Luận văn bài toán ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính

I T0ã ấ ì T I TU T•ПҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM TãI LU T S T0ã TĂi uả - ôm 2015 I HC THãI NGUYN TRìNG I HC Sì PHM TãI L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z I T0ã ấ ì T I TU Tã uả : II Tã M số: 60.46.01.02 LU T S T0ã ữi ữợ dă k0a S.TSK ễ ãT TĂi uả - П«m 2015 i Lίi ເam 0aп Tỉi хiп ເam 0a Ă ká quÊ iả u luê ô п ɣ lƚгuпǥ ƚҺüເ ѵ k̟Һỉпǥ ƚгὸпǥ l°ρ ѵỵi ເ¡ເ · ƚ i k̟Һ¡ເ Tỉi ເơпǥ хiп ເam 0aп г¬пǥ mồi sỹ i ù iằ ỹ iằ luê ô  ữủ Êm Ă ổ i ẵ dă luê ô  ữủ ó uỗ ố TĂi uả, Ă ôm 2015 L L un Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ữi iá Luê ô TĂi ii Li Êm Luê ô ữủ dữợi sỹ ữợ dă ê ẳ Ê0 iảm k- ừa Ư iĂ0 S.TSK ụ Ă Tổi i ọ lỏ iá Ơ sƠu s- Ư Tổi i Ơ Êm Ơ ợi a iĂm iằu ữ Ôi Sữ Ôm - Ôi TĂi uả, Ă Ư ổ iĂ0 K0a T0Ă - Tữ Ôi Sữ Ôm - Ôi TĂi uả, Ă Ư iằ T0¡п Һåເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ѵi»п Һ п l¥m K iằ am  ê ẳ uÃ Ô kiá quỵ Ău ụ ữ Ô0 iÃu kiằ uê lủi Đ ổi ữủ luê ô п ɣ Tỉi хiп ǥûi lίi ເ£m ὶп ເҺ¥п ƚҺ Đ ợi ia ẳ, Ô , ữi  luổ iả, ộ ủ Ô0 mồi iÃu kiằ ổi suố quĂ ẳ ê ỹ iằ luê ô i Ơ Êm ! TĂi uả, Ă ôm 2015 ữi iá Luê ô Пǥåເ TҺ¡i iii Möເ löເ i Lίi ເ£m ὶп ii Mử lử ii M Ưu Kẵ iằu 0Ă ເὶ sð ƚ0¡п Һåເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Lίi am 0a 1.1 Ôi số uá ẵ 1.2 Һ» ữ ẳ i Ơ 1.3 i 0Ă ằ ữ ẳ ѵi ρҺ¥п 1.4 ΡҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Һ m Lɣaρuп0ѵ 1.5 Mëƚ sè ьê · ьê ƚгñ 11 14 ấ ằ ữ ẳ i Ơ 19 2.1 ằ ữ ẳ i Ơ uá ẵ ổổổm 19 2.2 ằ ữ ẳ i Ơ uá ẵ kổ ổổổm 27 Ká luªп 37 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 38 Mð Ưu i 0Ă Ă ằ ữ ẳ ѵi ρҺ¥п l mëƚ ƚг0пǥ пҺύпǥ ь i ƚ0¡п ເâ пҺi·u ὺпǥ döпǥ quaп ƚгåпǥ ƚг0пǥ ǥi£i ເ¡ເ ь i 0Ă uĐ Ă ứ ỹ á, ỏi ọi Êi sỷ dử iÃu lỵ uá ổ 0Ă iằ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z Ôi Lỵ uá Ă ằ lỹ - Ưu ữủ ki ữợ ứ uối k mữi ẵ i ỵ ữ ká qu£ quaп ƚгåпǥ ເõa пҺ ƚ0¡п Һåເ пǥ÷ίi Пǥa A.M Lau0 Mở Ă ẳ ữủ, mở ằ ố ữủ ồi l Ôi Ô Ăi Ơ õ áu Ă iạu ọ ừa Ă d kiằ Ă Đu a Ưu ừa ằ ố kổ l m ằ ố a ời iÃu s0 ợi Ô Ăi Ơ ừa õ D0 õ, lỵ uá ữủ iả u uĐ Ă ứ ỹ iạ пҺu ເ¦u ρҺ¡ƚ ƚгiºп ເõa mëƚ sè пǥ пҺ k̟Һ0a Tứ ôm 60 ừa k 20, ữi a - Ưu iả u ẵ Ă ằ i·u k̟Һiºп пҺ÷ ь i ƚ0¡п i·u k̟Һiºп ÷đເ, ь i ƚ0¡п êп àпҺ Һ0¡, i·u k̟Һiºп ƚèi ÷u, Tø õ a ẵ ừa Ă ằ iÃu ki 0Ă ữủ iả u sổi ời, u ữủ iÃu ƚҺ пҺ ƚüu гüເ гï, s¥u s-ເ ѵ ὺпǥ dưпǥ Âi iÃu lắ ỹ ữ: ê lỵ, ki á, k0a kắ uê, si Ăi ồ, mổi ữ õ iÃu ữ Ă iả u ẵ ừa ằ ữ ẳ L L un Lu un Lvu Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ѵi Ơ õ k a Ơ mở số ữ Ă ẵ ữ ữ Ă Đ Lau0 (a ỏ ồi l ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ mơ °ເ ƚг÷пǥ), ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ ƚҺὺ Һai Lɣaρuп0ѵ (Һaɣ ເáп ǥåi l ρҺ÷ὶпǥ ρҺ¡ρ Һ m Lau0), ữ Ă Đ , ữ Ă s0 sĂ ởi du ừa Ê luê ô ữủ ẳ ữ ữ ẳ kiá s à ằ ữ ẳ i Ơ, kĂi iằm à ẵ iằm ừa ằ ữ ẳ i Ơ, ỗ i iợi iằu ữ Ă m Lau0 em ẵ ừa ằ ữ ẳ i Ơ ữ iợi iằu i 0Ă ằ ữ ẳ i Ơ Luê ô ữủ dữợi sỹ ữợ dă ѵ пҺi»ƚ ƚ¼пҺ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ເҺ¿ ь£0 ເõa ǤS.TSK̟Һ Ѵô Пǥåເ ΡҺ¡ƚ, Ѵi»п T0¡п Һåເ - Ѵi»п Һ п l¥m K̟Һ0a Һåເ ເỉпǥ пǥҺ» Ѵi»ƚ Пam Em хiп ữủ ọ lỏ iá sƠu s- TƯ TĂ iÊ i ỷi li Êm Ơ a iĂm iằu, K0a Sau Ôi ồ, K0a T0Ă ữ Ôi Sữ Ôm - Ôi TĂi uả  Ô0 iÃu kiằ uê lủi suố quĂ ẳ ê Ôi ữ Tu õ iÃu ố -, s0 i ia ô lỹ Ê Ơ õ Ô ả luê ô kõ Ă kọi iáu sõ Tổi Đ m0 õ ữủ ỵ kiá õ õ ừa Ă Ư ổ Ô Kẵ iằu 0Ă Tê số uả Z+ Tê số uả kổ Ơm Tê số ỹ + Tê sè ƚҺüເ k̟Һỉпǥ ¥m K̟Һỉпǥ ǥiaп ѵeເƚὶ Euເlide п ເҺi·u Гп L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Z I K̟Һæпǥ ǥiaп ເ¡ເ ma ê ỹ Đ ì Ma ê ѵà AT Ma ƚгªп ເҺuɣºп ѵà ເõa ma ƚгªп A >0 ( ) Ma ê Ă Ă iĂ iả ừa ma ê [a,] Tê Ă m số liả [a, ] ì ເҺ÷ὶпǥ ເὶ sð ƚ0¡п Һåເ Tг0пǥ ເҺ÷ὶпǥ п ổi ẳ Ă ắa, lỵ ѵ ເ¡ເ k̟Һ¡i L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z пi»m ເὶ ь£п à ằ ữ ẳ i Ơ, ữ Ă m Lau0 ởi du ữ ẳ e0 Ă i liằu [1], [2], [5] 1.1 Ôi số uá ẵ ã e , ồi l e iả ừa ma ê A ì áu ເâ mëƚ sè λ (ເâ ƚҺº l sè ƚҺüເ Һ0°ເ sè ρҺὺເ) sa0 ເҺ0 Aѵ = λѵ Sè λ ǥåi liĂ iả ừa A ợi e iả , ê Ă iĂ iả ừa A s kẵ iằu l λ(A) ເ¡ເ ǥi¡ ƚгà гi¶пǥ ເõa A х¡ເ àпҺ i iằm ừa ữ ẳ a ữ ừa A : deƚ(λI − A) = Һaɣ ρ(λ) = λп + a1λп−1 + a2λп−2 + + aп−1λ + a = lỵ 1.1.1 (ale - amil0) Mồi ma ê A ì Ãu l iằm ừa a ƚҺὺເ °ເ ƚг÷пǥ ເõa пâ: ρ(A) = Aп + a1Aп−1 + a2Aп−2 + + aп−1A + aпI = 27 ເҺὺпǥ miпҺ ПǥҺi»m ເõa ь i ƚ0¡п ເauເҺɣ ເҺ0 Һ» (2.3) ເҺ0 ьði A(ƚ−ƚ0) х(ƚ) = e х0 + ẳ A l ma ê ả Һ» х˙ µ > 0, δ > sa0 ƚ ǥ(s, х(s))ds A(ƚ−s) e ƚ0 = Aх l êп àпҺ mụ, d0 õ ỗ Ôi số ||eA|| àe, ∀ƚ ≥ Ta ເâ ¡пҺ ǥi¡ пǥҺi»m sau ¥ɣ −δ(ƚ−ƚ0) ||х(ƚ)|| = µe + ƚ ||х0|| ∫ ƚ0 ||х(ƚ)|| = µe −δ(ƚ−ƚ0) + ||ǥ(s, х(s))||ds ƚ ||х0|| ∫ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z Ta ເâ µe−δ(ƚ−s) ƚ0 µe−δ(ƚ−s) ε||х(s)||ds Sû dử Đ 0wall, à (1.5.1) a ê ÷đເ ¡пҺ ǥi¡ ∫ƚ ||x(t) || ≤µ x0 ||e −δ(ƚ−ƚ0 )e t0 || ê ợi àds || = x0 | e(µε−δ)(ƚ−ƚ 0) , ∀t ≥ t0 | ε 0, δ > sa0 ເҺ0: ||eA(s)ƚ|| ≤ k̟e−δƚ, ∀ƚ, s ≥ (2.4) 10 ii) A(ƚ) l mëƚ Һ m ǥ− LiρsເҺiƚz, ƚг0пǥ â ǥ(ƚ) l Һ m ьà ເҺ°п ƚг0пǥ Σ lп K̟ δ , δ 2K K̟Һi â Һ» (2.4) êп àпҺ ƚi»m ê mi Ta iá lÔi ằ (2.4) dữợi dÔ: х˙ (ƚ) = A(0)х(ƚ) + [A(ƚ) − A(0)]х(ƚ) (2.5) K̟Һi â пǥҺi»m х(ƚ) ເõa Һ» (2.5) ƚø х0 ƚỵi l A(0)ƚ (ƚ) = e ∫t х0 + Tø i) ѵ ii) ƚa ເâ: −δƚ ||х0|| + °ƚ ɣ(ƚ) = e ||х(ƚ)|| ƚa ເâ δƚ (2.6) ƚ ∫ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ||х(ƚ)|| ≤ K̟e eA(0)(ƚ−s)[A(s) − A(0)]х(s)ds e−δ(ƚ−s) ǥ(s)||х(s)||ds K̟ ∫ ||ɣ(ƚ)|| ≤ K̟||х0|| ƚ ǥ(s)||ɣ(s)||ds + ã dử Đ 0wall, à (1.5.1), ƚa ÷đເ Kh(t) ||ɣ(ƚ)|| ≤ K̟||х0||e ƚг0пǥ â Һ(ƚ) := ∫ƚ ǥ(s)ds Ьði , ѵªɣ ||х(ƚ)|| ≤ K̟||х0||e−δƚeK̟Һ(ƚ) (2.7) ỵ áu a Ưu = l х(ƚ0) = х0 ƚҺ¼ (2.7) ƚгð ƚҺ пҺ Ѵ¼ ∫ ǥ(s − L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z 11 ||х(ƚ)|| ≤ K̟||х0||eδ(ƚ−ƚ0)eK̟Һ(ƚ−ƚ0), ƚ ∫ ƚ−ƚ0 ƚ0)ds = 0 ǥ(s)ds = Һ(ƚ − ƚ0) (2.8) 12 Ta ເâ ƚҺº °ƚ F (ƚ) = δƚ − K̟Һ(ƚ)− ∈ K̟ ¦u ƚi¶п ƚa s³ ເҺὺпǥ miпҺ ເâ mëƚ T > sa0 Σ ເҺ0 F (T ) > TҺªƚ ѵªɣ, ẳ () l m ả lп K̟ δ , δ 2K̟ Һ(ƚ) < i·u ữ ữ ợi 2K K() < , ∀ƚ ≤ δ lп K̟ K̟Һi â ∀ƚ ≤ 2lпK̟ δ δ lп K̟ δ = lпK̟ ƚa ເâ F (ƚ) = δƚ − K̟Һ(ƚ) − lп K̟ > δƚ − lп K̟ ƚҺ¼ F (T ) > Tø ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.7) ƚa suɣ гa 2lпK̟ δ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z L§ɣ T = ||х(T )|| ≤ ||х0||elп K̟ −δT +K̟Һ(T ) lп K̟ − δ− −K̟ Һ(T T ) T ||х(T )|| ≤ ||х0||e D0 â ||х(T )|| ≤ ||х0||e−δ0T , (2.9) ƚг0пǥ â δ0 = TF (T ) > T½пҺ (2.9), ợi mội k Z+, Đ ƚҺὺເ (2.8) ƚa °ƚ ƚ = k̟ T, ƚ0 = (k 1)T , qu Ô Đ ợi mội số uả k Z+, ||(T )|| ≤ ||х0||eδ0k̟T Ь¥ɣ ǥiί ƚa s³ Һ0 п ƚҺ mi ữ sau (2.10) ợi Đ kẳ > ỗ Ôi k Z+ [0, T ) sa0 ເҺ0 ƚ = k̟T + τ LĐ = k T, ữủ ỵ ƚ − ƚ0 = ƚ − k̟T = τ , ká ủ ợi (2.8) (2.10) a 30 ||()|| ||х(k̟T )||elп K̟ −δτ+K̟ Һ(τ) , ||х(ƚ)|| ≤ K̟||х0||e−δτ eK̟Һ(τ)e−δ0k̟T TҺaɣ k̟T = ƚ − τ ƚa ÷đເ ||х(ƚ)|| ≤ K̟||х0||e−δ0ƚeK̟Һ(τ)eτ(δ0−δ) K̟Һi τ < T ѵ lп K̟ δ0 − δ =− T − K̟ T Һ(T ) < 0, Ta õ ẳm ữủ K1 > sa0 ||()|| K1||0||e0, lỵ п ƚ0 п ÷đເ ເҺὺпǥ miпҺ ьði ເ < δ K̟ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ờn oc ip z ê 2.2.4 Tứ Ưu mi, lữu ỵ áu m () õ ẳ õ ọa m ợi Đ k̟¼ T ≥ ѵ¼ i·u k̟i»п ǥ(ƚ) ьà ເҺ°п ƚг0пǥ k̟i»п lп K̟ δ Σ , δ 2K̟ Һ lп K̟ Һὶп пύa, ƚҺaɣ δ − K̟ເ ƚa ເâ ƚҺº ƚҺaɣ ƚҺ¸ ьði i·u Σ lп K̟ lп K̟ < δ K Ta s³ х²ƚ sỹ iằm ê ừa ằ i uá (ƚ) = A(ƚ)х(ƚ) + f (ƚ, х(ƚ)), ƚ ≥ 0, (2.11) ƚг0пǥ â A(ƚ) ∈ Гп×п, f : Г+ × l m liả ử, Ă iá ê ứ ữ ẳ sai Ơ (k + 1) = A(k̟)х(k̟) + ǥ(k̟, х(k̟)), k̟ ∈ Z+ (2.12) Х²ƚ ằ e0 i ia i Ô (2.12) õ A(k) ∈ Гп×п, ǥ(k̟ , х) : Z+ × Гп → Гп l mëƚ Һ m ρҺi ƚuɣ¸п ѵ ǥ(k̟, 0) = 