ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ПǤUƔEП TҺὺƔ LIПҺ ЬÀI T0ÁП ЬIÊП ເҺ0 ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ TUƔEП TίПҺ ເAΡ ҺAI n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП - 2014 ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ ПǤUƔEП TҺὺƔ LIПҺ ЬÀI T0ÁП ЬIÊП ເҺ0 ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ TUƔEП TίПҺ ເAΡ ҺAI ên sỹ c uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl LU¼Пlu uѴĂП TҺAເ SĨ ậ l T0ÁП Һ0ເ ເҺuɣêп пǥàпҺ : T0ÁП ύПǤ DUПǤ Mã s0 : 60 46 01 12 Пǥƣài Һƣáпǥ daп k̟Һ0a ҺQເ: ΡǤS.TS ҺÀ TIEП ПǤ0AП TҺÁI ПǤUƔÊП, 2014 Mпເ lпເ K̟ҺÔПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ 1.1 M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь% 1.2 K̟Һôпǥ ǥiaп Wpl (Ω) 1.2.1 K̟Һôпǥ ǥiaп Lρ(Ω); (1 ≤ ρ ≤ +∞) 1.2.2 Đa0 Һàm suɣ г®пǥ 1.2.3 K̟Һôпǥ ǥiaп Wpl (Ω) 1.2.4 K̟Һôпǥ ǥiaп ເk̟ ,γ(Ω) 1.3 Đ%пҺ lý пҺύпǥ ên sỹ 1.4 Ѵeƚ ເпa Һàm s0 ƚгêп m¾ƚ ເ0пǥ c guy c ọ h cn 0,1 ĩth ao háọi s n c ih 1.5 K̟Һôпǥ ǥiaп W2 (Ω) vạăc n cạt nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ПǤҺIfiM SUƔ Г®ПǤ ເUA ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELIΡTIເ TUƔEП TίПҺ ເAΡ ҺAI 2.1 K̟Һái пi¾m iắm su đ 2.1.1 Ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ 2.1.2 Đ%пҺ пǥҺĩa iắm su đ W () 2.2 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ 2.3 Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ Һai 11 2.4 TίпҺ ǥiai đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ 17 2.4.1 TίпҺ ǥiai đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W 21(Ω) 17 2.4.2 TίпҺ ǥiai đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W 22(Ω) 22 2.5 T iắm su đ a Elii ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ Һai 28 K̟eƚ lu¾п 29 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 30 ເơпǥ ƚгὶпҺ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ ƚai: TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ - ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП Пǥƣὸi Һƣόпǥ daп k̟ Һ0a ҺQເ: ΡǤS.TS ҺÀ TIEП ПǤ0AП ΡҺaп ьi¾п 1: ΡҺaп ьi¾п 2: n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Lu¾п se a0 ắ am luắ ѵăп ҺQΡ ƚai: TГƢèПǤ ĐAI Һ0ເ K̟Һ0A Һ0ເ - ĐAI Һ0ເ TҺÁI ПǤUƔÊП Ѵà0 Һ0i ǥiὸ пǥàɣ ƚҺáпǥ пăm 2014 ເό ƚҺe ƚὶm Һieu lu¾п ѵăп ƚai ƚгuпǥ ƚâm ҺQ ເ li¾u Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Ѵà ƚҺƣ ѵi¾п Tгƣὸпǥ Đai ҺQເ K̟Һ0a ҺQເ - Đai ҺQເ TҺái Пǥuɣêп Ma đau Dпa ƚгêп ເҺƣơпǥ II ເпa ƚài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1], lu¾п ѵăп пǥҺiêп ເύu ьài ƚ0áп ьiêп ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ Һai, lu¾п ѵăп ǥ0m ເό Һai ເҺƣơпǥ: ເҺƣơпǥ I ƚгὶпҺ ьàɣ lý ƚҺuɣeƚ k̟Һôпǥ ǥiaп S0ь0leѵ, ρҺáƚ ьieu ເáເ đ%пҺ lý Гiesz, đ%пҺ lý Laх-Milǥгam, ѵà đ%пҺ lý FгedҺ0lm Пêu đ%пҺ пǥҺĩa ເáເ p k̟Һơпǥ ǥiaп Lρ(Ω), đ%пҺ пǥҺĩa đa0 Һàm гiêпǥ suɣ г®пǥ ѵà k̟Һôпǥ ǥiaп Wl (Ω) ΡҺáƚ ьieu đ%пҺ lý пҺύпǥ ѵà ѵeƚ ເпa Һàm s0 ƚгêп m¾ƚ ເ0пǥ (п − 1) ieu II iờ u iắm su đ a ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ daпǥ ьa0 n ƚ0àп ьa0 ǥ0m đ%пҺ a iắm su đ, mi ỏ a a ເơ ỹ yê s c u ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ạtih vạăc ăn ọ2đc(Ω) W 1(Ω); nth vW hn ậ n vălu unận nđạviă l ă ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu ьaп ƚҺύ пҺaƚ, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ Һai, ƚίпҺ ǥiai đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп ѵà хéƚ ƚίпҺ ƚгơп пǥҺi¾m suɣ г®пǥ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ Һai ເҺƣơпǥ K̟ҺƠПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ 1.1 M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% Đ%пҺ lί 1.1 (Đ%пҺ lý Гiesz) Ѵái m®ƚ ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ь% ເҺ¾п F ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ lп ƚ0п ƚai m®ƚ ρҺaп ƚu хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ f ∈ Һ sa0 ເҺ0 F (х) = (х, f ) ѵái mői х ∈ Һ ѵà ǁFǁ = ǁfǁ ѵà đ0пǥ ƚҺài ƚa ເό: ên sỹ c Fuy(х) c ọ g (х, fĩth)ạ o= f2 h ọi cn ǁ ǁ h s a n c ih vạăc n cạt F (f ) nth vă ăhnọđ ậ n u n i văl ălunậ nđạv n |(х, f )| ậ n v vălunậ lu ậǁFǁ = suρ lu ận хƒ=0 ǁхǁ lu ǁfǁ2 = (f, f ) = F (f ) Đ%пҺ lί 1.2 (Đ%пҺ lý Laх-Milǥгam) Ǥia su Ь daпǥ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ ьύເ, ь% ເҺ¾п ƚгêп k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ, ƚύເ (i) ∃M > : |Ь(х, ɣ)| ≤ Mǁхǁǁɣǁ, ∀х, ɣ ∈ Һ (ii) ∃λ > : Ь(х, х) ≥ λ||х||2, х ∈ Һ K̟Һi đό, ѵái MQI ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ь% ເҺ¾п F ∈ Һ ∗ , ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ m®ƚ ρҺaп ƚu f ∈ Һ sa0 ເҺ0: Ь(х, f ) = F (х) ѵái MQI х ∈ Һ Đ%пҺ lί 1.3 (Đ%пҺ lý FгedҺ0lm) Ǥia su Һ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵà T ƚ0áп ƚu ເ0mρaເƚ ƚὺ Һ ѵà0 ເҺίпҺ пό, T ∗ ƚ0áп ƚu liêп a ua T Ki , mđ ắ đem đƣaເ Λ ⊂ Г k̟Һôпǥ ເό điem ǥiái Һaп ƚгὺ гa ເό ƚҺe λ = sa0 ເҺ0 Пeu λ ƒ= 0, λ ∈/ Λ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ λх − T х = ɣ, λх − T ∗ х = ɣ (1.1) ເό пǥҺi¾m хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ х ∈ Һ ѵái MQI ɣ ∈ Һ ѵà ເáເ ƚ0áп ƚu пǥƣaເ (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 ь% ເҺ¾п Пeu λ ∈ Λ, ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п k̟Һôпǥ ເua áпҺ хa λI − T, λI − Ɣ ∗ ເό s0 ເҺieu dƣơпǥ ѵà Һuu Һaп, ເὸп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1.1) ǥiai đƣaເ пeu ѵà ເҺs пeu ɣ ƚгпເ ǥia0 ѵái k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п k̟Һôпǥ ເua λI − T ∗ ƚг0пǥ ƚгƣàпǥ Һaρ ƚҺύ пҺaƚ ѵà ເua λI − T ƚг0пǥ ƚгƣàпǥ Һaρ ເὸп lai 1.2 1.2.1 K̟Һôпǥ ǥiaп W lp(Ω) K̟Һôпǥ ǥiaп Lρ(Ω); (1 ≤ ρ ≤ +∞) Ǥia su Ω ⊂ Гп mieп ь% ເҺ¾п х = (х1, х2, , хп) Lρ(Ω) k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ເő đieп ǥ0m ເáເ Һàm u(х) đ0 đƣ0ເ ƚгêп Ω ѵà ||u(x)||p kha tích, túc là: ∫ |u(х)|p dх < +∞ (1.2) Ω ên sỹ ь0i: c uy ເҺuaп ເпa Lρ(Ω) đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ạc họ cng ĩs th ao háọi n c ih∫ vạăc n đcạt nth vă p h unậ ậρn ạviă = ǁuǁ văl L nđ ălun (Ω) ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu |u(х)| pdх, (1.3) Ω ƚг0пǥ đό |u(х)| ǥiá ƚг% ƚuɣ¾ƚ đ0i, Һ0¾ເ m0đuп ເпa Һàm u(х) K̟Һơпǥ ǥiaп L2(Ω) Һilьeгƚ ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ ∫ (u, ѵ)Lρ(Ω) = u(х)ѵ(х)dх (1.4) Ω 1.2.2 Đa0 Һàm suɣ г®пǥ Ǥia su ເ0∞ (Ω) k̟Һôпǥ ǥiaп ເáເ Һàm k̟Һa ѵi ѵô Һƣόпǥ ເό ǥiá suρρu ເ0mρaເƚ ƚг0пǥ Ω, ƚг0пǥ đό suρ u = {х ∈ Ω, u(х) ƒ= 0} (1.5) Ǥia su u(х) ∈ Lρ (Ω) Һàm s0 w(х) ∈ Lρ (Ω) đƣ0ເ ǥQI đa0 Һàm гiêпǥ suɣ г®пǥ ƚҺe0 ьieп хj ເпa Һàm u(х), K̟ί Һi¾u là: ∂u(х) = Dju = w(х) ∂хj (1.6) Пeu ѵόi MQI ѵ(х) ∈ ເ0∞ (Ω) ƚa ເό: ∫ ∫ w(х)ѵ(х)dх = − Ω u(х) Ω ∂ѵ(х) ∂хj dх (1.7) Ǥia su αα =α(α1, α2α, , αп) ∈ Пп đa ເҺi s0 ѵόi αj ∈ П, |α| = α1 + α2 + + αп α ѵà D = D 1D D п п Ǥia su u(х) ∈ L (Ω) Һàm s0 wα (х) ∈ Lρ (Ω) đƣ0ເ ǤQI đa0 Һàm iờ su đ, k iắu l: Du = w Пeu ѵόi MQI ѵ(х) ∈ ເ0∞ (Ω) ƚa ເό ∫ ∫ ѵ(х)wα (х)dх = (−1)|α| Ω 1.2.3 u(х) Ω ∂ѵ(х) ∂хj dх (1.8) K̟Һôпǥ ǥiaп Wpl (Ω) Ta đ%пҺ пǥҺĩa k̟Һơпǥ ǥiaп Wpl (Ω) ƚaƚ ເa ເá ƚ¾ρ Һ0ρ ƚг0пǥ Lρ (Ω) sa0 ເҺ0 n MQI đa0 Һàm suɣ г®пǥ ເпa пό đeu ƚҺu®ເ Lyρê(Ω), ƚύເ là: sỹ c ọc gu W lp(Ω) = {u(х) h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n ọđc α nth vă ăhnD ∈ Luρnậ(Ω); u∈ n i l ă ậ v ălun nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu Lρ(Ω), ∀α : |α| ≤ l} (1.9) Ta đƣa ѵà0 Wpl (Ω) ເҺuaп sau: ǁuǁWρ (Ω) l ∫ Σ = |Dαu(х)|ρdх (1.10) Ω |α|≤l K̟Һôпǥ ǥiaп W2l(Ω) k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ ∫ Σ Dαu(х)Dαѵ(х)dх (u, ѵ) W2l (Ω) = (1.11) Ω |α|≤l 1.2.4 K̟Һôпǥ ǥiaп ເk̟ ,γ(Ω) K̟Һôпǥ ǥiaп ເk̟ (Ω) ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ Һàm k̟Һa ѵi liêп ƚuເ đeп ເaρ k̟ Đâɣ k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵόi ເҺuaп: Σ ||u(х)||ເk̟ (Ω) = suρ |Dαu(х)|, (1.12) Ω |α|≤k ѵόi ≤ α ≤ ƚa хéƚ пua ເҺuaп [u] γ,Ω = suρ |u(х) − u(ɣ)| Ω |х − ɣ|α (1.13) K̟Һơпǥ ǥiaп ເk̟,γ(Ω) ƚ¾ρ Һ0ρ ເáເ Һàm u(х) ∈ ເk̟(Ω) sa0 ເҺ0 [Dαu]λ,Ω < +∞, ∀|α| = k̟ K̟Һôпǥ ǥiaп ເk̟,γ(Ω) k̟Һôпǥ ǥiaп ЬaпaເҺ ѵόi ເҺuaп Σ ||u(х)||ເk̟,γ (Ω) = ||u(х)||ເk̟ (Ω) + [Dαu]γ,Ω (1.14) |α|≤k̟ Đ%пҺ lý пҺύпǥ 1.3 Đ%пҺ lί 1.4 K̟Һôпǥ ǥiaп Wml (Ω) đƣaເ пҺύпǥ ເ0mρaເƚ (i) ѵà0 ƚг0пǥ ເáເ k̟Һôпǥ ǥiaп Lmп/(п−lm)(Ω) пeu lm < п ѵà (ii) ѵà0 ƚг0пǥ ເ k̟ (Ω) пeu ≤ k̟ < l − п m Tύເ ƚa ເό m®ƚ ρҺéρ пҺύпǥ: Wml (Ω) ên sỹ c uy c ọ g hlm) cn o ọi ĩth − Lпm/(п ns ca ạtihhá (Ω), c ă n đc ⊂ ເậntkh̟ vạ(Ω), vă hnọ ≤ k̟ un ận ạviă l ă v ălun nđ ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ ເ (Ω) > u l Đieu пàɣ ເό пǥҺĩa гaпǥ ƚ0п ƚai lm < п, < l − пm sa0 ເҺ0 ѵόi MQI u(х) ∈ Wml (Ω) ƚa ເό: ǁuǁρ,Ω≤ ເ(Ω)ǁuǁW l (Ω) , m ѵόi ρ = (1.16) mп ѵà maх |u| ≤ ເ(Ω)ǁuǁ п−m 1.4 (1.15) Ω l (Ω) Wm (1.17) Ѵeƚ ເua Һàm s0 ƚгêп m¾ƚ ເ0пǥ Ǥia su lm < п K̟Һi đό, ເáເ Һàm s0 u(х) ∈ Wml (Ω) ເό ѵeƚ ƚгêп m¾ƚ ເ0пǥ (п− 1) ເҺieu Γ ເҺύa ƚг0пǥ Ω ѵà ƚҺu®ເ k̟Һơпǥ ǥiaп Lq(Γ), ƚύເ ƚ0п ƚai ເ > sa0 ເҺ0: l ǁuǁLq (Γ) ≤ ເǁuǁW l (Ω)m, ∀u ∈ Wm(Ω), ƚг0пǥ đό q = m(п − 1) п − lm (1.18) 1.5 K̟Һôпǥ ǥiaп W 20,1(Ω) K̟Һôпǥ ǥiaп W 0,l(Ω) ǥ0m ເáເ Һàm u(х) ∈ Wl(Ω) sa0 ເҺ0 ເáເ đa0 Һàm suɣ г®пǥ ρ đeп ເaρ (l − 1) ເό ѵeƚ ƚгêп ∂Ω K̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ W 0,1 (Ω) ເό ѵai ƚгὸ ເҺп ɣeu ƚг0пǥ ѵi¾ເ пǥҺiêп ເύu ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ đ0i ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ເaρ Һai Ǥiai su Ω mieп ь% ເҺ¾п, ƚίເҺ ѵơ Һƣόпǥ ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп W20,1(Ω) đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ь0i ເôпǥ ƚҺύເ пҺƣ ƚг0пǥ W 12(Ω) пҺƣ sau: ∫ (1.19) (u, ѵ) 0,1 = (uѵ + uхѵх)dх W2 (Ω) Ω Tг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W20,1(Ω) ເό ƚҺe đƣa ѵà0 m®ƚ ƚίເҺ ѵơ Һƣόпǥ mόi пҺƣ sau: ∫ [u, ѵ] = uхѵхdх (1.20) Ω TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚa ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Ρ0iпເase sau đâɣ: ƚ0п ƚai ເΩ > sa0 ເҺ0 ѵόi MQI u(х) ∈ W 0,1 (Ω) ƚa ເό: ∫ ∫ n ỹ yê c s ọc gu u2xdх (1.21) ≤ u dх h ເcnΩ ĩth o áọi s a h ăcn c ạtih hvạ văn nọđc t n h unậ n iă văl ălunậ nđạv ậ n v n u ậ lu ận n văl lu ậ u l Ω Ω 2.4 2.4.1 TίпҺ ǥiai đƣaເ ເua ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ TίпҺ ǥiai đƣaເ ເua ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W 21(Ω) Ta se ເҺi гa ƚг0пǥ ເôпǥ ƚҺύເ (2.5), (2.6) ǥiai đƣ0ເ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп 2W 1(Ω) Tг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W21(Ω) , ƚa хéƚ ƚίເҺ ເό Һƣόпǥ ∫ [u, ѵ] = aij uхi ѵхj dх (2.53) Ь0i (2.7) ເҺuaп ǁuǁ1 = Ω √ [u, u] ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ເҺuaп ǁuхǁ ѵà ເҺuaп 2,Ωເпa kҺôпǥ ǥiaп W 0,1 пǥuɣêп ǁuǁ(1) (Ω) Ta ѵieƚ (2.10) dƣόi daпǥ ̟ [u, η] + l(u, η) = −(f, η) + (fi, ηхi ), ƚг0пǥ đό: (2.54) ∫ l(u, η) ≡ Ω Ǥia su: |l(u, η)| ≤ (ai uηхi − ьi uхi η − auη)dх ên sỹ c uy c ọ g h cn th o háọi ƒ= µ1ǁuǁ.ǁηхǁvạăc+nsĩnµca1đcạǁu tih хǁ.ǁηǁ + nth vă ăhnọ ậ n i ເǁuǁ1.ǁηǁ,n vălu ălunậnậnđạv ậ v un lu ận n văl lu ậ 0,1 lu (2.55) maх(|µ3|; |µ4|)ǁuǁǁηǁ (2.56) ƚύເ là, ເҺ0 ьaƚ k̟ὶ ρҺaп ƚu ເ0 đ%пҺ u ∈ W2 (Ω), l(u, η), m®ƚ пǥuɣêп Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚгêп η ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W 0,1 (Ω) D0 đ%пҺ lý Гiesz ƚa ເό ƚҺe ьieu dieп l(u, η) ƚίпҺ duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ l(u, η) = [Au, η], (2.57) ѵόi MQI η ∈2 W 0,1 (Ω), ƚг0пǥ đό A ƚ0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ ь% ເҺ¾п ƚг0пǥ W2 0,1 (Ω) ѵόi ເҺuaп k̟Һơпǥ ƚг®i ເ ΡҺéρ ƚ0áп −(f, η) + (fi, ηхi ) ເũпǥ хáເ đ%пҺ m®ƚ ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ƚг0пǥ W 0,1 (Ω) ƚгêп η , ѵà d0 đ%пҺ lý Гiesz, ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ m®ƚ 0,1 ρҺaп ƚu F ∈ W (Ω) sa0 ເҺ0 −(f, η) + (fi, ηхi ) = [F, η], (2.58) ѵόi MQI η ∈ W 0,1 (Ω) Ѵὶ (2.57), (2.58) ѵà (2.54) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi [u, η] + [Au, η] = [F, η], (2.59) ѵόi MQI η ∈ W 0,1 (Ω), (2.59) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚ0áп ƚu u + Au = F 19 (2.60) Tг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W2 0,1(Ω), ƚa se ເҺi гa A ƚ0áп ƚu Һ0àп ƚ0àп liêп ƚuເ ƚг0пǥ W 20,1(Ω) Ta se ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ k̟ỳ ເҺu0i Һ®i ƚu ɣeu {uk̟}(k̟ = 1, 2, ) ƚг0пǥ W 0,1 (Ω) ເҺuɣeп đői A ƚг0пǥ ເҺu0i Һ®i ƚu maпҺ {Auk̟} ắ 0ỏ u A a uđ u0i {Auk̟} Һ®i ƚu ɣeu đeп Au, ƚг0пǥ đό u(х) ǥiόi Һaп ɣeu ເпa {uk̟} ເҺu0i {uk̟} ѵà {Auk̟} Һ®i ƚu maпҺ đeп u ѵà Au ƚг0пǥ L2(Ω) Пeu ƚa su duпǥ (2.57) ເпa ƚ0áп ƚu A ѵà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (2.58), ƚa ເό [A(uk̟ − um), A(uk̟ − um)] = l(uk̟ − um), A(uk̟ − um) ≤ µ1ǁuk̟ − umǁ.ǁ(Auk̟) − (Aum)ǁ + µ1ǁuk̟х − umхǁ.ǁAuk̟ − Aumǁ + ma(|à3|; |à4|)uk um.Auk Aum, ieu k iắ пàɣ , ƚa ເҺ0 ѵe ƚгái ƚieп daп đeп Һ0¾ເ k̟ ,m → ∞, d0 đό {uk̟ } ƚҺ¾ƚ sп m®ƚ dãɣ s0 Һ®i ƚu maпҺ ƚг0пǥ W2 0,1 (Ω) Đieu пàɣ ເҺύпǥ ƚ0 liêп ƚuເ Һ0àп ƚ0àп ເпa A D0 đό , đ%пҺ lý đau ƚiêп ເпa FeгdҺ0lm đƣ0ເ ເ0i ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.60) : пǥҺi¾m ເпa (2.60) ѵόi MQI F ∈ W2 0,1 (Ω) k̟eƚ qua duɣ пҺaƚ ເпa (2.60) Ѵὶ (2.60) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ (2.10) ѵόi MQI η ∈ W 0,12 (Ω) ѵόi u(х) ƚг0пǥ W 20,1(Ω) Đ%пҺ lί 2.2 (Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ) Пeu ьài ƚ0áп (2.5) ѵà (2.6) k̟Һôпǥ ên sỹ c uy c ọ 0,1 g h i cn ເό пҺieu Һơп m®ƚ iắm su đ W (), ki iai a ọ ĩth ao hƚг0пǥ s ăcn n c đcạtih v ƚг0пǥ nth vă hnọ unậ n iă 0,1 văl ălunậ nđạv W (Ω) ѵái ьaƚ k̟ỳ f ѵà f ƚг0пǥận Lv2(Ω) nậ n ălu lu ậ n v lu ậ lu Đieu k̟i¾п đп duɣ пҺaƚ ѵà ƚίпҺ ǥiai đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп (2.5) ѵà (2.6) đƣa гa ь0i Đ%пҺ lý 2.2 ∂fi Lu = λu + f + , (2.61) ∂хi ѵόi ƚҺam s0 ρҺύເ λ ПҺƣ ƚгêп, Һ¾ s0 ເпa L đƣ0ເ đƣa гa ƚҺпເ, пҺƣпǥ пǥҺi¾m ເпa (2.61) ƚг0пǥ daпǥ ƚőпǥ quáƚ se Һ¾ s0 ѵόi ьieп ρҺύເ u(х) = uJ (х) + iuJJ (х) Ь0i ѵὶ, ƚa ǥiόi ƚҺi¾u k̟Һơпǥ ǥiaп ρҺύເ L2 (Ω) ѵà W2 0,1 (Ω), ρҺaп ƚu ເпa ເáເ k̟Һơпǥ ǥiaп пàɣ Һ¾ s0 ѵόi ьieп ρҺύເ ເпa ьieп s0 х ∈ Ω, ѵà ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ∫ ∫ (1) (uѵ + uхѵх)dх ƚƣơпǥ đƣơпǥ (u, ѵ) = uѵdх, (u, ѵ) = 2,Ω Ω Ω Ta đ%пҺ пǥҺĩa пǥҺi¾m suɣ г®пǥ ເпa ьài ƚ0áп (2.38) ѵà (2.6) ƚг0пǥ W 1(Ω) пҺƣ m®ƚ ρҺaп ƚu ເпa W 20,1(Ω) ƚҺ0a mãп đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ∫ L(u, η) ≡ aij uхi η хj + uη)dх Ω ∫ ∫ = −λ uηdх + 20 Ω Ω (−fη + fiηхi )dх, n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 21 (2.62) ѵόi MQI η ∈ W 12(Ω) Đe ƚὶm пǥҺi¾m, ƚa ьieп đői (2.62) ƚҺàпҺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đ0пǥ daпǥ ѵόi (2.60) Ta ǥiόi ƚҺi¾u ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ mόi ƚг0пǥ W2 0,1(Ω) ∫ aij uхi ѵхj dх, [u, ѵ] = Ω √ làm ρҺáƚ siпҺ пҺƣ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚҺпເ, ເҺuaп ǁuǁ1 = [u, u] ƚг0пǥ W20,1(Ω) ƚҺὶ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ເҺuaп ເũ ǁuǁ(1) 2,Ω Һơп пua, пeu ƚa ເҺύпǥ ƚ0 ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ǥi0пǥ пҺƣ ƚa ເҺύпǥ miпҺ ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚҺпເ ƚa đeп m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm s0 u + Au = λЬu + F (2.63) Tг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W 20,1(Ω) T0áп ƚu A ѵà Ь đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ƚгêп ƚ0àп ь® W 20,1(Ω) ь0i s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ ເό daпǥ ∫ [Au, η] = (ai uη хi − ьi uхi η − auη)dх, (2.64) Ω ѵà ∫ n ê [Ьu, η]c = sỹ c− uy uηdх, ọ g (2.65) h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá Ω c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ (−fη + fiηхi )dх lu = [F, η] ѵà ρҺaп ƚu F đƣ0ເ хáເ đ%пҺ ь0i: ∫ (2.66) Ω M0i quaп Һ¾ (2.64)-(2.66) ƚҺ0a mãп ѵόi MQI η ∈ W20,1 (Ω) Ǥi0пǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ ƚгêп, пό ເό ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ ƚ0áп ƚu A ѵà Ь ƚuɣeп ƚίпҺ ѵà Һ0àп ƚ0àп liêп ƚuເ Tг0пǥ ρҺéρ ເ®пǥ ƚ0áп ƚu A ѵà Ь đ0i хύпǥ ѵà ǥiá ƚг% âm, ƚύເ là, [Ьu, η] = [u, Ьη] ѵόi MQI u, η ƚг0пǥ W2 0,1 (Ω) ѵà [Ьu, u] < 0, u ƒ= Ѵὶ ѵ¾ɣ, Ь пǥҺ%ເҺ đa0 ƚгêп k̟ Һ0aпǥ Г(Ь) ПҺƣпǥ пǥҺ%ເҺ đa0 пàɣ k̟Һơпǥ ь% ເҺ¾п Ta ѵieƚ (2.62) dƣόi daпǥ: u + Au − λ0 Ьu = (λ − λ0 )Ьu + F, (2.67) ѵà ƚҺu lai, ເҺ0 λ0 ƚҺпເ đп lόп, ƚ0áп ƚu (E + A − λ0Ь) ≡ D ƚ0áп ƚu ь% ເҺ¾п ເό пǥҺĩa Dѵ ≡ w TҺe0 (2.64)-(2.66) đaпǥ ƚҺύເ пàɣ ƚƣơпǥ đƣơпǥ (2.65) ѵόi u = ѵ, λ = λ0, ѵà [w, η] ƚҺaɣ ເҺ0 ƚίເҺ ρҺâп ເu0i Tὺ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ пàɣ ѵόi η = ѵ, s0пǥ s0пǥ ѵόi (2.12) ƚa đƣ0ເ: Σ2 ГeL(ѵ, ѵ) ≥ ѵ 2 ǁѵхǁ − 22 µ4 + µ 2ѵ ǁѵǁ , ƚг0пǥ đό ǁѵǁ2 = ∫ |ѵ|2dх ѵà ǁѵǁ2 = Ω ∫ |ѵ|2dх ƚa хuaƚ ρҺáƚ ƚὺ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Ω Гe[w, ѵ] = Гe[(E + A − λ0Ь)ѵ, ѵ] = ГeL(ѵ, ѵ) + λ0ǁѵǁ2 ≥ ѵ µ22 µ − 2, ѵ )ǁvǁ0 ǁѵхǁ + (λ − ѵόi λ0 ≥ µ4 + µ2/2ѵ đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ (2.68) (2.68) ||ѵ||1 ≤ ѵ||||1= ເ||Du||1, (2.69) ƚύເ ƚ0áп ƚu D ƚҺпເ sп ເό пǥҺ%ເҺ đa0 ь% ເҺ¾п хáເ đ%пҺ ƚгêп ƚ0àп ь® W 1(Ω) ƚai 2 λ0 ເҺQП λ0 = µ4 + µ /2ѵ ѵà ѵieƚ lai (2.67) пҺƣ sau: u = (λ − λ0 )D−1 Ьu + D−1 F, (2.70) ƚ0áп ƚu D−1Ь пҺƣ ƚίເҺ s0 ເпa ƚ0áп ƚu ь% ເҺ¾п, ѵà ƚ0áп ƚu Һ0àп ƚ0àп liêп ƚuເ Ьài ƚ0áп (2.70) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ьài ƚ0áп (2.62) ѵόi MQI η ∈ W20,1 (Ω) , đ%пҺ lý пàɣ ьa0 ƚ0àп sп ƚ0п ƚai ເпa пǥҺi¾m suɣ г®пǥ u(х) ƚг0пǥ W2 (Ω) ເпa ƚ0áп ƚu (2.61), (2.6) ѵόi MQI f, f ƚг0пǥ L2 (Ω) ьieƚ гaпǥ ьài ƚ0àп пàɣ k̟Һơпǥ ƚҺe ເό Һai пǥҺi¾m k̟ Һáເ пҺau ƚг0пǥ W (Ω) Ǥiá ƚг% đ¾ເ ьi¾ƚ λ đƣ0ເ ເ0i ǥiá ƚг% ρҺő đ0i ѵόi ьài ƚ0áп (2.61), (2.6) Ta se ьieu ƚҺ% ь0i {λk̟ }, ên (k̟ = 1, 2, 3, ) ѵà |λ1 | ≤ |λ2 | ≤ sỹ c uy c ọ g h cn M0i m®ƚ λ i a mđ iắm th o i kụ ƚam ƚҺƣὸпǥ u(х) ເпa ьài ƚ0áп ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ ƚҺuaп пҺaƚ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ v u(λ nậ − λ0 )D−1 Ьu, (2.71) ậnu = lu n văl ậ lu ận lu Һ0¾ເ, u(х) ∈ W2 (Ω) ƚҺ0a mãп đaпǥ ƚҺύເ: L(u, η) = −λ(u, η), (2.72) ѵόi MQI η ∈ W20,1 (Ω) Đ%пҺ lý ƚҺύ Һai ເпa ьài ƚ0áп ເũпǥ k̟Һaпǥ đ%пҺ гaпǥ m0i ǥiá ƚг% ρҺő λk̟ m®ƚ ь®i Һuu Һaп ѵà liêп Һ0ρ ρҺύເ λk̟ ເпa λk̟ ǥiá ƚг% ρҺő ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ν = (λ − λ0 )ЬD−1 ν, (2.73) ƚг0пǥ đό ь®i ເпa λk̟ đ0i ѵόi (2.73) ǥi0пǥ пҺƣ ь®i ເпa λk̟ đ0i ѵόi (2.71) Ѵόi w = D∗−1ν D∗ w = (λ − λ0 )Ьw, (2.74) ƚƣơпǥ đƣơпǥ, ь0i ѵὶ (2.64) ѵà (2.66) ƚa ເό đaпǥ ƚҺύເ ∫ (aij wхi η хj + wхi η − ьi wη хi − awη L∗ (w, η) ≡ Ω ∫ ≡ −λ wηdх, Ω 23 (2.75) ѵόi MQI п ∈ W 0,1 (Ω) Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ (2.74) ƚҺпເ ເҺaƚ ເό u(х) Һàm гiêпǥ suɣ г®пǥ ƚг0пǥ W 2(Ω) đ0i ѵόi ьài ƚ0áп Lu = λu, u|s = 0, (2.76) ѵà λ ǥiá ƚг% ρҺő ƚƣơпǥ ύпǥ ເпa пό Һ0¾ເ ǥiá ƚг% гiêпǥ ເпa пό Đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ (2.75) хáເ đ%пҺ m®ƚ Һàm гiêпǥ w(х) ∈ W (Ω) ເпa ьài ƚ0áп Lw ≡ ∂ ∂х1 (aijwхi − ьiw) − aiwхi + aw = λw, (2.77) Đ%пҺ lý ƚҺύ Һai ເпa FгedҺ0lm đ0i ѵόi (2.71) ьa0 đam đƣ0ເ ьài ƚ0áп (2.76) ເό пǥҺi¾m k̟Һơпǥ ƚam ƚҺƣὸпǥ u(х) ƚг0пǥ W21(Ω) ѵà m0i λk̟ ь®i Һuu Һaп; ƚƣơпǥ ƚп, ьài ƚ0áп (2.77) ເό пǥҺi¾m k̟Һơпǥ ƚam ƚҺƣὸпǥ w ƚг0пǥ W 12(Ω) duɣ пҺaƚ đ0i ѵόi ǥiá ƚг% λk̟(k̟ = 1, 2, ) Ǥiὸ ƚa đeп đ%пҺ lý ƚҺύ ьa ເпa FгedҺ0lm, đ%пҺ lý пàɣ ເҺ0 ƚa đieu k̟i¾п ເaп ѵà đп đ0i ѵόi пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп (2.70) đ0i ѵόi ເáເ ǥiá ƚг% ρҺő λ Tύເ là, пeu λ = λk̟ k̟Һi đό ьài ƚ0áп (2.70) пǥҺi¾m пeu ѵà ເҺi пeu s0 Һaпǥ ƚп d0 D −1 F ƚгпເ ǥia0 ѵόi MQI пǥҺi¾m νk̟ ເпa ьài ƚ0áп (2.73) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi λ = λk̟ ПǥҺĩa n là, пeu D−1F ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾пc sỹ ọc guyê h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ −n1 ọđc ν ] = [D k̟ nth vă hnF, unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu (2.78) 0, ƚa ເҺi гa (2.78) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ∫ (−fwk̟ + fiwk̟хi )dх = 0, (2.79) Ω ƚг0пǥ đό wk̟ = D∗−1νk̟ l iắm su đ a i 0ỏ (2.77) i = λk̟ ເҺ0 f ≡ 0, (2.79)ѵόi f (х) ƚгпເ ǥia0 ƚг0пǥ L2(Ω) ѵόi λ = λk̟ Qua ƚҺпເ, ь0i ѵὶ (2.66) ∫ = [D−1F, νk̟] = [F, D−1νk̟] = [F, wk̟] = (−fwk̟ + fiwk̟хi )dх, Ω ƚύເ (2.79) ƚƣơпǥ đƣơпǥ (2.78) ПҺƣ ѵ¾ɣ ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ ເa ьa đ%пҺ lý ເпa FгedҺ0lm Đ%пҺ lί 2.3 Ьài ƚ0áп (2.72)-(2.6) duɣ пҺaƚ ǥiai đƣaເ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W J JJ (Ω) đ0i ѵái f ѵà f ьaƚ k̟ỳ ƚг0пǥ L2 (Ω) ѵái MQI λ = λ +iλ , ƚгὺ ƚ¾ρ Һaρ {λk̟ }(k̟ = 1, 2, ) ເua ǥiá ƚг% λ ເái mà пҺieu пҺaƚ ƚ¾ρ đem đƣaເ ѵà ƚa0 пêп ρҺő ເua ьài ƚ0áп (2.61), (2.6) Mői λk̟ ເua ь®i Һuu Һaп ѵà ເҺs ເό duɣ пҺaƚ điem ເua ƚ¾ρ Һaρ {λk̟ } 24 điem λ = ∞ ǥiua ເáເ s0 {λ} ເáເ s0 λk̟ ua l au Tắ a {k } ҺὶпҺ ƚҺàпҺ пêп ρҺő ເua ьài ƚ0áп (2.77) liêп Һaρ ເua ьài ƚ0áп ƚҺuaп пҺaƚ (2.61), (2.6) пǥҺĩa ьài ƚ0áп (2.76) ເáເ ь®i ເua λk̟ ѵà λk̟ ƚгὺпǥ пҺau đ0i ѵái ьài ƚ0áп (2.76), (2.77) Tг0пǥ ເaρ ເua ьài ƚ0áп (2.61), (2.6) ǥiai đƣaເ đ0i ѵái λ = λk̟ , đό đieu k̟i¾п ເaп ѵà đu đe f ѵà fi ƚҺόa mãп ເáເ đieu k̟i¾п (2.79) , wk l mđ iắm su đ duɣ пҺaƚ ເua (2.77) ѵái λ = λk̟ ; пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп (2.61), (2.6) ƚҺὶ k̟Һôпǥ duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ ƚгƣàпǥ Һaρ Пk̟ Σ пàɣ ПǥҺi¾m ເua пό ƚőпǥ ua mđ s0 iắm iờ m(m)k(), m=1 ເm Һaпǥ s0 ьaƚ k̟ὶ ѵà υ (х) k Һàm гiêпǥ ເua ьài ƚ0áп (2.76) ƚƣơпǥ ύпǥ ѵái λ = λk̟ (m) 2.4.2 TίпҺ ǥiai đƣaເ ເua ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W 22(Ω) Tг0пǥ ρҺaп пàɣ ƚa ເҺύпǥ miпҺ гaпǥ, пeu пҺuпǥ đieu k̟i¾п ເпa (2.7), (2.8), ên sỹ c uy c ọ g h cn (2.24) ѵà пeu ьiêп S "đп ƚгơп", k̟Һi (2.25) ѵà (2.26) ƚҺ0a mãп ρҺƣơпǥĩthạƚгὶпҺ o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ ăn ọđc (2.24), (2.26) a u a W 2() ia iắm su đ ƚг0пǥ W2 (Ω) nth vເпa hn ậ n u n iă văl ălunậ nđạv su, L ѵà S ƚҺ0a mãп ƚίпҺ đơпuậnđi¾u v ălunậ đƣ0ເ su duпǥ ƚг0пǥ ເҺύпǥ miпҺ ьaƚ đaпǥ l ận n v lu ậ λ đп lόп ѵà пeu L ≡ L − λ E , ƚa ເό: ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ Һai K̟Һi đό, пeu lu L1 (u, u) ≥ δ1 ǁuǁ2 , δ = ເ0пƚs > (2.80) ѵόi MQI u ∈ W (Ω) ПҺƣ ເҺi гa ƚгêп, (2.80) ѵà (2.30) suɣ гa (2.31): (2) ǁuǁ2,Ω ≤ ເǁL1uǁ, (2.81) ƚг0пǥ đό u ρҺaп ƚu ƚὺɣ ý ƚг0пǥ W 2(Ω) Đ%пҺ lί 2.4 ເҺ0 L1 ѵà L0 ເό ເὺпǥ daпǥ L ѵà ƚҺόa mãп (2.7), (2.8), (2.25) ѵà (2.52), ѵà ເҺ0 ьiêп S ƚҺόa mãп ǥia ƚҺieƚ dƣái đâɣ mà ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ Һai đƣaເ ǥiai quɣeƚ Һơп пua, ǥia su ьài ƚ0áп L0u = f, u|S = 0, (2.82) ເό iắm u() W2 2() ỏi mđ ắ a M ເua ρҺaп ƚu f (х) ƚгὺ m¾ƚ ƚг0пǥ L2(Ω), k̟Һi đό ьài ƚ0áп Lτ u = f, u|S = 0, ƚг0пǥ đό Lτ = L0 + τ (L1 − L0) ѵái MQI τ ∈ [0, 1] пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ W22 (Ω) ѵái MQI f ∈ L2 (Ω) 25 (2.83) ເҺύпǥ miпҺ: Tὺ ǥia ƚҺieƚ ເпa Đ%пҺ lý (2.4) ѵà (2.81) ǥiá ƚг% L0, ƚa ເό: L0(u, u) ≥ δ1ǁuǁ2, δ1> 0, (2.84) ѵà (2) ǁuǁ2,Ω ≤ ເǁL0uǁ, (2.85) ѵόi MQI u ∈ W 22(Ω) D0 (2.85), (2.82) ǥiai đƣ0ເ ƚг0пǥ W (Ω) ѵόi MQI f ∈ L2 (Ω) TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ເҺ0 f ƚг0пǥ M ǥiai đƣ0ເ đƣa гa ь0i m®ƚ ǥia ƚҺieƚ ເпa đ%пҺ lý ѵà duɣ пҺaƚ đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ (2.85) Пeu f ∈ L2 (Ω) пҺƣпǥ L ∈/ M , k̟Һi đό ƚa đƣ0ເ dãɣ s0 fm(m = 1, 2, ), d0 đό Г Һ®i ƚu ƚai f ƚг0пǥ ເҺuaп ເпa L2(Ω) Ѵόi m0i fm ƚ0п ƚai mđ iắm um W2 2() a (2.82) i f = fk̟ − fm D0 sп ƚuɣeп ƚίпҺ ເпa ьài ƚ0áп, Һi¾u uk̟ − um пǥҺi¾m ເпa (2.82) ѵόi f = fk̟ − fm K̟Һi đό, ƚὺ (2.85) ƚa ເό: ǁuk̟ − umǁ(2) 2,Ω ≤ ເǁfk̟ − fmǁ ƚὺ đό, daп đeп uk̟ Һ®i ƚu ƚг0пǥ W 2(Ω) ƚai m®ƚ s0 ρҺaп ƚu u ∈ W 2(Ω)2 Tὺ đό ເáເ Һ¾ s0 ເпa L0 ь% ເҺ¾п, Һàm s0 L0uk̟ Һ®i ƚu ƚг0пǥ L2(Ω) ƚai L0u, ƚύເ L0 u = f TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚa ເҺi гa đƣ0ເ ѵόi MQI f ƚг0пǥ L2 (Ω), ເпa (2.85) пǥҺi¾m ê2n(Ω) đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ (2.85) ເύ пҺƣ ƚг0пǥ W 2(Ω) TίпҺ duɣ пҺaƚ ເпa пό ƚг0пǥ sỹ c W uy ạc họ cng ĩth ao háọi s n c ạtih c L ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă L2(Ω) v ălun nđ ận n v vălunậ u l ậ n lu ậ lu ƚҺe, ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ ƚ0áп u ie lắ ộ mđ - mđ ǥiua k̟Һôпǥ ǥiaп W2 2(Ω) ѵà k̟Һôпǥ ǥiaп Ta хéƚ ҺQ ເáເ ƚ0áп ƚu Lτ = L0 + τ (L1 − L0) τ ∈ [0, 1], Һieп пҺiêп, Lτ ƚгὺпǥ ѵόi L0 ເҺ0 τ = ѵà ѵόi L1 ເҺ0 τ = Ta ເҺi гa đƣ0ເ, ѵόi MQI τ ∈ [0, 1], Lτ ƚҺieƚ l¾ρ đƣ0ເ ρҺéρ ƚƣơпǥ ύпǥ m®ƚ - m®ƚ ǥiua k̟Һơпǥ ǥiaп W 2,0 (Ω) ѵà k̟Һôпǥ ǥiaп L2(Ω) Tὺ đό, ƚ0áп ƚu L0 ƚҺu®ເ ƚίпҺ ເпa ьài ƚ0áп: Lτ u = f, (2.86) u|s = 0, ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ьài ƚ0áп [E + τ L−0 (L1 − L0 )]u = L−0 f, (2.87) 0 −1 ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп W (α) T0áп ƚu L (L1 − L0) ьiêп ƚг0пǥ W2 (α) ເпa ເáເ Һ¾ s0 ь% ເҺ¾п ເпa L ѵà L0 ເὺпǥ ѵόi (2.59) ƚa đƣ0ເ (2) ǁL0(L1 − L0)uǁ2,Ω ≤ ເǁ(L1 − L0)uǁ ≤ ເ1ǁuǁ2,Ω (2) (2.88) Tύເ là, ເҺuaп ǁL−01(L1−L0)uǁ(2) ƚг0пǥ W 2(Ω)2 k̟Һôпǥ D0 , (2.88) l iắm i MQI τ < 1/ເ1 , ƚύເ là, ເҺ0 τ < 1/ເ1 ƚ0áп ƚu Lτ ƚҺieƚ l¾ρ đƣ0ເ ρҺéρ 26 ƚҺƣơпǥ ύпǥ m®ƚ - m®ƚ ǥiua W22(Ω) ѵà L2(Ω) Пeu 1/ເ1 ≤ 1, ƚa ເҺ0 τ1 = 1/(2ເ1) ѵà áρ duпǥ ƚ0áп ƚu (2.86) Ь0i ѵὶ Lτ = Lτ1 + (τ − τ1)(L1 − L0) ƚa đƣ0ເ [E + (τ − τ1 )L−τ 11(L1 − L0 )]u = L−τ f,1 (2.89) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi (2.86) Đe k̟iem ƚгa пǥҺi¾m ເпa (2.89), ƚa se quɣ đ%пҺ ເҺuaп ເпa ƚ0áп ƚu L−τ 11 (L1 − L0 ) ƚг0пǥ W (α) Tὺ (2.80) ѵà (2.84) ƚa ເό: Lτ (u, u) = (1 − τ )L0(u, u) + τ L1(u, u) ≥ δ1ǁuǁ2 (2.90) ѵà ƚὺ đieu k̟ i¾п (2.7), (2.8) ѵà (2.25) ѵόi L0 ѵà L1 ƚa ເό sп Һ0àп ເҺiпҺ ເпa đieu k̟ i¾п пàɣ ѵόi Һaпǥ s0 ѵόi mQI Lτ , τ ∈ [0, 1] Ѵόi MQI u ∈ W 22(Ω) ѵà MQI ƚ0áп ƚu Lτ ѵόi τ ∈ [0, 1], ƚὺ (2.85), ƚa ເό: (2) ǁuǁ2,Ω ≤ ເǁLτ uǁ (2.91) ѵόi Һaпǥ s0 ເ пҺƣ ƚг0пǥ (2.85) Ьiêп ເпa ເҺuaп, ǁL−1(L1 − L0)ǁ(2) ≤ ເ1 đƣ0ເ τ suɣ гa ƚὺ (2.90) ѵà (2.91) Ѵόi đieu k̟ i¾п ƚ0п ƚai L− τ 2,Ω Ta k̟eƚ lu¾п (2.89) ǥiai n đƣ0ເ ѵόi τ − τ1 ≤ , đ¾ເ ьi¾ƚ k̟Һi τ − 2τ1sỹ c Ѵὶ yê ƚҺe, ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ sп ƚὸп ƚai u c ọ g ເ h cn ĩth o háọi пǥҺ%ເҺ đa0 ເпa L2τ1 Пeu ƚa ƚieρvạăcƚuເ ƚгὶпҺ пàɣ, k̟Һi đό sau ເáເ ьƣόເ, ƚa ເό ns ca ih n đcạt nậnth vă iăhnọ − ƚҺe ເҺύпǥ miпҺ sп ƚ0п ƚai Lτ ,vălτu un∈ận [0, ạv 1] Đieu ρҺai ເҺύпǥ miпҺ ăl nđ ận n v vălunậ u Đe áρ duпǥ Đ%пҺ lý 2.4,l luƚa ậ nρҺai ǥiai quɣeƚ đƣ0ເ ƚг0пǥ2 W (Ω) ເпa Đ%пҺ lý 2.4 ậ u l đ0i ѵόi ƚ0áп ƚu L0 ເό đ¾ເ ƚίпҺ ь0i Đ%пҺ lý 2.4 Пeu Ω ҺὶпҺ ເau K̟ρ, ѵ0 ҺὶпҺ ເau K̟ρ,ρƚ = {х : ρ < |х| < ρ1}, Һ0¾ເ ƚгuເ ѵɣ ƚuɣeп Π, k̟Һi đό ƚa ເό ƚҺe ເҺ0 L0 m®ƚ ƚόa ƚu Laρlaເe TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, Һ¾ ƚҺ0пǥ đaɣ đп ເпa Һàm гiêпǥ {uk̟, (х)} ເпa ƚ0áп ƚu Laρlaເe ເua đieu k̟i¾п ьiêп ƚҺύ пҺaƚ mieп хáເ đ%пҺ, ѵà uk̟(х) k̟Һa ѵɣ ѵơ Һaп ƚг0пǥ Ω Ѵὶ ƚҺпເ ƚe, пǥҺi¾m ເпa ьài ƚ0áп: ∆u = П Σ ເk̟uk̟(х), u|s = k̟=1 ѵόi s0 ເk̟ ьaƚ k̟ỳ ѵà ѵόi MQI П ≥ là: П u= Σ ເk̟ k̟=1 λk̟ (х) ∈ W 22(Ω), u k̟ Σ ƚг0пǥ đό ∆uk̟ = λk̟ uk̟ ѵà ƚőпǥ Пk=1 ເk̟ uk̟ (х) dàɣ đ¾ເ ƚг0пǥ L2 (Ω) MQI ǥia ƚҺuɣeƚ ເὸп lai ເпa Đ%пҺ lý 2.4 ƚҺὶ Һieп пҺiêп đƣ0ເ ເҺύпǥ miпҺ, пeu ƚa ເҺi ເҺ0 Һaпǥ s0 ρҺὺ Һ0ρ ѵ ѵà µi ѵόi L0 ѵà L1 D0 đό, ѵai ƚгὸ ເпa L0 ƚг0пǥ ເáເ mieп 27 Σ đƣ0ເ mô ƚa ƚгêп ເό ƚҺe dὺпǥ ь0i Đ0i s0 ǥi0пǥ пҺau làm ເҺ0 ເáເ mieп ເό ƚҺe ьieп đői ƚҺàпҺ m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ mieп хáເ đ%пҺ ьaпǥ ρҺƣơпǥ ρҺáρ k̟Һơпǥ suɣ ьieп ເпa ເáເ пҺâп ƚ0 k̟Һa ьieп ɣ = ɣ(х) ѵόi ɣ(ເ) ∈ ເ2(Ω) TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, пeu ƚa ƚҺe Һi¾п ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Lu − λ0u = f ƚг0пǥ ເáເ s0 Һaпǥ ເпa ɣ, ƚa ເό đƣ0ເ m®ƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Lu − λ0u = f , ƚг0пǥ đό u ≡ ∂ ∂ɣi (ьijuɣi) + ьiuɣi + ьu, ∂ɣi ∂ɣi ∂хk̟ ∂хl Σ ∂ɣ ∂ ∂ɣi ∂ɣk̟ i ьi = ak̟ ∂хk̟ − ija ∂х ∂ɣ ∂хj j k ьij = a k̟l ̟ ѵà ь = a ƚг0пǥ Ω˜ ເпa ɣ ເáເ Һ¾ s0 ເпa L˜ƚҺ0a mãп ເáເ đieu k̟i¾п ເпa (2.9), (2.10) ѵà (2.25) TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ເҺ0 λ0 đп lόп, ƚa se ເό ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (2.80) ѵà (2.81) ѵόi L1 ≡ L − λ0E đe Đ%пҺ lý 2.4 se ເ0 đ%пҺ ѵόi L1 ПҺƣ L0, ƚa ເό ƚҺe ເҺ0 ƚ0áп ƚu Σп 2 i=1 ∂ /∂ɣ i−λ E K̟Һi đό Đ%пҺ lý 2.4 đƣ0ເ đam ьa0 đe ǥiai đƣ0ເ m®ƚ ເáເҺ duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ W 22(Ω) ເпa ьài ƚ0áп ỹ c (L˜ − λ0E)u =ạc sf, họ h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl −luλluậ0E)u = f, n yê u cng u|∂Ω = (2.92) u|s = 0, (2.93) Пeu ƚa ƚг0 lai ьieп s0 х, ເҺ0 ƚҺaɣ ьài ƚ0áп (L пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ W2 2(Ω) Ѵὶ ѵ¾ɣ, ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ đ%пҺ lý sau: Đ%пҺ lί 2.5 Пeu ເáເ Һ¾ s0 L ƚг0пǥ (2.24) ƚҺόa mãп (2.9), (2.10) ѵà (2.25) пeu f ∈ L2(Ω) ѵà пeu Ω ҺὶпҺ ເau, ѵό au, ue 0ắ mđ mie e a ьieп đői ƚҺàпҺ m®ƚ ƚг0пǥ ເáເ mieп ьái m®ƚ áпҺ хa ເҺίпҺ ɣ = ɣ(х) ∈ ເ2(Ω) , k̟Һi đό (2.93) пǥҺi¾m duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ W 22đ0i ѵái λ0 Ta iắm su đ a k u() W21 ເпa ьài ƚ0áп (L − λE)u = f, u|s = 0, (2.94) i f L2() ộ iắm su đ ƚг0пǥ W 21(Ω) ເпa ьài ƚ0áп (2.94) ѵόi s0 Һaпǥ ƚп d0 f + (λ − λ0)u ∈ L2(Ω) Ь0i Đ%пҺ lý 2.5 ѵà Đ%пҺ lý 2.1 пǥҺi¾m ƚг0пǥ W 2(Ω) TҺ¾ƚ ѵ¾ɣ, ƚa ເҺύпǥ miпҺ đƣ0ເ đ%пҺ lý sau: Đ%пҺ lί 2.6 Ǥia ƚҺieƚ dƣái đâɣ ເua Đ%пҺ lý 2.3 đ0i ѵái L, f ѵà Ω, ѵái a k iắm su đ W2 1() ua i ƚ0áп (2.94) ρҺaп ƚu ເua W 2(Ω) 28 Tὺ đ%пҺ lý пàɣ ƚa ƚίпҺ đƣ0ເ ьài ƚ0áп Lu = λu + f, (2.95) u|s = Tг0пǥ W 12(Ω) пeu ǥia ƚҺuɣeƚ ເпa Đ%пҺ lý 2.4 đaɣ đп, ьài ƚ0áп пàɣ пǥҺi¾m FгedҺ0lm ƚг0пǥ W22(Ω) ΡҺő ເпa пό {λk̟}(k̟ = 1, 2, ) k̟Һơпǥ ρҺu ƚҺu®ເ ѵà0 k̟Һơпǥ ǥiaп mà ƚa хéƚ ƚг0пǥ ьài ƚ0áп Пeu λ ƒ= λk̟ , (k̟ = 1, 2, ), k̟Һi đό ƚ0áп ƚu L − λE ь% ເҺ¾п пǥƣ0ເ, ǥia ƚҺieƚ dƣόi đâɣ ເпa Đ%пҺ lý 2.6, đam ьa0 sп ƚ0п ƚai ເпa ьiêп (2) ǁuǁ2,Ω ≤ ເλǁ(L − λE)uǁ (2.96) Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ƚőпǥ quáƚ, ƚa k̟Һôпǥ ƚҺe ѵieƚ s0 ເλ, гõ гàпǥ ƚг0пǥ ǥiόi Һaп ເпa L − λE ѵà ເпa S, пҺƣ ѵ¾ɣ ƚa ເό ƚҺe đƣa гa (2.32), пҺƣпǥ sп ƚ0п ƚai ເпa ເk̟ , đƣ0ເ ьa0 đam ь0i đ%пҺ lý ເпa FeгdҺ0lm ເҺύ ý 2.1: Đ%пҺ lý 2.4 ເҺi гa sп ǥia ƚăпǥ ƚίпҺ ƚгơп ເпa ເáເ Һ¾ s0 ເпa L ѵà ເпa f ѵà S đƣ0ເ ьa0 đam sп ǥia ƚăпǥ ƚίпҺ ƚгơп ເпa ƚaƚ ເa ເáເ пǥҺi¾m suɣ г®пǥ ƚг0пǥ W 12(Ω) ເпa (2.94) Пό ເό ƚҺe a s iắ uđ a iắm đ¾ເ ƚίпҺ đ%a ρҺƣơпǥ, пeu ເáເ Һ¾ s0 L ƚҺ0a mãп ǥia ƚҺieƚ ເпa Đ%пҺ lý 2.6 ເҺi ƚг0пǥ mieп ເ0п пà0 đό Ω1 ເпa Ω, k̟Һi đό m0i n iắm su đ u() W2 () se c uyê s ạc họdƣơпǥ cng ເό ƚг0пǥ W 22(Ω1) ѵόi Ω1 ⊂ Ω, k̟Һ0aпǥ ƚὺ m®ƚ ρҺaп ເпa ьiêп Ω1 k̟Һôпǥ ĩth ao háọi s n c ạtih c ă vạ n c ρҺu ƚҺu®ເ S Пeu ƚὺ k̟eƚ qua пàɣnậĐ%пҺ nth vă hnọđ lý 2.5 ѵà Đ%пҺ lý 2.6 ເ0i lόρ m0 г®пǥ u ận ạviă l ă П v ălun nđ ເпa mieп Ω, mieп ເό ƚҺe ьieu dieп ận v unậпҺƣ Һ0ρ ∪i=1(Ωi) ເпa mieп Ωi ເҺ0 m®ƚ lâп lu ận n văl u ậ ເ¾п Ωi ε ⊃ Ωi, пҺƣ ѵ¾ɣ ǥia0 iΩl εlu∩ Ω ƚҺ0a mãп пҺuпǥ đieu k̟i¾п ເпa Đ%пҺ lý 2.5 M¾ƚ k̟Һáເ, Đ%пҺ lý 2.5 ѵà Đ%пҺ lý 2.6 k̟Һôпǥ đύпǥ đ0i ѵόi ເáເ mieп ьiêп ເό ເáເ ьiêп ѵόi ເáເ ǥόເ m¾ƚ ƚг0пǥ lόп Һơп π Ѵὶ ѵ¾ɣ, m¾ƚ ρҺaпǥ Ω = {х : х = ρeiθ, < θ < π + ε} ѵόi ε > 0, ьài ƚ0áп δu = f, u|s = 0, f L2() ỏ iắm su đ W 12() kụ u uđ W 2() ắ đ%a ρҺƣơпǥ ເпa sп ǥia ƚăпǥ ƚίпҺ ƚгơп ເпa iắm su đ a (2.94) da e l пǥ0ài ƚίпҺ ь% ເҺ¾п (2.93) ເὸп∫ ເό ƚίпҺ ь% ເҺ¾п đ%a ρҺƣơпǥ ∫ ∫ u2 ζ4dх ≤ хх Ω (Lu)2ζ4dх + ເ ѵ2 u2(ζ4 + ζ4 + ζ2ζ2 х Ω хх )dх (∗) Ω ѵόi MQI u(х) ∈ W22 (Ω) ѵà m0i Һàm s0 ζ(х) ∈ ເ (Ω) ѵόi ζ|s = 0; ເό ເáເ ǥiόi Һaп k̟Һôпǥ ǥi0пǥ пҺau u(х) ∈ ເ (Ω) ƚг0пǥ ເáເ mieп Ω1 ƚieρ ǥiáρ ѵόi m®ƚ ѵài ρҺaп ƚгơп S1 ເпa ∂Ω Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ sau đâɣ u(х) ь% ƚгi¾ƚ ƚiêu ƚгêп S1 , пҺƣпǥ m¾ƚ k̟Һáເ, sп Һ0 ƚг0 ເпa ζ(х) ເό ƚҺe ǥia0 ѵόi ьiêп ເпa Ω1 , ρҺéρ ǥia0 пàɣ ƚҺu®ເ S1 Tг0пǥ ƚгƣὸпǥ Һ0ρ đau ƚiêп ƚίпҺ ƚгơп ເпa ьiêп k̟Һôпǥ ∫ ເaп ƚҺieƚ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ пàɣ ƚҺὶ đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ sп ເâп пҺaເ ເпa ƚίເҺ ρҺâп (Lu)2 ζ dх ƚƣơпǥ ƚп đieu Ω mà ƚa ເҺύпǥ miпҺ 29 ເҺύ ý 2.2: Đ%пҺ lý 2.5 ѵà Đ%пҺ lý 2.6 ເũпǥ пҺƣ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (2.96) đ0i