Luận văn một số nghiên cứu về nghiệm mạnh của hệ phương trình g navier stokes hai chiều (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN VIỆT DŨNG MỘT SỐ NGHIÊN CỨU VỀ NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HÓA, NĂM 2016 Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: TS Đào Trọng Quyết Phản biện 1: GS.TSKH Phạm Kỳ Anh Phản biện 2: PGS.TS Tạ Duy Phượng Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào hồi: ngày tháng 11 năm 2016 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức, Bộ mơn: Giải tích, Trường Đại học Hồng Đức 1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, khơng khí, dầu mỏ, , điều kiện tương đối tổng quát, chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng không, khí tượng học, cơng nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng, miêu tả dòng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, khơng nén hệ Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo tồn khối lượng, động lượng có dạng:    ∂ u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x,t), ∂t  ∇ · (u) = 0, (1) u = u(x,t), p = p(x,t) tương ứng hàm véctơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt f ngoại lực Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có nhiều báo sách chuyên khảo viết hệ phương trình Navier-Stokes, nhiên hiểu biết nghiệm hệ phương trình cịn khiêm tốn Nói riêng, vấn đề tồn nghiệm mạnh tồn cục tính nghiệm yếu trường hợp ba chiều thách thức lớn nhà toán học vật lý Tuy nhiên, nhu cầu Khoa học Cơng nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng phương trình, hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, nhiều lớp phương trình hệ phương trình khác học chất lỏng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ý nghĩa tầm quan trọng chúng, khó khăn thách thức mặt tốn học đặt nghiên cứu chúng Một số lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes, đưa lần J Roh năm 2001 Hệ phương trình g-Navier-Stokes có dạng:    ∂ u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x,t), ∂t  ∇ · (gu) = 0, (2) g = g(x) hàm số dương cho trước Như đề cập ([6]), có hai lí dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, đặc biệt trường hợp hai chiều: Hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), Ω miền hai chiều, tính chất tốt hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes miền mỏng ba chiều Về mặt tốn học, hệ phương trình dạng tổng quát hệ phương trình Navier-Stokes, cụ thể g = const, ta thu lại hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển Vì có kết lớp phương trình này, cần cho g = 1, ta nhận kết tương ứng hệ phương trình Navier-Stokes Ngược lại, việc chuyển kết biết hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g-Navier-Stokes đặt vấn đề tốn học lí thú Chính