(Luận văn) sự tồn tại nghiệm mạnh địa phương của hệ phương trình navier stokes

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ HUYỀN TRANG lu SỰ TỒN TẠI NGHIỆM MẠNH ĐỊA PHƯƠNG an n va CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES tn to ie gh Chun ngành: Tốn Giải tích p Mã số : 8460102 d oa nl w lu nf va an LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Cán hướng dẫn khoa học: TS Phạm Thị Thủy z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên, năm 2020 n va ac th si Lời cam đoan Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, tháng năm 2020 Người viết luận văn lu Trần Thị Huyền Trang an n va p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th i si Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Phạm Thị Thủy Do kiến thức mẻ khoảng thời gian nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi sai sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy người để luận văn hồn thiện Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Phạm Thị Thủy trực tiếp giao đề tài, hướng dẫn giúp đỡ tận tình suốt trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán q thầy lu quan tâm, nhiệt tình giảng dạy suốt khóa học Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn an bè giúp đỡ tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn n va p ie gh tn to Trân trọng cảm ơn! d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th ii si Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn lu an 1.1.2 Không gian hàm suy rộng va n 1.1.3 Không gian Sobolev gh tn to 1.2 Phương trình Navier – Stokes 10 p ie Chương Nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes 15 w 2.1 Bài toán 15 oa nl 2.1.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – d Stokes  0,T  15 lu nf va an 2.1.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  16 lm ul 2.2 Bài toán 23 z at nh oi 2.2.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,T  × 23 z @ 2.2.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes co l gm 0,T    24 Kết luận 33 m an Lu Tài liệu tham khảo n va ac th iii si Lời nói đầu Phương trình Navier – Stokes lần Claude – Louis Navier thiết lập vào năm 1821 cho chất lỏng không nén năm 1822 cho chất lỏng nhớt Nhưng Navier đến phương trình Navier – Stokes mà chưa hoàn toàn nhận thức rõ tầm quan trọng yếu tố xuất phương trình Cho đến George Stokes thiết lập lại dựa giả thiết xác báo tựa đề On the theories of the internal friction of fluids in motion, xuất năm 1845 Cho đến có nhiều cơng trình nghiên cứu phương trình Navier – Stokes Tuy nhiên, hiểu biết phương trình Navier – Stokes cịn khiêm tốn, muốn biết lượng lu nhiệt lưu thông máy bay bay, hình thành bão, chuyển động an n va khơng khí, giải thích tượng sóng đập vào tàu chạy mặt học Công nghệ mà việc nghiên cứu phương trình Navier – Stokes ngày trở nên gh tn to nước, ta phải tìm cách giải phương trình Navier – Stokes, nhu cầu Khoa p ie thời cấp thiết Luận văn trình bày vài kết nghiên cứu nghiệm tốn chứa hệ nl w phương trình Navier – Stokes d oa Luận văn bố cục thành