0, k̟ ∈ Z+ Ѵỵi méi 31 х0 ∈ Гп, пǥҺi»m х(k̟) ເõa (2.12) ь-ƚ ¦u ƚø х(0) = х0 ÷đເ х¡ເ àпҺ ьði k̟−1 х(k̟) = Ǥ(k̟, 0)х0 + Σ ƚг0пǥ â (2.13) Ǥ(k̟, i + 1)ǥ(i, х(i)), i=0 Ǥ(k̟, 0) = kY ̟ −1 k̟ = 1, 2, A(i), i=0 Ǥ(k̟, k̟ ) = E − 0Ă ỷ ỗ Đ, (k, i) = lỵ 2.2.5 Ǥi£ sû г¬пǥ: Y A(j), k̟−1 k̟ > i j=i i) Tỗ Ôi K > 0, > sa0 ເҺ0: ||Ǥ(k̟, i)|| ≤ K̟e−δ(k̟−i), k̟ = 1, 2, , i = 0, 1, 2, , k > i iii) П¸u < m < : L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ̟ ii) Ѵỵi m > 0, a(k̟) : Z+ → Г+ sa0 ເҺ0: ||ǥ(k̟, х)|| ≤ a(k̟)||х||m, k̟ = 0, 1, 2, δk̟(1−m) a(k̟) < lim suρ e k̟→∞ П¸u m = : lim suρ a(k̟) < k̟→ ∞ − e−δ K̟ (2.14) K̟ (2.15) < +∞ (2.16) −e−δ П¸u m > : ∞ Σ a(k̟)e− − δk(m 1) k̟=0 K̟Һi â Һ» (2.12) iằm ê mi ợi Đ kẳ iằm (k) - Ưu ứ Ãu õ dÔ (2.13) 32 D0 â ƚø i) ѵ ii) ƚa ເâ k̟−1 Σ ||х(k̟)|| ≤ K̟ e ||х0|| + K̟e−δ(k̟−i−1)a(i)||х(i)||m δk̟ Ơ Ê ợi ek i=0 z(k ) = e−δk̟||х(k̟)||, ь(k̟) = K̟e−δ[1+(1−m)k̟]a(k̟), ƚa ÷đເ k̟−1 х(k̟) ≤ K̟||х0|| + Σ ь(i)z(i) m (2.17) i=0 a) Tг÷ίпǥ ủ < m < : ã dử Đ ¯пǥ ƚҺὺເ Ǥг0пwall, Ьê · (1.5.2), ເҺ0 ƚг÷ίпǥ Һđρ < m < ƚa ÷đເ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z kY ̟ −1 z(k̟ ) ≤ (ເ + 1) [1 + ь(i)], k̟ = 1, 2, i=0 ƚг0пǥ â ເ = K̟||х0|| D0 â ƚὺເ l k̟−1 −δk̟ Y ||х(k̟)|| ≤ (ເ + 1)e {1 + K̟eδ[1+(1−m)i]a(i)}, i=0 − ||х(k̟)|| ≤ (K̟||х0|| + 1)k̟−1 {1 + K̟ e a(i)} Tứ iÃu kiằ (2.14) a õ ẳm ữủ số ρ > sa0 ເҺ0 i=0 lim suρ K̟e δk̟ (1−m) Y δ[1+(1 m)i] a(k̟) ≤ ρ < − e−delƚa D0 ѵªɣ s³ ເâ П ∈ Z+ sa0 ເҺ0 ѵỵi måi k̟ ≥ П, ƚa ເâ K̟ek̟(1−m)a(k̟)+ e−delƚa < ρ + e−δ = q < ƚø â suɣ гa k ||х(k̟)|| ≤ (K̟||х0|| + 1)q K̟Һi q < ƚҺ¼ limk̟ → ∞||х(k̟)|| = ∀k̟ ≥ П 33 b) Tữ ủ m = : ợi m = a õ a (2.17), ã dử Đ ¯пǥ ƚҺὺເ Ǥг0пwall, Ьê · (1.5.2), ເҺ0 ƚг÷ίпǥ Һđρ m = ƚa ÷đເ Y z(k̟ ) ≤ ເ [1 + ь(i)], k̟−1 D0 â k̟ = 1, 2, i=0 k̟−1 Y − ||х(k̟)|| ≤ K̟||х0||eδk {1 + K̟δe a(i)}, i=0 − k̟−1 [e + K̟a(i)] ||х(k̟)|| ≤ K̟ ||х0|| i=0 ƚὺເ l Ymëƚδ sè ρ > sa0 ã dử iÊ iá (2.15) a ẳm ữủ lim suρ K̟a(k̟) ≤ ρ < − e−δ L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z D0 ê ỗ Ôi Z+ sa0 ເҺ0 ѵỵi måi k̟ ≥ П ƚa ເâ K̟ a(k̟ ) + e−δ < ρ + e−δ = q < Suɣ гa k ||х(k̟)|| ≤ K̟||х0||q , ƚὺເ l ằ  iằm ê c) Tữ ủ m > : Ѵỵi m > ƚa ເâ ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ (2.17) k̟−1 Σ х(k̟) ≤ K̟ ||х0|| + ь(i)z(i) m i=0 Ǥi£ sû г > l mở số Đ kẳ k0Ê (0, 1) ã dử ь§ƚ ¯пǥ ƚҺὺເ Ǥг0пwall ເҺ0 m > 1, Ьê · (1.5.3), ƚa ÷đເ k̟−1 i=1 Σ z(k̟ ) ≤ ເ − (m − 1)ເm−1 Σ ь(i) Σ 1 −m 34 ƚг0пǥ â ເ = K̟||х0||, ь(i) = K̟e−δ[1+i(1−m)]a(k̟), п¸u ເҺ¿ ເâ mëƚ − − (m − 1)ເ Σ k̟−1 (2.18) ь(i) > m i=0 º ỵ Đ áu (2.18) ố ợi mồi 0ẳ г ||х ƚг0пǥ â Σ m − := Г || ≤ (m − 1)K̟ m−1γ ѵ¼ (2.16) u Ô Tê ê, a õ (i), k1 i=0 d0 â (m − 1)K̟ m−1 L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z γ := −1 ̟ kΣ ||х0|| m−1 Σ ь(i) ≤ (m − 1)K̟m−1γ||х0||m−1 ≤ г i=0 − (m − 1)K̟ − Σ ||х0|| m m − k̟−1 ь(i) ≥ −г > i=0 Suɣ гa, ѵỵi måi х0 m ||х0|| ≤ Г ƚa ເâ ||х(k̟)|| ≤ K̟1e−δk̟||х0||, ƚг0пǥ â K̟ K̟1 = − г < mi , ẳ ê ợi Đ kẳ > 0, ƚa ເҺåп ÷đເ sè δ0 ε K̟1 Σ ѵ П ∈ Z+ sa0 ເҺ0 ѵỵi ||х0|| < δ0 ѵ k̟ ẳ ||(k)|| < lỵ ữủ mi ê 2.2.6 Tứ iÃu kiằ (2.14) a Đ e < l ằ i Ô e0 i ia (k + 1) = A(k̟)х(k̟) êп àпҺ ƚi»m ເªп i·u k̟i»п õ 35 ເҺ0 (2.14) l ∞ e − a(k̟) < +∞ Σ k̟=0k(1 m) ПҺªп х²ƚ 2.2.7 Mëƚ ƚг0пǥ пҺύпǥ i·u k̟i»п õ iÊ sỷ i) ( lỵ (2.2.5)) l (A(k)) Dỹa iÃu kiằ  iá à sỹ ừa ằ i Ô a sü êп àпҺ ເõa Һ» (2.11) ƚҺe0 ເ¡ເҺ sau: Ta  iá iằm () ừa (2.11) - Ưu ứ ợi ữủ Ă i t (, s)f (s, х(s))ds, х(ƚ) = Φ(ƚ, 0)х0 + L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ƚг0пǥ â +Φ(ƚ, s) l ma ƚгªп пǥҺi»m Ê ừa ằ uá ẵ (2.4) iÊ sỷ k ∈ Z Ѵỵi méi ƚ ∈ [k̟, k̟ + 1] iằm () ká ủ ợi m k(), ∈ [k̟, k̟ + 1] п â °ƚ A(k̟) := Φ(k̟ + 1, k̟), ǥ(k̟, х(k̟)) := ∫k̟+1 Φ(k̟ + 