lí trên, lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes thu hút quan tâm, nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước năm gần Như vậy, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Một số nghiên cứu nghiệm mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều” Mục đích nghiên cứu • Chứng minh tồn nghiệm mạnh tốn biên ban đầu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh: + Khi ngoại lực f “nhỏ” không phụ thuộc thời gian, nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm dừng mạnh (tức nghiệm toán dừng tương ứng) + Khi ngoại lực f “lớn” không phụ thuộc thời gian nghiên cứu tồn tập hút tồn cục nửa nhóm sinh hệ phương trình g-Navier-Stokes Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Một số nghiên cứu nghiệm mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều • Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn nghiệm mạnh; tồn tập hút toàn cục Phương pháp nghiên cứu • Chứng minh tồn nghiệm: Sử dụng phương pháp Giải tích hàm phi tuyến (phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, phương pháp compact) công cụ (Bổ đề compact Aubin-Lions, không gian, bổ đề xử lí số hạng phi tuyến, ) nghiên cứu phương trình học chất lỏng • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm: Sử dụng cơng cụ phương pháp lí thuyết hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều (xem [7]), lí thuyết rộng lớn phát triển từ khoảng hai thập kỉ gần đây, phương pháp lí thuyết ổn định nghiệm phương trình vi phân (có trễ khơng có trễ) Cụ thể ngoại lực f “lớn” không phụ thuộc thời gian chứng minh tồn tập hút tồn cục Khi ngoại lực f “nhỏ” khơng phụ thuộc thời gian, nghiên cứu tồn tính nghiệm dừng, tức nghiệm toán dừng tương ứng, chứng minh nghiệm hệ phương trình g-Navier-Stokes dần đến nghiệm dừng thời gian t vô Dự kiến đóng góp luận văn • Chứng minh tồn tại, nghiệm mạnh hệ phương trình gNavier-Stokes hai chiều • Chứng minh tồn tập hút toàn cục nghiệm mạnh ngoại lực f “lớn” khơng phụ thuộc thời gian 4 • Chứng minh tồn tại, nghiệm dừng mạnh ngoại lực f “nhỏ” không phụ thuộc thời gian • Chứng minh tính ổn định mũ nghiệm dừng: chứng minh nghiệm hệ phương trình g-Navier-Stokes dần đến nghiệm dừng thời gian t vô Bố cục Luận văn luận văn chia thành hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày khơng gian hàm, tốn tử bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến số kết sơ hệ phương trình g-Navier-Stokes • Chương 2: Nghiệm mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều Trong chương nghiên cứu tốn biên ban đầu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn Phát biểu định nghĩa nghiệm mạnh toán Chứng minh tồn nghiệm mạnh, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh trường hợp ngoại lực f "nhỏ" không phụ thuộc thời gian thông qua tồn tính ổn định mũ nghiệm dừng mạnh Cuối cùng, trường hợp ngoại lực f "lớn" không phụ thuộc thời gian nghiên cứu tồn tập hút tồn cục nửa nhóm sinh hệ phương trình g-Navier-Stokes 5 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại không gian hàm cần dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes thiết lập đánh giá cần thiết để xử lí số hạng phi tuyến phương trình Chúng tơi trình bày số kết bổ trợ số bất đẳng thức thường dùng để sử dụng chương sau luận văn 1.1 Các khơng gian hàm, tốn tử bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến 1.1.1 Các không gian hàm Để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, dùng khơng gian hàm sau: Kí hiệu L2 (Ω, g) = (L2 (Ω))2 H01 (Ω, g) = (H01 (Ω))2 với tích vơ hướng Z (u, v)g = u.vgdx, u, v ∈ L2 (Ω, g), Ω Z ∑ ∇u j · ∇v j gdx, u = (u1, u2), v = (v1, v2) ∈ H01(Ω, g), ((u, v))g = Ω j=1 chuẩn tương ứng |u|2 = (u, u)g , ||u||2 = ((u, u))g Từ giả thiết hàm g xét luận văn (xin xem chi tiết Chương 2), dễ thấy chuẩn | · | || · || tương đương với chuẩn thông thường (L2 (Ω))2 (H01 (Ω))2 Đặt V = {u ∈ (C0∞ (Ω))2 : ∇ · (gu) = 0} Ký hiệu Hg bao đóng V L2 (Ω, g), Vg bao đóng V H01 (Ω, g) Dễ thấy Vg ⊂ Hg ≡ Hg0 ⊂ Vg0 , phép nhúng trù mật liên tục Ta dùng ký hiệu || · ||∗ cho chuẩn Vg0 , h., i đối ngẫu Vg Vg0 Các không gian khơng gian Hilbert 6 1.1.2 Các tốn tử Ta định nghĩa toán tử liên quan đến hệ g-Navier-Stokes sau Đặt A : Vg → Vg0 toán tử xác định hAu, vi = ((u, v))g Kí hiệu D(A) = {u ∈ Vg : Au ∈ Hg }, D(A) = H (Ω, g) ∩Vg Au = −Pg ∆u, ∀u ∈ D(A), Pg tốn tử chiếu trực giao từ L2 (Ω, g) xuống Hg Đặt B : Vg × Vg → Vg0 toán tử xác định hB(u, v), wi = b(u, v, w), b(u, v, w) = Z ∑ j,k=1 Ω uj ∂ vk wk gdx ∂xj Dễ thấy u, v, w ∈ Vg , b(u, v, w) = −b(u, w, v) Do b(u, v, v) = 0, ∀u, v ∈ Vg Đặt C : Vg → Hg toán tử xác định (Cu, v)g = (( ∇g ∇g · ∇)u, v)g = b( , u, v), ∀v ∈ Vg g g Do ∇g − (∇ · g∇)u = −∆u − ( · ∇)u, g g ta có ∇g · ∇)u, v)g g ∇g = (Au, v)g + (( · ∇)u, v)g , ∀u, v ∈ Vg g (−∆u, v)g = ((u, v))g + (( 1.1.3 Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyn S dng bt ng thc Hăolder, bt ng thức Ladyzhenskaya (với n = 2) sau đây: |u|L4 ≤ c|u|1/2 |∇u|1/2 , ∀u ∈ H01 (Ω), bất đẳng thức nội suy, ta có Bổ đề 1.1.1 Nếu n = 2,  1 1   kuk kvk|w| kwk , ∀u, v, w ∈ Vg , c |u|      c2 |u| 12 kuk 21 kvk|Aw| 12 |w| 12 , ∀u ∈ Vg , v ∈ D(A), w ∈ Hg , |b(u, v, w)| ≤ 1   c3 |u| |Au| kvk|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ Vg , w ∈ Hg ,      c4 |u|kvk|w| 12 |w| 12 |Aw| 12 , ∀u ∈ Hg , v ∈ Vg , w ∈ D(A), ci , i = 1, , 4, số xác định Bổ đề 1.1.2 Cho u ∈ L2 (τ, T ;Vg ) Khi hàm Bu xác định hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀u ∈ Vg , h.k t ∈ [τ, T ], thuộc L2 (τ, T ;Vg0 ) Bổ đề 1.1.3 Cho