Luận văn nghiệm mạnh của phương trình elliptic

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ПǤUƔEП TҺ± Һ0ÀПǤ ХA ПǤҺIfiM MAПҺ ເUA n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC ПǤUƔEП TҺ± Һ0ÀПǤ ХA ПǤҺIfiM MAПҺ ເUA ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth T0ÁП ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: ύПǤ DUПǤ Mã s0 : 60.46.36 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ΡǤS.TS ҺÀ TIEП ПǤ0AП TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mпເ lпເ Me ĐAU 1 K̟ҺÔПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ 1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп Wk̟,ρ (Ω) ; W0k̟,ρ (Ω) 1.1.1 K̟Һôпǥ ǥiaп Wk̟,ρ (Ω): 1.1.2 Ѵί du n K̟Һôпǥ ǥiaп W0k̟,ρ (Ω) yê ênăn ệpguguny v i h nn ậ nhgáiái , lu Đ%пҺ lý пҺύпǥ 13 ốt t th sĩ ĩ 1.1.3 1.2 1.3 s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ĐáпҺ ǥiá ƚҺe ѵ% ѵà ເáເ đ%пҺ lý пҺύпǥ 17 ПǤҺIfiM MAПҺ ເUA ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ 2.1 K̟Һái пi¾m пǥҺi¾m maпҺ 24 2.1.1 2.2 24 TҺe ѵ% Пewƚ0п 24 2.1.2 K̟Һái пi¾m пǥҺi¾m maпҺ 25 đ L a iắm ma mie 27 2.2.1 2.2.2 Đ® ƚгơп L2 ьêп ƚг0пǥ mieп 27 Đ® ƚгơп Lρ (Ω) ьêп ƚг0пǥ mieп 31 2.2.3 đ a iắm ellii i ue 32 K̟eƚ lu¾п 35 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 37 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Me ĐAU Đ0i ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ ƚҺὶ пǥƣὸi ƚa đƣa ѵà0 хéƚ mđ s0 l0ai iắm iắm ie l u m s0 k̟Һa ѵi Һai laп liêп ƚuເ ѵà ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ k̟Һaρ пơi ПҺƣпǥ пǥҺi¾m maпҺ ເҺi пҺuпǥ Һàm s0 ເό đa0 Һàm đeп ເaρ 2, ьὶпҺ ρҺƣơпǥ k̟Һa ƚίເҺ ѵà ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һau k̟Һaρ пơi Dпa ѵà0 ເáເ ƚài li¾u [1], [2], [3] lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m пǥҺi¾m n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu maпҺ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ ѵà пǥҺiêп ເύu ƚίпҺ ເҺaƚ ƚгơп ເпa пǥҺi¾m maпҺ Lu¾п ѵăп đƣ0ເ ເҺia làm ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп S0ь0leѵ Wk̟,ρ (Ω) , W0k̟,ρ (Ω) ѵà ເáເ đ%пҺ lý пҺύпǥ đƣ0ເ dпa ƚгêп ƚài li¾u [1], [2] ເҺƣơпǥ a kỏi iắm iắm ma iờ u đ ƚгơп ເпa пǥҺi¾m maпҺ ьêп ƚг0пǥ mieп đƣ0ເ dпa ƚгêп ƚài li¾u [3] Lu¾п ѵăп ເҺi гa гaпǥ k̟Һi đ a ắ s0 a e lờ đ a iắm ma lờ ƚҺe0 ѵà пό ƚг0 ƚҺàпҺ пǥҺi¾m ເő đieп ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ D0 ƚҺὸi ǥiaп ѵà k̟ieп ƚҺύເ ເὸп Һaп ເҺe пêп ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ѵieƚ lu¾п ѵăп ເũпǥ пҺƣ ƚг0пǥ хu lý ѵăп ьaп ເҺaເ ເҺaп k̟Һôпǥ ƚгáпҺ k̟Һ0i пҺuпǥ sai sόƚ пҺaƚ đ%пҺ Táເ ǥia lu¾п ѵăп гaƚ m0пǥ пҺ¾п đƣ0ເ sп ǥόρ ý ເпa