hai chương với Lời nói đầu, Kết luận nf va luận văn an lu Danh mục tài liệu tham khảo Trong đó, Chương nội dung Chương 1: Kiến thức chuẩn bị lm ul Chương trình bày khái niệm kết sở cần thiết sử dụng z at nh oi Chương Chương 2: Nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes Trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh, tồn nghiệm mạnh z với khoảng 0, T  ,0  T   miền bị chặn m co l  gm @ địa phương hệ phương trình Navier – Stokes miền   an Lu n va ac th si Chương Kiến thức chuẩn bị Trong Chương trình bày lại số kiến thức sở làm tảng để nghiên cứu chương Các tài liệu tham khảo trích dẫn [1], [2], [3], [4], [7] 1.1 Không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm trơn Định nghĩa 1.1.1 Giả sử   n miền với n  Nếu n  1,    a, b  khoảng mở với   a  b   lu Giả sử k  , ta kí hiệu C k    không gian tất hàm an va u:   u  x n x n ,0    k C    không gian tất hàm u :   p ie gh tn to cho D u tồn liên tục  với      :  C k    gọi không gian hàm trơn  k 0 oa nl w C  d Giả sử M bao đóng tập M  n Ta kí hiệu supp u : x ; u  x   0 lu Nếu k  nf va an giá hàm u :   k   ta đặt lm ul C0k   : u  C k   ; supp u compact , supp u   z at nh oi Do u  C0k    nghĩa u  C k    u   ngoại trừ tập compact  Đặc biệt C0k    không gian tất hàm trơn u z gm @ khơng ngoại trừ tập compact phụ thuộc vào u l Giả sử u M hạn chế hàm u tập M Với k      k , x n D u  x      cho n an Lu sup k   ta kí m co hiệu C k  khơng gian tất hạn chế u  với u  C k n va ac th si Nếu k   ta thay   k    Ta xác định chuẩn u Ck  u D u  x    :  sup  k , x Ck  Nếu k   ta thay   k    Ta ký hiệu    k Cloc  : u  ; u  C k  n  Giả sử n  2,0  T   Ta xác định không gian trường vectơ không phân kỳ trơn   C0,    : u  C0    ; div u  n lu Ta xét không gian thử an   n va C0   0, T  ; C0,     : u  C0   0, T     ; div u  , n tn to div áp dụng cho biến số x   x1 , , xn      n p ie gh C0 0, T  ; C0,     : u 0,T  ; u  C0   1, T     ; div u  w 1.1.2 Không gian hàm suy rộng n miền với n  oa nl Giả sử   d Trong lý thuyết hàm suy rộng, không gian tuyến tính C0    hàm trơn lu nf va an  gọi không gian thử   C0    gọi hàm thử Cho phiếm hàm tuyến tính F :   F   ,   C0    lm ul Hàm F liên tục với miền G  , G  , tồn k  z at nh oi C  C  F , G   cho F    C    Ck G z gm @ thỏa mãn với   C0    F : C0     F   an Lu  m co l Định nghĩa 1.1.2 Không gian tuyến tính C0    tất phiếm hàm tuyến tính n va ac th si liên tục, gọi không gian hàm suy rộng  Kí hiệu F     F ,    F ,  giá trị F  Mỗi hàm f  L1loc    xác định hàm suy rộng định nghĩa  f ,  Ta kí hiệu hàm suy rộng f ,  f ,  f , :  f  dx   f Do ta xác định f với hàm suy rộng f , phép nhúng L1loc     C0    lu Mỗi f  L1loc    gọi hàm suy rộng quy an n va Xét tốn tử vi phân D  D11 Dn n với   1 , , n   n Với tn to F  C0    hàm suy rộng D F  C0    định nghĩa  D F ,  :  1  F , D  ,   C0    p ie gh  oa nl nghĩa w Đặc biệt, với f  L1loc    hàm suy rộng D f   D f ,.  