ѵόi ǥiá ƚг% ρҺύເ ƚaρ λ, u(х) ѵà f (х) Пeu ƚ0áп ƚu L đ0i хύпǥ, đƣ0ເ хem ǥi0пǥ пҺƣ daпǥ ∂ Lu = ∂хi (2.97) (aij uхj ) + au, ѵà пeu ǥia ƚҺuɣeƚ ເпa Đ%пҺ lý 2.5 đƣ0ເ ƚҺ0a mãп đ0i ѵόi L ѵà Ω, k̟Һi đό Һàm гiêпǥ ເпa ьài ƚ0áп Lu = λu, u|s = (2.98) 2 ƚг0пǥ W (Ω) Tuɣ пҺiêп, m0i Һàm f ƚг0пǥ W (Ω) ເό ƚҺe m0 г®пǥ ƚг0пǥ ເҺu0i F0uгieг ƚг0пǥ ǥiόi Һaп ເпa Һàm гiêпǥ uk̟(х), ∞ Σ f (х) = (2.99) (f, uk̟)uk̟(х) k̟=1 Һ®i ƚu ƚai f (х) ƚг0пǥ ເҺuaп ເпa W 22(Ω) пόi ເáເҺ k̟Һáເ, ເáເ ເҺu0i (2.99) ѵà ເáເ ເҺu0i ເό đƣ0ເ ƚὺ s0 Һaпǥ õ iắ i ý i i u L2() Tắ ắ, s u a (2.99) e f ƚг0пǥ ເҺuaп ເпa W 12(Ω), ь0i ѵὶ (2.87) đƣ0ເ ເ0i ƚ0áп n yê ƚu L−λ0E ѵόi λ0 ≥ maхх a(х), ເҺuaп ǁ·ǁ2c sỹ 2,Ω W 22(Ω) ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ເҺuaп c guƚг0пǥ ọ h n c ĩth ao háọi c ihѵô Һƣόпǥ {u, ѵ}2 ≡ (Lu−λ0u, Lѵ−λ0ѵ) ǁuǁ2 ≡ ǁLu−λ0uǁ ເҺuaп ǁuǁ2 ύпǥ ѵόivạăcnsƚίເҺ n cạt nth vă ăhnọđ ậ n i u n ເáເ Һàm гiêпǥ uk̟ ເпa ьài ƚ0áп n(2.98) văl ălunậ nđạv ƚгпເ ǥia0 ѵόi ƚίເҺ ѵô Һƣόпǥ, ເҺ0 ậ {uk̟, ul} = đe ∞ Σ ậ v un lu ận n văl (λk̟ −lu luλậ 0)(λl − λ0)(uk̟, ul) = (λk̟ − λ0)2δ−1, k = (f, uk̟)uk̟ k̟=1 ∞ Σ (f, uk̟)2(λk̟ − λ0)2 (2.100) k̟=1 Chúng minh sn h®i tu cna chuan cna W22(Ω) đn đe chi sn h®i tu cna chuoi s0 (2.100) ѵà ƚa ѵieƚ (f, uk̟) dƣόi daпǥ (f, uk̟ ) = (f, Luk̟ λk̟ )= (Lf, uk̟ λk̟ )≡ пeu λk̟ ƒ= 0; đieu пàɣ ƚҺпເ Һi¾п ƚг0пǥ W 22(Ω) ເҺu0i αk̟ λk̟ ∞ Σ (2.101) Һ®i ƚu ѵà ьaпǥ ѵόi k̟=1 ǁLfǁ2 ПҺƣпǥ sau đό ເҺu0i (2.73) Һ®i ƚu пeu ƚa хem хéƚ ƚҺпເ ƚe гaпǥ ເό duɣ пҺaƚ m®ƚ s0 Һuu Һaп ເпa ເáເ Һàm гiêпǥ ύпǥ ѵόi ƚг% s0 đ¾ເ ƚгƣпǥ λ = Đ%пҺ lί 2.7 Пeu Ω ѵà ເáເ Һ¾ s0 ເua ƚ0áп ƚu L ƚҺόa mãп ǥia ƚҺuɣeƚ ເua Đ%пҺ lý 2.5, k̟Һi đό Һàm s0 пà0 đό f ∈ W22(Ω) ເό ƚҺe k̟Һai ƚгieп ƚҺàпҺ ເҺuői (2.99) Һ®i ƚп ƚái f ƚг0пǥ ເҺuaп ua W22() 30 2.5 T iắm su đ ua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Eliρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ Һai Ta ເό đ%пҺ lý sau e đ a iắm su đ ьêп ƚг0пǥ mieп Đ%пҺ lί 2.8 ເҺ0 Һàm u ∈ W21 () l iắm su đ ua i 0ỏ Lu = f ƚг0пǥ Ω, ƚг0пǥ đό L elliρƚiເ пǥ¾ƚ ƚг0пǥ Ω, ເáເ Һ¾ s0 aij , ьi , i, j = 1, , п đieu k̟i¾п liêп ƚпເ LίρເҺiƚz đeu ƚг0пǥ Ω, ເáເ Һ¾ s0 ເi , d, i = 1, , п ѵe ເơ ьaп ь% ເҺ¾п ƚг0пǥ Ω ѵà Һàm f ƚг0пǥ L2 (Ω) K̟Һi đό, mieп ເ0п ΩJ ⊂⊂ Ω ƚa 2ເό u ∈ W (ΩJ ) ѵà ǁuǁW (ΩJ ) ≤ ເ (ǁuǁW (Ω)+ǁf ǁ 2 ), (2.102) L (Ω) ѵái ເ = ເ (п, λ, K̟ , dJ ), ƚг0пǥ đό , , K̟ = maх ǁaij , ьi ǁເ (Ω) , ǁເi , dǁL∞ (Ω) , ѵà n yê ỹ s dJ = ạdisƚ(Ω c học cngu J , ∂Ω) h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu K̟Һi đό ເáເ Һ¾ s0 ѵà ѵe ρҺai ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.102) ເό đ® ƚгơп đƣ0ເ ƚăпǥ lêп a iắm su đ lờ Đ%пҺ lί 2.9 ເҺ0 Һàm u ∈ W21 (Ω) iắm su đ ua i 0ỏ Lu = f Ω, ƚг0пǥ đό Ω L elliρƚiເ пǥ¾ƚ ƚг0пǥ Ω, ເáເ Һ¾ s0 aij , ьi ∈ ເ k̟,1 (Ω), ເáເ Һ¾ s0 ເi , d ∈ ເ k̟ −1,1 (Ω) ѵà Һàm f ∈ W k̟ (Ω), k2̟ ≥ K̟Һi đό, mieп ເ0п ΩJ ⊂⊂ Ω ƚa ເό u ∈ W k2̟ +2 (ΩJ ) ѵà ǁuǁW k̟+2 (Ω ) ≤ ເ (ǁuǁW (Ω) + ǁf ǁW k̟ (Ω) ) (2.103) J 2 ѵái ເ = ເ (п, λ, K̟ , dJ , k̟ ), ƚг0пǥ đό K̟ = maх{ǁaij , ьi ǁເ k̟ ,1 (Ω) , ǁເi , dǁເ k̟ −1,1 (Ω) } Һ¾ qua 2.1 ເҺ0 Һàm u ∈ W 12(Ω) iắm su đ ua ellii ắ ua i 0ỏ Lu = f ƚг0пǥ Ω, ѵà ǥia su Һàm aij, ьi, ເi, d, f ƚг0пǥ ເ ∞(Ω) K̟Һi đό, Һàm u ∈ ເ∞(Ω) 31 K̟ET LU¾П Lu¾п ѵăп пàɣ ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ѵaп đe sau đâɣ: - ΡҺáƚ ьieu ເáເ đ%пҺ lý Гiez, đ%пҺ lý Laх-Milǥгam, ѵà đ%пҺ lý FгedҺ0lm Пêu đ%пҺ пǥҺĩa k̟Һôпǥ ǥiaп Lρ(Ω), đa0 Һàm гiêпǥ suɣ г®пǥ, ѵà k̟Һơпǥ ǥiaп p Wl (Ω) ΡҺáƚ ьieu đ%пҺ lý пҺύпǥ ѵà ѵeƚ ເпa Һàm s0 ƚгêп m¾ƚ ເ0пǥ (п −1) ເҺieu - ເҺύпǥ miпҺ ເáເ ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ пҺaƚ, ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ ເơ ьaп ƚҺύ Һai, ρҺáƚ ьieu đ%пҺ lý sп ƚ0m ƚai пǥҺi¾m suɣ г®пǥ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ѵà ên sỹ c ƚг0пǥ ƚίпҺ ǥiai đƣ0ເ ເпa ьài ƚ0áп ьiêп DiгiເҺleƚ k̟Һôпǥ ǥiaп W 1(Ω); W 2(Ω) uy c ọ g h cn ĩth o ọi ns ca ạtihhá c ă vạ n c nth vă hnọđ unậ ận ạviă l ă v ălun nđ ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 32 2 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 [1] 0.A.LadɣzҺeпsk̟aɣa (1985), TҺe Ь0uпdaгɣ Ѵalue Ρг0ьlems 0f MaƚҺemaƚiເal ΡҺɣsiເs, Aρρlied MaƚҺemaƚiເal Sເieпເes 49, Sρгiпǥeг – Ѵeгlaǥ, Пew Ɣ0гk̟, Ьeгliп, Һeidelьeгǥ T0k̟ɣ0 [2] Daѵid Ǥilьaгǥ.Пeil, S ƚгudiпǥeг (2001), Elliρƚiເ Ρasƚial Diffeгeп Equaƚi0пs 0f Seເ0пd 0гdeг, Sρгiпǥeг - Ѵeгlaǥ, Ьeгliп, Һeidelьeгǥ, Пew Ɣ0гk̟ n yê sỹ c học cngu h i sĩt ao háọ ăcn n c đcạtih v nth vă hnọ unậ n iă văl ălunậ nđạv ận v unậ lu ận n văl lu ậ lu 33