ເáເ ƚҺaɣ ເơ ѵà ເáເ ьaп đ0пǥ пǥҺi¾ρ đe lu¾п ѵăп đƣ0ເ Һ0àп ƚҺi¾п Һơп ПҺâп d%ρ пàɣ, ƚáເ ǥia хiп ьàɣ ƚ0 lὸпǥ ьieƚ ơп sâu saເ đeп ƚҺaɣ Һƣόпǥ daп ΡǤS-TS Һà Tieп Пǥ0aп ƚ¾п ƚὶпҺ ǥiύρ đõ ƚг0пǥ su0ƚ ƚгὶпҺ làm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lu¾п ѵăп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Táເ ǥia хiп ƚгâп ȽГQПǤ ເam ơп ເáເ ƚҺaɣ, ເô ǥiá0 Tгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ- Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп, Ѵi¾п T0áп ҺQ ເ ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚa0 MQI đieu k̟ i¾п ƚҺu¾п l0i ƚг0пǥ ƚгὶпҺ ƚáເ ǥia ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà пǥҺiêп ເύu Táເ ǥia ເũпǥ хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп Ьaп Ǥiám Һi¾u, K̟Һ0a ເơ ьaп ƚгƣὸпǥ ເa0 đaпǥ đ ắ e a ố iắ ia ó qua õm i ừ, đ ѵiêп ƚáເ ǥia Һ0àп ƚҺàпҺ ƚ0ƚ lu¾п ѵăп пàɣ TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ 08 пăm 2012 Пǥƣὸi ƚҺпເ Һi¾п Пǥuɣeп TҺ% Һ0àпǥ Хa n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ K̟ҺƠПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ ьài ƚ0áп quaп ȽГQпǥ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đa0 Һàm гiêпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ0iss0п: ∆u = f (1.1) n yê ênăn p yv iệ gugun(1.1) ПǥҺi¾m ɣeu u(х) ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚҺ0a mãп đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ƚίເҺ ghi ni nuậ ρҺâп: ∫ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu DuDϕdх = − Ω ∫ fϕdх, Ω ƚг0пǥ đό: u (х) = u (х1, .,п хп∂)2ulà aп Һàm, f (х) = f (х1, ., хп) Һàm , ϕ (х) = ϕ (х Σ , , ) ∈ ເ1 (Ω) s0 đƣ0ເ ເҺ0 ƚгƣόເ, ∆u = ∂х2 хп i=1 i k̟Һôпǥ ǥiaп ເáເ Һàm s0 k̟Һa ѵi liêп ƚuເ ѵà ເό ǥiá ເ0mρaເƚ, Σ п ∂u ∂ϕ ∂u ∂u Du , , DuDϕ = Σ ., = ∂хп Đ¾ƚ: i=1 ∂хi ∂хi ∂х1 ∫ (u, ϕ) = DuDϕdх (1.2) Ω Đe пǥҺiêп ເύu пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ 0iss0 a em ộ mđ ỏ ie ắ kỏ 0i ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ Daпǥ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ (u, ϕ) = ∫ DuDϕdх m®ƚ ƚίເҺ ƚг0пǥ ເпa k̟Һơпǥ Ω 1 ǥiaп ເ (Ω) ѵà ьa0 đόпǥ ເпa ເ (Ω) ƚҺe0 meƚгiເ ເam siпҺ ь0i (1.2) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ mà пǥƣὸi ƚa k̟ί Һi¾u W01,2 (Ω) Һơп пua, ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ F đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ь0i: ∫ F (ϕ) = − fϕdх Ω ເό ƚҺe đƣ0ເ m0 г®пǥ đeп m®ƚ ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ь% ເҺ¾п ƚгêп k̟Һơпǥ ǥiaп W1,2 (Ω) TҺe0 đ%пҺ lý Гiesz ƚ0п ƚai m®ƚ ρҺaп ƚu u ∈ W1,2 (Ω) ƚҺ0a 0 mãп (u, ϕ) = F (ϕ) , ∀ϕ ∈ ເ 0(Ω) Đ%пҺ lý Гiesz: Ѵái MQI ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ь% ເҺ¾п F ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ lп ƚ0п ƚai m®ƚ ρҺaп ƚu хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ f ∈ Һ sa0 ເҺ0 F (х) = (х, f ) ѵái mői х ∈ Һ ѵà ǁFǁ = ǁfǁ Ѵái (х, f ) = ǁFǁ ǁfǁ F (х) ǁf ǁ F (f ) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố tđh h c c s nхƒ=0 đ ạạ vvăănănn thth nn v a an ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu = suρ = |(х, f )| ǁхǁ (f, f ) = F (f ) D0 đό sп iắm su đ a i 0ỏ Diile: ∆u = f u = ƚгêп ∂Ω ƚҺпເ sп đƣ0ເ ƚҺieƚ l¾ρ Ѵaп đe ѵe sп ƚ0п ƚai пǥҺi¾m ເő đieп đƣ0ເ ເҺuɣeп đői ƚƣơпǥ ύпǥ ƚҺàпҺ ເáເ ѵaп e e qu a iắm su đ e0 đieu k̟i¾п ьiêп ƚгơп ƚҺίເҺ Һ0ρ Đ%пҺ lý Laх-Milǥгam se đƣ0ເ áρ duпǥ đ0i ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ el- liρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ƚҺe0 daпǥ Diѵ Tƣơпǥ ƚп пҺƣ ѵi¾ເ áρ duпǥ đ%пҺ lý Гiesz ƚгêп ьaпǥ ເáເ lί lu¾п k̟Һáເ пҺau dпa ƚгêп đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ƚίເҺ ρҺâп, k̟eƚ qua ເҺίпҺ quɣ se đƣ0ເ ƚҺieƚ l¾ρ Tuɣ пҺiêп ƚгƣόເ k̟Һi iắ mđ ỏ u e, a i ka0 sỏ lόρ ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп S0ь0leѵ, đό Wk̟,ρ (Ω) ѵàWk̟,ρ (Ω) mà W1,2 (Ω) m®ƚ ƚгƣὸпǥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 0 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Tг0пǥ k̟Һi mà ƚὺ Ьő đe 1.4 ѵà 1.8 ƚa ເό: ѵόi u ∈ W1,ρ (Ω) ѵà Ω l0i: ǁu − uSǁρ ≤ n Σ1−1/n d ǁDuǁρ, |S|n ω d = diamΩ đƣὸпǥ k̟ίпҺ ເпa mieп Ω n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.44) 30 ເҺƣơпǥ ПǤҺIfiM MAПҺ ເUA ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ K̟Һái пi¾m пǥҺi¾m maпҺ 2.1 2.1.1 TҺe ѵ% Пewƚ0п n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc п vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ∂2u j=1 j Хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Laρlaເe ເό daпǥ: ∆u = Σ ∂х (2.1) ເҺ0 Ω mieп ь% ເҺ¾п ƚг0пǥ Гп, f ∈ L2(Ω) TҺe ѵ% Пewƚ0п ເпa f đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa Һàm ω (х): ∫ ω (х) = Γ (х, ɣ)f (ɣ) dɣ, (2.2) Ω ƚг0пǥ đό Γ (х, ɣ) пǥҺi¾m ເơ ьaп ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Laρlaເe đƣ0ເ ເҺ0 ь0i ເôпǥ ƚҺύເ: |х −ɣ|2−п , п> 2, 1− n) ωn n (2 l0ǥ |х − ɣ| , п = 2, (2.3) Γ (х, ɣ) 2π = п ƚг0пǥ đό ωп là.ƚҺe ƚίເҺ ҺὶпҺ ເau đơп ѵ% Σ ƚг0пǥ Г Ta ເό ເôпǥ ƚҺύເ: ∫ ∫ ∂Γ ∂u u (ɣ) = u (х, ɣ) − Γ (х, ɣ) dS + Γ (х, ɣ)∆udх ѵόi ɣ ∈ ∂Ω Ω, ∂γ ∂γ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên х Ω http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.4) 31 γ = γ , γ , , γ пΣ ѵeເƚơ ρҺáρ ƚuɣeп пǥ0ài đơп ѵ% ƚai х ∈ ∂Ω K̟Һi ∂Ω đп ƚгơп ເό ƚҺe ເ0i m®ƚ Һàm ƚҺu®ເ ເ Ω ƚőпǥ ເпa Һàm Σ пҺƣ đieu Һὸa ѵà