(Luận văn) một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán về hệ phương trình trong chương trình toán thpt

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP a lu n n va tn to Đề tài: p ie gh MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT d oa nl w a nv a lu ll u nf m n oi : Ths Ngơ Thị Bích Thủy : Nguyễn Khánh Hịa : Tốn : 14ST tz z m co l gm @ GV hướng dẫn Sinh viên thực Khoa Lớp an Lu Đà Nẵng tháng năm 2018 n va ac th si SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy Lời cảm ơn! Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa tốn trường ĐH Sư Phạm – ĐH Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành tốt khóa luận Đặc biệt, xin bày tỏ lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy, người tận tình giúp đỡ hướng dẫn tơi suốt q trình thực khóa luận Cuối tơi xin cảm ơn ý kiến đóng góp q báu, động viên giúp đỡ nhiệt tình thầy cơ, bạn bè q trình làm khóa luận tốt nghiệp a lu Đà Nẵng, tháng năm 2018 n n va Sinh viên tn to p ie gh Nguyễn Khánh Hòa d oa nl w a nv a lu ll u nf m tz n oi z m co l gm @ an Lu n va ac th Khóa luận tốt nghiệp si SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số kiến thức hệ phương trình chương trình tốn THPT 1.2 Một số sai lầm thường gặp học sinh giải toán hệ phương trình CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT a lu n 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình bậc hai ẩn n va 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình bậc ba ẩn p ie gh tn to 2.3 Dạng 3: Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khác 2.4 Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại 2.5 Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng loại oa nl w 2.6 Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp 10 2.7 Dạng 7: Hệ phương trình khơng mẫu mực 11 d a lu 2.7.1 Phương pháp 11 a nv 2.7.2 Phương pháp đặt ẩn phụ 14 u nf 2.7.3 Phương pháp nhân lượng liên hợp 20 ll 2.7.4 Phương pháp lượng giác hóa 25 m n oi 2.7.5 Phương pháp biến đổi tương đương 33 tz 2.7.6 Phương pháp hàm số 36 2.7.7 Phương pháp đánh giá 41 z gm @ MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 45 KẾT LUẬN 46 l m co TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 an Lu n va ac th Khóa luận tốt nghiệp si SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: a lu Tốn học mơn khoa học bản, có vai trị quan trọng đời sống ứng dụng rộng rãi thực tiễn Đây mơn học tương đối khó, mang tính tư cao, địi hỏi người học phải chịu khó tìm tịi, khám phá say mê nghiên cứu Kiến thức hệ phương trình chương trình tốn bậc trung học nội dung quan trọng, tảng để giúp học sinh tiếp cận đến nội dung khác chương trình tốn học, vật lý học, hóa học, sinh học bậc học Chính vậy, học sinh cần nghiên cứu kĩ nội dung để có kiến thức kĩ tốt phục vụ cho việc học tập trường làm tốt thi n n va p ie gh tn to Đối với nhiều học sinh, hệ phương trình chun đề khó, em khó nắm hướng tiếp cận để tìm kiếm lời giải Do đó, việc đưa số phương pháp giúp học sinh giải tốt toán hệ phương trình yêu cầu cần thiết Vì chủ đề hệ phương trình chủ đề thuận lợi cho việc rèn luyện hoạt động trí tuệ phát triển tư cho học sinh Ngồi hệ phương trình có thuật tốn phương pháp giải sẵn, gặp hệ phương trình khơng mẫu mực địi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo d oa nl w a nv a lu Từ đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu “Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt tốn hệ phương trình chương trình toán THPT” ll u nf Mục tiêu nghiên cứu m Đưa số dạng toán hệ phương trình phương pháp giải chúng giúp học sinh nắm vững kiến thức hệ phương trình giải tốt dạng tz n oi Nội dung nghiên cứu z gm @ Để đạt mục đích trên, đề tài có nhiệm vụ làm rõ vấn đề sau: m co l Trên sở nghiên cứu tài liệu, nêu số dạng tốn hệ phương trình phương pháp giải an Lu Hệ thống hóa kiến thức kĩ cần thiết để học sinh nắm vững kiến thức hệ phương trình n va th Trang ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy Đề xuất số ví dụ, tập hệ phương trình đưa số phương pháp để nâng cao kĩ giải toán Đưa số sai lầm thường gặp để học sinh nhận biết tránh khỏi Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu từ số tài liệu, sách, báo hay truy cập Website để thu thập thơng tin, nghiên cứu đề tài có liên quan trực tiếp đến đề tài nhóm nhằm làm rõ khái niệm kiến thức bản, ban đầu Từ đó, hình thành sở lý luận cho đề tài a lu n n va Nghiên cứu thực tế: Thông qua việc quan sát thực tế để có số đánh giá thực trạng việc dạy học Toán trường THPT Tiến hành vấn, trao đổi trực tiếp để điều tra tình hình dạy học chuyên đề hệ phương trình số trường phổ thông tn to Bố cục đề tài: Đề tài gồm chương: p ie gh Chương 1: Cơ sở lý luận thực tiễn oa nl w 1.1 Một số kiến thức hệ phương trình chương trình tốn THPT d 1.2 Một số sai lầm thường gặp học sinh giải tốn hệ phương trình a lu a nv Chương 2: Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt tốn hệ phương trình chương trình tốn THPT u nf ll 2.1.Dạng 1: Hệ phương trình bậc hai ẩn m n oi 2.2.Dạng 2: Hệ phương trình bậc ba ẩn tz z 2.3.Dạng 3: Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khác m co an Lu 2.7 Dạng 7: Hệ phương trình khơng mẫu mực l 2.6 Dạng 6: Hệ phương trình đẳng cấp gm 2.5 Dạng 5: Hệ phương trình đối xứng loại @ 2.4 Dạng 4: Hệ phương trình đối xứng loại n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy Bài tập đề nghị Kết luận a lu n n va p ie gh tn to d oa nl w a nv a lu ll u nf m tz n oi z m co l gm @ an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hòa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Một số kiến thức hệ phương trình chương trình tốn THPT 1.1.1 Nội dung hệ phương trình chương trình tốn THPT: a Lý thuyết: - Khái niệm hệ phương trình khái niệm liên quan đến hệ phương trình - Sử dụng ngơn ngữ lí thuyết tập hợp logic toán (biến đổi tương đương, hệ quả, kết hợp nghiệm, ) a lu n - Biểu diễn tập nghiệm biến đổi hệ phương trình: mở rộng, thu hẹp, tương đương, giao, hợp tập nghiệm n va tn to - Giải toán cách lập hệ phương trình p ie gh - Thấy ứng dụng toán học thực tế việc tốn học hóa tốn có nội dung thực tiễn - Kĩ giải toán, trọng tâm kĩ lập giải hệ phương trình oa nl w b Bài tập: Gồm dạng sau: - Hệ phương trình bậc hai ẩn d a nv a lu - Hệ phương trình bậc ba ẩn - Hệ phương trình gồm phương trình bậc hai ẩn phương trình khác u nf ll - Hệ phương trình đối xứng loại m - Hệ phương trình khơng mẫu mực tz - Hệ phương trình đẳng cấp n oi - Hệ phương trình đối xứng loại z gm @ c Yêu cầu, mức độ sách giáo khoa: - Học sinh nắm vững kiến thức liên quan đến hệ phương trình l m co - Suy luận logic (chính xác, chặt chẽ), giải tập nhiều mức độ sách giáo khoa an Lu - Tính tốn khéo léo, cẩn thận n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy 1.2 Một số sai lầm thường gặp học sinh giải toán hệ phương trình Trong thực trạng nay, giải tốn hệ phương trình, học sinh thường mắc phải số sai lầm sau: - Quên điều kiện xác định nghiệm, quên kết luận nghiệm - Không đối chiếu thử lại nghiệm - Kí hiệu tốn học chưa xác - Thường đọc qua loa đề vội vàng giải ngay, giải lập luận khơng chặt chẽ - Thiếu thận trọng tính tốn a lu n n va p ie gh tn to d oa nl w a nv a lu ll u nf m tz n oi z m co l gm @ an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI TỐT CÁC BÀI TỐN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình bậc hai ẩn 2.1.1 Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng  ax  by  c  ax  by  c ' x, y ẩn a lu n n va 2.1.2 Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng đồ thị, sử dụng máy tính cầm tay, đặt ẩn phụ,… 2.1.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình:  x  y  1   2 2 x  y  p ie gh tn to d oa nl w Giải: *Cách 1: Giải hệ phương trình phương pháp Ta nhận thấy với phương trình (2) biểu diễn nghiệm đơn giản 4 x  3  x    4x  y  Hệ cho ⇔  ⇔ y   2x  y   2x  a nv a lu  2 x  6  x3 ⇔ ⇔  y   2x  y   2x Vậy nghiệm hệ là: (3;-2) ll u nf  x3 ⇔  y  2 m tz n oi z *Cách 2: Giải hệ phương trình phương pháp đại số Ta nhận thấy khử biến x cách: nhân -2 vào hai vế phương trình (2), sau cộng vế hai phương trình  4x  y   x3 4 x  y  Hệ cho ⇔  ⇔ ⇔ 4x  y  8  y  2  y  2 m co l gm @ Vậy nghiệm hệ là: (3;-2) an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình bậc ba ẩn 2.2.1 Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng  a1 x  b1 y  c1 z  d1  a2 x  b2 y  c2 z  d2 a x  b y  c z  d 3  a lu n n va x, y, z ẩn 2.2.2 Cách giải: Với hệ ta giải nhiều cách khác như: Phương pháp thế, phương pháp cộng, sử dụng máy tính cầm tay,… 2.2.3 Ví dụ: Giải hệ phương trình: x yz 2 1   2  x  y  3z  2 x  y  3z  1  3  p ie gh tn to Giải: Lấy (2) trừ (1) vế theo vế ta phương trình: oa nl w y  z  1 d Nhân hai vế (1) với lấy (3) trừ (1) vế theo vế ta phương trình:  y  z  1  y 3 ⇔ Thay vào (1) ta x    y  z  5  z  2 ll u nf Suy ra: a nv a lu  y  z  5 m Vậy hệ phương trình cho có nghiệm 1;3; 2 tz n oi z 2.3 Dạng 3: Hệ phương trình gồm phương trình bậc phương trình khác 2.3.1 Định nghĩa: Là hệ phương trình có dạng ax  by  c    f  x, y   m co l gm @ an n va 2.3.2 Cách giải: Lu x, y ẩn, f  x, y  biểu thức hai biến x, y Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy  x 1  (Loại) ⇔  x0  x  2 (Thõa) Với x  ⇒ y  1 Với x  2 ⇒ y   5 Vậy nghiệm hệ 1; 1 ; (2;  ) a lu b Loại 2: Một phương trình hệ đưa dạng tích phương trình bậc hai ẩn VD: Giải hệ phương trình: n 2  1  xy  x  y  x  2y    x 2y  y x   x  y  2 n va tn to p ie gh Giải: Điều kiện : x  1, y  oa nl w (1) ⇔ x2  xy  y   x  y   d ⇔  x  y  x  y    x  y   a lu a nv ⇔  x  y  x – y 1  (*) ll u nf Từ điều kiện ta có x  y  m Nên (*) ⇔ x – y –1  y  y y   y  1  y an Lu  2y   m  co ⇔  y  1 l ⇔ y 2y  2y  2y  gm @  y  1 z Thay vào phương trình (2) ta : tz n oi ⇔ x  2y 1 n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 34 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy ⇔ y   (do y  0) ⇔ y 2 ⇒ x5 Vậy nghiệm hệ 5;2 c Loại 3: Đưa phương trình hệ dạng bậc hai ẩn, ẩn cịn lại tham số VD: Giải hệ phương trình  y   5x  4  x  1  2  y  5x  xy  16 x  16 x  y  16    a lu Giải: n n va Biến đổi phương trình (2) dạng: p ie gh tn to y   4x  8 y  5x2  16x  16  Coi phương trình phương trình theo ẩn y tham số x oa nl w   (4x  8)2  4.(5x2  16x 16)  36x2 Từ ta có nghiệm : d a nv a lu  3  4 ll u nf Thay (3) vào (1) ta được:  y  5x   y  4 x m n oi  x  y0  5x  4  5x  4  x     x0 y 4 tz an Lu  m  co   Vậy nghiệm hệ là:  0;4  ;  4;0  ;   ;0  l  x 4 y 0   5x  4  x     x 0 y 4 gm @   x z Thay (4) vào (1) ta được: n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 35 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hòa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy 2.7.6 Phương pháp hàm số Phần Nhắc lại số tính chất a Tính đơn điệu hàm số - Hàm số y  f  x  gọi đồng biến (tăng) khoảng  a; b với  x1; x2   a; b  mà x1  x2 f  x1   f  x2  - Hàm số y  f  x  gọi nghịch biến (giảm) khoảng  a; b với  x1; x2   a; b mà x1  x2 f  x1  > f  x2  - Hàm số y  f  x  đồng biến nghịch biến  a; b , ta nói hàm số a lu y  f  x  đơn điệu  a; b n n va b Định lí tn to Giả sử hàm số y  f  x  có đạo hàm khoảng  a; b p ie gh - Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  a; b  f '  x    x   a; b  f '  x  = xảy số hữu hạn điểm oa nl w khoảng  a; b d - Hàm số y  f  x  nghịch biến khoảng  a; b a lu a nv  f '  x    x   a; b  f '  x  = xảy số hữu hạn điểm ll u nf khoảng  a; b m - Nếu f '  x    x a; b f  x  liên tục a; b hàm số y  f  x  tz n oi đồng biến a; b c Các tính chất: an Lu f  u   f  v   u  v u, v   a; b  m - Nếu f  x  liên tục đơn điệu  a; b ta có: co l gm @ nghịch biến a; b z - Nếu f '  x    x a; b f  x  liên tục a; b hàm số y  f  x  n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 36 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hòa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy - Nếu f  x  đơn điệu liên tục  a; b phương trình f  x   có nhiều nghiệm x1   a; b  - Nếu f  x  ; g  x  liên tục đơn điệu ngược chiều  a; b phương trình f  x   g  x  có nhiều nghiệm  a; b - f  x  đồng biến  a; b f u   f  v   u  v - f  x  nghịch biến  a; b f u   f  v   u  v Phần Sử dụng tính đơn điệu hàm số đặc trưng giải hệ phương trình a lu Cách giải : n Bước 1: Tìm điều kiện cho biến x, y hệ phương trình (nếu có) n va p ie gh tn to Bước 2: Tìm hệ thức liên hệ đơn giản x y phương pháp hàm số - Biến đổi phương trình hệ dạng f u   f  v  (u, v biểu thức chứa x,y) oa nl w - Xét hàm đặc trưng f  t  , chứng minh f  t  đơn điệu, suy ra: u = v (đây hệ d thức đơn giản chứa x, y) a lu a nv Bước 3: Thay hệ thức đơn giản tìm vào phương trình cịn lại hệ để phương trình ẩn u nf ll Bước 4: Giải phương trình ẩn m n oi (cần ơn tập tốt phương pháp giải phương trình ẩn) tz Hệ phương trình loại ta thường gặp hai dạng f  x   f  x   f  y  hàm đơn điệu D x, y thuộc D Trong phương pháp khó phải xác định tập giá trị x y , tập giá trị chúng khác không dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích :  x  y .A x, y   Khi ta xét trường hợp: x  y , trường hợp A x, y   z m co l gm @ Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 37 ac Khóa luận tốt nghiệp n va lại giúp ta giới hạn x, y thuộc tập D để hàm f đơn điệu an Lu a Loại 1: Một phương trình hệ có dạng f  x   f  y  , phương trình cịn si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy VD: Giải hệ phương trình:  x  5x  y3  y  x  y  1  2 Nhìn vào phương trình (1) hệ ta xác định dùng phương pháp hàm số cách đặt f  t   t  5t ta f  x   f  y  tiến hành xét tính biến thiên hàm số f  t   t  5t khoảng xác định Giải: a lu  x8   x   Từ phương trình (2) ta có  y 1  y 1 n n va Xét hàm số f  t   t  5t , t 1;1 Từ (1) ⇔ x  y thay vào phương trình (2) ta được: p ie gh tn to Ta có f '  t   3t   , t 1;1 f  t  nghịch biến  1;1 oa nl w x8  x   Đặt a  x4 (a  0) giải phương trình ta d 1  1   x  y   2 a nv a lu a ll u nf  1  1    1  1   ;   ;4 ;4 Vậy nghiệm hệ là:   2  2     m tz z (ĐH A-2003) m an Lu Xét hàm số: f (t )  t  có tập xác định D = R \ 0 t co Giải: l gm @ 1   x  x  y  y 1  2 y  x     n oi VD: Giải hệ phương trình: n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 38 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hòa f 't    GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy  x  D nên hàm số đồng biến  ;0 ;  0;  t2 TH1: Xét x, y   ;0 : (1) ⇔ x  y thay vào (2) ta x3  x   ⇔ ( x 1)( x2  x 1)  a lu  x 1   x  1  x 1  ⇔ ⇔  x  x 1    x  1   n (Thỏa) (Loại) 1  1  y 2 n va Với x  (Loại) tn to TH2: Xét x, y   0;  : p ie gh (1) ⇔ x  y thay vào (2) ta oa nl w x3  x   ⇔ ( x 1)( x2  x 1)   x 1   x  1  x 1  ⇔ ⇔  x  x 1    x  1   x 1 y 1 Với (Thỏa) d a nv a lu (Loại) (Thỏa) ll u nf tz n oi 1  1  y 2 m Với x  z Vậy nghiệm hệ phương trình là:  1  1    1  1   ; ; (1;1) ,  ;   2   b Loại 2: Phương pháp hàm số - Dùng điểm uốn: Trong hệ phương trình phức tạp ta không dễ dàng nhận cách đặt u, v để f(u)=f(v), cách sử dùng điểm uốn giúp dự đốn cách đặt thêm ẩn phụ để giải hệ phương trình theo phương pháp hàm số m co l gm @ an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 39 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy VD: Giải hệ phương trình:  x3  3x  x  22  y  y  y (1)   2 (2)  x  y  x  y  (A,A1-2012) Ta nhận thấy hệ x,y rời có hàm bậc nhiều khả dùng phương pháp hàm số- dùng điểm uốn Ta cần tìm cách đặt u=? , v=? để có f u   f  v  Ta đặt f  x   x3  3x2  9x  22 ⇒ f '  x   3x2  6x  ⇒ f " x   6x  Cho f ''  x   ta x  nên đặt u  x 1 a lu n Đặt g  y   y3  y  y ⇒ g '  y   y  y  n va tn to ⇒ g " y   y  Cho g " y   ta y  1 nên đặt v  y  p ie gh Giải: oa nl w Đặt u  x 1 v  y  thay vào phương trình (1) ta được: u3 12u  v3 12v (*) d 2 1  1    x     y   1 2  2  (2) a nv a lu Ta có x2  y  x  y  ll u nf Từ (2) suy m  1 3  x     1  x     x   2    2     y    1  y    1  y      2   tz n oi z m co l an Lu f ' t   3t  12  t   2;2 gm Xét f  t   t  12t với t   2;2 @ Nên x  y  thuộc  2;2 n va Nên f  t  nghịch biến  2;2 mà theo (*), f u   f  v  ⇒ u  v Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 40 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy ⇒ x 1  y  ⇒ x  y  Thay vào phương trình (2): 3  y  ;x   2  y  2  y   y  2  y   y  y     2  y  1 ; x   2 1   3  ; ;  2  2   Vậy hệ có cặp nghiệm  x; y    ; a lu n n va 2.7.7 Phương pháp đánh giá Phần 1: Các kiến thức cần nhớ: a Bất đẳng thức COSI Với n số thực không âm a1, a2 , a3 ,, an , ta có: p ie gh tn to a1  a2   an n  a1a2 an n Dấu xảy a1  a2   an oa nl w b Bất đẳng thức Bunhiacoxky Với số ( a1; a2 ;; an ) ( b1; b2 ;; bn ) ta có: a  a22  an2 b12  b22  bn2    a1b1  a2b2  anbn  d a a1 a2     n b1 b2 bn a lu a nv Dấu xảy : ll u nf c Các bất đẳng thức phụ cần nhớ: 1 - Với a, b  ta có:   Dấu xảy a = b a b ab m n oi 1 Với ab  bất đẳng thức đổi chiều   2  a  b  ab Dấu xảy a  b  tz - Với ab  z gm @ Cách giải: m co l  f  x  g  x  Thông thường ta đánh sau:  f  x   C   C   f  x   g  x   C  g  x  C  C   an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 41 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy Hoặc đánh giá trực tiếp f  x   g  x  ; f  x   g  x  Từ tìm dấu xảy bất đẳng thức (tức giá trị biến để thỏa mãn điều kiện xảy dấu bằng) Ngoài số ta sử dụng điều kiện nghiệm để đánh giá Phần : Các ví dụ minh họa a Loại 1: Phương pháp đánh giá tập xác định: VD: Giải hệ phương trình:   x  y 1     x 1  y  a lu n Giải: n va p ie gh tn to  x   x  y 1  Ta có:  nên  y    x 1  y  Dấu xảy x  y  oa nl w Vậy hệ có nghiệm  0;0 d b Loại 2: Đánh giá bất đẳng thức VD: Giải hệ phương trình: a lu a nv  x 12  y  y(12  x2 )  12 (1)  (2)  x  8x   y  ll u nf (A-2014) m tz n oi Chúng ta dễ dàng nhận áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho phương trình (1), cần ý đến điều kiện ban đầu đánh giá Giải: z m an Lu Suy : x 12  y  y(12  x )  12 y  x2  12 co y 12  x   l x2  12  y gm Ta có: x 12  y  @ 2  y  12 Điều kiện:   x  12 n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 42 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy 0  x  Dấu xảy   y  12  x Thay vào phương trình (2) ta có: x3  8x 1  10  x2 ⇔   x3  8x    10  x2     x  3 ⇔  x  3  x2  3x      10  x  a lu   x  3 Do x  ⇒ x2  3x      10  x Khi (*)  x   y     (*)   0  n n va tn to Vậy nghiệm hệ phương trình : x  y  p ie gh VD: Giải hệ phương trình : d oa nl w   x  1  y    y  13  x   1  2  2  x  y  x  y   Giải:  x  1  y   Điều kiện:   y  1  x   a nv a lu ll u nf Nhận