh lỵ Bankoff thự hai) GiÊ sỷ ữớng trỏn nởi tiáp cừa arbelos [ABC] tiáp xúc hai nỷa ữớng trỏn (AC) v (CB) tữỡng ựng tÔi X,Y Khi õ ữớng trán i qua C, X, Y cơng câ b¡n k½nh b¬ng t = a ab +b Chùng minh Rã r ng ữớng trỏn (CXY ) l ữớng trỏn nởi tiáp cừa tam gi¡c ωO1 O2 v  ωX = ωY = t, O1 X = O1 C = a, O2 Y = O2 C = b Nûa chu vi cõa tam gi¡c CO1 O2 b¬ng (a + b)2 ab(a + b) = a + b + t = (a + b) + a + ab + b2 a + ab + b2 S BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ữủc tẵnh theo cổng thực r = p s r ab abt ab.ab(a + b) r= = = a+b+t (a + b)3 a+b â ch½nh l  b¡n k½nh t cõa ÷íng trán Archimedes ÷íng trán CXY â câ tản gồi l ữớng trỏn Bankoff, hẳnh 3.7 Kát quÊ n y ch¿ mèi quan h» giúa ÷íng trán nëi tiáp arbelos v ữớng trỏn Bankoff (cụng l ữớng trỏn Archimedes) ỗng thới ữớng trỏn Bankoff lÔi l ữớng trỏn nëi tieps cõa tam gi¡c ωO1 O2 48 3.3.2 Cp ữớng trỏn Archimedes thự ba v thự tữ Hẳnh 3.8: C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù t÷ Kỵ hiằu thảm I l trung im cung AB ữớng vuổng gõc vợi AB , i qua O, C lƯn lữủt cưt Q1 Q2 I, J Khi â ta câ CJ = 2t v  v¼ O v  C èi xùng qua trung iºm cõa O1 O2 nản theo tẵnh chĐt ữớng trung bẳnh hẳnh thang ta câ: OI = (a + b) − 2t Ko theo II = 2t lữu ỵ rơng OQ1 = OQ2 v vẳ I v J lÔi ối xựng qua trung iºm cõa Q1 Q2 n¶n câ JJ = II = 2t Tø â suy ra: hai ữớng trỏn tƠm (W3 ), (W30 ) mội ữớng trỏn i qua I, J v tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn lợn nhĐt cừa arbelos Ãu cõ bĂn kẵnh bơng t õ l cp ữớng trỏn Archimedes thự ba cừa arbelos [ABC], xem hẳnh 3.8a Cp ny ữủc phĂt hiằn bi Thomas Schoch, Germany Nôm 1970 T.Schoch  lữu ỵ rơng cõ rĐt nhiÃu ữớng trỏn Archimedes hẳnh Arbelos ab GiÊ sỷ t = nhữ trản Náu U V l  ti¸p tuy¸n chung ngo i cõa hai a+b nûa ữớng trỏn nhọ hẳnh arbelos v tiáp xúc vợi dƠy cung HK cừa nỷa ữớng trỏn lợn Gồi W4 = O1 W ∩ O2 U V¼ O1 U = a, O2 V = b v  O1 C a ab = nản W4 = = t iÃu õ nghắa l  ÷íng trán W4 (t) i CO2 b a+b qua C v tiáp xúc vợi HK im N Gåi M l  trung iºm cõa HK V¼ O v  C èi xùng qua trung iºm cõa O1 O2 n¶n OM + CN = O1 U + O2 V = a + b Tø â suy (a + b) − OM = CN = 2t Ngh¾a l  ữớng trỏn tiáp xúc vợi dƠy HK v cung HK cõ bĂn kẵnh t ữớng trỏn tƠm W40 ny tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) im Q Cp ữớng trỏn tƠm W4 (t), (W40 (t) gồi l cp ữớng trỏn Archimedes thự tữ, hẳnh 3.8b) 49 3.3.3 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu Hẳnh 3.9: Cp ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu Nôm 2005, Frank Power  phĂt hiằn c°p ÷íng trán Archimedes (W5 ), (W50 ) v  (W6 ), (W60 ), xem [3] M»nh · 3.7 ÷íng trán tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) v tiáp xúc vợi OQ1 Q1 (Hoc tiáp xúc vợi OQ2 ð Q2 ) câ b¡n k½nh t = a ab +b Chựng minh Cõ hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi OQ1 Q1, trản hẳnh 3.9 ta kỵ hiằu tƠm l W5 v W50 Xt ữớng trỏn tƠm W5 , b¡n k½nh r Ta câ c¡c tam gi¡c vng OQQ1 v  OW5 Q1 n¶n: OQ21 = O1 Q21 + OO12 = a2 + b2 , thay v o ¯ng thùc sau OW52 = Q1 W52 + OQ21 ⇐⇒ (a − b − r)2 = (a2 + b2 ) + r2 ab Tẵnh toĂn nhữ thá thu ữủc (W50 ) cơng câ b¡n k½nh t Tø â, r = a+b Hon ton tữỡng tỹ, ta cõ thảm cp (W6 ), (W60 ) C°p ÷íng trán (W5), (W50 ) v  (W6), (W60 ) cán ÷đc gåi l  c°p ÷íng trán kiu Pewer Ta s giợi thiằu thảm cp nhữ vêy 50 3.3.4 CĂc cp ữớng trỏn Archimedes thự b£y v  thù t¡m Gåi M l  trung iºm cõa CD, kỵ hiằu im xuyản tƠm ối cừa ữớng kẵnh ữớng trỏn CD, vuổng gõc vợi OM v U1 , U2 Chú ỵ rơng OC = (a b)2 v vẳ CD = ab nản OD2 = a2 − ab + b2 v  OU12 = a2 + b2 Hẳnh 3.10: Cp ữớng trỏn thự bÊy, thự tĂm BƠy giớ xt cp ữớng trỏn bơng nhau, mội ữớng trỏn tiáp xúc O(a+b) v tiáp xúc vợi tÔi U1 v U2 BĂn kẵnh r cừa cĂc ữớng trỏn ny thọa mÂn (a + b − r)2 = OU12 + r2 Thay c¡c ¯ng thự trản vo phữỡng trẳnh ab thu ữủc: r = Vêy ta cõ cp ữớng trỏn Archimedes thự bÊy kiu a+b Power (W7 ), (W70 ) Bơng cĂch lĐy èi xóng qua OM ta câ c°p ÷íng trán Archimedes thù t¡m kiºu Power (W8 ), (W80 ), h¼nh 3.10 Hai c°p n y ÷đc ph¡t hi»n bði Floor van Lamoen (St Wilibrordcollege, Fruitlaan 3, 4462 EP Goes, The Netherlands) N«m 2014, Dao Thanh Oai v  Tran Quang Hung cơng giỵi thi»u c°p ÷íng trán Archimedes Forum Geometricorum: c°p (W9 ), (W90 ) v  0 c°p (W10 ), (W10 ) trản hẳnh 3.11 cừa Dao Thanh Oai; cp (W11 ), (W11 ) v  c°p (W12 ), (W12 ) trản hẳnh 3.12 cừa Tran Quang Hung + b)2 Chựng minh rơng diằn tẵch IO1O2 bơng aab(a v + ab + b2 I c¡ch AB mët kho£ng b¬ng 2ρ B i to¡n 3.4 51 B i to¡n 3.5 Chùng minh rơng cĂc tiáp im cừa I() vợi cĂc nỷa ữớng trỏn cõ th xĂc nh ơng cĂch: X,Z l giao cõa Q1(Q1A) vỵi hai nûa O1 (a), O(a+b), cán X, Z l  giao cõa Q2 (Q2 B) vỵi hai nỷa O2 (b), O(a+b) Hẳnh 3.11: Cp ữớng trỏn thự chẵn v cp thự mữới Bi toĂn 3.6 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A' B' l cĂc hẳnh chiáu vuổng gõc cừa D trản tiáp tuyán tÔi K v H cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB, tữỡng ựng CĂc ữớng trỏn ữớng kẵnh DA' v DB' l c¡c ÷íng trán Archimedes B i to¡n 3.7 (T O Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A1A2 v B1B2 l tiáp tuyán cừa hai ữớng trỏn (AC), (CB) vợi A1, B1 ∈ AB v  A1A2 = a, B1 B2 = b Gåi W10 = CQ1 ∩ A1 B2 , W10 = CQ2 ∩ B1 A2 Khi â c¡c ÷íng trỏn tƠm W10, W100 i qua C l cĂc ữớng trỏn Archimedes Bi toĂn 3.8 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, cĂc ữớng thng vuổng gõc vợi AB tÔi O1, O2 cưt (AB) tữỡng ựng tÔi E, F Kỵ hiằu W11 = AF ∩ 0 (AC), W11 = BE (CB) thẳ cĂc ữớng trỏn tƠm W11 , W11 tiáp xúc vỡi CD l cĂc ữớng trỏn Archimedes 52 Bi toĂn 3.9 (Q H Tran) Trản hẳnh 3.12, giÊ sỷ W12 l giao cừa AD vợi nỷa ữớng trán (AO2) v  W120 l  giao cõa BD vỵi nûa ữớng trỏn (BO1 ) CĂc ữớng trỏn tƠm W12 v W12 tiáp xúc vợi CD l cĂc