u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ;Vg ) Khi hàm Bu xác định hBu(t), vi = b(u(t), u(t), v), ∀v ∈ Hg , h.k t ∈ [0, T ], thuộc L4 (0, T ; Hg ), thuộc L2 (0, T ; Hg ) Bổ đề 1.1.4 Cho u ∈ L2 (τ, T ;Vg ) Khi hàm Cu xác định (Cu(t), v)g = (( ∇g ∇g · ∇)u, v)g = b( , u, v), ∀v ∈ Vg , g g thuộc L2 (τ, T ; Hg ), thuộc L2 (τ, T ;Vg0 ) Hơn |Cu(t)| ≤ kCu(t)k∗ ≤ |∇g|∞ ku(t)k, với h.k t ∈ (τ, T ) m0 |∇g|∞ 1/2 ku(t)k, với h.k t ∈ (τ, T ) m0 λ1 1.2 1.2.1 Một số kết thường dùng Không gian hàm phụ thuộc thời gian Cho X không gian Banach thực với chuẩn ||.|| 8 Định nghĩa 1.2.1 Không gian L p (0, T ; X) gồm tất hàm đo u : [0, T ] → X với RT (i) ||u||L p (0,T ;X) := ( ||u(t)|| p dt)1/p < ∞ với ≤ p < ∞ (ii) ||u||L∞ (0,T ;X) := esssup||u(t)|| < ∞ t∈[0,T ] p Khi L (0, T ; X) khơng gian Banach, phản xạ < p < +∞ Không gian liên hợp L p (0, T ; X) Lq (0, T ; X ) với 1/p + 1/q = Định nghĩa 1.2.2 Không gian C([0, T ]; X) bao gồm tất hàm liên tục u : [0, T ] → X với ||u||C([0,T ];X) := max ||u(t)|| < ∞ 0≤t≤T 1.2.2 Một số bất đẳng thức thường dùng Dưới số bất đẳng thức sơ cấp quan trọng thường xuyên sử dụng: • Bất đẳng thức Cauchy: a2 b2 ab ≤ + 2 • Bất đẳng thức Cauchy với ε: b2 ab ≤ εa + 4ε • Bất đẳng thức Young: Cho < p, q < ∞, 1p + q1 = 1, đó: ab ≤ a p bq + , (a, b > 0) p q • Bất đẳng thức Young với ε: ab ≤ εa p +C(ε)bq , (a, b, ε > 0) −q với C(ε) = (ε p) p q−1 • Bất đẳng thức Holder: Giả sử ≤ p, q ≤ ∞, 1p + 1q = Khi u ∈ L p (Ω), v ∈ Lq (Ω) ta có: Z Ω |uv|dx ≤ ||u||L p (Ω) ||u||Lq (Ω) • Bất đẳng thức nội suy chuẩn L p : Giả thiết ≤ s ≤ r ≤ t ≤ ∞ r = θ s + 1−θ t Giả sử u ∈ Ls (Ω) ∩ Lt (Ω) Khi u ∈ Lr (Ω) ||u||Lr (Ω) ≤ ||u||tLs (Ω) ||u||1−θ Lt (Ω) • Bất đẳng thức Gronwall: Giả sử x(t) hàm liên tục tuyệt đối [0;T] thoả mãn dx ≤ g(t)x + h(t), với hầu khắp t, dt g(t) h(t) hàm khả tích [0;T] Khi x(t) ≤ x(0)e G(t) Z t + eG(t)−G(s) h(s)ds với ≤ t ≤ T , Z t G(t) = g(r)dr Nói riêng a b số dx ≤ ax + b, dt b b x(t) ≤ (x(0) + )eat − a a • Bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân: Cho hàm khả tích khơng âm [0,T] thỏa mãn với hầu khắp t bất đẳng thức tích phân ξ (t) ≤ C1 Z t ξ (t)ds +C2 , với C1 ,C2 số khơng âm Khi ξ (t) ≤ C2 (1 +C1teC1t ) với hầu khắp t, ≤ t ≤ T 1.2.3 Một số bổ đề định lí quan trọng Sau ta nhắc lại số bổ đề định lí quan trọng sử dụng chứng minh kết trình bày chương sau luận văn 10 Bổ đề 1.2.3 (Bổ đề Aubin-Lions) Cho X0 , X X1 ba không gian Banach với X0 X1 không gian phản xạ Giả sử X0 nhúng compact X X nhúng liên tục X1 Với < p, q < +∞, ta đặt: W = {u ∈ L p ([0, T ]; X0 ) | u˙ ∈ Lq ([0, T ]; X1 )} Khi W nhúng compact L p ([0, T ]; X) Bổ đề 1.2.4 Giả sử X Y hai không gian Banach với Y ⊂ X, phép nhúng compact Cho G tập bị chặn L1 (0, T ;Y ) L p (0, T ; X), T > 0, p > 1, thỏa mãn Z T−a p |g(a + s) − g(s)|X