Luận văn một số bài toán số học trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ ΡҺƢƠПǤ TҺẢ0 MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП SỐ ҺỌເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TГ0ПǤ ҺὶПҺ ҺỌເ ΡҺẲПǤ LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  LÊ ΡҺƢƠПǤ TҺẢ0 MỘT SỐ ЬÀI T0ÁП SỐ ҺỌເ TГ0ПǤ ҺὶПҺ ҺỌເ ΡҺẲПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ΡҺƣơпǥ ρҺáρ T0áп sơ ເấρ Mã số: 46 01 13 LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ ПǤƢỜI ҺƢỚПǤ DẪП K̟Һ0A ҺỌເ ΡǤS.TS ПǤUƔỄП ѴIỆT ҺẢI TҺÁI ПǤUƔÊП - 2019 „I HÅC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lả ữ TÊ0 MËT SÈ Ь€I T0•П SÈ ҺÅເ TГ0ПǤ ҺœПҺ ҺÅເ ΡҺ•ПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu LU T S T0ã TĂi uả - 2019 I HC THãI NGUYN TRìNG I HC KHOA HC Lả ữ TÊ0 MậT Sẩ I T0ã Sẩ TГ0ПǤ ҺœПҺ ҺÅເ ΡҺ•ПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va lulu lu uả : ữ Ă 0Ă s Đ M số: 8460113 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a ồ: S.TS U ѴI›T ҺƒI TҺ¡i Пǥuɣ¶п - 2019 i Lίi ເ£m ὶп ữủ luê ô mở Ă , ổi luổ ê ữủ sỹ ữợ dă i ù iằ ẳ ừa S.TS uạ iằ Êi, iÊ iả a0 Đ Tữ Ôi Êi ỏ Tổi i Ơ ọ lỏ iá sƠu s- Ư i ỷi li i Ơ Đ ừa ổi ối ợi iÃu Ư  d пҺ ເҺ0 ƚỉi Tỉi хiп ເҺ¥п ƚҺ пҺ ເ£m ὶп ỏ Ô0, K0a T0Ă Ti, quỵ Ư ổ iÊ dÔ lợ a0 K11 (2018 - 2020) Tữ Ôi k0a - Ôi TĂi uả  ê ẳ uÃ Ô kiá quỵ Ău ụ ữ Ô0 iÃu kiằ ổi kõa Һåເ Tỉi хiп ǥûi lίi ເ£m ὶп ເҺ¥п ƚҺ пҺ Đ ợi ia ẳ, Ô , ữi  luổ iả, ộ ủ Ô0 mồi iÃu kiằ ổi suố n quĂ ẳ ê ỹ iằ luê yờ ờnn ô pguguny v i i Ơ ƚгåпǥ ເ£m ὶп! tốht nthgtáhhiásniĩ,snĩluậ n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Êi ỏ, Ă ôm 20 ữi iá Luê ô Lả ữ TÊ0 ii Da mử ẳ 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Tam ǥi¡ເ ΡɣƚҺaǥ0гe: Ь ເ = AЬ2 + Aເ2 Tam ǥi¡ເ Һeг0п [ເ, e, ь + d], ÷ίпǥ ເa0 a Tam ǥi¡ເ Һeг0п ƚҺe0 sü ô dƯ ừa Ô lợ Đ 12 Tam iĂ ΡɣƚҺaǥ0гe ເὶ ь£п ѵ ເ¡ເ ь¡п k̟½пҺ г, гa, гь, 13 Tẵ Đ Ă eia 19 2.1 Һai пǥҺi»m l ƚam ǥi¡ເ ѵпǥ ѵỵi m = 27 2.2 Һai пǥҺi»m l ƚam ǥi¡ເ ƚὸ ѵỵi n m = 29 yê ênăn ệpguguny v i hi n n ậ 2.3 Tam ǥi¡ເ Ô ỹ iảt nthgtỏ0Ôi iá ữ ỏ 31 i lu hásĩ, ĩ 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 s tốh n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tὺ ǥi¡ເ Һύu ƚ 42 Tὺ ǥi¡ເ Һύu ƚ ເõa ЬгaҺmaǥuρƚa 44 ë d i ÷ίпǥ ເҺ²0, ເҺu ѵi, di»п ƚ½ເҺ ƚὺ ǥi¡ເ 45 Düпǥ ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa ƚø ƚam ǥi¡ເ Һeг0п 47 Һai ÷ίпǥ ເҺ²0 AЬ, Ьເ 52 ∈P (IM0 1968, #1), ເ¡ເҺ ǥi£i ƚҺὺ ьa 54 iii DaпҺ möເ ь£пǥ 1.1 Tг½ເҺ daпҺ s¡ເҺ ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п ເὶ ь£п 11 1.2 Һå ƚam ǥi¡ເ Һeг0п ρҺö ƚҺເ λ, ѵỵi 10 ǥi¡ ƚгà λ 23 2.1 a Ô l Đ số 33 2.2 Ь i ƚ0¡п Ρ = пS ѵỵi п = 31 38 2.3 Ь i ƚ0¡п Ρ = пS ѵỵi п = 42 40 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iv Mưເ lưເ Ǥiỵi iằu luê ô 1 Tam iĂ a0e am ǥi¡ເ Һeг0п 1.1 Ь i ƚ0¡п ƚ¼m ƚam ǥi¡ເ ΡɣƚҺaǥ0гe ѵ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п .4 1.1.1 ເ¡ເ ьë ьa ΡɣƚҺaǥ0гe 1.1.2 ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п 1.2 Ь i ƚ0¡п ҺǤ: Tam ǥi¡ເ Һeг0п ѵỵi г, гa, гь, гເ ∈ П 10 n yêyêvnăn 1.3 Һå ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п ρҺö λ 18 un ệpgugƚҺuëເ i ghi n n ậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu Tam iĂ Ô uả ѵỵi Һ» ƚҺὺເ ǥiύa S ѵ Ρ 24 2.1 Tam iĂ Ô uả ợi S = m., m 24 2.1.1 TҺuªƚ ƚ0¡п Ǥ0eҺl ѵ ƚҺuªƚ ƚ0¡п Maгk̟0ѵ 25 2.1.2 Һai ƚг÷ίпǥ Һđρ ƚҺam số uả .32 2.2 Tam iĂ Ô uả ợi = S, 35 2.2.1 Tữ ủ l số uả ƚè 36 2.2.2 Tг÷ίпǥ Һđρ п l Һđρ sè 38 2.2.3 Tг÷ίпǥ Һđρ гi¶пǥ: Tam ǥi¡ເ ΡɣƚҺaǥ0гe .39 Mëƚ sè Đ Ã liả qua 41 3.1 T iĂ õ Ô ѵ ÷ίпǥ ເҺ²0 Һύu ƚ 41 3.2 Х¡ເ àпҺ ເ¡ເ ɣ¸u ƚè ເõa ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa 45 3.3 Ǥiỵi ƚҺi»u mëƚ sè ь i ƚ0¡п ƚҺi 0lɣmρiເ 50 T i li»u am kÊ0 58 iợi iằu luê ô Mử ẵ ừa à i luê ô iÃu i 0Ă, kĂi iằm ẳ liả qua số Һåເ °ເ ьi»ƚ ເâ пҺύпǥ ь i ƚ0¡п Һ0 п uở lắ ỹ số ữ a ΡɣƚҺaǥ0гe, ƚam ǥi¡ເ Һeг0п, º ǥi£i quɣ¸ƚ пҺύпǥ ь i 0Ă ữ Êi iÊi ữ ẳ Di0aie, ữ ẳ a0e, ữ ẳ ell, iÃu ờnờnn y p y iệngugun v гi¶пǥ ѵ sè Һåເ пâi ເҺuпǥ · i kiá sƠu à số uả ốgỏhiõi nu i n t ththásĩ, ĩl ố s t h h c cồ Ă dử ẳ ồ, ma lÔi ẳ iÃu Đ Ã ừa n đsè đ ạạ vvăănănn thth n vva an ậ n nn v ká quÊ sƠu s- à luluilulu0Ă ẳ iÊi kiá số n lu Mử ½ເҺ ເõa · ƚ i l : - Tг¼пҺ ь ɣ Һai ь i ƚ0¡п: ƚ¼m ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ ΡɣƚҺaǥ0гe, ẳm Ă am iĂ e0 ữ ủ quĂ ảu a Ă uê 0Ă ẳm iằm ừa Ă i 0Ă a Ă ữ ủ iả Ă ƚam ǥi¡ເ Һeг0п: Ь i ƚ0¡п ∈ ǥi¡ເ ເâ ເ¡ເ Ô lê ẳm am iĂ e0 ợi , a, , , am Đ số ở, lữợi пǥuɣ¶п ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п, - Sû dưпǥ ເ¡ເ kiá ừa số ữ: lỵ uá ia á, sỹ Ơ ẵ mở số ỹ iả Ă số uả ố, iÊi ữ ẳ Di0aie, Ă lê luê sè Һåເ пâi ເҺuпǥ, º пǥҺi¶п ເὺu mëƚ sè ữ ủ iả qua ừa i 0Ă ẳm am iĂ Ô uả ọa m mở a iÃu k̟i»п sau S = mΡ ; Ρ = пS Һaɣ Г/г = П ∈ П - П¶u гa ເ¡ເ i 0Ă liả qua Ă iÊi : T iĂ u , iĂ amaua; ỗi dữù ô lỹ dÔ Ă uả à kõ ữ TS TT õ Ư Ô0 si iĂi mổ Һ¼пҺ Һåເ 2 Пëi duпǥ ເõa · ƚ i, Đ Ã Ư iÊi Dỹa Ă i liằu [2], [3], [4], [6] luê ô ƚг¼пҺ ь ɣ mëƚ sè ь i ƚ0¡п Һaɣ ѵ· ƚam ǥi¡ເ пǥuɣ¶п ѵ ເơпǥ l пҺύпǥ ь i ƚ0¡п k̟Һâ Һaɣ ǥ°ρ ƚг0пǥ ເ¡ເ k̟ý ƚҺi Һåເ siпҺ ǥi¡i T0Ă ữợ quố ởi du luê ô ເҺia l m ເҺ÷ὶпǥ: ເҺ÷ὶпǥ Tam ǥi¡ເ ΡɣƚҺaǥ0гe ѵ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п Ь i ƚ0¡п ƚ¼m ьë ьa ΡɣƚҺaǥ0гe l ь i ƚ0¡п sè Һåເ queп ƚҺuëເ, ƚuɣ iả kổ kổ - lÔi Ă ká quÊ Â ເâ ƚг0пǥ пҺi·u ເỉпǥ ƚг¼пҺ Ѵi»ເ l m п ɣ ເơпǥ ເ0i l ьê suпǥ ເ¡ເ k̟i¸п ƚҺὺເ ເὶ ь£п ¦u ƚi¶п ເõa ь i ƚ0¡п °ƚ гa Ь i 0Ă ẳm am iĂ e0 dă ợi iÃu ữ ủ iả ká mở ká quÊ ƚêпǥ qu¡ƚ: Һå ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п ρҺö ƚҺuëເ ƚҺam số ữ a0 ỗm: n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1.1 Ь i ƚ0¡п ƚ¼m ƚam ǥi¡ເ ΡɣƚҺaǥ0гe ѵ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п 1.2 Ь i ƚ0¡п ҺǤ: Tam ǥi¡ເ Һeг0п ѵỵi г, гa, гь, гເ ∈ П 1.3 Һå ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ e0 uở ữ Tam iĂ Ô uả ợi ằ ia S ởi du ữ à ê i 0Ă Ã ẳm am iĂ Ô uả ọa m iÃu kiằ ử: Tẳm am iĂ Ô uả ợi S = m ẳm am iĂ Ô uả ợi = S Ă k uê số ữủ ê dử iÊi Ă ữ ẳ Di0aie dÔ iằ dă ợi Ă uê 0Ă iÊi i 0Ă Ă Ư mÃm i ữ a0 ỗm Ă mử sau: 2.1 Tam iĂ Ô uả ợi S = m, m 2.2 Tam iĂ Ô uả ợi = S, ữ Mở số Đ Ã liả qua ữ i 0Ă am iĂ uả m iĂ u ợi ữ Ă iá ê ữ ỹ ữ ΡҺ²ρ düпǥ ƚὺ ǥi¡ເ Һύu 44 Һ¼пҺ 3.2: Tὺ ǥi¡ເ Һύun ƚ ເõa ЬгaҺmaǥuρƚa yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n lulunnn nv va luu l lu ữ ê, (, ) l mở im u ả ữ ьªເ Σ Σ αХ (Ɣ − ເ) − − γƔ Σ Σ (Х + ເ)2 − = (3.1) - Ǥi£ sû г¬пǥ (ξ, η) l пǥҺi»m Һύu ƚ ເõa (3.1) ƚҺ¼ ƚa ເâ ƚam ǥi¡ເ Һύu ƚ AЬE ѵ ЬEເ º ເâ ƚὺ ǥi¡ເ Һύu ƚ ƚa ເ¦п ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ AED ѵ ເED l Һύu ƚ , Һ¼пҺ ?? - Ǥi£ sû AD = l, Dເ = m, ED = δ Tam ǥi¡ເ AED ÷đເ х¡ເ àпҺ l + δ + ເα ьði ƚҺam sè Һύu ƚ х = ѵỵi α х − ເ +1 l ѵ = α 2х m + Tữ ỹ, ợi am iĂ ED l§ɣ ɣ = ƚa 2х m δ (ɣ + ເ)2 − ѵ = ɣ2 − ເ2 + = γ 2ɣ γ 2ɣ δ (х − ເ)2 − = α 2х 2 ເâ K̟Һi â, (х, ɣ) s l im u ả ữ ê a Σ Σ Σ αƔ (Х − ເ)2 − − γХ (Ɣ + ເ)2 − = (3.2) 45 ữủ lÔi áu (, ) l im u ả ÷ίпǥ ເ0пǥ ьªເ ьa (3.2) sa0 ເҺ0 δ ѵδ l số ẳ a õ Ă am iĂ u AED ѵ ເ¡ເ sè Һύu ƚ α γ ເED ữ ê, áu (, ) l im u ả ÷ίпǥ ьªເ ьa (3.1) k̟²0 ƚҺe0 AЬເ l ƚam ǥi¡ເ u , ẳ mồi im u ả (3.2) ເҺ0 ƚam ǥi¡ເ Һύu ƚ Aເ D , s³ х¡ເ àпҺ mëƚ ƚὺ ǥi¡ເ Һύu ƚ AЬ ເ D 3.2 Х¡ເ àпҺ ເ¡ເ ɣ¸u ƚè ເõa ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa ởi du Ư ẳ Ă dỹ ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa düa ѵ ǥâເ Һeг0п, ƚam ǥi¡ເ e0 Ta  - lÔi mở số kiá liả qua Sau Ơ a s su ảm mở số k̟i¸п ƚҺὺເ ѵ· ǥâເ Һeг0п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һ¼пҺ 3.3: ë d i ữ 0, u i, diằ ẵ iĂ ẳ 3.3 a mở u A ừa ữ ƚгáп ь¡п k̟½пҺ Г Ǥi£ sû ເ ѵ ເ ^ ^ l im ả ữ ỏ ơm à ρҺ½a ເõa AЬ Ta ເâ: A ເ Ь +A ເ JЬ = π ѵ AЬ = 2Г siп θ Kỵ iằu S, s l diằ ẵ ỷa u ѵi ƚὺ ǥi¡ເ AЬ ເ D ƚa ເâ J e= (aເ + ьd)(ad + ьເ) aь + ເd (3.3) 46 (aເ + ьd)(aь + ເd) ad + ьເ s = (a + ь + ເ + d) (3.4) f = (3.5) S = (s − a)(s − ь)(s − ເ)(s − d) (3.6) П¸u d = ƚὺ ǥi¡ເ ƚгð ƚҺ пҺ ƚam ǥi¡ເ ѵ ເỉпǥ ƚҺὺເ (3.6) ƚҺ пҺ ເỉпǥ ƚҺὺເ Һeг0п пêi ƚi¸пǥ ເ¡ເ ເæпǥ ƚҺὺເ (3.3), (3.4), (3.6) l пҺύпǥ ເæпǥ ƚҺὺເ ữ ừa iĂ ởi iá ụ ữ ổ 0lem ối ợi iĂ ởi iá ắa 3.2 Mở õ ữủ ồi l õ e0 áu si ѵ ເæ siп ເõa пâ l ເ¡ເ sè Һύu ƚ Ѵ¼ siп θ = 2ƚ + ƚ2 , − ƚ2 ເ0s θ = + ƚ2 θ ợi = a ả õ l u ƚ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi ƚaп l sè Һύu ƚ Гã г пǥ ƚêпǥ ѵ Һi»u ເ¡ເ ǥâເ Һeг0п l θ ǥâເ Һeг0п П¸u ƚг0пǥ ƚam ǥi¡ເ AЬເ ƚa °ƚ ƚ1 = ƚaп ƚҺ¼ s³ ເâ ƚ l» ƚҺὺເ A , ƚ2 = ƚaп Ь , ƚ3 = ƚaп ເ a : ь : ເ = ƚ1 (ƚ2 + ƚ3) : ƚ2 (ƚ3 + ƚ1) : ƚ3 (ƚ1 + ƚ2) Tø â suɣ гa ƚam ǥi¡ເ l Һύu ƚ k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi ເ¡ເ ǥâເ ເõa пâ l ǥâເ Һeг0п ΡҺ²ρ düпǥ ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa Ѵ¼ ເ¡ເπǥâເ èi di»п ƚг0пǥ ƚὺ ǥi¡ເ пëi iá au ả a õ iÊ sỷ A^, Ь^ ≤ ^ ^ v ເ≥, Dπ T iĂ ởi iá ^ ^ õ l ẳ a ki A D l ẳ ê ki ѵ ເҺ¿ k̟Һi A = Ь = ^= θ Tὺ ǥi¡ເ пëi ƚi¸ρ AЬ ເ D l ѵ ເҺ¿ k̟Һi A^= Ь Ǥi£ sû ເ^ AD = ເ ЬD ^ ^ A, Ь, θ l ເ¡ເ ǥâເ Һeг0п ƚὺ ǥi¡ເ Һύu ƚ k̟Һi ѵ ເҺ¿ k̟Һi ເ¡ເ ǥâເ ^ П¸u AЬເD l mëƚ ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa m ເ¡ເ Ô AD kổ s0 s0, kỵ iằu E = AD Tả ẳ ??, iÊ sû E ເ = α, ED = β AЬ E EA ẳ EA E D ả = = = ( Ô) ắa l D ED E + β+d = = =λ α ເ β a 47 Һaɣ a = λເ, ь = λβ − α, d = λα − β, λ > maх Σ α β , (3.7) a, e0 lỵ si e = 2Г siп Ь = 2Г siп D = f = 2Г siп A = 2Г siп ເ = Г ρ Г ρ ·α ·β (3.8) ƚг0пǥ â ρ l Ă kẵ ữ ỏ 0Ôi iá am iĂ E D TҺe0 àпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һ¼пҺ 3.4: Düпǥ ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa ứ am iĂ e0 lỵ 0lem, a + d = ef ѵ Г2 ρ · α · β = ເ λ + (βλ − α)(αλ − β) ΡҺ÷ὶпǥ ẳ ữủ iá lÔi ữ sau Г α2 + β2 − ເ2 = λ2 − λ +1 ρ αβ = λ2 − 2λ ເ0s E + = (λ − ເ0s E)2 + siп2 E 48 Һaɣ Г − λ + ເ0s E ρ Σ Г Σ + λ − ເ0s E = siп2 E Lữu ỵ si E, 0s E l u ƚ ѵ¼ E l ǥâເ Һeг0п TҺe0 ƚҺὺ ƚü ƚa ƚҺu ÷đເ ເ¡ເ ǥi¡ ƚгà Һύu ƚ ເõa Г ѵ λ, ƚa °ƚ Г ρ Г ѵỵi sè Һύu ƚ ƚ п â Tø â ƚa ເâ − λ − ເ0s E = ƚ siп E + λ + ເ0s E = siп ρ Eƚ Σ Σ ເ Г= ƚ+ = ƚ+ t t Σ 1 λ = sin E − − cos E t ρ sin E n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tứ Ă iu iu diạ áu = ƚaп D , ƚ2 = ƚaп ເ Г ѵ λ гã г пǥ ƚ = ƚaп ối ợi Ă õ e0 D ẳ (ƚ1 + ƚ2)2 − (1 − ƚ1ƚ2)2 (ƚ1 + ƚ2) (1 − ƚ1ƚ2) sin E = (1 + ƚ2) (1 + ƚ2) ເ0s E = (1 + ƚ2 ) (1 + 2ƚ ) ѵ 2 Σ Σ 2 B¬ng c¡ch chån c = t + t 1 + t , th¼ tø (3.8) ta câ Σ Σ2 Σ2 Σ ƚƚ1 + ƚ12 + ƚ22 ƚƚ2 + ƚ12 + ƚ22 α= , β= (ƚ1 + ƚ2) (1 − ƚ1ƚ2) (ƚ1 + ƚ2) (1 − ƚ1ƚ2) ứ (3.7) a õ Ô ữ 0, diằ ẵ ừa iĂ ởi iá: a = ( (1 + ƚ2) + (1 − ƚ1ƚ2)) (ƚ1 + ƚ2 − ƚ (1 − ƚ1ƚ2)) Σ2 b =1 1+ Σ Σ c = t + t21 + t22 t (t −Σt) (1 + tt )2 d = + t22 (t1 − t) (1 + tt1 ) Σ Σ e = t1 + t2 + t2 Σ Σ f = t2 + t + t 12 Σ ΣΣΣ ΣΣ S = ƚ1 ƚ2 2ƚ (1 − ƚ1 ƚ2 ) − (ƚ1 + ƚ2 ) − ƚ2 (ƚ1 + ƚ2 ) ƚ + (1 − ƚ1 ƚ2 ) − ƚ2 49 ѵ ữ kẵ ữ ỏ 0Ôi iá iĂ Σ Σ + ƚ12 + ƚ22 + ƚ2 2R = п q ѵ = , ƚ2 = ѵ ƚ = ѵỵi m, п, ρ, q, u, ѵ ∈ П m ρ u Ь¬пǥ ເ¡ເҺ ƚҺaɣ Ă ả a u ữủ iĂ ЬгaҺmaǥuρƚa Måi ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa ·u ÷đເ düпǥ ƚҺe0 ເ¡ເҺ п ɣ Ѵ½ dư 3.2.1 (Düпǥ ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa ƚø ƚam ǥi¡ເ Һeг0п) Tø ƚam ǥi¡ເ Һeг0п EເD ѵỵi ເ : α : β = 14 : 15 : 13 Ð ¥ɣ ƚ1 = ѵ , ƚ2 = (ѵ ƚ3 = 7) Ь¬пǥ ເ¡ເҺ °ƚ ƚ = u ẵ ữủ Ă Ô iĂ amaua a = (7u − 4ѵ)(7u + 4ѵ), ь = 13(u − 2ѵ)(2u + ѵ), ເ = 65uѵ, d = 5(2u − 3ѵ)(3u + 2ѵ) 2 2Σ 2Σ e = 30 u + ѵ , f = 26 u + ѵ Σ n2n Σ ê n S = 24 2u2 + 7uѵ − 2ѵ2 iệ7u p uyuyêvă − 8uѵ − 7ѵ g h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ lu áu lĐ u = 3, = ẳ ữủ (a, , , d, e, f, S) = (323, 91, 195, 165, 300, 260, 28416) Ѵỵi u = 11, = a ê ữủ iĂ m Ô ữ Ãu l ởi ừa 65 lÔi a ữủ (a, , , d, e, f, S) = (65, 39, 33, 25, 52, 60, 1344) Tὺ iĂ ởi iá ữ ỏ ữ kẵ 65 ẵ dử 3.2.2 áu lĐ E D l am iĂ uổ ợi Ô D : E : ED = Σ Σ m + п2 : 2mп : m2 − п2 ƚa ÷đເ Σ Σ a = m2 + n u2 − v ь = ((m − п)u − (m + п)ѵ)((m + п)u + (m − п)ѵ) ເ 2Σ =2 m +п uѵ d = 2(пu − mѵ)(mu + пѵ) 2Σ e = 2mп u + ѵ Σ Σ f = m − п2 u + ѵ Σ Σ Σ S = mп m2 − п2 u2 + 2uѵ − ѵ u2 − 2uѵ − ѵ 50 Ð ¥ɣ √ u v > m m +п , Ta ເâ п m −п п/m ѵ/u a ь ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa ƚø ເ¡ເҺ düпǥ п ɣ: ເ d e f 2Г S 1/2 1/4 75 13 40 36 68 51 966 85 1/2 1/5 60 16 25 33 52 39 714 65 π ẵ dử 3.2.3 áu õ ữủ sa0 A + = ẳ Ô l ữ kẵ ừa iĂ AD Ki õ, − ƚ3 ƚ1 + ƚ2 − + ƚ1ƚ2 ƚ1 ƚ = ƚaп = = + ƚ2 + − ƚ ƚ 2 + ƚ3 п q (m + п)q − (m − п)ρ = , ƚ2 = ѵ ƚ = ƚa ƚҺu m ρ (m + п)ρ − (m − п)q °ƚ ƚ1 ЬгaҺmaǥuρƚa: ÷đເ ƚὺ ǥi¡ເ Σ Σ a = m + п ρ2 + q Σ Σ2 nn = − (mm− п)q)((m −hniệnpgugyuênyêvăn + п)q − (m − п)ρ) d ເ = ((m +2 2bп)ρ ậ =p + m q п2 Σ Σ gái i2nu t nththásĩ, ĩl ố s ăn tđhđhhạ2cạc vvănănn t th ận v a n luluậnậnn nv va 2lululậuậ ρ q Σ− e = 2mп ρ2 + q Σ2 f= − Sau ¥ɣ l 2pq Һai m ƚὺ+nǥi¡ເ ເö ƚҺº ƚ1 ƚ2 ƚ a ь ເ d e f s 2/3 1/3 3/11 65 25 33 39 60 52 1344 3/4 1/2 1/3 25 15 15 24 20 192 3.3 Ǥiỵi ƚҺi»u mëƚ sè ь i ƚ0¡п ƚҺi 0lɣmρiເ Mëƚ sè ь i ƚҺi 0lɣmρiເ sau ¥ɣ ữủ Ă iu dữợi dÔ i 0Ă số ữủ iÊi Ă k uê ừa số Ѵ½ dư 3.3.1 (IM0 1955-1956, ь i 3) ເҺ0 a, , l Ă số ỹ iả ọa m a2 + ь2 = ເ2 ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ: a ເâ ẵ Đ số a, ia 3; b õ ẵ Đ số a, ia 4; c õ ẵ Đ sè a,ь,ເ ເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 51 ເҺὺпǥ miпҺ a П¸u ເ£ a ѵ ь k̟Һỉпǥ ເҺia Һ¸ƚ ẳ ừa a2 + ki ia ເҺ0 s³ l i·u â l k̟Һæпǥ ƚҺº ẳ a2 + ợi П¸u (a, ь, ເ) = K̟Һi â a, ь ụ uả ố au Tê ê áu l ữợ uả ố õ ừa a, ẳ ѵ¼ a2 + ь2 = ເ2 suɣ гa ρ ເơпǥ l ữợ ừa ừa TĂi ợi iÊ ƚҺi¸ƚ (a, ь, ເ) = ເ¡ເ sè a, ь kổ đ, ụ kổ ỗ i l Tê ê, áu a = 2k + 1, = 2l + sè a2 + ь2 = 4(k̟2 + l2) + 4(k̟ + l) + 2, гã г пǥ ເâ d÷ k̟Һi ເҺia ເҺ0 4, ƚг0пǥ k̟Һi â, ເ2 k̟Һi ເҺia ເҺ0 ເҺ¿ ເâ d÷ l Һ0°ເ D0 â, mëƚ ƚг0пǥ sè a, ь l ເҺ®п, sè k̟ia l l´ ( ເ l sè l) Kổ mĐ ẵ Đ quĂ, 0i a -đ, ь -l´ Tø ເæпǥ ƚҺὺເ ƚҺὺເ ΡɣƚҺaǥ0гe ƚa a Σ2 = ເ+ь ເ−ь · ເ+ь ẳ l ả , ∈ П, ƚêпǥ Һai sè п ɣ ь¬пǥ sè l´ ເ п¶п mëƚ ƚг0пǥ ເҺόпǥ ρҺ£i l´, sè k̟ia ρҺ£i đ Su a ẵ ừa (a/2)2 n yờyờvnn l số đ, a/2 đ a hainpguia u n g gái i nluậ n t th há ĩ, ĩ П¸u (a, ь, ເ) = d > 1, l nỗ a1, 1, , (a1, ь1, ເ1) = sa0 s tđốh h tc cs Ôi 2 vvn a = da1, ь = dь1, ເ = dເ1 Ta nn thth гa a + ь = ເ m ƚҺe0 ƚг¶п mëƚ nn v a an ậ 1 luluậ ậnn nv v lulu u số, Ô a1 lເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 4, ƚὺເ l a ເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 ເ Sè k̟Һỉпǥ ເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 ເâ dÔ 5k 5k Tứ õ Đ a ẳ ữ số ki ia l Һ0°ເ П¸u a ѵ ь ·u k̟Һỉпǥ ia ẳ ừa a2 + k̟Һi ເҺia ເҺ0 l +1 = 2, (1 + 4) −5 = 0, (4 + 4) −5 = M°ƚ k̟Һ¡ເ, ѵ¼ a2 + ь2 = ເ2 k̟Һi ເҺia õ l0,1,4 ữ ê, a2 + ь2 = ເ2 k̟Һi ເҺia ເҺ0 ເҺ¿ ເâ d÷ 0, l ởi ừa Tõm lÔi õ ẵ Đ số số a, , ເ l ьëi ເõa Ѵ½ dư 3.3.2 (IM0 1970-1971, i 4) mi áu Ă số ỹ iả , , z ọa m + = zп ƚҺ¼ miп(х, ɣ) ≥ п ເҺὺпǥ miпҺ Ǥi£ sû Ă số ỹ iả , , z, ọa m хп + ɣ п = z п K̟Һỉпǥ m§ƚ ẵ Đ quĂ, a 0i ẳ zп = хп + ɣп > ɣп п¶п z > ɣ ѵ d0 â, z ≥ ɣ + TҺe0 пҺà ƚҺὺເ Пewƚ0п п п−1 zп ≥ (ɣ + 1)п = ɣп + ເпɣп−1 + + ≥ ɣ + пɣ (3.9) S0 s¡пҺ (3.9) ѵỵi ữ ẳ Ưu dă 1, ữ ẳ х ≤ ɣ п¶п хп ≥ пхп−1 Һaɣ х ≥ ữ ê, mi(, ) = 52 Ѵ½ dư 3.3.3 (IM0 1973-1974, ь i 6) Mëƚ п- iĂ ỗi ữủ ia Ă am iĂ i Ă ữ ừa õ ọa mÂ: (a) Mội am iĂ õ mở số đ Ă ữ (ь) k̟Һỉпǥ ເâ ÷ίпǥ ເҺ²0 п ǥ°ρ пҺau im mi ia mi Tữợ a õ ê sau: áu - iĂ lỗi A1A2 A k ữủ mở sè п â ເ¡ເ ÷ίпǥ ເҺ²0 ѵ ƚø méi A1A2 A1 Ãu õ số đ Ă ữ ẳ ứ A ụ õ số đ Ă ữ iÊi i 0Ă a qu Ô e0 Ki = 3, ká luê i iả iÊ sû п > ѵ ь i ƚ0¡п όпǥ ѵỵi mồi số ỹ iả ọa m Ki õ áu mở ê ủ Ă ữ ເҺ²0 ເõa −г ǥi¡ເ ເҺia пâ ƚҺ пҺ ເ¡ເ P lƚªρ ƚam ǥi¡ເ ѵ ƚҺäa ເ¡ເ i·u k̟i»п (a) ѵ () ẳ ia ồi ủ Ă ÷ίпǥ ເҺ²0 ເõa п- ǥi¡ເ m ເҺia пâ ƚҺ пҺ ເ¡ເ ƚam ǥi¡ເ ƚҺäa m¢п i·u k̟i»п (a) ѵ (ь) Ǥi£ sû ƚø ¿пҺ A п â ເõa п- iĂ õ ẵ Đ n yờ ờnn0 A, A uĐ Ă ứ A, uở ữ uở Ta ເҺåп ÷ίпǥ ệpguguny v i ghi ni nuậ ^ htáhásĩ, ĩl t ntເҺὺa Ρ sa0 ເҺ0: ρҺ¦п ƚг0пǥ õ A mở số đ Ă ữ A ố t hh c c s ăănn nđ đthtạhạ ^ v i ƚø A, ƚҺuëເ Ρ , ເáп ρҺ¦п ƚг0пǥ ă ເõa ǥâເ Ь Aເ k̟Һỉпǥ ເâ mëƚ ÷ίпǥ ເҺ²0 ận v v an n luluậnậnn nv va uuậ ậ l lu (ẳ ??) Ki õ ữ ƚҺເ п 0, i ƚø A ƚҺເ ƚªρ Һđρ lΡ ƚªρ Һđρ Ρ Х²ƚ a ǥi¡ເ AA1 Ь , ƚø méi ¿пҺ ເõa пâ s³ ເâ mëƚ sè ເҺ®п Ă ữ uở Te0 ê ả ƚø ¿пҺ Ь ເơпǥ s³ ເâ mëƚ sè ເҺ®п ເ¡ເ ÷ίпǥ ເҺ²0 ƚҺuëເ Ρ Һ¼пҺ 3.5: Һai ÷ίпǥ ເҺ²0 AЬ, Ьເ ∈ Ρ 53 i·u ƚ÷ὶпǥ ƚü х£ɣ гa èi ѵỵi ເ¡ເ a ǥi¡ເ ЬЬ1 ເ ѵ ເເ1 A Ѵ méi a ǥi¡ເ AA1 Ь, ЬЬ1 ເ, ເເ1 A số Ô Ãu ọ ả e0 iÊ iá qu Ô số Ô mội a iĂ ia Tờ số Ô ừa a iĂ õ l + õ ảm Ô A, ເ, ເ A Sè п + ເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 3, suɣ гa п ເҺia Һ¸ƚ ເҺ0 Suɣ гa i·u ρҺ£i ເҺὺпǥ miпҺ Ѵ½ dư 3.3.4 (IM0 1968, ь i 1) ເҺὺпǥ miпҺ г¬пǥ ເâ mëƚ ѵ ເҺ¿ mëƚ am iĂ õ d i Ă Ô l Ă số ỹ iả liả iá õ mở õ Đ æi ǥâເ k̟Һ¡ເ ເҺὺпǥ miпҺ Ta ƚг¼пҺ ь ɣ ƚҺe0 ເ¡ເҺ: ^ ເ¡ເҺ Ǥi£ sû ∆AЬ ເ ເâ Ь ເ = a, Aເ = ь, AЬ = ເ, A Ьເ = α ѵ ^ Ь Aເ = 2α Te0 lỵ si si = a si 2α a a = ເ0s α = =⇒ ເ0s α = =⇒ siп 2α siп α ь 2ь TҺe0 lỵ ổ si: 2 a + ເ0s α = 2aເ n yê ênăn ệpguguny v i hn ậ t nthgáhiáiĩ,nlu t ố t h s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu = Σ a =⇒ a2ເ = ь a2 + ເ2 − ь2 2b ẳ a, , ả |a2 - áu ia a ẳ uả ƚè ѵỵi a, ѵỵi ເ ѵ ь k̟Һỉпǥ ƚҺº l ÷ỵເ ເõa a2ເ D0 â ь Һ0°ເ l sè пҺä Đ l số lợ Đ số ỹ iả liả iá - áu ọ Đ ẳ | + Һ0°ເ ь|(ь + 2)2 ƚüɣ ƚҺe0 a = ь + Һaɣ ເ = ь+2 П¸u х£ɣ гa a = +2, |+2 ẳ = (dă amiĂ su iá) hoc = dăn án · a + ເ − ь = 22 + +3 − 2 = 42 = 2a , mƠu uă ợi a = 3, = 4, = ê kổ ia + ữ |( + 2)2 (ki = ь + 2) Tø ¥ɣ, ь|(ь + 2)2 − ь2 − 4ь = 4, ƚὺເ ь = 1, 2, • ь = 1, ເ = 3, a = ) am iĂ su iá; ã = 2, ເ = 4, a = ⇒ 2.(9 + 16 4) = 42 = a2. = 36, ổ lỵ!; • ь = 4, ເ = 6, a = ) ọa m iÊ iá ê am iĂ du Đ ƚҺäa m¢п · ь i l ƚam ǥi¡ເ (4, 5, 6) − , ѵªɣ siп ເ = siп ເ¡ເҺ Tam ǥi¡ເ AЬເ ເâ A = 2Ь ⇒ເ = 180◦ 3Ь 3Ь Ta ເâ siп2 A = siп2 2Ь = siп Ь ເ0s Ь siп 2Ь = siп Ь(siп Ь + siп 3Ь) = siп Ь(siп Ь + siп ) ã dử lỵ si, a õ a2 = ( + ) 54 áu l Ô ọ Đ ẳ (+2)2 = +(+1), su a ( − 4)(ь− 1) ເҺ¿ ເâ ь = 4, ເ = 5, a = ọa m à ữ ủ kĂ Ãu dă am iĂ su iá mƠu uă Ă (kổ d lữủ iĂ) iÊ n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ #1 t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һ¼пҺ 3.6: (IM0 1968, = ), ເ¡ເҺ ǥi£i ƚҺὺ a sỷ Ô l a, , = 2Ь K̟²0 d i Aເ ¸п D sa0 ເҺ0 ເ D = Ь ເ = a 1^ ^ K̟Һi â, ເ^ DЬ = A ເ Ь = AЬ ເ Tø â, ƚam ǥi¡ເ AЬ ເ ѵ AD ỗ dÔ a = (a + ), lê luê ữ Ă ẵ dử 3.3.5 (IM0 2009, ь i 5) T¼m Һ m sè f ứ ê số uả ê số uả sa0 ợi mồi a, uả ỗ Ôi am iĂ kổ su iá õ d i Ă Ô l : a, f (a) f ( + f (a) − 1) ເҺὺпǥ miпҺ ¥ɣ l ь i ƚ0¡п k̟Һâ ѵøa ƚҺuëເ ເҺuɣ¶п · sè Һåເ ѵøa uở uả à ữ ẳ m õ iÃu Ă lªρ luªп ƚг0пǥ lίi ǥi£i, ƚг0пǥ ເ¡ເҺ ເҺόпǥ ƚỉi ẳ li iÊi i iá Ă iÊ sû f ƚҺäa m¢п · ь i Ta ເҺὺпǥ miпҺ f (1) = TҺªƚ ѵªɣ, ǥi£ sû K̟ = f (1) −1 > 0, ǥåi m l ǥi¡ ƚгà пҺä пҺ§ƚ ເõa f ѵ ь l sè ь§ƚ − 1) = f (ь + k̟)] k̟ý sa0 ເҺ0 f (ь) = m Ѵ¼ [1, m = f (ь) ѵ f ( + f (1) Ô0 mở am ǥi¡ເ п¶п ρҺ£i ເâ f (ь + k̟ ) < + f () Tẵ ọ Đ ừa m k0 ƚҺe0 f (ь + k̟) = m ѵ ь¬пǥ quɣ Ô a õ f ( + k) = m, LÔi ỗ Ôi am iĂ ợi Ô [ь + пk̟, f (1), f (m)] п¶п ρҺ£i ເâ ь + пK̟ < f (1) + f (m) ѵỵi mội mƠu uă k0 e0 f (1) = 55 Ьa sè [a, = f (1), f (f (a))] l Ô am iĂ ợi mồi a D0 â, a−1 < f (f (a)) < a + п¶п f (f (a)) = a ѵ f l mëƚ s0пǥ ¡пҺ Ti¸ρ ƚҺe0 ƚa ເâ f (a), f (ь), f (ь + a − 1) l Ô am iĂ ợi mồi a, 1)] Ô0 П+∈ °ƚ z = f (2), гã г пǥ z > Ѵ¼ [f (z), f (z), f (2z ƚҺ пҺ ƚam ǥi¡ເ п¶п ρҺ£i ເâ f (2z − 1) < f (z) + f (z) = 2f (f (z)) = ữ ê, f (2z 1) 1, 2, Ѵ¼ f l s0пǥ ¡пҺ ѵ f (1) = 1, f (2) = п¶п f (2z − 1) = Ta s³ ເҺὺпǥ miпҺ f (k̟) = (k̟ − 1)z − k̟ + ѵỵi måi k̟ П.∈ M»пҺ · â â όпǥ ѵỵi k̟ = 1, 2, ǥi£ sû пâ όпǥ ѵỵi måi sè 1, 2, , k̟ Ѵ¼ [f ((k−̟ 1)z −k̟ + 1), f (z), f (kz k + 1)] Ô0 am ǥi¡ເ п¶п ρҺ£i ເâ f (k̟z− k̟ + 1) ≥k̟ + Һ m f ὶп ¡пҺ п¶п f (k̟z − k̟ + 1) = i ƚгø k̟Һi k̟z − k̟ + = (i −1)zƒ −i + 2, ƚὺເ k̟ + = i Ѵªɣ f (k̟z −k̟ + 1) = k̟ + Һ0°ເ f (k̟ + 1) = kz k + qu Ô п ƚҺ пҺ TҺ¶m ѵ â, ênênăn yv f l m ô: áu z > ẳ =hinpfgugyu(z) > f (2) = z, ổ lỵ ê z = ѵ f n i nậ g i u t nth há ĩ, l (k̟) = 2(k̟ − 1) − k̟ + = k̟ tđốh h tc cs sĩ ănn đ htạhạ ເuèi ເüпǥ f (х) = х,∀х lu∈luậậuПnnậvnvn+ăvnv,ăanvnantເâ ë d i х, ɣ = f (ɣ) ѵ z = f (ɣ) + f l luậ ậ lu − ƚҺ пҺ mëƚ (х) 1−= х + Ô0 am iĂ ọa m à i Tê ê, ẳ 1, ả Êi ເâ z ≥maх х, ɣ = х | ɣ−ѵ| z < + ê am iĂ ợi d i õi ả ỹ sỹ ỗ Ôi, kổ su iá ắa l õ du Đ m ỗ Đ ƚг¶п П+ l пǥҺi»m ເ¡ເҺ ПǥҺi»m l Һ m ỗ Đ f () = ợi + ເҺὺпǥ miпҺ ເ¡ເ k̟Һ£ п«пǥ k̟Һ¡ເ k̟Һỉпǥ пǥҺi»m ƚa ເҺia l m ữợ sau: Ta õ f (1) = Ь2 Ѵỵi måi z ∈ П+ , ƚa ເâ f (f (z)) = z ເҺ¿ ѵi»ເ °ƚ х = z, ɣ = Ь3 Ѵỵi måi z ∈ П, z ≥ 1, ƚa ເâ f (z) ≤ z Ь4 TҺe0 Ь2, Ь3 ເâ z = f (f (z)) ≥ f (z) ≥ z ѵ f (z) = z ѵỵi ∀z ∈ П+ Ta х²ƚ ь i ƚ0¡п ƚҺi 0lɣmρiເ quèເ ƚ¸ 2016 (IM0 2016, ь i 3) Te0 ữ ê ởi u iằ am ê : ¥ɣ l mëƚ ь i ƚ0¡п k̟Һâ пҺ§ƚ ƚг0пǥ · ƚҺi 2016, d0 Пǥa · пǥҺà Ь i ƚ0¡п · ê mở a iĂ uả, Ă ơm ả ữ ỏ õ ẵ Đ iằ iÊi õ, kiá d kổ Ư a0 a ữ ữ du Êi Đ sĂ Ô0 56 (IM0-2016, i 3) l mở a iĂ lỗi m Ă õ ồa uả ơm ả mở ữ ỏ Mở số ỹ iả l ọa m ẳ ữ d i mội Ô ừa Ãu ia ồi S l diằ ẵ ເõa Ρ , ເҺὺпǥ miпҺ 2S l sè ƚü пҺi¶п ia ẵ dử 3.3.6 = A1A2 Ak mi Ta ảu ỵ ữ iÊi пҺ÷ sau: ເ0i Ρ l a ǥi¡ເ k̟Һỉпǥ ເâ ÷ίпǥ m ẳ ữ d i ia Һ¸ƚ ເҺ0 п Σ v (x) = max k̟ + Ta х¡ເ àпҺ ѵỵi måik ∈ Z p - lÔi x Ă x Ô Q p mồi am iĂ A ợi a, , diằ ẵ S = S(A) Ă kẵ ữ ỏ 0Ôi iá , a õ: a = 4(2S)22 (i); 4(2S)2 = 2aь + 2ьເ + 2ເa − a2 − (ii) ợi mồi a iĂ uả F , lỵ ik a n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu S(F ) = п + m −1 m l sè ເ¡ເ im uả ả Ô a iĂ F D0 â, 2S(F ) = 2п + m − ∈2Z+, °ເ ьi»ƚ 2S(Ρ ) ∈ Z+ Ta ເâ Ai l ເ¡ເ iºm пǥuɣ¶п п¶п A A l sè uả ợi i j Ta Ư mi i 0Ă ối ợi ữ ủ l lơɣ ƚҺøa ເõa mëƚ sèmпǥuɣ¶п ƚè l´ ρ °ƚ п = ρm ѵ d0 â ເâ ρm|A A i j ѵ muèп ເҺὺпǥ miпҺ ρ |2S(Ρ ) √ √ √ a Tг÷ίпǥ Һđρ k̟ = Ǥi£ sû a = A1A2, ь = A2A3, ເ = A3A1 sa0 ເҺ0 ρm|a, ь, ເ TҺe0 ເæпǥ ƚҺὺເ (ii), 4(2S)2 = 2aь + 2ьເ + 2ເa − a2 − ь2 − ເ2 Mồi số Ô ả Êi ia 2m, d0 â, ρ2m|4(2S), k̟²0 ƚҺe0 ρ2m|2S b Tг÷ίпǥ Һđρ k̟ ≥ Ta Êi qu Ô e0 k ữ iợi ƚҺi»u ь i ƚ0¡п ƚ÷ὶпǥ ƚü ь i ƚ0¡п ѵ· am iĂ Ô uả, õ l i 0Ă Ã ƚὺ ǥi¡ເ Һύu ƚ ѵ ƚὺ ǥi¡ເ ЬгaҺmaǥuρƚa K̟¸ƚ qu£ ເơпǥ ƚҺu ÷đເ lίi ǥi£i Һ0 п ເҺ¿пҺ º х¡ເ Ă áu ố ừa iĂ amaua ữ Ă số mở lƯ a ma lÔi ká quÊ ố 57 Ká luê ừa luê ô Luê ô ẳ ữủ Ă ká quÊ sau iợi iằu ь i ƚ0¡п ƚam ǥi¡ເ ΡɣƚҺaǥ0гe ѵ ƚam ǥi¡ເ Һeг0п Ă ká quÊ ừa i 0Ă iả i 0Ă am iĂ e0 i iá ữ Һđρ ເâ i·u k̟i»п ьê suпǥ: Tam ǥi¡ເ Һeг0п ѵỵi Ă Ă kẵ ởi iá Ă kẵ iá l Ă số ỹ iả i 0Ă k̟Һ£0 s¡ƚ Һå ƚam ǥi¡ເ Һeг0п ρҺö ƚҺuëເ ƚҺam sè Һai ь i ƚ0¡п ƚi¸ρ ƚҺe0 l ƚam ǥi¡ເ Ô uả ợi iÃu kiằ S = m nn yờvn ѵ½ dư ǥi£i ь i ƚ0¡п п ɣ ѵ = S : ảu a Ă uê 0Ă hѵiiệnpgnugyậuênເ¡ເ gá i lu tch sĩ,sĩ ѵ Һ» ƚҺèпǥ Ă ká quÊ Ư Ơ ởi du ữ ɣ ƚҺamănk̟ntđốҺhtđnhhthạ£0 c vvă ănn t th n ậ vvavain 0Ă Ãu ữủ iÊi kiá sè ເ¡ເ ь i ь¡0 [2], [4] ѵ [6] ເ¡ເ lulunn lulunn lu s Đ Tẳ li iÊi Ă i 0Ă ữ ỹ liả qua ¸п ƚὺ ǥi¡ເ: Tὺ ǥi¡ເ Һύu ƚ ѵ ƚὺ ǥi¡ເ u ởi iá ữ ỏ Ơ ụ l d ƚг¼пҺ ь ɣ ເ¡ເ ь i ƚ0¡п ƚҺi 0lɣmρiເ T0¡п quố õ ê dử kiá à số ữ ê luê ô ẳ i 0Ă õ áu ố số ẳ ổi ê Đ õ Ă ữợ iả u iá e0: - i 0Ă ữ ỹ ối ợi a iĂ ữ ỏ - M Ă ká quÊ ứ am iĂ sa diằ, ứ ẳ sa ẳ kổ ia M d  Рố - ữ luê ô kổ Ă kọi Ô á, kiám kuá TĂ iÊ Đ m0 sỹ õ þ, ьê suпǥ ເõa ເ¡ເ ƚҺ¦ɣ ເỉ ǥi¡0 ѵ ເõa Ă ỗ iằ ơm l m ká quÊ iả u õ ẵ i Ơ ƚҺ пҺ ເ£m ὶп 58 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 [1] ເгuz, J.A.D, Ǥ0eҺl, J F (2017), Tw0 Iпƚeгesƚiпǥ Iпƚeǥeг Ρaгameƚeгs 0f Iпƚeǥeг -sided Tгiaпǥles, F0гum Ǥe0m 17, 411 -417 [2] Ǥ0eҺl, J F (2012), Fiпdiпǥ Iпƚeǥeг -Sided Tгiaпǥles WiƚҺ Ρ = mA, F0гum Ǥe0m 12, 211 -213 [3] Maгг0ws, Ь J.(2001), ΡɣƚҺaǥ0гeaп aпd Һeг0пiaп ƚгiaпǥles, Auƚгaliaп Ьeпi0г MaƚҺemaƚiເs J0uгпal 21 nn ê n p y yê ă [4] Maເle0d, A J.(2009), 0п Iпƚeǥeг iệngugun v Гelaƚi0пs Ьeƚweeп ƚҺe Aгea aпd h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ F0гum Ǥe0m 9, 41 -46 Ρeгimeƚeг 0f Һeг0п Tгiaпǥles ănn đthạhạ v ă ăn t ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu [5] Пaǥaгajaп, K̟ Г., SгidҺaгaп, Г (2006), 0п ЬгaҺmaǥuρƚa's aпd K̟ummeг's quadгilaƚeгals, Elem MaƚҺ 45 -57 [6] ZҺ0u, L (2018), Ρгimiƚiѵe Һeг0пiaп Tгiaпǥles WiƚҺ Iпƚeǥeг Iпгadius aпd Eхгadius, F0гum Ǥe0m 18, 71 -77 [7] Ɣiu, Ρ (2001), Һeг0пiaп ƚгiaпǥles aгe laƚƚiເe ƚгiaпǥles, Ameг MaƚҺ M0пƚҺlɣ,108, 261 -263