Luận văn một số bài toán về điều kiện dãy nguyên tố trên vành noether địa phương

Mụ lụ Mụ lụ Tí Ã0 òa uê ố 1.1 iu diễ ứ ấ môđu Aгƚiп 1.2 Tí ó0 òa uê ố ủaờnờnmôđu Ai n 1.3 iu 0ee í ó0 òa пǥuɣªп ƚè 1.4 y ă ệp u uy v hii ngngận g i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu Tí ó0 òa uê ố ເña Һmd (M ) 11 TÝпҺ aea ổ dụ í kô ộ lẫ 15 2.1 Đặ í ó0 0à uê ố mi (M ) 16 2.2 TÝпҺ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ í kô ộ lẫ 23 Quỹ í kô 0e-Maaula 27 3.1 Mộ số í ấ iả iá 28 3.2 Mô ả quỹ í kô 0e-Maaula qua iả iá 30 3.3 Quỹ í kô 0e-Maaula điu kiệ See 35 Tài liệu am kả0 41 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Mở đầu ài 0á điu kiệ dó uê ố đợ qua âm ữ ăm 1930 ài 0á đầu iê é í aea ia0 0á ắ lại ằ mộ ọi aea ếu iữa iđêa uê ố lồ au ấ kì luô ại mộ dó uê ố ó0 òa dó uê ố ó0 òa ế đu ó u độ dài L aea đầu iê đợ kám ởi W Kull ăm 1937, ô ỉ a ằ đại số ữu si ê mộ aea ữ ô ì iế e0 W K̟гull, M Пaǥaƚa, I S ເ0Һeп, D Feгaпd n yê ên n p u uy vă gg n ѵµ M Гaɣпaud, L J Гaƚliff, Г.ghiiệnҺeiƚmaпп, M Ьг0dmaпп ѵὸ ƚÝпҺ i nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu aea làm iàu đẹ lí uế à, ó ấ s liê qua ặ ẽ i iu lĩ ká Đại số ia0 0á đị uẩ, môđu 0e-Maaula ối đại, ees, â ậ liê kế, đồ điu, mở ộ siêu iệ i lí uế ѵµпҺ ເaƚeпaгɣ lµ lÝ ƚҺuɣÕƚ ѵµпҺ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ, ѵµпҺ a kô ộ lẫ à kô ộ lẫ lí uế ò đặ iệ qua ọ Đại số ia0 0á, ấ lí uế ia0 0á đế a, iệ iê ứu í ເaƚeпaгɣ, ƚÝпҺ ເaƚeпaгɣ ρҺỉ dơпǥ, ƚÝпҺ ƚὺa k̟Һ«пǥ ƚгéп lÉп, í kô ộ lẫ ữ ài 0á liê qua ẫ ấ đợ qua âm ởi iu 0á ọ ê ế ii Đặ iệ, ầ đâ uễ T ờ, uễ Tị Du Lê Ta [D] ô qua iê ứu môđu Ai đối đồ điu địa ấ a0 ấ i iá đại đ đặ í aea 0ee iá kô ộ lẫ môđu ữu si Mụ đí đ ài i k ế ê uễ T ờ, uễ Tị Du Lê Ta [D] ữ ài 0á n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ѵὸ ®iὸu k̟iƯп dó uê ố ká é í aea ổ dụ, ƚÝпҺ ƚὺa k̟Һ«пǥ ƚгéп lÉп, ƚÝпҺ k̟Һ«пǥ ƚгéп lÉп ເđa 0ee địa ơ, đồ ời é mộ số ài 0á liê qua ô ứ ội liê kế môđu đối đồ điu địa ơ, í ậ iả iá í quỹ í kô 0e-Maaula ô ụ iê ứu đ ài dù ữ í ấ đặ ù ấ ả môđu đối đồ điu địa i iá đại Đ ài ồm ơ I ói í ấ ó0 òa uê ố môđu Ai, đặ iệ môđu ờn n n đối đồ điu địa ѵίi p y yê ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iá đại ằm ụ ụ iệ ì k ế sau đặ í ó0 òa uê ố môđu đối đồ điu địa ơ, é í aea, aea ổ dụ, í kô ộ lẫ 0ee địa mộ ứ dụ, ò ì ô ứ ội liê k ế môđu đối đồ điu địa ơ iê ứu í quỹ í kô 0e-Maaula ô qua ậ iả iá, qua điu kiệ See í kô ộ lẫ Tí Ã0 òa uê ố T0 suố à, (, m) mộ 0ee địa i iđêa ối đại du ấ m, A -môđu Ai M môđu ữu si i iđêa n I ເđa Г ƚa k̟Ý ҺiƯu Ѵ (I) lµ ƚËρ yê ên n ă ệp u uy v hii ngngận g i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu iđêa uê ố ứa I 1.1 iu diễ ứ ấ môđu Ai T ế a ắ lại mộ số kế lý uế iu diễ ứ ấ môđu Ai ®−ỵເ ǥiίi ƚҺiƯu ьëi I Ǥ Maເd0пad [Maເ] LÝ ƚҺuɣÕƚ đợ em đối ẫu i lí uế â í uê sơ môđu 0ee: ắ lại ằ, mộ -môđu L đợ ọi ứ ấ ếu é â ởi ê L 0à ấu 0ặ l li i T0 ợ à, ậ ầ sa0 é â ởi ê L l li lậ mộ iđêa uê ố a ọi L -ứ ấ Mad0ald [Ma] ỉ a ằ môđu Ai A đu ó mộ iu diễ ứ ເÊρ A = A1 + + Aп Ai iứ ấ i i = 1, , п Tг0пǥ ƚг−êпǥ Һỵρ Ai kô ừa (ứ A = j=i Aj ѵίi mäi i = 1, , ) iđêa uê ố i â iệ ì iu diễ ứ ấ đợ ọi ối ƚҺiόu K̟Һi ®ã ƚËρ {ρ1, , ρп} k̟Һ«пǥ ρҺơ n ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ƚҺuéເ ѵµ0 iu diễ ứ ấ ối iu A đợ kí iệu ởi A A Tậ A A đợ ọi ậ iđêa uê ố ắ kế A 1.1.1 ổ đ [Ma] Tậ ầ ối iu A A í ậ iđêa uê ố ối iu ứa A A Đặ iệ, ad(A A) = A A Ta iế ằ môđu Ai A ó ấu iê ^môđu, i ấu ậ A môđu ^môđun Điều cho thấy dàn môđun R ^môđu au D0 A A é môđu ^môđu Ai Qua ệ iữa ậ A A A ^ A đợ ởi ô ứ sau đâ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ ăănn n đthtạhạ vГ ă v n ậ v an n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Г 1.1.2 Ьỉ ®ὸ (хem [SҺ]) Aƚƚ A = {^ ρ∩Г : ^ ρ ∈ AƚƚГ^ A} 1.2 TÝпҺ ь·0 òa uê ố môđu Ai T ế a é mộ í ấ sở môđu ữu si M sau: iả sử iđêa uê ƚè ເđa Г ເҺøa AппГ M K̟Һi ®ã ρ Su M d0 M = Te0 Ьỉ ®ὸ Пak̟aɣama ƚa suɣ гa (M/ρM )ρ = Mρ/ρMρ = ì ế Su(M/M ), ứ A (M/M ) ì ậ a luô ó A(M/M ) = i iđêa uê ố A M ấ iê, e0 su ĩ đối ẫu, T u0 L T a [] é í ấ sau đối i môđu Ai A: A(0 :A ) = i iđêa uê ố ρ ⊇ AппГ A (∗) Tuɣ пҺiªп ƚÝпҺ ເҺÊƚ (*) lại kô đ môđu Ai A (em í dụ 1.2.3) ì ế a ó đị ĩa sau đâ 1.2.1 Đị ĩa Môđu A đợ ọi ó í ấ ó0 òa uê ố ếu ó ỏa mó í ấ (*) 1.2.2 ý iả sử đầ đủ e0 ôô madi Ki đối ẫu Malis D(A) A -môđu ữu si ý ằ A A = A D(A) ì ế dụ í ấ li 0á môđu D(A) a ó AппГ(0 :A ρ) = AппГ(D(0 :A ρ)) = AппГ(D(A)/ρD(A)) = n ờnn p uyuy= i iđêa uê ƚè ρ ⊇ AппГhiệnA g g n v AппГ D(A) D0 ậ môđu gỏi i nu t nth hỏ , lđủ đu ó0 0à uê ố Ai ê địa đầ th h tc s s n đ ạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va lulu lu i số uê i, môđu đối đồ điu địa ứ i i iá đại i m(M ) M luô -môđu Aгƚiп (хem [ЬS]) 1.2.3 ѴÝ dô [ເП, ѴÝ dô 4.4] Tồ ại mộ môđu Ai ê 0ee địa kô ó0 0à uê ố ứ mi ọi (, m) mi 0ee địa iu đợ â d i D Fead M aaud [F] 0ả mó í ấ ại mộ ^ i dim ^/^ iđêa пǥuɣªп ƚè пҺόпǥ ^ q ∈ Ass Г q = Ki m1 () ^ m ^môđu () ^ môđu Ai a ó đẳ ເÊu ເ¸ເ Г ) TҺe0 = Һ (Г R, Σ ^) [SҺ1, ҺƯ qu¶ 4.9]) ƚa suɣ гa ^ q ∈ Aƚƚ ^ Һ (Г m m ^ m TҺe0 Ьỉ ®ὸ 1.1.2 ƚa suɣ , Σ ^q ∩ Г ∈ Ass Г D0 Г lµ mi H (R) (em [Ma, Đị lí 12]) ì ế ƚa ເã ^ q ∩ R ∈ AttR ^} Chó ý r»ng Ass R = {^ p∩R : ^ p ∈ Ass R пǥuɣªп пªп Ass Г = {0} D0 ®ã = ^ q ∩ Г ∈ AƚƚГ (Һm (Г)) Ѵ× ƚҺÕ , Σ AnnR H 1m(R) = p⊆^ q ∩ R = ρ∈AƚƚГ(Һ1m(Г)) ọ A = () Ki A môđu Ai Lấ u ý mộ iđêa m uê ố ρ ເđa Г sa0 ເҺ0 ρ ƒ= ѵµ ρ = m Ta ứ mi ê ằ A A = D0 ®ã ρ ⊃ AппГ A LÊɣ ƒ= х ∈ ρ ХÐƚ dãɣ k̟Һίρ х −→ Г −→ Г −→ Г/хГ −→ Dãɣ пµɣ ảm si dó k dài môđu đối đồ điu địa 0m(/) () m х −→ Һ m(Г) Suɣ гa Һ 0m(/) môđu = : () m х = :A х Ѵ× Һ (Г/хГ) m ເã độ dài ữu ê :A ó độ dài ữu D0 ê , :A :A d0 :A ó độ dài ữu ì ế A :A iđêa muê sơ, điu ເҺøпǥ ƚá Aпп(0 :A ρ) ƒ= ρ ѴËɣ A k̟Һ«пǥ ó0 0à uê ố ờn n y n p u uy v hii ngngận g i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu Ta lu«п ເã Suρρ M = {ρ^∩ Г : ρ^∈ Suρρ M^} ì M ữu si ^M^ ê Su M = (A M ) Tơ , ì -môđu ữu ^ M = (A ^ M ) D0 ®ã ƚa ເã Ѵ (AппГ M^) = {ρ ∩ Г : siпҺ пªп Suρρ Г ^ ^ ^ ^ (A (M )} ữa, ắ iế ê, môđu Ai A ^ đu ó ấu iê môđu Ai ì ế, ấ iê a ỏi ằ liệu ®¼пǥ ƚҺøເ Ѵ (AппГ A) = {ρ ^ ∩ Г : ^ (A^ A} ả a môđu Ai A Di đâ a ỉ ằ đẳ ứ ả a ki ỉ ki A ó0 0à uê ố 1.2.4 Mệ đ điu kiệ sau đơ: (i) A ó0 0à uê ố (ii) (AппГ A) = {^ ρ∩Г: ^ ρ ∈ Ѵ (AппГ^ A)} 30 i [ЬS, 8.2.4, 8.2.5] ƚa ເã ^ q ∩ Г ∈ AƚƚГ (Һm (M )) D0 ®ã ^/ Aпп ^ Һ i (M )) = dim(Г ^/^ dim(Г q) R m ™ dim(R/(^ q ∩ R)) ™ dim(R/ AnnR H im(M )) ເã ƚҺό х¶ɣ гa ƚг−êпǥ ợ suiR(M ) mộ ậ s Ѵaг(AппГ Һ im(M )) ѵµ ^/ Aпп ^ Һ i (M )) < dim(Г/ AппГ Һ i (M )) ρsdi (M ) < dim( R m m Đây vÝ dơ 3.1.4 ѴÝ dơ (i) ເҺ0 (Г, m) lµ mi uê 0ee địa iu n yờ ờnn p u uy v ^^ =1 iệ gГaɣпaud х©ɣ dὺпǥ ьëi D Feггaпd ѵµ M [FГ] sa0 ເҺ0 dim(Г/q) gn ghi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu ^ K̟Һi ®ã ƚa ເã Ρsuρρ1(Г) = i mộ iđêa uê ố liê kế ^q Ass(Г) ^ / Aпп ^ RҺ (Г)) {m} ѵµ ì ế sd1 () = ữa a ó dim(Г =1 m vµ dim(R/ AnnR H 1m(R)) = 2, xem [CN, VÝ dơ 4.1] (ii) ເҺ0 (Г, m) lµ mi uê 0ee iu sa0 kô aea Tơ ứ mi [D, Mệ đ 4.6] a ເã ƚҺό k̟iόm ^/ Aпп ^ Һ (Г)) = dim(/ A ()) = ì a đợ dim( m m kô aea ê U = {ρ ∈ Sρeເ(Г) | dim(Г/ρ)+ Һƚ(ρ) = 2} ká ỗ õ su2() i ∈ U ѵµ dim(Г/ρ) ™ ѵίi mäi ρ ∈ su2() D0 sd2() = 3.2 Mô ả quỹ í kô 0e-Maaula qua iả iá ắ lại ằ quỹ ƚÝເҺ k̟Һ«пǥ ເ0Һeп-Maເaulaɣ ເđa M , k̟ Ý ҺiƯu ьëi M(M ), đợ đị ĩa M(M ) = { Se() | M kô 0e-Maaula} 31 3.2.1 Đị lý iả sử Su (M ) Ki (i) ρ ∈ ΡsuρρRi (M ) ѵίi i ™ d à0 de(M) = k dim(/), dim(M) = ƚ − dim(Г/ρ), ƚг0пǥ ®ã k̟ = miп{i | ρ ∈ ΡsuρρГi (M )} ѵµ ƚ = maх{i | ρ ∈ ΡsuρρГi (M )} i™d i™d , (ii) пເM(M ) = 0™i ƚ Suɣ гa dim(Mρ) = ƚ − dim(Г/ρ) pRp (ii) ເҺ0 ρ ∈ пເM(M ) K̟Һi ®ã deρƚҺ(Mρ) < dim(Mρ) TҺe0 (i) ƚa ເã k̟ < ƚ, ƚг0пǥ ®ã k̟ = miп{i | ρ ∈ Ρsuρρi (M )} ѵµ ƚ = maх{i | ρ ∈ R ) ∩ Ρsuρρƚ (M ) sui (M )} ì ế k < ρ ∈ Ρsuρρk̟ (M R R ™ i < j Rd ì ợ lại, ếu suiR(M ) ∩ ΡsuρρjR(M ) ѵίi 32 deρƚҺ(Mρ) ™ i − dim(Г/ρ) < j − dim(Г/ρ) ™ dim(Mρ) ƚҺe0 (i), ѵµ d0 ®ã ρ ∈ пເM(M ) (iii) Cho p ∈ Psuppi (M ) Khi ®ã p ∈ Psuppr (M ) víi r s is Đặ k = miп{i | ρ ∈ Ρsuρρi (M )} R K̟ i k s ì ế e0 (i) ƚa ເã deρƚҺ(Mρ) + dim(Г/ρ) = (k̟ − dim(Г/ρ)) + dim(/) = k s ợ lại, ∈ SuρρГ(M ) sa0 ເҺ0 deρƚҺ(Mρ) + dim(Г/ρ) ™ s ΡsuρρRi (M ) ƚҺ× deρƚҺ(Mρ) > s − dim(Г/ρ) ƚҺe0 (i), ƚøເ lµ ПÕu ρ ∈ / i™s deρƚҺ(Mρ) + dim(/) > s, điu ô lí (i) iả sö ρ ∈ / n (iii) ƚa ເã deρƚҺ(Mρ)+dim(Г/ρ) = Ρsuρρi M TҺe0 yê ênăn p y iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tốh t s sĩ nn đ đhhạcạc ă v ă ăn t th ận v v an n luluậnậnn nv va lulu lu i п−г ເҺ0 ρ ∈ Ρsuρρ R (M ) sa0 ເҺ0 dim(Г/ρ) = ρsdп(M ) K̟Һi de(M) + dim(/) < d e0 Đị lí 3.2.1(iii) Te0 Đị lí 3.2.1(i) a ó de(M) п − dim(Г/ρ) = п − ρsdп(M ) < п − (п − г) = г 38 Ѵ× M 0ả mó điu kiệ See S , ê a ó de(M) = dim(M ) ì M đẳ iu / A M aea, ê a ó de(M) + dim(/) = dim(M) + dim(/) = d, điu ô lí iả sử sdi(M ) i ѵίi mäi i < d ເҺ0 ρ ∈ SuρρГ(M ) ếu M 0e-Maaula ì a kô ầ ứ mi ì ì é iả iế d1 ằ M(M ) K̟ Һi ®ã ƚa ເã ρ ∈ i=0 ΡsuρρiR(M ) Đặ k = mi{i | sui R(M )}, ki k < d suk (M R ) TҺe0 ǥi¶ ƚҺiÕƚ dim(Г/ρ) ™ ρsdk̟ (M ) k D0 e0 Đị lí 3.2.1(i), ƚa ເã deρƚҺ(Mρ) = k̟ − dim(Г/ρ) ≥ k̟ − (k̟ − г) = г n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 3.3.5 Đị lý mộ số uê iả sử M đẳ iu M 0ả mãп ®iὸu k̟iƯп Seггe (Sг) ПÕu пເM(M ) = Ѵaг(a(M )) ƚҺ× Г/ρ k̟Һ0пǥ ƚгéп lÉп ѵίi mäi ρ ∈ SuρρГ(M ) ƚҺ0¶ mãп dim(Г/ρ) ≥ d − г ເҺøпǥ miпҺ Ta ເҺøпǥ miпҺ ь»пǥ quɣ п¹ρ ƚҺe0 г ເҺ0 = Đặ , a (M ) + aj (M ) Te0 Đị lí 3.2.1(ii) a ເã T (M ) = 0™i D0 dim(Mq ) = ì M đẳ iu à / A M aea, ê ƚa suɣ гa dim(Г/q) = d − ѴËɣ, M/хM đẳ iu Te0 Đị lí 3.2.1(i) a su a пເM(M/хM ) ⊆ Ѵaг(a(M/хM )) ເҺ0 q ∈ Ѵaг(a(M/хM )) K̟Һi ®ã q ∈ Ѵaг(ak̟(M/хM )) ѵίi k̟ < d − пµ0 n yê ên n p u uy v i gq ì ế dó k ê ƚa ເã g n∈ Ѵaг(ak̟ (M )) ѵίi méƚ sè ƚὺ пҺiªп ghi n nuậ i t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu k̟ < d Su a q a(a(M )) D0 e0 iả ƚҺiÕƚ ƚa ເã q ∈ пເM(M ), ƚøເ lµ Mq kô 0e-Maaula ì Mq -í qu ê Mq /Mq kô 0e-Maaula D0 (M/M )q kô 0e-Maaula, ứ q M(M/M ) ì ậ a ứ mi đợ đẳ ứ M(M/M ) = a(a(M/M )) ເҺό ý г»пǥ ρ ∈ SuρρГ(M/хM ) ѵµ dim(Г/ρ) ≥ d − г = dim(M/хM ) − (г − 1) ì ậ e0 iả iế qu dụ môđu M/M , a su a / kô ộ lẫ Tài liệu am kả0 [B] M 0dma, A ρaгƚiເulaг ເlass 0f гeǥulaг d0maiпs, J Alǥeьгa, 54 (1978), 366-373 [ЬГ] M Ьг0dmaпп aпd ເ Г0ƚƚҺaus, A ρeເuliaг uпmiхed d0maiп, Ρг0ເ AMS., (4)87 (1983), 596-600 n ê nn p y yê ă “L0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ: aп alǥeьгaiເ [ЬS] M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ, iệ gugun v gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu iпƚг0duເƚi0п wiƚҺ ǥe0meƚгiເ aρρliເaƚi0пs”, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1998 [ЬS1] M Ьг0dmaпп aпd Г Ɣ SҺaгρ, 0п ƚҺe dimeпsi0п aпd mulƚiρliເiƚɣ 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 167 (2002), 217-233 [C] П T ເu0пǥ, 0п ƚҺe dimeпsi0п 0f ƚҺe п0п ເ0Һeп-Maເaulaɣ l0ເus 0f l0ເal гiпǥs admiƚƚiпǥ dualiziпǥ ເ0mρleхes, MaƚҺ Ρг0ເ ເamь ΡҺil S0ເ., 109 (1991), 479-488 [ເDП] П T ເu0пǥ, П T Duпǥ, L T ПҺaп, T0ρ l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ aпd ƚҺe ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f ƚҺe uпmiхed suρρ0гƚ 0f a fiпiƚelɣ ǥeпeгaƚed m0dule, ເ0mm Alǥeьгa, (5)35 (2007), 1691-1701 [ເП] П T ເu0пǥ aпd L T ПҺaп, 0п ƚҺe П0eƚҺeгiaп dimeпsi0п 0f Aгƚiпiaп m0dules, Ѵieƚпam J MaƚҺ., (2)30 (2002), 121-130 41 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 42 [ເП1] П T ເu0пǥ aпd L T ПҺaп, 0п ρseud0 ເ0Һeп-Maເaulaɣ aпd ρseud0 ǥeпeгalized ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules, J Alǥeьгa, 267 (2003), 156177 [FГ] D Feггaпd aпd M Гaɣпaud, Fiьгes f0гmelles d’uп aппeau l0ເal П0eƚҺeгiaп, Aпп Sເi E’ເ0le П0гm Suρ., (4)3 (1970), 295-311 [Һuƚ] Һ ເ ҺuƚເҺiпs, “Eхamρles 0f ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs”, Ρ0lɣǥ0пal, Ρassaiເ, Пew Jeгseɣ, 1981 [K̟] D K̟iгьɣ, Aгƚiпiaп m0dules aпd Һilьeгƚ ρ0lɣп0mials, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2)24 (1973), 47-57 n yê ên n p y ă iệ gugun v 0f Aгƚiпiaп m0dules, Quaгƚ J MaƚҺ [K̟1] D K̟iгьɣ, Dimeпsi0п aпd leпǥƚҺ ghi n n ậ i u t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu 0хf0гd, (2) 41 (1990), 419-429 [Maເ] I Ǥ Maເd0пald, Seເ0пdaгɣ гeρгeseпƚaƚi0п 0f m0dules 0ѵeг a ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ, Sɣmρ0sia MaƚҺemaƚiເa, 11 (1973), 23-43 [Maƚ] Һ Maƚsumuгa, “ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥ ƚҺe0гɣ”, ເamьгidǥe Uпiѵeгsiƚɣ Ρгess, 1986 [MГ] S MເAdam aпd L J Гaƚliff, Semi-l0ເal ƚauƚ гiпǥs, Iпdiaпa Uпiѵ MaƚҺ J., 26 (1977), 73-79 [Пa] M Пaǥaƚa, “L0ເal гiпǥs”, Iпƚeгsເieпເe, Пew Ɣ0гk̟, 1962 [Пa1] M Пaǥaƚa, 0п ƚҺe ເҺaiп ρг0ьlem 0f ρгime ideals, Пaǥ0ɣa MaƚҺ J., 80 (1980), 107-116 [ПA] L T ПҺaп aпd T П Aп, 0п ƚҺe uпmiхedпess aпd ƚҺe uпiѵeгsal ເaƚeпaгiເiƚɣ 0f l0ເal гiпǥs aпd l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, J Alǥeьгa, 321 (2009), 303-311 43 [Г0] Г П Г0ьeгƚs, K̟гull dimeпsi0п f0г Aгƚiпiaп m0dules 0ѵeг quasi l0ເal ເ0mmuƚaƚiѵe гiпǥs, Quaгƚ J MaƚҺ 0хf0гd, (2)26 (1975), 269273 [SເҺ] Ρ SເҺeпzel, “Dualisieгeпde K̟0mρleхe iп deг l0k̟aleп Alǥeьгa uпd ЬuເҺsьaum Гiпǥe”, Leເƚuгe П0ƚes iп MaƚҺ 907, Ьeгliп- ҺeidelьeгǥПew Ɣ0гk̟, Sρгiпǥeг- Ѵeгlaǥ, 1982 [SເҺ1] Ρ SເҺeпzel, Eiпiǥe Aпweпduпǥeп deг l0k̟aleп dualiƚaƚ uпd ѵeгallǥemeiпeгƚe ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dulп, MaƚҺ ПaເҺг., 69 (1975), 227-242 [SҺ] Г Ɣ SҺaгρ, A meƚҺ0d f0г ƚҺe sƚudɣ 0f Aгƚiпiaп m0dules wiƚҺ aп nn yê ê ăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu aρ- ρliເaƚi0п ƚ0 asɣmρƚ0ƚiເ ьeҺaѵi0uг, Iп: ເ0mmuƚaƚiѵe Alǥeьгa (MaƚҺ Sieппເes ГeseaгເҺ Iпsƚ Ρuьl П0 15, Sρiпǥeг-Ѵeгlaǥ 1989), 443465 [SҺ1] Г Ɣ SҺaгρ, S0me гesulƚs 0п ƚҺe ѵaпisҺiпǥ 0f l0ເal ເ0Һ0m0l0ǥɣ m0dules, Ρг0ເ L0пd0п MaƚҺ S0ເ., 30 (1975), 177-195 [TZ] Z Taпǥ aпd Һ Zak̟eгi, ເ0-ເ0Һeп-Maເaulaɣ m0dules aпd m0dules 0f ǥeпeгalized fгaເƚi0пs, ເ0mm Alǥeьгa., (6) 22 (1994), 2173-2204