ds → a → 0, g ∈ G Khi G compac tương đối Lq (0, T ; X) với q, ≤ q < p Định lý 1.2.5 (Định lí điểm bất động Brouwer) Giả sử u : B(0, 1) → B(0, 1) hàm liên tục, B(0, 1) hình cầu đóng đơn vị RN Khi u có điểm bất động 11 Chương NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Trong chương này, xét hệ g-Navier-Stokes hai chiều miền bị chặn với biên trơn Đầu tiên, sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin phương pháp compact, chứng minh tồn nghiệm mạnh Tiếp theo, ngoại lực không phụ thuộc thời gian, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh thời gian vô dựa tồn tập hút tồn cục tính ổn định nghiệm dừng mạnh Cuối cùng, xét vấn đề xấp xỉ nghiệm mạnh hai trường hợp: Xấp xỉ khoảng thời gian hữu hạn xấp xỉ dáng điệu tiệm cận thời gian tiến vơ 2.1 ĐẶT BÀI TỐN Cho Ω miền bị chặn R2 với biên trơn Γ Ta nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều sau:  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x,t) (0, T ) × Ω,   ∂t    ∇ · (gu) = (0, T ) × Ω,   u = (0, T ) × Γ,      u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω, (2.1) u = u(x,t) = (u1 , u2 ) hàm véctơ vận tốc p = p(x,t) hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt, u0 vận tốc ban đầu Để nghiên cứu toán trên, ta giả thiết hàm g thỏa mãn điều kiện sau: (G) g ∈ W 1,∞ (Ω) thỏa mãn 1/2 < m0 ≤g(x)≤M0 với x = (x1 , x2 ) ∈ Ω, |∇g|∞ < m0 λ1 , λ1 > giá trị riêng nhỏ toán tử g-Stokes Ω (tức toán tử A Chương 1, mục 1.1) Trong chương này, điều kiện phù hợp ngoại lực f , nghiên cứu vấn đề sau tốn (2.1): 12 • Sự tồn nghiệm mạnh • Dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh ngoại lực f không phụ thuộc thời gian thơng qua: – Sự tồn tập hút tồn cục ngoại lực f "lớn" – Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng mạnh ngoại lực f "nhỏ" 2.2 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH Trước tiên định nghĩa nghiệm mạnh toán (2.1) Định nghĩa 2.2.1 Cho f ∈ L2 (0, T ; Hg ) u0 ∈ Vg , nghiệm mạnh khoảng (0, T ) toán (2.1) hàm u ∈ L2 (0, T ; D(A)) ∩ L∞ (0, T ;Vg ) với u(0) = u0 thỏa mãn: d (u(t), v)g + ν((u(t), v))g + ν(Cu(t), v)g + b(u(t), u(t), v) = ( f (t), v)g (2.2) dt với v ∈ Vg h.k t ∈ (0, T ) Nhận xét 2.2.2 Từ định nghĩa trên, dễ thấy nghiệm mạnh u ∈ L2 (0, T ; D(A)) du = f − νAu − Bu − Cu ∈ L2 (0, T ; Hg ) dựa Bổ đề 1.1.2 1.1.4 dt Hơn nữa, ta có u ∈ C([0, T ];Vg ) Chú ý u nghiệm mạnh tốn (2.1) u thỏa mãn phương trình: du (t) + νAu(t) + Bu(t) +Cu(t) = f (t) Hg , với h.k t ∈ (0, T ), dt thỏa mãn đẳng thức lượng sau với ≤ s < t ≤ T , |u(t)| + 2ν Z t ku(r)k dr + 2ν s =|u(s)|2 + Z t b( s ∇g , u(r), u(r))dr g Z t s ( f (r), u(r))g dr Tiếp theo ta đưa số đánh giá tiên nghiệm nghiệm mạnh toán (2.1) Bổ đề 2.2.3 Nếu u nghiệm mạnh (2.1) (0, T ) Z T ||u(t)||2 dt ≤ K1 , K1 = K1 (|u0 |, k