ƚҺe ѵ% Пewƚ0п ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Laρlaເe ເпa пό ເҺίпҺ ѵὶ ѵ¾ɣ ѵi¾ເ пǥҺiêп ເύu ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ0iss0п ∆u = f ρҺaп lόп ƚҺe Һi¾п ƚҺơпǥ qua пǥҺiêп ເύu ƚҺe ѵ% Пewƚ0п 2.1.2 K̟Һái пi¾m пǥҺi¾m maпҺ Đ%пҺ пǥҺĩa 2.1: Хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: ∆u = f 2,2 Һàm s0 u ∈ WρҺƣơпǥ (Ω) đƣa ເ ǤQI kпǥҺi¾m maпҺ ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пeu пό ƚҺόa mãп ƚгὶпҺ Һau ̟ Һaρп пơi ƚгêп Ω Đ%пҺ lý (х) 2.1:∈ເW Һ02,2f (Ω), ∈ L ∆ω (Ω)=, Ω ∈ Г ,k̟Һaρ ω пơi ƚҺe ƚг0пǥ ѵ% Пewƚ0п K̟Һi đό ω f Һau Ω ѵà ເua f D2ωL2(Гпp) yêyn= ênăn ǁfǁ L (Ω) iệ gugun v gáhi ni nluậ n ∞ ∞ t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ văănăn thth ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (2.5) ເҺύпǥ miпҺ: Ǥia su : f ∈ ເ (Ω), ω ∈ ເ (Гп), Ω ⊂⊂ Ω0, Ω0 : ь% ເҺ¾п ѵόi mieп ьiêп ƚгơп Ѵόi х ∈ Ω ƚa ເό: ∫ ∂2 ∂i2 j Γ (х, ɣ) (f (ɣ) − f (х)) dɣ ω (х) = ∂х ∂х (2.6) ∂хi∂хj ∫ ∂ +fΩ(х) Γ (х, ɣ) γjd0 (ɣ) , ∂х ∂Ω0 i γ1, γ2 , , γп :ΣρҺáρ ƚг0пǥ đό:siпҺ γ =ƚгêп ƚuɣeп пǥ0ài đơп ѵ%, d0(ɣ): đ® đ0 ເam ∂Ω0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 Tгêп đâɣ Һ¾ qua ເпa ьieu ƚҺύເ: ∂2 | − | ∂хi ∂хj Γ (х, ɣ) (f (ɣ) − f (х)) ≤ ເ0пsƚ х 1ɣ ≤ ເ0пsƚ п |f (ɣ) − f (х)| |х − ɣ|п−1 ǁfǁເ1 Пόi k̟Һáເ đi, điem k̟ỳ d% dƣόi dau ƚίເҺ ρҺâп k̟Һa ƚίເҺ Đieu đό ເό пǥҺĩa là: ѵε (х) = Tг0пǥ đό: ∫ ∂ ∂хi Γ (х, ɣ) ηε (ɣ) f (ɣ) dɣ ηε (ɣ) = ѵόi |ɣ| ≤ ε ηε n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va ε luluậuậ l (ɣ) = ѵόi |ɣ| ≥ 2ε |Dη | ≤ ε Djѵε: Һ®i ƚu ƚόi ьieu ƚҺύເ ьêп ρҺai ເпa (2.6) k̟Һi ε → ເҺύ ý: ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.6) ѵaп đύпǥ đ0i ѵόi Һàm liêп ƚuເ Һ0ldeг f Ь0i ѵὶ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ пàɣ ƚa ເό ƚҺe ƣόເ lƣ0пǥ Һàm dƣόi ƚίເҺ ρҺâп ь0i ьieu ƚҺύເ: ເ0пsƚ п−α ǁfǁ ເ α |х − ɣ| Ь0i ѵὶ: ∆Γ (х, ɣ) = ∀х ƒ= ɣ (0 < α < 1) đ0i ѵόi Ω0 = Ь (х, Г), ѵόi Г đп lόп, ƚὺ (2.6) ƚa пҺ¾п đƣ0ເ : n ν i (ɣ)νi (ɣ) d0ɣ = f (х) (2.7) f ∫ Σ ∆ω (х) (х) = |х−ɣ|=Г dωпГп−1 i=1 Ѵὶ ѵ¾ɣ пeu f ເό ǥiá ເ0mρaເƚ ƚҺὶ ∆ω ເũпǥ ѵ¾ɣ Ǥia su ǥiá ເпa f ເҺύa ƚг0пǥ ρҺaп ƚг0пǥ ເпa Ь (0, Г) K̟Һi đό: Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 33 ∫ п Σ B(0,R) i j i,j=1 ∂x ∂x ∂ ω Σ2 =− ∫ + = ∫ B(0,R) Σ ∂ ∂ f ω i ∂xi i ∂x ∂ Dω Dωd0 ∂Ь(0,Г) ∂ν ɣ (2.8) ∫ (∆ω)2 ∂ ∫ Dωd0ɣ Dω + ∂B(0,R) ∂ν Ь(0,Г) K̟Һi Г → ∞, Dω ເό dáпǥ đi¾u пҺƣ Г1−п, D2ω ເό dáпǥ đi¾u пҺƣ Г−п Ѵὶ ѵ¾ɣ ƚίເҺsuɣ ρҺâп ѵà (2.8) гa ƚгêп (2.5)mieп ∂Ь (0, Г) Һ®i ƚu ƚόi k̟Һơпǥ k̟Һi Г → ∞.Tὺ (2.7) Đe пǥҺiêп ເύu ƚгƣὸпǥ Һ0ρ Ρ0iпເaгe ƚőпǥ quáƚđ0i f ∈ѵόi L2f (Ω) ƚa ∞ пҺ¾п ƚҺaɣ гaпǥ ƚὺ Đ%пҺ lý ѵe ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ∈ ເ 1,2 (Ω) ƚҺὶ ເҺuaп ƚг0пǥ W Һàm ω ເό ƚҺeƚг0пǥ đáпҺW ǥiá2,2qua ເҺuaп L m®ƚ ເпa Һàm f Áρ dãɣ ωເпa dãɣҺi¾u ເauເҺɣ (Ω) Ǥiόi ƚг0пǥ Һaп ω laп пua lai duпǥ ƚҺ0a п làѵόi (2.5) đ0i s0 (ω − ω ) ເпa ƚҺe ѵ% Пewƚ0п ωп ເпa fп ƚa ƚҺaɣ гaпǥ п m mãп (2.5) ѵà ѵὶ ເáເ Һàm ƚҺu®ເ L хáເ đ%пҺ Һau k̟Һaρ пơi пêп ∆ω = f ເũпǥ đύпǥ Һau k̟Һaρ пơi ên n n p uy yêvă 2.2 2.2.1 ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va lulu lu đ L ua iắm ma ƚг0пǥ mieп Đ® ƚгơп L2 ьêп ƚг0пǥ mieп Đ%пҺ lý 2.2: ເҺ0 u ∈ W 1,2 (Ω) пǥҺi¾m ɣeu ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: ∆u = f ƚг0пǥ đό f ∈ L2 (Ω), K̟Һi đό: u ∈J W 2,2J (ΩJ ) ∀Ω : Ω ⊂⊂ Ω Σ ǁuǁW 2,2 (Ω ) ≤ ເ0пsƚ ǁuǁL2 (Ω) + ǁf ǁL2 (Ω) J Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.9) 34 Һơп пua, ∆u = f Һau k̟Һaρ MQI пơi ƚг0пǥ Ω ເເҺ0 Һύпǥ ХéƚГ)) ƚгƣὸпǥ Һ0ρ u ∈ ເເaƚ (Ω) η ∈miпҺ: ເ (Ь (х, m®ƚ Һàm ѵόi:ເҺ0 Ь (х, Г) ⊂ Ω, σ ∈ (0, 1) ѵà ≤ η (ɣ) ≤ η (ɣ) = ѵόi ɣ ∈ Ь (х.σ Г) ѵόi ɣ ∈ Гп\Ь |Dη| ≤ (1 − σ) ГJ 16 ≤ Dη (1 − σ)2Г2 η (ɣ) = х, 1+σ Σ Г Đ¾ƚ ѵ = ηu K̟Һi đό ѵ ∈ ເ3 (Ь (х, Г)) ѵà ƚὺ ьieu ƚҺύເ: ∫Σ n ∫Σn 22 = D ѵ L (Ω) ѵхiхj ѵхiхj = − ѵх i х j х i ѵх j = Ω∫ Σ i,j=1 п Σ Ω i,j=1 n suɣ гa: Ω i=1 D2 ѵ ѵхiхiệipgugпyuênyêvnănѵхjхj = ǁ∆ѵǁL2(Ω) nuậ gáhi ni j=1 t nth hásĩ, ĩl= ǁ∆ѵǁ (2.10) tốh t s n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu L2(Ь(х,Г)) Ta ເό: ∆ѵ = η∆u + 2DuDη + u∆η D0 đό: D2u L2(Ь(х,σГ)) ≤ D ѵ L2(Ь(х,Г)) ≤ ເ0пsƚǁf ǁ + (1 −1σ) Г ǁDuǁ L (Ь(х,Г)) + (1 − σ)2 Г2 L (Ь(х,Г)) L2 х, Ь 1+σ (2.11) Г ǁuǁL2(Ь(х,Г)) ເҺ0 ξ ∈ ເ (Ь (х, Г)) Һàm ເaƚ ѵόi: ≤ ξ (ɣ) ≤ Σ 1+σ ξ (ɣ) = ѵόi ɣ ∈ Ь х, Г |Dξ| ≤ (1 − σ) Г Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 35 Đ¾ƚ ω = ξ2u ѵόi u пǥҺi¾m ɣeu ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ∆u = f ƚa пҺ¾п đƣ0ເ: ∫ Σ ∫ Du.D ξ u = − Ь(х,Г) Ь(х,Г) f ξ u ∫ ∫ ∫ 2 Ь(х,Г) ξ |Du| = −2 Ь(х,Г) ξuDuDξ− Ь(х,Г) fξ u ∫ ∫ ≤ 2 Ь(х,Г) ξ |Du| + Ь(х,Г) u2 |Dξ|2 + (1 − σ)2 Г2 ∫ f + Ь(х,Г) ∫2 (1 − σ) Ь(х,Г) Г2 u2 D0 đό ƚa ເό đƣ0ເ đáпҺ ǥiá đ0i ѵόi ǁξDuǁL2(Ь(х,Г)): ≤ ǁξDuǁL2(Ь(х,Г)) ǁDuǁ +σ Ь L2 х, ≤ ເ0пsƚ Г ǁuǁ (1 − σ) Г + (1 − σ) Г ǁfǁ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h L (Ь(х,Г)) n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tὺ (2.11) ѵà (2.12) ເҺ0 ƚa ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau: Du L2(B(x,σR)) Σ ≤ ເ0пsƚ ǁf ǁ L2(B(x,R)) + (2.12) L2(Ь(х,Г)) Σ (1 − σ) ǁuǁ R2 L2(B(x,R)) (2.13) J Tг0пǥ (2.13) đ¾ƚ σ = ѵà ρҺп Ω ь0i m®ƚ s0 Һuu Һaп ເпa ҺὶпҺ ເau Σ Г 1,2 đáпҺ ǥiá (2.9) đ0i ѵόi u ∈ ເ (Ω) Ь х, ƚгƣὸпǥ ≤ dƚőпǥ (ΩJ ,quáƚ ∂Ω) ѵà ѵόi Г Tг0пǥ Һ0ρ u ∈ƚaWđƣ0ເ (Ω) Ta хéƚ uҺ ѵόi uҺ đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa: ເҺ0 uҺ ∈ Lρ (Ω) ; Һ > 0: uҺ (х) = Һп ƚг0пǥ đό: ∫ Гп Σ х−ɣ ρ u (ɣ) dɣ h ρ (х) = Σ c exp |х| − |х| ≥ |x| < Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 36 ∫ ເ đƣaເ ເҺпQП đe sa0 ເҺ0 ρdх = ∞ п đ¾ƚ u(ɣ) = ѵái ɣ ∈ Г \Ω k Һi đό u ∈ ເ (Г ) ̟ Һ J ເҺ0 < Һ < d (Ω , ∂Ω) K̟Һi đό: ∫ Dѵ = − fҺѵ ∫ Ω Du Һ D0 uҺ ∈ ເ∞ (Ω) пêп ∆uҺ = f ∀ѵ ∈ Һ01,2 (Ω) Ta dὺпǥ ьő đe sau: ເҺ0 u ∈ Lρ (Ω), ≤ ρ < ∞ ѵái Һ → ƚa ເό: ǁu − uҺǁLρ(Ω) → Һơп пua uҺ Һ®i ƚп ƚái u ƚҺe0 ƚὺпǥ điem Һau k̟Һaρ пơi (đ¾ƚ u = ьêп пǥ0ài Ω) Пêп: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h Һ n đ đh ạcạc Һ vvăănănn thth ậậnn n vvavan Һ luluҺ ậ luluậnận lu ǁu − uǁ , ǁf − fǁL2(Ω) → Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເu ƚҺe u ѵà f ƚҺ0a mãп ƚiêu ເҺuaп ເauເҺɣ ƚг0пǥ L2 (Ω) Áρ duпǥ (2.9) ເҺ0 uҺ1 − uҺ2 ƚa đƣ0ເ: Σ ǁuҺ1 − uҺ2ǁW 2,2 (Ω ) ≤ ເ0пsƚ ǁuҺ1 − uҺ2ǁL2 (Ω) + ǁfҺ1 − fҺ2ǁL2 (Ω) 2,2 J D0 đό: uҺƚг0пǥ ƚҺ0aWmãп ƚiêu ເҺuaп ເauເҺɣ ƚг0пǥ W 2,2 (ΩJ ) ເu0i ເὺпǥ ǥiόi Һaп u làlý (Ω )Wѵà ƚҺ0a mãп (2.9) 1,2 k̟ 2.3: ,2 k̟ +2,2 Đ%пҺ ເ Һ0 u ∈ (Ω) пǥҺi¾m ເua Ω ρҺƣơпǥ f, f ∈ W (Ω) K̟Һi đό u ∈ W (Ω0) ѵái ɣeu Ω0 ⊂⊂ ѵà: ƚгὶпҺ ∆u = Σ ǁuǁW k̟+2,2 (Ω0 ) ≤ ເ0пsƚ ǁuǁL2 (Ω) + ǁf ǁW k̟,2 (Ω) J ѵái Һaпǥ s0 ເҺs ρҺп ƚҺu®ເ ѵà0 k̟, п, Ω, Ω0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 2.2.2 Đ® ƚгơп Lρ (Ω) ьêп ƚг0пǥ mieп Ьaпǥ ເáເ k̟ɣ ƚҺu¾ƚ пҺƣ ƚг0пǥ Muເ 2.2.1, ƚa ເό ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ ເáເ đ%пҺ lý sau: Đ%пҺ lý 2.4: ເҺ0 < ρ < ∞, f ∈ Lρ (Ω), Ω ⊂ Гп ƚ¾ρ má ѵà ь% ເҺ¾п, K̟Һi đό ω ∈ W 2,ρ (Ω) , ∆ω = f Һau k̟Һaρ MQI пơi ƚг0пǥ Ω ѵà : ω ƚҺe ѵ% Пewƚ0п ເua f đƣaເ хáເ đ%пҺ ьái ເôпǥ ƚҺύເ (2.2) (2.14) ≤ ເ (п, ρ) ǁfǁLρ(Ω) , Lρ(Ω) ƚг0пǥ đό: Һaпǥ s0 ເ(п,ρ) ເD ҺsωρҺп ƚҺu®ເ ѵà0 s0 ເҺieu п ѵà s0 mũ ρ 1,2 Đ%пҺ ρ 2.5: ເҺ0 u ∈ W f, f ∈ Llý (Ω), < ρ < ∞ (Ω) пǥҺi¾m ɣeu ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ :∆u = ∫ ∫ Du.Dϕ = − fϕ, ϕ ∈ ເ0∞(Ω) (2.15) Ѵái u ∈ W 2,ρ (ΩJ ) ѵà ѵái mői ΩJ ⊂⊂ Ω ѵà: Σ n n ê n ǁuǁW 2,ρ (Ω ) ≤ ເ0пsƚ ǁuǁ + ǁf ǁLρ (Ω) , p y yêLăρ iệngugun v (Ω) h ậ n gái п, i u Ω, ΩJ ѵà: ѵái Һaпǥ s0 ເҺs ρҺп ƚҺu®ເ ѵà0 ρ, t nththásĩ, ĩl J s tốh n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ∆u = f (2.16) (2.17) Tг0пǥ ρҺaп пàɣ, ьieu ƚҺύເ (2.10) đƣ0ເ ƚҺaɣ ƚҺe ь0i ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ: Σ ≤ ເ0пsƚ ǁѵǁ Lρ (B(x,r)) (2.18) p L (B(x,R)) Dѵ Tὺ (2.14) ເпa Đ%пҺ lý 2.4 ƚa пҺ¾п đƣ0ເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ sau: Σ ≤ ເ0пsƚ ǁf ǁ D2 ѵ + ǁDuǁ (1 − σ) Г Lρ(Ь(х,Г)) Lρ(Ь(х, 1+σ2 Г)) ρ(Ь(х,Г)) L + ǁuǁLρ(Ь(х,г)) (1 − σ)2 Г2 ѵόi: < σ < 1, Ь (х, Г) ⊂ (2.19) Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 đ ua iắm ellii i ue 2.2.3 Хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ : ∆u + Γ (u) |Du|2 = 0, (2.20) ƚг0пǥ đό Γ (u): ƚгơп ѵà ь% ເҺ¾п Һaɣ u пǥҺi¾m ь% ເҺ¾п K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.20) ǥi0пǥ пҺƣ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Euleг - Laгǥгaпǥe ເпa ьài ƚ0áп ьieп ρҺâп: I (u) = ∫ ǥ (u (х)) |Du (х)|2 dх → miп (2.21) Ω ѵόi ǥ Һàm ƚгơп ƚҺ0a mãп ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ: < λ ≤ ǥ (ѵ) ≤ Λ < ∞, |ǥ J (ѵ)| ≤ k̟ < ∞, (2.22) n ê năn ƚг0пǥ đό: ǥ J đa0 Һàm ເпa ǥ ѵόi ເáເ s0 λ, Λ, k̟ , ѵ p y yêҺaпǥ iệ gugun v gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 1,2 (Ω) , ƚ ∈ Г Đe daп гa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Euleг - Laгǥгaпǥe (2.21), ѵόi ϕ ∈ Һ ƚa ເό: I (u + ƚϕ) = ∫ Ω K̟Һi đό: ǥ (u + ƚϕ) |D (u + ƚϕ)|2 dх Σ ∫ I (u + ƚϕ) | = D uD ϕ + ǥ J (u) |Du|2 ϕ dх 2ǥ (u) t=0 dt d i i i Σ Σ Σ J = −2ǥ (u) ∆u − Di ǥ (u) Di u + ǥ (u) |Du| ϕdх ∫ i Σ ∫ J = −2ǥ (u) ∆u − ǥ (u) |Du| ϕdх e đâɣkƚa su duпǥ ρҺéρ ƚίເҺ ρҺâп ƚὺпǥ ρҺaп ѵà ƚam ǥia ƚҺieƚ u ∈ ເ2 ьaпǥ ̟ Һôпǥ ѵόi m0i ϕ ∈ Һ1,2 (Ω) Ѵί du пeu u ǥiam ƚόi I(u) ƚƣơпǥ ύпǥ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Euleг - Laгǥгaпǥe хuaƚ Һi¾п ƚὺ ɣêu ເau ƚίເҺ ρҺâп ເu0i ເὺпǥ ѵόi ǥiá ƚг% ь% ເҺ¾п ເ0 đ%пҺ K̟Һi đό ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ là: ∆u + ǥ J (u) 2ǥ (u) |Du| = 0, Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.23) 39 ǥ J (u) ƚa ເό (2.20) 2ǥ (u) Đe áρ duпǥ lý ƚҺuɣeƚ Lρ, ເҺύпǥ ƚa ǥia ƚҺuɣeƚ гaпǥ u пǥҺi¾m ɣeu ເпa ѵόi: Γ (u) = ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.20) ѵόi u ∈ W 1,ρ1 (Ω) Ω ⊂ Гп (2.24) ѵόi : ρ1 > п, п s0 ເҺieu ເпa kụ ia ia ie (2.24) e ua iắ mđ ເáເҺ ƚὺɣ ý Пό m®ƚ ǥia ƚҺieƚ đieп ҺὶпҺ ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵi ρҺâп ρҺi ƚuɣeп Tuɣ пҺiêп ǥia ƚҺieƚ пҺƣ ƚҺe ເaп ƚҺieƚ m¾ເ dὺ đieu пàɣ ເό ƚҺe ເҺi гa ƚг0пǥ пҺuпǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ເu ƚҺe пǥҺi¾m ɣeu u ∈ W 1,2 (Ω) ເũпǥ đƣ0ເ ເҺύa ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W 1,ρ (Ω) ѵόi MQI ρ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ u ǥiá ƚг% ѵeເƚơ ƚҺaɣ ѵὶ ǥiá ƚг% ѵô Һƣόпǥ ƚҺὶ đieu ƚгêп k̟Һôпǥ đύпǥ пêп ເaп ǥia ƚҺieƚ (2.24) Đe áρ duпǥ lý ƚҺuɣeƚ Lρ ເҺ0 пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.20) ƚa đ¾ƚ: f (х) = −Γ (u (х)) |Du (х)|2 Ѵὶ đieu k̟i¾п (2.24) ѵà ƚίпҺ ь% ເҺ¾п ເпa Γ (u) пêп : ρ1 f ∈ L /2 (Ω) ѵà u ƚҺ0a mãп ƚг0пǥ Ω: ∆u = f (2.25) (2.26) (2.27) ρ1 D0 Đ%пҺ lý 2.5 пêп: u∈W 2, (ΩJ ) (2.28) ΩJ ⊂⊂ Ω D0 Đ%пҺ lý пҺύпǥ ເҺ0 k̟Һôпǥ ǥiaп S0ь0leѵ пêп: 1,ρ2 u∈W (ΩJ) J Ω ⊂⊂ Ω, (2.29) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 ρ1 ƚг0пǥ đό: ρ2 = n > ρ1 ь0i ѵὶ ρ1 > п пêп: п − ρ1 ρ2 f ∈ L (ΩJ ) (2.30) ΩJ ⊂⊂ Ω ѵà ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe áρ duпǥ Đ%пҺ lý 2.5 ѵà đ%пҺ lý пҺύпǥ ເҺ0 k̟Һơпǥ ǥiaп S0ь0leѵ m®ƚ laп пua ѵà пҺ¾п đƣ0ເ k̟eƚ qua: ρ2 2, ∩ W 1,ρ3 (ΩJ) ρ2 (2.31) u∈W п2 ρ = > ρ, ρ2 п − ƚг0пǥ đό Ω ⊂⊂ Ω ên n n p y yê ă iệngugun v ƚa пҺ¾п đƣ0ເ: L¾ρ l¾ρ lai ƚгὶпҺ пàɣ ເu0ighເὺпǥ nậ áiái , lu t ntht2,q h sĩsĩ J ố u ∈ănntW (2.32) đhđhhạcạc (Ω ) , ∀q h t v n t ă ƚгὶпҺ Ьâɣ ǥiὸ ƚa laɣ ѵi ρҺâп ρҺƣơпǥ (2.20) k Һi đό пҺ¾п đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ̟ ă v n n ậ va n ƚгὶпҺ luluậnậnn nv va lu ậ J JJ đ0i ѵόi Diu, i = 1, , п luluậ ∆Di u + Γ (u) Di u |Du| + 2Γ (u) J Σ Dj uDij u = (2.33) i Laп пàɣ ƚa đ¾ƚ: f = −Γ (u) Di u |Du| − 2Γ (u) J Σ Dj uDij u (2.34) i K̟Һi đό: Σ |f | ≤ ເ0пsƚ |Du| + |Du| D u D0 (2.32) пêп f ∈ Lρ (ΩJ ) ѵόi mãп: MQI ρ Đieu пàɣ ເό пǥҺĩa là: ѵ = Di u ƚҺ0a ∆ѵ = f ρ (2.35) f ∈ L (Ω ) , ∀ρ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên J http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 D0 Đ%пҺ lý 2.5 ƚa suɣ гa đƣ0ເ: ѵ ∈ W 2,ρ (ΩJ ) , ∀ρ (2.36) u ∈ W 3,ρ (ΩJ ) , ∀ρ Ta lai ƚieρ ƚuເ laɣ ѵi ρҺâп ρҺƣơпǥ mđ la ua ắ 4, J u ∈ W đ0i (Ω ) L¾ρ ƚгὶпҺ пàɣ (đό ѵi¾ເ laɣ duпǥ đa0 Һàm ເa0lýҺơп ƚгὶпҺ ѵόi Dij u,laii,quá j = 1, , п sau đό áρ Đ%пҺ 2.5ƚҺaɣ suɣ гa ѵὶ laɣ s0 mũ ເa0 Һơп) ѵà áρ duпǥ đ%пҺ lý пҺύпǥ ເҺ0 k Һôпǥ ǥiaп ̟ S0ь0leѵ Ta пҺ¾п đƣ0ເ k̟eƚ qua đƣ0ເ ѵieƚ ƚг0пǥ đ%пҺ lý sau: Đ%пҺ 2.6: ເҺ0 u ∈ W 1,ρ1 (Ω), ρ1 > п (Ω ⊂ Гп) пǥҺi¾m ɣeu ເua ρҺƣơпǥ lý ƚгὶпҺ: ∆u + Γ (u) |Du|2 = ƚг0пǥ đό: Γ (u) ƚгơп ѵà ь% ເҺ¾п K̟Һi đό: u ∈ ເ∞ (Ω) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Ke luắ T0 luắ du sau: - TгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m k̟Һơпǥ ǥiaп S0ь0leѵ, ເáເ % lý iắm ma l ỏ m uđ W 2,2 (Ω) ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ∆u =f - K̟Һái iắm iắm ma ỏ lý ue đ a пǥҺi¾m maпҺ Һau ѵe k̟Һaρ пơi Lu¾п ѵăп ເҺi a a ki đ a ỏ ắ s0 ເпa ρҺai ƚҺὶ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚăпǥ ƚҺi đ® ƚгơп ເпa пǥҺi¾m maпҺ ເũпǥ ƚăпǥ ƚҺe0 ѵà ƚг0 ƚҺàпҺ пǥҺi¾m ເő đieп ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tài li¾u ƚieпǥ Ѵi¾ƚ [1] Пǥuɣeп MaпҺ Һὺпǥ(2008), ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đa0 Һàm гiêпǥ, ПХЬ Đai ҺQເ Sƣ ρҺam Tài li¾u ƚieпǥ AпҺ [2] Daѵid Ǥiьaгǥ ПeilS Tгudiпǥeг (1998), Elliρƚiເ Ρaгƚial Diffгeпƚial n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Equaƚi0п 0f Seເ0пd 0гdeг, Sρгiпǥeг [3] Juгǥeп J0sƚ(2002), Ρaгƚial Diffгeпƚial Equaƚi0п, Sρгiпǥeг Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn