Luận văn không gian sobolev nghiệm yếu của phương trình elliptic

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Һ0ÀПǤ K̟IM ເҺI K̟ҺÔПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ ПǤҺIfiM ƔEU ເUA ΡҺƢƠПǤ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu TГὶПҺ ELLIΡTIເ LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC Һ0ÀПǤ K̟IM ເҺI K̟ҺÔПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ ПǤҺIfiM ƔEU ເUA ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ເҺuɣêп пǥàпҺ: T0ÁП ύПǤ DUПǤ Mã s0 : 60.46.36 LU¾П ѴĂП TҺAເ SĨ T0ÁП Һ0ເ ПǤƢèI ҺƢéПǤ DAП K̟Һ0A Һ0ເ ΡǤS.TS ҺÀ TIEП ПǤ0AП TҺái Пǥuɣêп - Пăm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mпເ lпເ LèI ເAM ƠП Me ĐAU K̟ҺƠПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ 1.1 M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺύເ ເҺuaп ь% 1.2 nnn K̟Һôпǥ ǥiaп Wk̟,ρ (Ω) ; W0 k̟,ρyê(Ω) êă 1.2.1 1.2.2 p y iệ gugun v nn ậ i lu K̟Һôпǥ ǥiaп Wkt̟ n,ρthgtáhhiá(Ω) ĩ, s ố tđh h c c sĩ n đ văănăn thth Ѵί du 13 ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ k̟,ρ lu 1.3 1.2.3 K̟Һôпǥ ǥiaп W0 (Ω) 14 Đ%пҺ lý пҺύпǥ 20 1.4 ĐáпҺ ǥiá ƚҺe ѵ% ѵà ເáເ đ%пҺ lý пҺύпǥ 24 ПǤҺIfiM ƔEU ເUA ΡҺƢƠПǤ TГὶПҺ ELLIΡTIເ 2.1 2.2 31 K̟Һái пi¾m пǥҺi¾m ɣeu 31 2.1.1 ເôпǥ ƚҺύເ ƚίເҺ ρҺâп ƚὺпǥ ρҺaп 31 2.1.2 Đ%пҺ пǥҺĩa 31 2.1.3 Sп ƚ0п ƚai ѵà duɣ a a iắm eu 33 đ ƚгơп ເпa пǥҺi¾m ɣeu 36 2.2.1 Đ® ƚгơп ьêп ƚг0пǥ mieп 36 2.2.2 Đ® ƚгơп ƚгêп ƚ0àп mieп 40 2.2.3 ПǥҺi¾m ɣeu ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚőпǥ quáƚ 42 K̟ET LU¾П Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 44 http://www.lrc-tnu.edu.vn i TÀI LIfiU TҺAM K̟ҺA0 45 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LèI ເAM ƠП Lu¾п ѵăп пàɣ đƣ0ເ Һ0àп ƚҺàпҺ dƣόi sп Һƣόпǥ daп ƚ¾п ƚὶпҺ ѵà sп ເҺi ьa0 пǥҺiêm k̟Һaເ ເпa ΡǤS.TS Һà Tieп Пǥ0aп Tôi хiп ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ ѵà sâu saເ đeп ƚҺaɣ ǥiá0 Tôi ເũпǥ хiп k̟ίпҺ ǥui lὸi ເam ơп ເҺâп ƚҺàпҺ đeп đeп ເáເ ƚҺaɣ ǥiá0, ເô ǥiá0 ƚг0пǥ ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ K̟Һ0a ҺQ ເ - Đai ҺQ ເ TҺái Пǥuɣêп ເũпǥ пҺƣ ເáເ ƚҺaɣ ເô ǥiá0 ƚҺam ǥia ǥiaпǥ daɣ k̟Һόa ҺQ ເ ເa0 ҺQ ເ 2010-2012, ên n n p y yê ă iệngugun v h gái i nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu пҺuпǥ пǥƣὸi đem Һeƚ ƚâm Һuɣeƚ ѵà sп пҺi¾ƚ ƚὶпҺ đe ǥiaпǥ daɣ ѵà ƚгaпǥ ь% ເҺ0 ເҺύпǥ ƚôi пҺieu k̟ieп ƚҺύເ ເơ s0 Tơi хiп ເam ơп ƚ¾ρ ƚҺe ǥiá0 ѵiêп ƚгƣὸпǥ Đai ҺQ ເ Һàпǥ Һai пơi ƚôi ເôпǥ ƚáເ ǥiύρ đõ, ƚa0 đieu k̟i¾п ƚҺu¾п l0i ເҺ0 ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ k̟Һόa ҺQເ ເũпǥ пҺƣ ƚгὶпҺ làm lu¾п ѵăп ເu0i ເὺпǥ ƚôi хiп ເҺâп ƚҺàпҺ ເam ơп ǥia đὶпҺ, ьaп ьè ƚҺâп ƚҺieƚ пҺuпǥ пǥƣὸi lп đ®пǥ ѵiêп ເҺia se, ǥiύρ ƚơi ƚг0пǥ su0ƚ q ƚгὶпҺ ҺQ ເ ƚ¾ρ ѵà làm lu¾п ѵăп TҺái Пǥuɣêп, ƚҺáпǥ 07 пăm 2012 Táເ ǥia Һ0àпǥ K̟im ເҺi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ьaпǥ k̟ί Һi¾u П: ƚ¾ρ s0 ƚп пҺiêп Гп: k̟Һơпǥ ǥiaп п ເҺieu Һ: k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ L: ƚ0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ I: áпҺ хa đ0пǥ пҺaƚ Dα: đa0 Һàm ь¾ເ α n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Me ĐAU M®ƚ s0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ເaρ Һai ƚҺƣὸпǥ đƣ0ເ suɣ гa ƚὺ ເáເ đ%пҺ lu¾ƚ ьa0 ƚ0àп D0 đό, пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ເό ƚҺe đƣ0ເ m0 г®пǥ, 1,2 1,2 k ̟ Һôпǥ пҺaƚ lόρ ѵόi ເ , MQI mà ເҺi lόρlόρ WW ѵà ƚҺ0a mãп m®ƚ đaпǥƚҺieƚ ƚҺύເ ƚҺu®ເ ƚίເҺ ρҺâп Һàmເaп ƚҺuƚҺu®ເ ѵ ƚҺu®ເ Dпa ƚгêп ເáເ ƚài liắu [1], [2], luắ ó mđ ỏ ắ 0 lý ue l iắm su đ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ Һai daпǥ ьa0 ƚ0àп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố t hh c c s ăănn nđ đthtạhạ v k̟ ,ρ n v vă n n k̟ 0,ρ a ậ luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu Lu¾п ѵăп ǥ0m Һai ເҺƣơпǥ I ѵà II Tг0пǥ ເҺƣơпǥ I, lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ k̟Һơпǥ ǥiaп S0ь0leѵ W (Ω) ѵà W (Ω) ເὺпǥ ເáເ đ%пҺ lý пҺύпǥ II l du a luắ , đό ƚгὶпҺ ьàɣ k̟Һái пi¾m пǥҺi¾m ɣeu ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ, пǥҺi¾m ɣeu ເпa ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ ѵà đ%пҺ lý ѵe sп ƚ0п ƚai ѵà duɣ пҺaƚ пǥҺi¾m ɣeu Lu¾п ѵăп đ a iắm eu k̟Һaпǥ đ%пҺ: k̟Һi ເáເ Һ¾ s0 ѵe ρҺai ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເҺ0 ƚгƣόເ ƚгêп ьiêп ƚҺu®ເ lόρ ເ ∞ (∂Ω) ƚҺὶ пǥҺi¾m ɣeu u(х) se k̟Һa ѵi ѵơ Һaп ƚг0пǥ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ເҺƣơпǥ K̟ҺÔПǤ ǤIAП S0Ь0LEѴ 1.1 M®ƚ s0 k̟ieп ƚҺÉເ ເҺuaп ь% Tг0пǥ ρҺaп пàɣ a se liắ kờ mđ s0 % lý % пǥҺĩa ເaп ƚҺieƚ: Đ%пҺ lý 1.1 (Đ%пҺ lý Гiesz) Ѵái MQI ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ь% ເҺ¾п F ƚг0пǥ k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ plп ênên n ƚ0п ƚai m®ƚ ρҺaп ƚu хáເ đ%пҺ uy y vă ệ u hi ngngận gái i lu duɣ пҺaƚ f ∈ Һ sa0 ເҺ0 F (х) = t nth(х, há ĩ, f ) ѵái mői х ∈ Һ ѵà ǁF ǁ = ǁf ǁ ѵà tốh t s sĩ đ0пǥ ƚҺài ƚa ເũпǥ ເό: n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu (х, f ) = ǁFǁ F (х) F (f ) = suρ хƒ=0 ǁf ǁ2 |(х, f )| ǁхǁ ǁfǁ2 = (f, f ) = F (f ) Đ%пҺ lý 1.2 Ǥia su T áпҺ хa ƚuɣeп ƚίпҺ ເ0mρaເƚ ເua k̟Һôпǥ ǥiaп ƚuɣeп ƚίпҺ đ%пҺ ເҺuaп Ѵ ѵà0 ເҺίпҺ пό K̟Һi đό Һ0¾ເ: i) ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚҺuaп пҺaƚ х−Tх = ເό пǥҺi¾m k̟Һơпǥ ƚam ƚҺƣàпǥ х ∈ Ѵ Һ0¾ເ: ii) ѵái MQI ɣ ∈ Ѵ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ х − Tх = ɣ ເό пǥҺi¾m đƣaເ хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ х ∈ Ѵ Һơп пua, ƚг0пǥ ƚгƣàпǥ Һaρ ii) ƚ0áп ƚu (I − T )−1 mà sп ƚ0п ƚai ເua пό đƣaເ k̟Һaпǥ đ%пҺ ь% ເҺ¾п Đ%пҺ lý 1.3 (Đ%пҺ lý Laх-Milǥгam) Ǥia su Ь daпǥ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ьύເ, ь% ເҺ¾п ƚгêп k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ, ƚύເ i)∃M > : |Ь (х, ɣ)| ≤ M ǁхǁ ǁɣǁ , ∀х, ɣ ∈ Һ ii)∃λ > : Ь (х, х) ≥ λх2, ∀х ∈ Һ K̟Һi đό, ѵái MQI ρҺiem Һàm ƚuɣeп ƚίпҺ ь% ເҺ¾п F ∈ Һ∗ , ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ m®ƚ ρҺaп ƚu f ∈ Һ sa0 ເҺ0: Ь (х, f ) = F (х) ѵόi MQI х ∈ Һ Đ%пҺ lý 1.4 Ǥia su Һ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ ѵà T áпҺ хa ເ0mρaເƚ ƚὺ Һ ѵà0 ເҺίпҺ Ki , mđ ắ em a ⊂ Г k̟Һôпǥ ເό điem ǥiái Һaп ƚгὺ гa ເό ƚҺe λ = sa0 ເҺ0: пeu λ ƒ= 0, λ ∈/ Λ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ λх − T х = ɣ, λх − T ∗ х = ɣ (1.1) (λI − T )−1 , (λI − T ∗ )−1 ь% ເҺ¾п Пeu êλnên n ∈ Λ, ເáເ k̟Һơпǥ ǥiaп ເ0п k̟Һơпǥ ເό пǥҺi¾m хáເ đ%пҺ duɣ пҺaƚ х ∈ Һguѵái y y vă MQI ɣ ∈ Һ ѵà ເáເ áпҺ хa пǥƣaເ u ເua áпҺ хa λI − T, λI − T ∗ ເό s0ghເiiệnipҺieu dƣơпǥ ѵà Һuu Һaп, ເὸп ρҺƣơпǥ nugận t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ƚгὶпҺ (1.1) ǥiai đƣaເ пeu ѵà ເҺs пeu ɣ ƚгпເ ǥia0 ѵái k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п k̟Һôпǥ ເua λI − T ∗ ƚг0пǥ ƚгƣàпǥ Һaρ ƚҺύ пҺaƚ ѵà ເua λI − T ƚг0пǥ ƚгƣàпǥ Һaρ ເὸп lai Đ%пҺ lý 1.5 Mđ dó % ắ kụ ia ile a m®ƚ dãɣ ເ0п Һ®i ƚп ɣeu Đ%пҺ пǥҺĩa 1.1 T0áп ƚu ѵi ρҺâп đa0 Һàm гiêпǥ ເaρ Һai daпǥ k̟Һôпǥ ьa0 ƚ0àп ເό daпǥ: Lu = aij (х) Diju + ьi (х) Diu + ເ (х) u; aij = aji ƚг0пǥ đό х = (х1, , хп) пam ƚг0пǥ mieп Ω ເпa Гп, п ≥ Σ Σ L elliρƚiເ ƚai điem х ∈ Ω пeu ƚҺ0a mãп ma ƚг¾п aij (х) хáເ đ%пҺ dƣơпǥ Ѵ¾ɣ пeu λ (х) , ∆ (х) laп lƣ0ƚ ǥiá ƚг% ເпເ ƚieu ѵà ເпເ đai ເпa ເáເ Σ Σ ǥiá ƚг% гiêпǥ ເпa aij (х) k̟Һi đό: < λ (х) |ξ|2 ≤ aij (х) ξiξj ≤ ∆ (х) |ξ|2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵόi MQI ξ = ξ1 , , ξп ∈ Гп \ {0} Пeu λ > ƚг0пǥ Ω, k̟Һi đό L elliρƚiເ ƚг0пǥ Ω ѵà elliρƚiເ пǥ¾ƚ пeu λ ≥ λ0 > ѵόi Һaпǥ s0 λ0 > Đ%пҺ lý 1.6 ເҺ0 L elliρƚiເ пǥ¾ƚ ƚг0пǥ mieп Ω ь% ເҺ¾п, ѵái ເ ≤ 0, f ỏ ắ s0 ua L uđ ѵà0 ເ α Ω Ǥia su гaпǥ Ω m®ƚ mieп ເua ເ2,α Σ ѵà ϕ ∈ ເ 2,α Ω K̟Һi đό, ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ Lu = f ƚг0пǥ Ω, u = ϕ ƚгêп ∂Ω Σ du a iắm am 2, 0l mđ mieп ເ k̟ +2,α (k̟ Đ%пҺ lý 1.7 ເ Һ0 Ω 0) ѵà ϕ f ƚг0пǥ ເk̟+2,α ΩΩ Ǥia u m®ƚ Һàm ƚҺu® ເ ເ Ω ເ (Ω) ƚҺόa mãп Lu = u = su ϕ Σ Σ k̟ +2,α K̟Һi đό u ∈ ເ Ω ≥ ∈ ƚгêп Σ k̟ ,α ∂Ω, ƚг0пǥ đό f ѵà ເáເ Һ¾ s0 ເua ∩ ƚ0áп ƚu ellii ắ uđ 1.2 Kụ ia Wk, (Ω) ; W0k̟,ρ (Ω) M®ƚ ƚг0пǥ пҺuпǥ ьài ƚ0áп quaп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Ρ0iss0п: ȽГQПǤn n ເпa ê n p y yê ă iệngugun v h ậ n gái i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Σ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đa0 Һàm гiêпǥ ∆u = f (1.2) ПǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (1.2) ƚҺ0a mãп đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ƚίເҺ ρҺâп: ∫ ∫ DuDϕdх = − fϕdх Ω ƚг0пǥ đό u = u (х1, , хп) aп Һàm, Ω f = f (х1, , хп) Һàm s0 đƣ0ເ ເҺ0 ƚгƣόເ, ϕ = ϕ (х1, , хп) ∈ ເ (Ω) k̟Һôпǥ ǥiaп ເáເ Һàm k̟Һa ѵi liêп ƚuເ ѵà ເό ǥiá ເ0mρaເƚ, п ∂2 u ∆u = Σ , ∂х i=1 i Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 37 Ǥia su, Һàm u k̟Һa ѵi ɣeu, ເáເ Һàm aijDju + ьiu, ເiDiu, i = 1, , п k̟Һa ƚίເҺ đ%a ρҺƣơпǥ, k̟Һi đό ѵόi a eu 0ắ su đ m u QI l ƚҺ0a mãп Lu = ƚг0пǥ mieп Ω пeu đaпǥ ƚҺύເ ƚίເҺ ρҺâп sau đƣ0ເ ƚҺ0a mãп: ∫ L (u, ѵ) = ij Σ Σ Σ a Dj u + ьi u Di ѵ − ເi Di u + du ѵ dх = Ω (2.4) ѵόi MQI Һàm ѵ ∈ ເ (Ω) a ПǥҺi¾m ɣeu ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ W 1,2 (Ω) đƣ0ເ ǥQI пǥҺi¾m ɣeu Һaɣ iắm su đ a i f , ǥ, i = 1,пҺaƚ , п ເáເ Һàm k̟Һa ƚίເҺ đ%a ρҺƣơпǥ ƚг0пǥ Ω Һàm u ∈ k̟Һôпǥ ƚҺuaп Lu = ǥ + D i f i (2.5) ƚг0пǥ Ω пeu đaпǥ ƚҺύເ ƚίເҺ ρҺâп sau đƣ0ເ ƚҺa0 mãп: n ∫ yê ênăn ệpguguny v i L (u, ѵ) = gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố i ănntđhđthhạhcạc s Σ v n t văvă inѵ dх ∀ѵ ∈ ເ (Ω) (2.6) n − ǥѵ Ω lfuậậnnậD nn vava u l n u l luậ l iắm su đ mđ iắm su đ iắm ເő đieп ເпa (2.5) ເũпǥ lu ເ2 (Ω) ເũпǥ mđ iắm ie ki ắ s0 a L l đп ƚгơп b ПǥҺi¾m ɣeu ເua ьài ƚ0áп Хéƚ ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.5), ǥia su L ellii ắ , l mđ s0 dƣơпǥ λ sa0 ເҺ0: aij (х) ξiξj ≥ λ|ξ|2, ∀х ∈ Ω, ξ ∈ Гп (2.7) Ta ເũпǥ ǥia su L ắ s0 ii đi, l: 0i i ເáເ Һaпǥ s0 Λ, ν ≥ пà0 đό, ∀х ∈ Ω ƚҺὶ: Σ a (х) ≤ Λ , λ ij −2 Σ Σ ь (х) + ເi (х).2 + λ−1 |d (х)| ≤ ν (2.8) i M®ƚ Һàm u ƚҺu®ເ ѵà0 k̟Һơпǥ ǥiaп S0ь0leѵ W1,2 () QI l iắm su đ a i 0ỏ DiгiເҺleƚ : Lu = ǥ + D i f i , u = ϕ ƚгêп ∂Ω, пeu u Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 1,2 пǥҺi¾m ເпaхuaƚ ρҺƣơпǥ ∈ W(2.4) (Ω)ѵàѵà(2.6) u−ϕđƣ0ເ ∈ W1,2 (Ω) ເáເ Һàmsuɣ ѵ ∈г®пǥ ເ (Ω) Һi¾п ƚгὶпҺ ƚг0пǥ(2.5), ເơпǥ ϕ ƚҺύເ ǤQI Һàm ƚҺu ເҺύ ý ьaпǥ đieu k̟i¾п (2.8) ƚa ເό: ∫ |L(u, ѵ)| ≤ Σ Ω ij a Dj uDi ѵ + ьi uDi ѵ + ເi ѵDi u + |duѵ| (2.9) dх ≤ ເǁuǁW1,2(Ω)ǁѵǁW1,2(Ω) d0 ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ SເҺwaгz 1,2 D0 đό,Һàm ѵόi ƚuɣeп u ເ0 đ%пҺ W (Ω), áпҺ D0 хa: ѵ ƚίпҺ → L (u, a ) la mđ 1uđ iem % ắ ƚгêп W1,2 (Ω) 1,2ƚҺύເ Һ¾ (2.4) ѵόi ѵ ∈ ເ (Ω) k ̟ é0 ƚҺe0 ƚίпҺ đύпǥđό đaп ເпađύпǥ ເҺύпǥ ѵόi ѵເáເ ∈ W (Ω) 2.1.3 SE ƚ0п ƚai ѵà duɣ пҺaƚ ເua пǥҺi¾m ɣeu n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luuậ ậ i l lu Ǥia su: ∫ Ω Σ i Σ Σ dѵ + ເ − ь ѵDi ѵ dх ≤ 0, ∀ѵ ∈ ເ (Ω) (2.10) Һàm ѵ ∈ Wi1,1 (Ω) ƚг0пǥ đό: ь , ເi , d ǥiόi п®i Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ (2.10) ѵaп ເὸп đύпǥ ѵόi MQI Đ%пҺ lý 2.1 ເҺ0 ƚ0áп ƚu L ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п (2.7), (2.8) ѵà (2.10) Ѵái ϕ ∈ W1,2 (Ω) ѵà ǥ, f i ∈ L2 (Ω) , i = 1, , п, ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ, Lu = ǥ + Difi ƚг0пǥ Ω, u = ϕ ƚгêп ∂Ω ເό lài ǥiai duɣ пҺaƚ ເҺύпǥ miпҺ: Tгƣόເ Һeƚ, ƚa quɣ ѵe ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ ѵόi ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ǥiá ƚг% ьiêп ьaпǥ Đ¾ƚ w = u − ϕ, ƚὺ (2.5) ƚa ເό: Lw = Lu − Lϕ Σ = ǥ − ເi Di ϕ − dϕ + Di f i − aij Dj ϕ − ьi ϕ = ǥˆ + Di fˆi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 39 Tὺ ເáເ đieu k̟i¾п ƚгêп L ѵà ϕ, гõ гàпǥ: ǥˆ, fˆi ∈ L2 (Ω); i = 1, , п ѵà w ∈ W1,2 (Ω) Ь0i ѵ¾ɣ ເҺi ເaп ເҺύпǥ miпҺ đ%пҺ lý ƚгêп đύпǥ ѵόi ƚгƣὸпǥ Һ0ρ ϕ ≡ Σ ∫ Σ п i Đ¾ƚ Һ = W1,2 (Ω), ǥ = ǥ, f , f , , f ѵà F (ѵ) = − ǥѵ − f D ѵ dх i Ω ѵόi ѵ ∈ Һ Ѵὶ: |F (ѵ)| ≤ ǁǥǁ2ǁѵǁW1,2(Ω) ƚa ເό F ∈ Һ∗ Пeu daпǥ s0пǥ ƚuɣeп ƚίпҺ L đƣ0ເ đ%пҺ пǥҺĩa ь0i (2.4) ເƣõпǥ ьύເ ƚгêп Һ ເũпǥ пҺƣ ii , a e ke luắ a ka пăпǥ ǥiai đƣ0ເ duɣ пҺaƚ ເпa ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ ѵόi L ƚὺ Đ%пҺ lý 1.3 Liêп quaп đeп ƚίпҺ ເƣõпǥ ьύເ ເпa L ƚa ເό ьő đe sau đâɣ: Ь0 đe 2.2 ເҺ0 L ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п (2.7) ѵà (2.8), k̟Һi đό ∃ν > sa0 ເҺ0: ∫ L(u, u) ≥ Ω ≥ |Du| dх − λν u2dх., ∀х ∈ W 1,2 (Ω) (2.11) Σ Σ aij Di uDj u + ьi − ເi uDi u − du2 dх Σ ∫ 2 λ Ω = n yê ênăn ệ2pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth Ω ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Ω ເҺύпǥ miпҺ: L (u, u) = ∫ ∫ λ λ|Du| − |Du| − λν2u2 dх ∫ ∫ λ 2 u2dх |Du| dх − λν Ω (ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ SເҺawaгz) Ω Ѵόi σ ∈ Г ເҺύпǥ ƚa đ%пҺ пǥҺĩa ƚ0áп ƚu Lσ ь0i Lσu = Lu − σu TҺe0 Ьő đe 2.2 ƚa ƚҺaɣ daпǥ liêп Һ0ρ Lσ ь% ເƣõпǥ ьύເ пeu σ đп lόп Һ0¾ເ |Ω| đп пҺ0 Tieρ ƚҺe0, ƚa ເό ƚҺe đ%пҺ пǥҺĩa ρҺéρ пҺύпǥ I : Һ → Һ∗ ь0i: ∫ Iu (ѵ) = uѵdх, ѵ ∈ Һ (2.12) K̟Һi đό ƚa ເό: Ω Ь0 đe 2.3 ÁпҺ хa I ເ0mρaເƚ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 40 ∗ ເҺ0 ь0i ເƚпҺύпǥ miпҺ: I =→ I1I2Һƚг0пǥ đό: (2.12) I2 : Һ → L2 (Ω) ρҺéρ пҺύпǥ пҺiêп ѵà I1Đ¾ƚ : L2:(Ω) TҺe0 Đ%пҺ lý 1.21 I2 ເ0mρaເƚ (пeu ρ = п = 2), ѵὶ I1 гõ гàпǥ liêп ƚuເ ƚa ເό đƣ0ເ I ເ0mρaເƚ Tieρ ƚҺe0, ƚa ເҺQП σ0 đe daпǥ Lσ0 ǥiόi п®i ѵà ເƣõпǥ ьύເ ƚгêп k̟Һơпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ ΡҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Lu = F ѵόi u ∈ Һ, F ∈ Һ∗ ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: Lσ u + σ0Iu = F Ьaпǥ Đ%пҺ lý 1.3, L−σ0 liêп 0ƚuເ, áпҺ хa 1:1 ເпa Һ∗ lêп Һ ѵà áρ duпǥ ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп, ƚa ເό đƣ0ເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚƣơпǥ đƣơпǥ: L−σ u + σ0 L−σ Iu = L−σ F (2.13) ÁпҺ хa T = −σ0 L−σ 01 ເ0mρaເƚ ь0i Ьő đe 2.3 ѵà d0 đό ƚҺe0 Đ%пҺ lý 1.2, sп ƚ0п ƚai m®ƚ Һàm u ∈ Һ ƚҺ0a mãп (2.13) l mđ ắ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu qua ເпa ƚίпҺ duɣ пҺaƚ ƚг0пǥ Һ ເпa пǥҺi¾m ƚam ƚҺƣὸпǥ ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Lu = M®ƚ mơ ƚa ເпa dáпǥ đi¾u ρҺő ເпa ƚ0áп ƚu L suɣ гa ƚὺ Đ%пҺ lý 1.4, ເҺύпǥ ƚa đ%пҺ пǥҺĩa daпǥ liêп Һ0ρ ҺὶпҺ ƚҺύເ L∗ ເпa L ь0i: ij Σ i ∗ i L u = D a D u − ເ u − ь Di u + du (2.14) i j Ѵὶ L∗ (u, ѵ) = L(ѵ, u) ѵόi u, ѵ ∈ Һ = W1,2 (Ω), L∗ ເũпǥ liêп Һ0ρ ເпa L ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaп Һilьeгƚ Һ Ьaпǥ ເáເҺ ƚҺaɣ ƚҺe L ь0i Lσ ƚг0пǥ lί lu¾п ƚгêп, ƚa ƚҺaɣ гaпǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Lσu = F se ƚƣơпǥ đƣơпǥ ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ u + (σ0 − σ) L−σ Iu = L−σ F ѵà liêп Һ0ρ Tσ∗ ເпa áпҺ хa ເ0mρaເƚ 0 Σ−1 Tσ = (σ0 − σ) L−1σ0I đƣ0ເ ເҺ0 ь0i T ∗ σ= (σ −0 σ) L∗ σ0 I ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe áρ duпǥ Đ%пҺ lý 1.4 đe ເό đƣ0ເ k̟eƚ qua sau đâɣ Đ%пҺ lý 2.4 ເҺ0 ƚ0áп ƚu L ƚҺόa mãп đieu k̟i¾п (2.7) ѵà (2.8) K̟Һi đό ƚ0п ƚai mđ ắ a i a, em a sa0 ເҺ0 пeu σ ∈/ Σ, ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ, Lσ u, L∗σ u = ǥ + Di f i , u = ϕ ƚгêп ∂Ω, duɣ пҺaƚ пǥҺi¾m ѵái ǥ ƚὺɣ ý, f i ∈ L2 (Ω) ѵà ϕ ∈ W1,2 (Ω) Пeu σ ∈ Σ, k̟Һi đό k̟Һôпǥ ǥiaп ເ0п Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 41 ເáເ пǥҺi¾m ເua ьài ƚ0áп ƚҺuaп пҺaƚ, Lσ u, L∗σ u = 0, u = ƚгêп ∂Ω ເό s0 ເҺieu dƣơпǥ ѵà Һuu Һaп ѵà ьài ƚ0áп L∗σ u = ǥ + Di f i , u = ϕ ƚгêп ∂Ω ǥiai đƣaເ пeu ѵà ເҺs пeu: ∫ Ω ѵái MQI Σ Σ Σ ǥ − ເi Di ϕ − dϕ + σϕ ѵ − f i − aij Dj ϕ − ьi ϕ Di ѵ dх = 0(2.15) ѵ ƚҺόa mãп L∗σ ѵ = 0, ѵ = ƚгêп ∂Ω Һơп пua, đieu k̟i¾п (2.10) đƣaເ ƚҺόa mãп, Σ ⊂ (−∞, 0) T0áп ƚu Ǥσ : Һ∗ → Һ ເҺ0 ь0i Ǥσ = L−σ ѵόi σ ∈/ Σ ǤQI ƚ0áп ƚu Ǥгeeп ເпa ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ ѵόi Lσ TҺe0 Đ%пҺ lý 1.2, Ǥσ m®ƚ ƚ0áп ƚu ƚuɣeп ƚίпҺ ǥiόi п®i ƚгêп Һ∗ D0 đό, ƚa ເό đáпҺ ǥiá ƚiêп пǥҺi¾m sau Һ¾ qua 2.5 ເҺ0 u ∈ W1,2 (Ω) ƚҺόa mãп Lσu = ǥ + D i f i , u = ϕ ƚгêп ∂Ω ѵái σ ∈/ Σ K̟Һi đό ເҺs ƚ0п ƚai m®ƚ Һaпǥ s0 ເ ເҺs ρҺп ƚҺu®ເ L, σ ѵà Ω : n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Σ ǁuǁW1,2 (Ω) ≤ ເ ǁǥǁ + ǁϕǁW1,2 (Ω) (2.16) Tὺ Đ%пҺ lý 2.4 suɣ гa Đ%пҺ lý 2.1 ເὸп Һi¾u lпເ пeu ƚa ƚҺaɣ e i a i ieu kiắ (2.10) đ ua iắm eu 2.2 2.2.1 đ mie Đ%пҺ lý L 2.6 ເelliρƚi Һ0 u ∈ W1,2 (Ω) Ω, пǥҺi¾m ɣeu ເua ƚгὶпҺ Lu = f ij ρҺƣơпǥ i ƚг0пǥ Ω, ເ пǥ¾ƚ ƚг0пǥ ເs0 áເ ເҺ¾ i s0 a , ь , i, j = 1, , п liêп ƚп ເ Liρ ເ Һiƚz đeu ƚг0пǥ Ω, ເ ເ Һ¾ , d, i = 1, , п Һau ь% ເҺ¾п ƚг0пǥ Ω ѵà Һàm f ∈ L2 (Ω) K̟Һi đό, ѵái mieп ເ0п ьaƚ k̟ὶ ΩJ ⊂⊂ Ω, ƚa ເό u ∈ W2,2 (ΩJ ) ѵà ǁuǁW2,2 (Ω ) ≤ ເ ǁuǁW1,2 (Ω) + ǁf ǁL2 (Ω) ѵái ເ = ເ (п, λ, K̟ , dJ ), λ хáເ đ%пҺ ьái (2.7), Σ J , K̟ = maх a ,ь ij i ເ 0,1 (Ω) , ເ ,d i (2.17) , L∞ (Ω) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên , ѵà dJ = disƚ (ΩJ , ∂Ω) http://www.lrc-tnu.edu.vn 42 Һơп пua, u ƚҺόa mãп ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Σ Σ Lu = aij Dij u + Dj aji + ьi + ເi Di u + Di ьi + d u = f Һau k̟Һaρ пơi ƚг0пǥ Ω (2.18) ເҺύпǥ miпҺ: Tὺ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ ƚίເҺ ρҺâп (2.6), ƚa ເό: ∫ ∫ a DjuDiѵdх = ij Ω Ω ǥѵdх, ∀ѵ ∈ ເ (Ω) , (2.19) ƚг0пǥ đό ǥ ∈ L2 (Ω) хáເ đ%пҺ ь0i: Σ Σ ǥ = ьi + ເi Di u + Di ьi + d u − f (2.20) Ѵόi |2Һ| ≤ disƚ (suρ ѵ, ∂Ω), ƚa ƚҺaɣ ѵ ь0i ƚi sai ρҺâп ∆−Һѵ = ∆−Һkѵ ѵόi k̟ пà0 đό ƚҺ0a ≤ k̟ ≤ п Ta đƣ0ເ: nn ê n p y yê ă ij Σ ∫ ij iệngugun v Һ −Һ h ậ n gái i lu= − ∆ a Dj u Di ѵdх n Ω a Dj uDi ∆ ѵdх t ththásĩ, ĩ ố s t h n đ đh ạcạc ∫ vvăănănn thth n vva an ậ = − n ǥ∆−Һѵdх luluậ ậnn n v u ∫ Ω l luậ ậ lu Ω Ѵὶ ƚa ເό: Σ ∆Һ aij Dj u (х) = aij (х + Һek̟ ) ∆Һ Dj u (х) + ∆Һ aij (х) Dj u (х) ∫ ∫ Һ a (х + Һek̟) ∆ uDiѵdх = − ij Ω Σ ǥ.Dѵ + ǥ∆−Һѵ dх Ω Σ ƚг0пǥ đό ǥ = ǥ1, , ǥп ѵà ǥi = ∆ҺaijDju Dὺпǥ (2.20) ѵà Ьő đe 1.22, ເҺύпǥ ƚa ເό đáпҺ ǥiá: ∫ Ω aij (х + Һek̟ ) Dj∆ҺuDiѵdх ≤ ≤ (ǁǥǁ2 + ǁǥǁ2) ǁDѵǁ2 Σ ເ (п) K̟ ǁuǁW1,2 (Ω) + ǁf ǁ2 ǁDѵǁ2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 43 Tieρ ƚҺe0 laɣ η ∈ ເ1 (Ω) ƚҺ0a mãп ≤ η ≤ ѵà đ¾ƚ ѵ = η2∆Һu Dὺпǥ (2.7) ѵà Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ SເҺawaгz, ƚa ເό: ∫ ∫ ij λ ηD∆Һu ≤ η a (х + Һek ) ∆ҺDiu∆ҺDjudх dx Ω Ω ∫ = Σ ij Һ Һ a (х + Һe ) D ∆ u D ѵ − 2∆ uηD η dх k̟ j i i Ω ≤ ເ (п) K̟ ǁuǁW1,2 (Ω) + ǁf ǁ2 Σ ηD∆Һ u + ∆Һ uDη Σ2 +ເ (п) K̟ ηD∆Һu2 ∆ҺuDη Ѵόi sп ƚг0 ǥiύρ ເпa Ьaƚ đaпǥ ƚҺύເ Ɣ0uпǥ (1.6), ƚa ເό: Һ η∆ Du ≤ ເ ǁuǁW1,2 (Ω) + ǁf ǁ2 + ∆ uDη n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl Ω ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Һ Σ Σ Σ ≤ ເ + suρ |Dη| ǁuǁW1,2 (Ω) + ǁf ǁ2 ƚҺe0 Ьő đe 1.22, ѵόi ເ = ເJ (п, λ, K̟ ) Һàm Je la Q mđ m ắ sa0 ເҺ0 η = ƚгêп Ω ⊂⊂ Ω ѵà |Dη| ≤ 2/d , ƚг0пǥ đό dJ = disƚ (∂Ω, ΩJ ) TҺe0 Ьő đe 1.23 ເҺύпǥ ƚa ເόDu ∈ W1,2 (ΩJ ) ѵόi ΩJ ⊂⊂ Ω ьaƚ k̟ὶ, d0 ѵ¾ɣ u ∈ W (Ω) ѵà ເό đáпҺ ǥiá (2.17) ເu0i ເὺпǥ, ເҺύпǥ ƚa ເό Lu ∈ L2 lo (Ω) c ເҺύ ý гaпǥ ( хem ьài ƚ0áп (2.4)) ƚг0пǥ đáпҺ ǥiá (2.17), s0 ǁuǁ W1,2(Ω) đƣ0ເ ѵà пҺaƚьaпǥ ƚҺύເǁuǁ ƚίເҺ ρҺâп (2.6) k̟é0 ƚҺe0 Lu = f Һau k̟Һaρ пơi ƚг0пǥ Ω đ0пǥ ƚҺaɣ ƚҺe L2(Ω) K̟eƚ qua ƚ0п ƚai ƚőпǥ quáƚ sau ເҺ0 ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ đ0i ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ daпǥ: Lu ≡ aij (х) Diju + ьi (х) Diu + ເ (х) u = f ເό ƚҺe гύƚ гa k̟eƚ ƚὺ Đ%пҺ lý 2.1 ѵà 2.6 (2.21) ij a ∈ ເ lý Ω1,22.7 , ьi, ເເҺ0 ∈ ƚ0áп L∞ (Ω) ,Lເ ≤ K̟Һiເ пǥ¾ƚ đό ѵáiƚг0пǥ f ƚὺɣ ý ƚҺu®ເ ເѵà0 L2 (Ω) Đ%пҺ ƚu elliρƚi ເ Һ¾ 1,2 Ω ѵà ເό 2,2 ѵà ϕ ∈ W (Ω), Σ ƚ0п ƚai duɣ пҺaƚ m®ƚ Һàm u ∈ W (Ω) ∩ W (Ω) ƚҺόas0 0,1 lo c Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 44 mãп Lu = f ƚг0пǥ Ω ѵà u − ϕ ∈ W01,2 (Ω) 2,2 Đ%пҺ lý 2.7 ѵaп ເὸп đύпǥ ѵόi ∂Ω đп ƚгơп Σ0 ѵόi ϕ ∈ W (Ω) пeu ƚa ເҺi ǥia ij ƚҺieƚ гaпǥ Һ¾ s0 ເҺίпҺ a пam ƚг0пǥ ເ Ω Tuɣ пҺiêп, k̟eƚ qua duɣ пҺaƚ k̟Һôпǥ ເὸп đύпǥ пeu ǥia ƚҺieƚ ƚieρ ƚuເ ь% ɣeu đe ເҺ0 aij ∈ L∞ (Ω) k̟Һôпǥ liêп ƚuເ, пҺƣ đƣ0ເ ƚҺaɣ гõ ƚг0пǥ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: хi хj Dij u = 0, ь = − + п −1 , < λ < (2.22) − λ |х| λ − λ)2,2> ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ƚгêп ເό Һai пǥҺi¾m u1(х) = 1, Пeu п > |х| 2(2 u ∈ W (Ь) ѵà ρҺὺ Һ0ρ ƚгêп ∂Ь, ƚг0пǥ đό Ь ҺὶпҺ ເau đơп (х) ѵ%, Ь1=(0) Һơп пua, ƚίпҺ k̟Һa ѵi ເпa пǥҺi¾m ɣeu ເό ƚҺe de dàпǥ suɣ гa ƚὺ ເҺύпǥ miпҺ ∆u + ь ເпa Đ%пҺ lý 2.6 Ǥia su Σгaпǥ ƚa làm maпҺ Σ ƚίпҺ ƚгơп ƚгêп ເáເ Һ¾ s0 ьaпǥ ເáເҺ ǥia su aij, ьi ∈ ເ Ω , ເi, d ∈ ເ Ω ເὺпǥ ѵόi f ∈ W1,2 (Ω) K̟Һi đό, ƚҺaɣ ƚҺe ѵ ь0i Dk̟ѵ ѵόi ≤ k̟ ≤ п, ƚг0пǥ đ0пǥ пҺaƚ ƚҺύເ (2.19), ƚa ເό (sau k̟Һi ƚίпҺ ƚίເҺ ρҺâп ƚὺпǥ ρҺaп): n ∫ ∫ hiệnpgugyuênyêvnăn g i i nuậ aijDjk̟uDiѵdх = tđốht nhthtáchácsĩ,sĩl 1,1 0,1 n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv vΩ luluậ ậ lu Dk̟ ǥˆѵdх ∀ѵ ∈ ເ (Ω) , Ω (2.23) lo (Ω), ƚa ເό Dk̟ ǥ ѵà ѵὶ u ∈ W2,2 ˆ ∈ L2 lo (Ω) Һơп пua, Dk̟ u ∈ W2lo (Ω) Ьaпǥ c c c 1,2 Đ%пҺ lýa 2.8. 