C0    định d  D f ,  :  1     f  D  dx  an lu f , D   1 nf va Nếu D f quy tồn hàm L1loc    biểu thị qua D f cho lm ul  D f ,   D f ,    D f dx với   C0     z at nh oi Kí hiệu D f  L1loc    D f quy coi hàm L1loc    Giả sử F  C0    k k , a  (1.1) gm @ a D ,   z D : a  F , D  ,   C0    (1.2) an Lu  k  m  DF ,     1 co l toán tử vi phân DF  C0    định nghĩa n va ac th si Đặc biệt, f  L1loc    Df định nghĩa (1.2) hàm suy rộng quy xác định hàm biểu thị qua Df ta viết đơn giản Df  L1loc    Khi  Df ,   Giả sử Df ,    Df  dx    1 a f , D với   C0       k f  L1loc      1 , , n   n D f Nếu quy, D f  L1loc    ta gọi D f đạo hàm yếu cấp  f Nếu  q   ký hiệu D f  Lq    D f quy hàm Lq    , ta viết D f q   Tương tự, Df  Lq    với D thỏa mãn (1.1) quy lu an Ta xét khơng gian tương ứng cho trường vectơ Giả sử m va C0   : 1 , ,m  ,  j  C0   , j  1, , m m n gh tn to khơng gian hàm thử có giá trị vectơ   1 , ,m  trang bị tôpô tương ứng p ie Với F   F1 , , Fm  , Fj  C0    , j  1, , m ta định nghĩa hàm   1, ,m   C0   m d oa nl w  F ,  , F:  an lu  F ,    F ,  :  F1 ,1     F1 ,m  nf va Ta ký hiệu  lm ul m m C0    C0       F1 , , Fm  ; Fj  C0    , j  1, , m  z at nh oi không gian suy rộng không gian thử C0   Giả sử f  L1loc     1 , , n   m f ,   f  dx @  f ,   f   f1 , , f m  xác định hàm suy rộng z  n m  gm f   f11   f mm ,  1, ,m   C0   Khi ta có phép nhúng m m co l m m L1loc     C0     an Lu n va ac th si Để xác định nghiệm yếu phương trình Navier – Stokes ta xét không gian hàm thử không phân kỳ   C0,    :   C0    ; div    C0    n n Khơng gian C0,    hàm tuyến tính liên tục định nghĩa C0,    không gian tất hạn chế F C 0,  n , F  C0,     Do  C0,    F C 0,  , F  C0,       n lu Xét không gian Hilbert L2   với tích vơ hướng n an va n u, v  u, v :  u  x  v  x  dx   gh tn to không gian L2    : C0,    n n p ie  L2    w bao đóng chuẩn Với u  L2   xác định hàm u, :  u, ,   C0   ta n d oa nl n n n L2     C0     nf va an lu phép nhúng tự nhiên z at nh oi phép nhúng tự nhiên u,  ,   C0,    lm ul Tương tự, với u  L2    xác định hàm u, :  L2     C0,    L2   gọi phép chiếu n z Sau đó, ta sử dụng phép chiếu trực giao P : L2   @ gm Helmholtz m co l 1.1.3 Không gian Sobolev an Lu n va ac th si   X  u :  0, T   L2    :  A1/2u  , A1/2u  L4  0, T ; L2     ,  A1/2u     t trang bị chuẩn u X   A1/2u  t 2,4;T  A1/2u Vì  A1/2u   L4  0, T ; L2    , đồ t 2,4;T   A1/2u  t  liên tục từ  0, T   L2    t Đặc biệt, điều kiện ban đầu  A1/2u   0  xác định có bất đẳng thức nội suy u  t   A1/2 A1/2u  t   A1/2u  t  A1/2u  t  1/2 1/2 Từ (1.9) ta có u  L4loc 0, T  ; L2    , u  X lu an Cho X nhúng liên tục vào L8  0, T ; L4    ta va n u c u X, u  X , c  (2.14) Xét u  X đặt u  A1/2u f  A1/2ut  A1/2u  L4  0,T ; L2    Rõ ràng u ie gh tn to 4,8;T p nghiệm toán nl w u  t   Au  f , u    oa Từ Bổ đề 2.5 ta có A1/2u  t    e d t u  t    A1/2e t nf va an lu 4,8;T  c A3/8u 2,8;T  c A7/8u c f z at nh oi u  t   A lm ul  t   A 2,8;T fd , fd ,0  t  T , 2,4;T c u với c  X z Để chứng minh điều ta sử dụng (1.10) với   , q  (2.12) với @ l gm   , r  8, s  co Từ (2.13) ta đặt   an Lu Vậy m v  t   e  tAu0 ,U  v  u h  A1/2 P div  uu   L4 0, T ; L2   n va ac th 20 si U  t    A1/2e t  t   A hd , A1/2U  t    e t  t   A hd Áp dụng (2.11) với s  từ (2.9) ta U  c1 h X  c1 uu 2,4;T  c2 u 2,4;T 4,8;T   với c1 , c2  (2.15) Vậy U  v  u  X  L8  0, T ; L4    (2.16) Để giải toán điểm bất động (2.13) X ta xác định tốn tử phi tuyến tính   U  t    A1/2et   A A1/2 P div  uu  d t t lu   A1/2e  t   A an A1/2 P div   v  U  v  U   d (2.17) n va Áp dụng (2.15) với U thay  U  ta kết luận  : X  X to X  c2 v  U   c2 U 4,8;T 4,8;T  v  4,8;T (2.18) gh tn  U  p ie Nghiệm u  L8  0, T ; L4    (2.13) điểm bất động U  X  xác nl w định U  v  u Để tìm điểm bất động U  X  cho b  v X d oa  U   b  c U 4,8;T , (2.18) có dạng  b   b với c  X b y  y    0,   c c nf va an lu Xét phương trình bậc hai lm ul z at nh oi   Chọn  *  (2.7) cho  *    Khi b  v  4c  4,8;T  *1/8 suy 4cb  phương trình bậc hai có nghiệm dương vô bé y1 cho z  y1  2b Xác định hình cầu đóng B  U  X : U @ t  t   A A1/2 P div   v  U U  U   U  U  v  U   d co l A1/2e  y1  b , với U  B gm   U    U   t    X m an Lu n va ac th 21 si  U    U   c U X  2cy1 U  U  X X  b  U X  b U  U   4cb U  U  X X Điều chứng tỏ  : B  B co thắt nghiêm ngặt từ định lý điểm bất động Banach tồn U  X thỏa mãn  U   U Đặt u  v  U , v  L  0,T ; L2     L2loc 0, T  ;W0,1,2    mà U  L8  0, T ; L4    Vậy u  v  U  L8  0,T ; L4    uu  L4  0, T ; L2    Hơn nữa, u  L4loc  0,T ; L2    nên U  L2loc 0, T  ;W0,1,2    Do lu u  L2loc 0, T  ;W0,1,2    an n va Vì  U   U nên từ (2.17) có to u  t   etAu0   A1/2e t  t   A tn A1/2 P div uud ,0  t  T gh p ie Ở F : uu  L2loc 0, T  ; L2    từ Bổ đề 2.5 suy u nghiệm yếu hệ w phương trình Stokes với f  div F Do u thỏa mãn bất đẳng thức lượng (2.10) d oa nl 0,T  (2.2) với T thay T    0, T  Mặt khác   uu, u  nf va an  lu F , u  u,  u 2   divu, u 2   Khi bất đẳng thức lượng (2.10) thỏa mãn dạng lm ul t z at nh oi 2 1 u  t    u d  u   ,0  t  T 2 Vậy u nghiệm mạnh hệ (2.1) mà ta tìm ii) chứng minh Chứng minh i) Giả sử (2.5) thỏa mãn, ta tìm T  cho (2.7) khơng z đổi Từ ii) cho thấy tồn nghiệm mạnh u  L8  0,T ; L4    hệ m co l gm @ (2.1) với u    u0 Do (2.5) điều kiện đủ an Lu n va ac th 22 si Ngược lại, giả sử u  L8  0,T ; L4    nghiệm mạnh hệ (2.1) 0, T  ,0  T   Khi từ (2.13), (2.16) có v  u  L8  0,T ; L4    v  t   e tAu0 Do  T Từ (1.12),   etAu0 dt   etAu0 dt   u0 thỏa mãn (2.5) Vậy i) chứng minh T 2.2 Bài toán Cho   miền bị chặn biên  lớp C 2,1 ,  T   Xét tốn chứa hệ phương trình Navier – Stokes  0,T    có dạng lu an ut  u  u.u  p  f , div u  0, (2.19) n va u   0, u t 0  u0 , Một hệ phương trình tuyến tính (hệ phương trình Stokes) tương ứng ie gh tn to với điều kiện ban đầu u0  L2    ngoại lực f  div F , F  L2  0, T ; L2    p  0,T    với điều kiện u0 , f  div F có dạng nl w Et  E  h  f , div E  0, (2.20) d oa E   0, E t 0  u0 an lu Ta tìm nghiệm yếu nghiệm mạnh tốn có chứa hệ phương trình nf va Navier – Stokes – Stokes  0,T  × z at nh oi lm ul 2.2.1 Định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh hệ phương trình Navier Định nghĩa 2.6 Cho u0  L2    , f  div F , F  L2  0, T ; L2    Khi z u  L  0, T ; L2     L2  0, T ;W01,2    gm @ gọi nghiệm yếu  0,T    hệ phương trình (phi tuyến tính) Navier –  u, w ,T  uu, w ,T  u0 , w 0   F , w m ,T co  u, wt l Stokes (2.19) với điều kiện ban đầu u0 , f ,T an Lu thỏa mãn hàm thử w  C0 0, T  ; C0,    bất đẳng thức lượng n va ac th 23 si t t 2 1 u  t    u d  u     F , u  d 2 0 (2.21) với  t  T Định nghĩa 2.7 Một nghiệm yếu u (2.19) với điều kiện u0 , f gọi nghiệm mạnh  0,T    có số mũ  s  ,  q  ,   gọi số mũ Serrin s q cho thỏa mãn điều kiện bổ sung Serrin u  Ls  0,T ; Lq    Định nghĩa 2.8 Nghiệm lu E  L  0, T ; L2     L2  0, T ;W01,2    (2.22) an gọi nghiệm yếu  0,T    hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20) va n với điều kiện u0 , f to ,T  E, w ,T  u0 , w 0   F , w (2.23) ,T gh tn  E, wt p ie cho hàm thử w  C0 0, T  ; C0,    đẳng thức lượng t t 2   F , E  d (2.24) oa nl w 1 E  t    E d  u0 2 d thỏa mãn với  t  T lu nf va  0,T    an 2.2.2 Sự tồn nghiệm mạnh hệ phương trình Navier – Stokes  0,     cho điều kiện   số mũ Serrin Khi đó, s q z at nh oi lm ul Cho u, E nghiệm yếu với điều kiện u0 , f thỏa mãn Định nghĩa 2.6  s  ,  q   cho z 0  T    : E  Ls  0, T ; Lq    gm @ l cần đủ cho tồn khoảng 0,T  với  T   Vậy u  Ls  0,T ; Lq    m co nghiệm mạnh  0, T  an Lu n va ac th 24 si Do điều kiện Serrin địa phương cho nghiệm E hệ tuyến tính (2.20) cần đủ cho tồn nghiệm mạnh địa phương u hệ phi tuyến tính (2.19) với số mũ Serrin s, q Chú ý Với c  c  , q       , q   số v q  c A v , v  D  A  ,    q, 2   A e  tAq 3  ,    1, q  (2.25) v  ct  e  t v q , v  Lq    ,    1, t  (2.26) q Ngoài ra, D  Aq1/2   W01,q    Lq   chuẩn Aq1/2v  v q , v  D  Aq1/2  q lu an tương đương Trong trường hợp q  ta ký hiệu va n A21/2  v , v  D  Aq1/2  gh tn to Nếu g  div G với G   Gij   Lq    , đối số gần chứng tỏ Aq1/ Pq i , j 1 p ie div G  Lq    định nghĩa tổng quát d q q 1 oa nl w Aq1/2 Pq div G, v  G, Aq1/2v , v  Lq    , q  q c G q nf va an lu Hệ phương trình Stokes Aq1/2 Pq div G (2.27)   lm ul vt  Aq v  f , v    với f  Ls 0, T ; Lq   ,1  s, q   (2.28) vt q , s ;T z at nh oi có nghiệm v  C 0, T  ; Lq    thỏa mãn vt , Aqv  Ls  0,T ; Lq     Aq v q , s ;T c f q , s ;T , c  c  , q, s   (2.29) z @ t  t   Aq f   d ,  t  T l gm v t    e q  f   d ,0  t  T với c  c  , q   q an Lu t m Aq v  t   c   t    co Áp dụng (2.26) với    ta có (2.30) n va ac th 25 si áp dụng đánh giá Hardy – Littlewood với    s  ,    Aq v c f q , s ;T với c  c  , , q, s   q , ;T Tiếp đó, đặt v  Aq1/2v ta có v  t    Aq1/2e t  t   Aq dụng (2.25) với 2  1  s  (2.31)   1, áp s q f   d ,  t  T Cho 3 3  ,  (2.26) với    (2.31) ta có q q/2 2q 2q v q , s ;T c f q s , ;T 2 với c  c  , q   (2.32) Từ (2.28) có lu an v n va q , s ;T     c   Aq1/2v    t  q s , ;T 2    A v  q s , ;T  2  1/2 q (2.33) to Et  E  h  div F , div E  0, ie gh tn Cuối ta xét hệ phương trình Stokes có dạng E   0, E t 0  u0 , p w (2.20) u0  L2    với nl (2.34) quát tổng (2.20) với d oa F  Lrloc 0,T  ; L2    ,1  r   Khi an lu E  t   etAu0   A2 e t  t   A nf va P div Fd ,  t  T (2.35) lm ul xác định với A  A2 , P  P2 , từ (2.23) suy E  L1loc 0, T  ;W0,1,2    z at nh oi (2.36) E nghiệm yếu (2.34) Ngược lại, E thỏa mãn (2.36) (2.23) ta z (2.35) Tuy nhiên, u0  L2    áp dụng (2.9) với r  @ E xác định (2.35) thỏa mãn (2.22), (2.23), (2.24) gm (2.37) miền bị chặn với biên  lớp C 2,1 ,  T  ,   m co Định lý 2.10 Cho   l nghiệm yếu xác định (2.34) theo Định nghĩa 2.8 an Lu u0  L2    , f  div F với F  L2 0, T ; L2   cho  s  ,  q   cho n va ac th 26 si   Giả sử E nghiệm yếu hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20) s q với điều kiện u0 , f thỏa mãn E  Ls  0, T ; Lq    Khi đó, tồn  *   *  , q   khơng đổi với tính chất sau: Nếu E  Ls 0,T ; Lq     * (2.38) hệ phương trình Navier – Stokes (2.19) có nghiệm mạnh u  Ls  0,T ; Lq    với điều kiện u0 , f khoảng  0, T  Chứng minh Từ giả thiết Định lý, ta phải tìm số  *   *  , q   lu (2.38) cho (2.19) có nghiệm mạnh u  Ls  0,T ; Lq    với điều kiện   an u0 , f Giả sử có nghiệm u  Ls 0,T ; Lq   u nghiệm yếu (2.19) va n nên to gh tn u  Ls  0, T ;W01,2     L2  0, T ; L6    p ie Từ bất đẳng thức Hưlder ta có 2, r ;T c u 3, s ;T u 6,2;T c u q , s ;T u 6,2;T  , nl w uu d oa 1  r  s,   , c  c  , q   r s nf va an lu Với F  L2  0,T ; L2    r  uu  F  Lrloc 0,T  ; L2    lm ul Áp dụng (2.36) với F thay F  uu  F , E cho z at nh oi E  t   etAu0   A2 e t  t   A P div Fd ,  t  T (2.39) z Mặt khác, u thỏa mãn (2.36) (2.23) với F thay F Vì u t  t   A P div  uu  d ,  t  T (2.40) m co l U  t    A2 e gm @ nghiệm mạnh (2.19) u  t   E  t  thỏa mãn (2.39) Đặt U  u  E ta an Lu Áp dụng (2.32) với f thay A P div  uu  từ (2.27) ta có n va ac th 27 si U  c uu q , s ;T q s , ;T 2 c u q , s ;T   (2.41) Khi ta  U  t    t  t   A Ae  A P div  U  E U  E   d (2.42) Vậy (2.40) tương đương với phương trình điểm bất động U   U  (2.43) Cho không gian Banach s q     12  12    12   q /2 2 X  v  0, T   L    :  Aq v  , Aq v  L  0, T ; L     , Aq v          t   lu trang bị chuẩn an va v n  1    Aq v   t X  Aq2 v q s , ;T 2 tn to q s , ;T 2 gh nhận nghiệm U  X Vậy u  U  E nghiệm cần tìm Định lý p ie 2.10 U  X, áp dụng (2.29) nl w Cho oa  U  E U  E   d q, s thay  U  , vA 2 với  f  A 2P div lu q s , , áp dụng (2.27) bất đẳng thức 2 q , s ;T ta X  E  U  X q , s ;T  với a  a  , q   z at nh oi Đặt b  E X  a U lm ul  U  nf va an Hölder, áp dụng (2.33) cho U ta  b  a U  b   b (2.44) z Chọn  *   *  , q   (2.38) cho X @ (2.45) gm 4ab  co l Khi phương trình bậc hai y  ay  b có nghiệm dương vô bé y1  1  2b an Lu   y1  2b   4ab m cho n va ac th 28 si Vì y1  ay12  b  b, hình cầu đóng B  v  X : v  y1  b   Cụ thể, từ (2.44) X ta có  U   B khơng đổi với U  B Hơn nữa, từ (2.42) cho U , U  B ta có   U    U   t    A e  t   A t  A P div U  E  U  U   U  U U  E  d , tương tự (2.44) có  U    U   a U X X b U  2ay1 U  U X X   b U U  4ab U  U X X (2.46) Do  : B  B co thắt nghiêm ngặt, áp dụng định lý điểm bất động Banach ta có U  B thỏa mãn (2.43) Áp dụng (2.33) với v thay U ta lu an U q , s ;T c U X   với c  c  , q   n va Tiếp theo, ta xác định u  U  E chứng minh u nghiệm cần tìm tn to Định lý 2.10 gh u q , s ;T  U q , s ;T  E q , s ;T  p ie tức u  Ls  0,T ; Lq    Vậy, u nghiệm yếu hệ phương trình (2.19) Ta viết oa nl w U   U  dạng t  t   A d U   A e A P div  uU  uE  d ,  t  T (2.47) an lu  nf va Áp dụng phương pháp làm trơn Yosida sau: Ta xác định tính gần Yosida U lm ul 1 U n  J nU với  1 J n   I  A  , n  , I đồng thức Vậy U  U n  A 2U n , J n n n   z at nh oi z 12 A J n toán tử giới hạn L2    với n Khi áp dụng J n cho hai n @  t   A J n P div  uU  uE  d ,  t  T (2.48) m co A U n  t    A e t l gm vế (2.47) ta an Lu Hơn nữa, áp dụng công thức n va ac th 29 si  12   J n P div  uU  uE   J n P  u U n   A J n A P div  uA 2U n   J n P  u E  n   1 1 1 với      từ bất đẳng thức Hưlder ta có 2 q  J n P div  uU  uE    c u U n c u ta (2.37), (2.26) 2  A   A1/2 P div uA1/2U n  U n  E 1/2 q 2    u E    với c  c  , q   3  ,   Từ (2.48) ta có  2q A1/2U n  t   A1/2 J nU  t   c   t    t lu an 2   u A 1/2 q Un  u  E  d n va với c  c  , q   tn to Cuối cùng, áp dụng đánh giá Hardy – Littlewood, (2.30) (2.31) với p ie gh 1 1          sử dùng bất đẳng thức Hưlder ta có 2 2 s  2,2;T c u A 1/2 q , s ;T Un 2,2;T  E 2,2;T  (2.49) nl w A1/2U n d oa với c  c  , q   q , s ;T (2.44) (2.46) ta thấy * chọn bổ sung thỏa lm ul mãn c u q , s ;T nf va vào b  E an lu Hằng số  *   *  , q   (2.38) chọn cho thỏa mãn (2.45) Dựa A1/2U n z at nh oi  Khi từ (2.49) ta có 2,2;T  2c u q , s ;T E 2,2;T với c  c  , q   độc lập với n Cho n   ta có A1/2U z 2,2;T    t   A P  u u  d an Lu m t co U  t    e l Vì uu  L2  0,T ; L2    nên từ (2.47) gm @ U , u  U  E  L2  0,T ;W01,2    n va ac th 30 si 1 1 1 1 1 1 3 Áp dụng (2.25), (2.26) với 2   ,  , q1     , q2     ta q1 q2 q 2 q 2 q U t  q  c  t Aq2 e  t   Aq Pq  u u  d  c   t    t q2  u u d , q2 c  c  , q   Khi từ đánh giá Hardy – Littlewood ta có U q1 ,s1 ;T  c u u 1 q2 ,s2 ;T c u q ,s;T u  , 2,2;T 1 1 1 1 1 1 s1     , s2     ,     ,1     , c  c  , q   s q s1 s2 2 s 2 s lu Ngoài ra, áp dụng bất đẳng thức nội suy tiêu chuẩn E q1  c E an n va  tn to 1    3    , c  c  , q   0, ta có E  q1  q  2,2;T c u  c E q ,s;T 2,2;T E E s1  2,;T 1 ,   u q ,s ;T   1 ie gh Do u  U  E  Ls1 0,T ; Lq1   uu s1 q1 , s1 ;T  p Cuối cùng, từ (2.47) ta u  t   e u0   A e nl w  t   A t  tA oa  A P div  uu  F  d ,  t  T   d Khi uu  F  L2 0, T ; L2   ta thấy u thỏa mãn điều kiện tương lu nf va an ứng E (2.36), (2.37) với F thay uu  F Vậy u nghiệm yếu hệ phương trình tuyến tính (2.20) với E, f  div F thay u , div uu, u   z at nh oi lm ul  uu  F  Áp dụng u,  u   div u, u  0 z từ (2.24) suy (2.21) thỏa mãn u nghiệm mạnh (2.19) theo Định m co l Vậy Định lý 2.10 chứng minh gm @ nghĩa 2.7 an Lu n va ac th 31 si Định lý 2.11 Cho   miền bị chặn biên  lớp C 2,1 cho   u0  L2    , f  div F , F  L2 0, ; L2   ,  s  ,  q  , cho  1 s q Khi đó:   Tồn nghiệm mạnh u  Ls 0,T ; Lq   hệ phương trình (phi tuyến tính) Navier – Stokes (2.19) khoảng 0,T  ,  T   với điều kiện u0 , f tồn nghiệm yếu E hệ phương trình (tuyến tính) Stokes (2.20) khoảng  0,T   ,  T    với điều kiện u0 , f thỏa mãn điều kiện Serrin E  Ls  