xét: Với điều kiện ta chưa thể đánh giá phương trình theo bất đẳng thức Cơ-si chưa có điều kiện x   ,  y  , quan sát kĩ phương trình thứ hai ta thấy: m n oi tz   x  22   (2) ⇔  x     y    (*)    y  2  1  x   1  y  z ⇒ VT(1)  m co l an Lu x 1   y Suy ra: (1)⇔  ⇔x  4 y y    x  gm x 1   y y 1   x  y  1  x    x  1  y   @   Vậy ta có:    n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 43 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy Thay vào phương trình (*) ta có:  y     y     x  2   y    x  2  Hệ phương trình có nghiệm: ( x; y)  (2  1 1 ; ;  2)  2) ; (2  2 2 a lu n n va p ie gh tn to d oa nl w a nv a lu ll u nf m tz n oi z m co l gm @ an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 44 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy MỘT SỐ BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ  x2  xy  y  y  x (1) Bài Giải hệ phương trình:  (2)  y x  y   x  2 xy  2  x  y  x  y  (1) Bài Giải hệ phương trình:   x  y  x2  y (2)   x2  y2  xy   y (1) 2  y( x  y)  2x  y  (2) Bài Giải hệ phương trình:  a lu n n va  (4 x  1) x  ( y  3)  y  Bài (KA-2010) Giải hệ phương trình:  2  4 x  y   x  p ie gh tn to Bài (HSG K12 Đồng Nai) Giải hệ phương trình: 10  (1)  x  xy  y  y    x   y   (2) oa nl w d 2 x   y   y (1)  Bài Giải hệ phương trình:  2 y   x   x (2) Bài (HSG QG – 2001) Giải hệ phương trình:   x  y  2x  y  (1)    2x  y  x  y  (2) 3  1  x y  19 x (1) Bài (Đề thi TS cũ) Giải hệ phương trình:  2   y  xy  6x (2) 2   y  xy  6x (1) Bài Giải hệ phương trình:  2  1  x y  5x (2) a nv a lu ll u nf m tz n oi z gm @ m co l   1 ( x  y)1     xy  Bài 10 Giải hệ phương trình:  ( x  y )1    49  x2 y2      an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 45 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hịa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy KẾT LUẬN a lu n n va Qua trình nghiên cứu, từ kết thu được, tơi nhận thấy:  Đề tài góp phần làm sáng tỏ nội dung: “Một số phương pháp giúp học sinh giải tốt tốn hệ phương trình chương trình tốn THPT ”  Đề tài đưa dạng toán phương pháp giải hệ phương trình đại số cho học sinh trình dạy học hệ phương trình  Vận dụng phương pháp vào thực tiễn dạy học hệ phương trình Là sinh viên năm cuối trường, nhận thấy đề tài có ích cho thân để làm hành trang vào nghề Vì thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên đề tài khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong ý kiến đóng góp quý báu độc giả để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! p ie gh tn to d oa nl w a nv a lu ll u nf m tz n oi z m co l gm @ an Lu n va Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn th Trang 46 ac Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an SVTH: Nguyễn Khánh Hòa GVHD: Ths Ngơ Thị Bích Thủy TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thành Đông, 2011 Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực Luận văn thạc sĩ Hà Văn Chương, 2013 Tuyển chọn giải phương trình, hệ phương trình Hà Nội: nhà xuất Giáo dục Lê Bá Bảo, 2013 Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục a lu n n va p ie gh tn to d oa nl w a nv a lu ll u nf m tz n oi z m co l gm @ an Lu Trang 47 ac th Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn n va Khóa luận tốt nghiệp si C.vT.Bg.Jy.Lj.Tai lieu Luan vT.Bg.Jy.Lj van Luan an.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an.Tai lieu Luan van Luan an Do an Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhd.vT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.LjvT.Bg.Jy.Lj.dtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn.Stt.010.Mssv.BKD002ac.email.ninhddtt@edu.gmail.com.vn.bkc19134.hmu.edu.vn