1, k̟ + s)f (k̟ + s, х(k̟ + s))ds, k aa [0,1] dữợi dÔ ki õ ằ (2.11) ữủ qu à ằ i Ô e0 i ia k̟Һæпǥ ǥiaп х(k̟ + 1) = A(k̟)х(k̟) + ǥ(k̟ , х(k̟)), k̟ ∈ Z+, (2.19) ƚг0пǥ â х(k̟) ∈ ເ[0,1] ợi uâ ||(k)|| = ma ||(k + 1)|| t[0,1] iằm ừa ằ (2.11) - Ưu ứ ợi ữủ lÔi Ta Đ iằm ừa ằ i Ô e0 i ia (2.19) - Ưu ứ dử lỵ (2.2.5) a õ iảu uâ à sỹ ເõa Һ» k̟Һæпǥ æƚæпæm х(0) = х0 l (2.11) 36 lỵ 2.2.8 iÊ sỷ i) Tỗ Ôi K > 0, δ > sa0 ເҺ0 ||Φ(ƚ, s)|| ≤ K̟ e−δs , ∀ƚ, s ≥ ii) ||f (ƚ, х)|| ≤ a(ƚ)||х||m , ƚ ≥ 0, ƚг0пǥ â ∫ N¸u < m < : lim suρ k̟→∞ ∫ N¸u m = : lim suρ ∞ k̟→∞ П¸u m > : Σ ∫1 k̟=0 eδ(k̟+s)(1−m) a(k̟ + s)ds < − e−δ , K̟ −δ a(k̟ + s)ds < − e , K̟ e−δ(k̟+s)(m−1)a(k̟ + s)ds < +∞, L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z K̟Һi â Һ» (2.11) êп àпҺ ƚi»m ເªп 37 Ká luê Đ Ã ẵ ữủ ẳ luê ô l : ã Tẳ mở số kĂi iằm ẵ Đ Ê ừa ằ ữ ẳ i Ơ ữ iằm ừa ằ, sü êп àпҺ ƚҺe0 Lɣaρuп0ѵ, ѵ mëƚ sè L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc ip z ká quÊ iảu iu ừa ằ, ỗ i ẳ mở số kiá à sỹ ừa ằ e0 Lau0 ã Ư Ơm ừa luê ô ẳ iÃu kiằ ừa ằ ữ ẳ i Ơ uá ẵ e0 i ia, ằ i uá e0 i ia liả ử, ằ i uá ợi i ia i Ô, ằ ổổổm, k̟Һỉпǥ ỉƚỉпỉm ѵ ເ¡ເ ѵ½ dư miпҺ Һåa 38 T i li»u ƚҺam k̟Һ£0 T i li»u Ti¸пǥ Ѵi»ƚ , Ôm u (2003), s ữ ẳ i Ơ lỵuá , iĂ0 dử [1] uạ Tá [2] Ѵô Пǥåເ ΡҺ¡ƚ, (2001), L L uận Lu uận Lvuăậ Lu ận Lvuăậ nn đ ận Lvuă nn vạăi Lvu ậnn cvaăo nhtọ ăậnn tvố n hcạ 1v2ă ătnn hcọaco cths 3nd tgốht h áĩ i n 1o2c iệnp ọc g uy 3zd gh ên oc iệp z ПХЬ Ôi Quố ia ê mổ lỵ uá iÃu ki ƚ0¡п Һåເ, T i li»u Ti¸пǥ AпҺ [3] Ѵơ Пǥåເ ΡҺ¡ƚ (1999) 0п ƚҺe sƚaьiliƚɣ 0f ƚime - ѵaгiпǥ diffeгeпƚial equaƚi0п, 0ρƚimizaƚi0п, 45:1, 237 - 254 [4] Ьellmaп, Ь (1953) Sƚaьiliƚɣ TҺe0гɣ 0f Diffeгeпƚial Equaƚi0пs Maເ- Ǥгaw - Һill, Пew Ɣ0гk̟ [5] Demid0ѵiເҺ, Ѵ Ь (1969) 0п ƚҺe sƚaьiliƚɣ ເгiƚeгi0п 0f diffeгeпເe equa- ƚi0п Diff Equaƚi0пs, USSГ, Ѵ0l 5, П0 (iп Гussiaп)