0,T ; Lq    lu   an Chứng minh Từ giả thiết Định lý cho u  Ls 0,T ; Lq   nghiệm mạnh va n (2.19) với điều kiện u0 , f khoảng  0, T  ,0  T   to gh tn Xét nghiệm yếu E hệ phương trình (2.20) 0,T  với điều kiện u0 , f   p ie Khi ta thấy E  Ls 0, T ; Lq   không đổi với T   T Từ (2.38), (2.39) (2.40) ta có nl w u  t   E t    A2 e t oa  t   A d A P div  uu  F  d ,  t  T  lu E q , s ;T  u q , s ;T q , s ;T  u  u q , s ;T q , s ;T  z at nh oi  nghĩa E  Ls 0,T ; Lq    uE q , s ;T lm ul   u  E u nf va an Từ (2.41) ta có Ngược lại, tồn nghiệm yếu E khoảng  0, T   ,0  T    với   z điều kiện u0 , f thỏa mãn E  Ls 0,T ; Lq   , ta chọn số T thỏa mãn gm @  T  T cho thỏa mãn (2.38) Định lý 2.10 mang lại tồn nghiệm mạnh l   an Lu Vậy Định lý 2.11 chứng minh m co mong muốn u  Ls 0,T ; Lq   n va ac th 32 si Kết luận Luận văn “Sự tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes” trình bày kiến thức sau:  Trình bày số tính chất khơng gian hàm: hàm trơn, hàm suy rộng, hàm Sobolev định nghĩa phương trình Navier – Stokes  Trình bày định nghĩa nghiệm yếu nghiệm mạnh tốn có chứa hệ phương trình Navier – Stokes  Trình bày tồn nghiệm mạnh địa phương hệ phương trình Navier – Stokes lu an Cuối cùng, lần nữa, xin bày tỏ lịng kính trọng lịng biết ơn sâu sắc n va tới TS Phạm Thị Thủy, người tận tình hướng dẫn tạo điều kiện giúp đỡ tơi p ie gh tn to hồn thành luận văn văn d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th 33 si Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Đức Vân (2005), Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [2] Adams R A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [3] Apostol T M (1974), Mathematical Analysis, Addison – Wesley, Am – sterdam [4] Farwig R., Galdi G P., Sohr H (2006), A new class of weak solutions of the Navier lu an – Stokes equations”, Comptes Rendus Mathematique, Mathematical Problems in n va Mechanics (348), 335-339 Stokes equations, Vol I, Linearized Steady Problems, SpringerVerlag, New York gh tn to [5] Galdi G P (1994), An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier – p ie [6] Kozono H (2001), Weak solutions of the Navier – Stokes equations with test w functions in the weak – Ln spaces, Tohoku Math J (53), 55-79 oa nl [7] Hermann Sohr (2001), The Navier – Stokes Equations, An Elementary Functional d Analytic Approach, Birkhãuser Advanced Texts, Birkhãuser Verlag, Basel an lu [8] Reinhard Farwig, Hermann Sohr & Werner Varnhorn (2011), Necessary and nf va sufficient conditions on local strong solvability of the Navier – Stokes system, lm ul Applicable Analysis: An International Journal, 90:1, 47-58 [9] Reinhard Farwig (2010), Hermann Sohr, On the existence of local strong solutions z at nh oi for the Navier – Stokes equations in completely genaral domains, Nonlinear Analysis 73, 1459-1465 z [10] Sohr H., Farwig R., Kozono H (2007), Very weak, weak and strong solutions to @ gm the instationary Navier – Stokes system, J Neeas Center for Mathematical m co l Modeling, P Kaplicky, Prague an Lu n va ac th 34 si