f kL2 (0,T ;Hg ) , ν, T, λ1 ), (2.3) 13 sup |u(s)|2 ≤ K2 , K2 = K2 (|u0 |, k f kL2 (0,T ;Hg ) , ν, T, λ1 ) (2.4) s∈[0,T ] Bổ đề 2.2.4 Nếu u nghiệm mạnh toán (2.1) (0, T ) sup ||u(t)||2 ≤ K3 , K3 = K3 (K1 , K2 ), (2.5) t∈[0,T ] Z T |Au(t)|2 dt ≤ K4 , K4 = K4 (K1 , K2 ) (2.6) Sau ta trình bày kết tồn nghiệm mạnh Định lý 2.2.5 Giả sử f ∈ L2 (0, T ; Hg ) u0 ∈ Vg cho trước Khi tồn nghiệm mạnh u toán (2.1) (0, T ) Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) liên tục Vg với t ∈ [0, T ], nghĩa là, nghiệm mạnh phụ thuộc liên tục vào kiện ban đầu 2.3 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA NGHIỆM MẠNH Trong phần này, giả thiết f ∈ Hg không phụ thuộc vào thời gian t Khi đó, Định lí 2.2.5, ta định nghĩa nửa nhóm liên tục S(t) : Vg → Vg xác định S(t)u0 = u(t), t ≥ 0, u0 ∈ Vg , u(t) nghiệm toán (2.1) với điều kiện đầu u(0) = u0 Ta nửa nhóm có tập hút tồn cục compact A Vg ngoại lực f đủ nhỏ, tập hút có dạng đặc biệt: A = {u∗ }, u∗ nghiệm dừng mạnh toán (2.1) 2.3.1 Sự tồn tập hút toàn cục Mệnh đề 2.3.1 Nếu f ∈ Hg tồn thời điểm t0 = t0 (|u0 |), số dương ρHg IVg cho |u(t)| ≤ ρHg , Z t+1 t ||u(s)||2 ds ≤ IVg , ∀t ≥ t0 (2.7) (2.8) 14 Tiếp theo chứng minh tồn tập hấp thụ bị chặn Vg nửa nhóm S(t) Mệnh đề 2.3.2 Nếu f ∈ Hg tồn thời điểm t1 = t1 (t0 ), số dương ρVg IA cho ||u(t)|| ≤ ρVg , Z t+1 t (2.9) |Au(s)|2 ds ≤ IA , ∀t ≥ t1 (2.10) Tiếp theo ta chứng minh tồn tập hấp thụ bị chặn D(A) nửa nhóm S(t), điều dẫn đến tồn tập hút toàn cục Vg Mệnh đề 2.3.3 Nếu f ∈ Hg tồn thời điểm t2 = t2 (t1 ) số dương ρA cho |Au(t)| ≤ ρA ∀ t ≥ t2 Bởi phép nhúng D(A) ,→ Vg compact, ta có kết sau Định lý 2.3.4 Nửa nhóm S(t) sinh tốn (2.1) có tập hút tồn cục compact A không gian Vg 2.3.2 Sự tồn tính ổn định nghiệm dừng mạnh Nghiệm dừng mạnh toán (2.1) phần tử u∗ ∈ D(A) thỏa mãn ν((u∗ , v))g + ν(Cu∗ , v)g + b(u∗ , u∗ , v) = ( f , v)g , ∀v ∈ Vg (2.11) Định lý 2.3.5 Nếu f ∈ Hg (a) Bài tốn (2.1) có nghiệm dừng mạnh u∗ Hơn nữa, nghiệm thỏa mãn ν(1 − |∇g|∞ )||u∗ || ≤ 1/2 m0 λ1 1/2 λ1 | f | (b) Nếu có điều kiện sau: h |∇g|∞ i2 c1 | f | ν(1 − ) > , 1/2 λ1 m0 λ1 (2.12) (2.13) c1 số Bổ đề 1.1.1, nghiệm dừng mạnh toán (2.1) 15 Định lý 2.3.6 Giả sử f ∈ Hg điều kiện (2.13) thỏa mãn Khi đó, với u(·) nghiệm tốn (2.1), ta có |u(t) − u∗ | → t → ∞ 16 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày tồn tại, tính dáng điệu tiệm cận nghiệm mạnh hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều Luận văn trình bày kết sau: Thiết lập toán biên ban đầu hệ g-Navier Stokes hai chiều miền bị chặn Chứng minh tồn nghiệm mạnh (Định lý 2.2.5) Chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm sinh tốn (Định lý 2.3.4) Chứng minh tồn nghiệm dừng mạnh toán (Định lý 2.3.5) Chứng minh tính ổn định nghiệm dừng mạnh (Định lý 2.3.6)