ữớng trỏn Archimedes Hẳnh 3.12: Cp thự mữới mởt v cp thự m÷íi hai B i to¡n 3.10 (÷íng trán cõa Schoch) ÷íng trỏn C nởi tiáp tam giĂc cong b giợi hÔn bi nỷa ữớng trỏn O(a+b) v cĂc ữớng trỏn A(2a), B(2b) Chựng minh rơng C l ữớng trỏn Archimedes 53 Kát luên cừa luên vôn Luên vôn  trẳnh by ữủc cĂc kát quÊ sau Trẳnh by hai bi toĂn nời tiáng vợi hữợng chựng minh mợi: B i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach xu§t ph¡t tø b i to¡n cì b£n v  têng qu¡t hâa Tr¼nh b y líi gi£i b i to¡n Malfatti v· düng ÷íng trỏn v trẳnh by tữớng minh và nghiằm cừa bi to¡n Malfatti gèc còng ba b i to¡n kiºu Malfatti (cho tam giĂc Ãu, hẳnh vuổng v ữớng trỏn) PhĂt biºu v  tr¼nh b y líi gi£i mët sè b i to¡n và ữớng trỏn tiáp xúc hẳnh hồc Arbelos ữa cĂc kát quÊ và cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC v giợi thiằu 12 cp ữớng trỏn Archimedes cừa Arbelos CĂc kát quÊ ny mợi ữủc cổng bố cĂc bi bĂo gƯn Ơy: [2], [4], [5], [7] Chúng tổi nhên thĐy cĂc hữợng nghiản cựu tiáp theo: - Tẳm thảm và cĂc bi toĂn ựng dửng kát quÊ cừa cĂc nh lỵ luên vôn Tẳm hiu sƠu thảm và hẳnh hồc Arbelos - Sỷ dửng cĂc php bián hẳnh thẵch hủp hoc phữỡng phĂp tồa ở  nghiản cựu sƠu và cĂc bi toĂn ang xt Mc dũ  rĐt cố gưng luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá, khiám khuyát TĂc giÊ rĐt mong sỹ gõp ỵ, bờ sung cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cừa cĂc ỗng nghiằp nhơm lm cho kát quÊ nghiản cựu hon chnh v cõ ẵch hỡn Xin ch¥n th nh c£m ìn 54 T i li»u tham khÊo Tiáng Viằt [1] Nguyạn BĂ ang, (2016), Nhỳng nh lỵ bi toĂn Ăp dửng, NXB GiĂo dửc Viằt nam hẳnh hồc phng v cĂc Tiáng Anh [2] Kostandinov E., (2013) Malfatti's Problems, Meeting in Mathematics 2nd edition, Bulgarian Academy of Sciences [3] Power F (2005), Some More Arechimedean Circles in the arbelos, Volume 5, 133-134, Forum Geometricorum [4] Schellbach, (1998), Malfatti's Problem,1998 Volume 45, Crelle's Journal [5] Woo P Y., (2001), Simple Constructions of Volume 1,133-136, Forum Geometricorum the Incircle of an arbelos, [6] Zalgaller V.A, Los G.A, (1994), The solution of Malfatti's Problem, Journal of Mathematical Sciences Vol 72, N0 (p3163-3177) Tiáng Nga [7] ẽợũủợõ (1995), ấủỵựốồủ ợờúổớợủũố: ẻũ ềồỏợ ọợ ễồộồỏừ, ấõớũ, ợỡồ 11-1975 ... rơng và mt Ôi số, Ơy l bi toĂn cõ bián (6 tồa ở cĂc tƠm v bĂn kẵnh), dăn v· 12 b§t ¯ng thùc â câ b§t ng thực tuyán tẵnh v bĐt ng thực phi tuyán tẵnh Mởt phữỡng phĂp Ôi số thuƯn túy l... w ta cõ hằ phữỡng trẳnh Ôi số q u + 2uv − pc + v = c    q v + 2vw − ap + w2 = a (2.7)  q    w2 + 2wu − b + u2 = b, p vỵi ân l u, v, w õ l lới giÊi Ôi số cừa bi toĂn dỹng cĂc ữớng... trẳnh trản cỏn phÊi tẵnh toĂn nhiÃu v khĂ cỗng kÃnh 2.3.2 CĂch dỹng Ôi số- hẳnh hồc cừa Schellbach Viằc tẳm cĂch dỹng Ôi số- hẳnh hồc cừa cĂc ữớng trỏn Malfatti nhỳng nôm 1900 tr lÔi Ơy cõ nhiÃu