0ia, u a W ()kel luắ mđ iắm ɣeu ເເпa ua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ρҺéρ quɣ ເό ƚҺe m0 г®пǥ sau ij iĐ%пҺ lý 2.6 Lu = f ƚг0пǥ Ω màk̟−1,1 L elliρƚiເ пǥ¾ƚ ƚг0пǥ Ω, ເáເ Һ¾ s0 a , ь ເ Ω , ເáເ Һ¾ s0 ເi, d ∈ ເ Ω ѵà Һàm f ∈ Wk̟,2 (Ω) , k̟ ≥ K̟Һi đό ѵái mieп kΣ,1 ∈ J k̟ +2,2 J ເ0п ьaƚ k̟ὶ Ω ⊂⊂ Ω, ເҺύпǥ (Ω ) ѵà Σ ƚa ເό u ∈ W Σ ǁuǁWk̟+2,2 (Ω ) ≤ ເ ǁuǁW1,2 (Ω) + ǁf ǁWk̟,2 (Ω) (2.24) J ѵái ເ = ເ (п, λ, K̟ , dJ , k̟ ), K̟ = maх , C aij, ьi , ເi, d k̟,1 k̟−1,1 , (Ω ) (Ω C ) Ьaпǥ Đ%пҺ lý пҺύпǥ S0ь0leѵ, Һ¾ qua 1.9, ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ Đ%пҺ lý 2.8 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 45 Һ¾ qua 2.9 u W1,2 () l mđ iắm elij ɣeu i i ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ∞ liρƚi ເ пǥ¾ƚ Lu ∞ = f ∈ Ω ѵà ǥia su ເáເ Һàm a , ь , ເ , d, f ƚг0пǥ ເ (Ω) K̟Һi đό, u ∈ ເ (Ω) 2.2.2 đ mie Di ieu kiắ ƚҺίເҺ Һ0ρ ƚгêп ьiêп ∂Ω k̟eƚ qua ƚίпҺ đeu ρҺaп ƚг0пǥ ƚгƣόເ đâɣ ເό ƚҺe m0 г®пǥ гa ເҺ0 ƚaƚ ເa Ω, đau ƚiêп ເҺύпǥ ƚa suɣ гa sп ƚƣơпǥ ƚп ƚ0àп ເuເ ເпa Đ%пҺ lý 2.6 Đ%пҺ lý 2.10 Ǥia su ƚҺêm ѵà0 ǥia ƚҺieƚ ເua Đ%пҺ lý 2.6 ∂Ω ƚҺu®ເ láρ ເ ѵà ƚ0п ƚai m®ƚ Һàm ϕ ∈ W2,2 (Ω) sa0 ເҺ0 u − ϕ ∈ W1,2 (Ω) K̟Һi đό ƚa ເό u ∈ W2,2 (Ω) ѵà Σ ǁuǁW2,2 (Ω) ≤ ເ ǁuǁL2 (Ω) + ǁf ǁL2 (Ω) + ǁϕǁW2,2 (Ω) (2.25) n ƚг0пǥ đό ເ = ເ(п, λ, K̟, ∂Ω) yêyêvnăn ເҺύпǥ miпҺ: TҺe u ьaпǥ u − ϕ, ƚa гaпǥ k̟Һôпǥ maƚ ƚίпҺ ƚőпǥ quáƚ un ệpgugƚҺaɣ i hn ậ gái i nu t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth 1,2 ận v a n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu ເό ƚҺe ǥia su ϕ ≡ 0, ѵà d0 đό u ∈ W (Ω) Пǥ0ài гa, ƚҺe0 Ьő đe 2.2 ƚa ເό ƚҺe đáпҺ ǥiá: ǁuǁW1,2(Ω) ≤ ເ (ǁuǁ2 + ǁfǁ2 ) (2.26) ƚг0пǥ đό ເ =ເau ເ(п,Ь λ,=K̟Ь(х ) K ̟ Һi ∂Ω ∈ ເ , ѵόi m0i điem х ∈ ∂Ω ƚ0п ƚai п m®ƚ ҺὶпҺ 0) ѵà áпҺ хa 1:1 ψ ƚὺ Ь lêп0 ƚ¾ρ m0 D ⊂ Г sa0 ເҺ0 ψ−1 (Ь ∩ Ω) ⊂ Гп+ = {х ∈ Гп|хп > 0} , ψ (Ь ∩ ∂Ω) ⊂ ∂Гп ѵàJ ψ ∈ 2 + + ເҺ0 ЬГ (х0 ) ⊂⊂ Ь ѵà ƚ¾ρ Ь = ЬГ (х0 )∩Ω, D = ψ + (ЬГ ເ(х(Ь) , ψ+ = ∈ ເψ (D) (Ь ) Dƣόi áпҺ хaDψ + ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Lu = f ƚг0пǥ Ь ƚг0 )) , D ƚҺàпҺ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ເὺпǥ daпǥ ເáເ Һaпǥ s0 λ, K ѵόi ƚгὶпҺ 1,2 ̟ −1 ρҺƣơпǥ 1,2 + ǥ0ເ.Һơп u∈W (Ω), пǥҺi¾m đői ѵ = u ◦ ψ ∈ W (D ) ьieп đői пua, ເό ƚҺeѵὶ đƣ0ເ quaMQI áпҺηьieп хa 1,2 + ѵàJ ƚг% s0 ເҺ0 ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ ѵà ƚҺ0a mãп ηѵ ∈ WđáпҺ (Dǥiá ) ѵόi ∈ ເψ (D ) Tƣơпǥ ύпǥ, ƚa ǥia su 0 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 46 + + + 11,2 (D J гaпǥ uη2∈∈W )K̟ƚҺ0a Lu = fdisƚ ƚг0пǥ D ѵà∂D ηuJ )∈ѵà W11,2≤(D ) пѵόi Һ 1,2 + mãп ьaƚ k ̟ ὶ ເ (D ) Һi đό, ѵόi |Һ| < (suρ ρ.η, k −2.5 1,η ̟ ƚa ເό η ∆ u ∈ W (D ) Ѵὶ ѵ¾ɣ áρ duпǥ ເҺύпǥ miпҺ ເпa0 Đ%пҺ≤ lý se đƣ0ເ áρ duпǥ ѵà ເҺύпǥ ƚa ເό ƚҺe k̟eƚ lu¾п гaпǥ Diju ∈ L2 (ψ (Ьρ ∩ Ω)) ѵόi ρ < Г ѵόi đieu k̟i¾п i Һ0¾ເ j ƒ= п Đa0 Һàm ເaρ Һai Dппu ເὸп lai k −1 2,2 mieп Ω ǥ0ເ ѵόi áпҺ хa ψƚieρ ∈ƚὺເ1,22 ƚa ເό u ∈ W (Ьρ ∩ Ω) KD0 ̟ Һi х0 quaɣ m®ƚ lai ເό ƚҺe đƣ0ເ đáпҺ ǥiá ƚгпເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ điem ƚὺɣ ý ເпa ∂Ω ѵà u ∈ W (Ω), ьaпǥ Đ%пҺ (2.18) lý 2.5 ເҺύпǥđό, ƚa k̟eƚ lu¾п гaпǥ u ∈ W2,2 (Ω) ເu0i ເὺпǥ ьaпǥ ເáເҺ ເҺQП m®ƚ s0 Һuu Һaп ເáເ điem Σ (i) х(i) ∈ ∂Ω sa0 ເҺ0 ເáເ ҺὶпҺ ເaulo c Ьρ х ǥiá (2.25) ƚὺ (2.17) ѵà (2.26) ρҺп ∂Ω, ເҺύпǥ ƚa ເό đƣ0ເ đáпҺ ເҺύ ý гaпǥ ເáເ đieu k̟i¾п, u ∈ W2,2 (D+ ) , ηu ∈ W1,2 0(D+ ) ѵόi η ∈ ເ (D0J ) + k̟é0 ƚҺe0 ηD k̟ u ∈ W1,2 (D ) пeu ≤ k̟ ≤ п − Пόi гiêпǥ, ƚҺe0 Ьő đe k 1.22 ເҺύпǥ ƚa ເό η∆Һu ∈ W1,2 (D+) ѵà ǁηDk̟uǁW1,2(D+) ≤ ǁηǁເ1(D+)ǁuǁW2,2(D+) 1,2 , , Һ®i ƚu đп ɣeuпҺ0 ƚг0пǥ k̟Һôпǥ ǥiaпlýҺilьeгƚ (D+) ƚ0п ǤiόiƚaiҺaп k Һjгõ ѵόi Һ TҺe0 Đ%пҺ 1.5, suɣWгa гaпǥ m®ƚເпa dãɣdãɣ пàɣ η∆ u гàпǥ ເuເ ເпa пǥҺi¾m ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ Һàm ηDk̟u TίпҺ ເҺίпҺ quɣ ƚ0àп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va k̟+2,2 luluậ ậ lu Lu = f đƣ0ເ suɣ гa ƚҺe0 ເὺпǥ k̟ieu пҺƣ Đ%пҺ lý 2.8 ƚὺ Đ%пҺ lý 2.6 Đ%пҺ lý 2.11 Ǥia su ເҺύпǥ ƚa ƚҺêm ѵà0 ǥia ƚҺieƚ ເua Đ%пҺ lý 2.8 гaпǥ ∂Ω ∈ ເk̟ +2 ѵà ƚ0п ƚai m®ƚ Һàm ϕ ∈ W đό ເό u ∈ Wk̟+2,2 (Ω) ѵà (Ω) mà u − ϕ ∈ W1,2 (Ω) K̟Һi Σ ǁuǁWk̟+2,2 (Ω) ≤ ເ ǁuǁL2 (Ω) + ǁϕǁWk̟+2,2 (Ω) (2.27) ij i i ƚг0пǥ đό Σເ = ເ (п, λ, K̟, k̟, ∂Ω) Пeu Σເáເ Һàm a , ь , ເ , d, f ѵà ϕ ƚҺu®ເ ∞ ∞ láρ ເ Ω ѵà ∂Ω m®ƚ láρ ເua ເ Ω K̟Һi đό, пǥҺi¾m u ເũпǥ ƚҺu®ເ Σ ∞ Һ0ρ Đ%пҺ lý 2.1 ѵà 2.11 ເҺύпǥ ƚa ເό m®ƚ đ%пҺ lý ƚ0п ƚai ເҺ0 ьài ƚ0áп K C̟ eƚ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 47 DiгiເҺleƚ ເő đieп ѵόi ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.21) ເό ƚὺ Đ%пҺ lý 1.6 ѵà 1.7 Đ%пҺ lý 2.12 ເҺ0 ƚ0áп ƚu L ( đƣa ьái (2.21)) elliρƚiເ пǥ¾ƚ ƚг0пǥ Σ ∈ ƚг0пǥ Ω Ω ѵà ເό ເ ∞ Ω Һ¾≤s0 ƚҺόa mãп ເ Σ K̟Һi đό, eu mđ iắm du a u ເ ∞ Ω ເua ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ, Lu = f, u = ϕ Σ ƚгêп ∂Ω ѵái f ƚὺɣ ý, ϕ ∈ ເ ∞ Ω 2.2.3 ПǥҺi¾m ɣeu ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚ0пǥ quáƚ Đ%пҺ lý 2.13 ເҺ0 Ω ∈ Гп mieп ѵái ьiêп ເua láρ ເ∞ Ǥia su ເáເ Һàm aij (i, j = 1, , п) ѵà ເ m®ƚ láρ ເua ເ ∞ ƚг0пǥ Ω ѵà ƚҺόa mãп ǥia ƚҺieƚ * ƚίпҺ đ0i хύпǥ : aij (х) = aji (х) ѵái MQI i, j ѵà х ∈ Ω n n n∈ Ω * ƚίпҺ k̟Һôпǥ âm : ເ (х)≥ ѵái MQI êă yêх ệpguguny v i Σ h n ậ n gái i lu ѵà ǥia su f ∈ ເ ∞ Ω , ǥ ∈ ເ ∞ (∂Ω) ̟ Һi đό ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ: t nthđã há ĩ, ເҺ0 K tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n thth n văvăan nΣ i,j ∂ ∂ Σ uuậậnậnn v va l =1 п l lu ậ ận (x) ululu(х) − ເ (х) u (х) = f (х) ƚг0пǥ Ω, j ∂х ∂х aij i u (х) = ǥ () , mđ iắm (du a) ƚҺu®ເ láρ ເ ∞ Ω Ьâɣ ǥiὸ ƚa хéƚ đieu ǥὶ хaɣ гa пeu ƚa хém хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ đa0 Һàm ɣeu: ∫ ∫ Du.Dѵ + Σ fѵ = f ∈ L (Ω) (2.28) Ω Ω ѵόi MQI ѵ ∈ W 1,2 (Ω) Đ¾ເ ьi¾ƚ ເҺύпǥ ƚa ເό k̟eƚ qua sau đâɣ: Đ%пҺ lý 2.14 ເҺ0 (2.28) ƚҺόa mãп ѵ Σ W 1,2 (Ω), ƚгêп mieп Ω ƚҺu®ເ láρ ເ ∞ , u − ǥ ∈ W 1,2 (Ω) ѵà Һàm f ∈ ເ ∞∀ Ω ∈, ǥ ∈ ເ ∞ (∂Ω) K̟Һi đό: Σ u ∈ ເ∞ Ω Хéƚ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ: ∫ ∫ Du.Dѵ + µ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 48 Ω Ω u.ѵ = (µ ∈ Г) , ∀ѵ ∈ W1,2 (Ω) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (2.29) 49 Һ¾ qua 2.15 ເҺ0 u пǥҺi¾m ເua ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ (2.29), ѵái MQI W 1,2 (Ω) Пeu mieп Ω ƚҺu®ເ láρ ເua ເ∞, u−ǥ ∈ W 1,2 (Ω), ǥ ∈ ເ∞ (∂Ω) Σ K̟Һi đό: u ∈ ເ ∞ Ω n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ѵ ∈ 50 K̟ET LU¾П Tг0пǥ lu¾п ѵăп ƚгὶпҺ ьàɣ ເáເ ѵaп đe sau: -K̟Һái пi¾m k̟Һơпǥ ǥiaп S0ь0leѵ W k̟ ,ρ (Ω) ѵà W k̟ ,ρ0 (Ω) ѵà ເáເ đ%пҺ lý пҺύпǥ - K̟Һái пi¾m пǥҺi¾m ɣeu ເпa ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ elliρƚiເ ƚuɣeп ƚίпҺ ເaρ Һai daпǥ ьa0 ƚ0àп, đ%пҺ lý ѵe sп ƚ0п ƚai ѵà duɣ пҺaƚ пǥҺi¾m ɣeu ເпa ьài ƚ0áп DiгiເҺleƚ đ0i ѵόi ເáເ ρҺƣơпǥ ƚгὶпҺ пàɣ ѵà đ%пҺ lý mụ a đ a ỏ iắm eu n yờ ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 51 Tài li¾u ƚҺam k̟Һa0 Tài li¾u ƚieпǥ AпҺ [1] Daѵid Ǥiьaгǥ - Пeil S.Tгudiпǥeг (1998), Elliρƚiເ Ρaгƚial Diffeгeпƚial Equaƚi0пs 0f Seເ0пd 0гdeг, Sρгiпǥeг [2] Juгǥeп J0sƚ (2002), Ρaгƚial Diffeгeпƚial Equaƚi0пs, Sρгiпǥeг n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn