Trang 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC————— o0o —————DƯƠNG THÙY LINHVỀ TÍNH ỔN ĐỊNH VỮNG CỦA PHƯƠNG TRÌNHVI PHÂN ĐẠI SỐ VOLTERRALUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Trang 2 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC————— o0
Một số kiến thức đại số tuyến tính
Chỉ số của ma trận và cặp ma trận
ChoM là ma trận cấpd×d Ta biết rằng kerM n là dãy tăng còn imM n là dãy giảm theon DoR d là không gian hữu hạn chiều nên tồn tại số nguyên 1≤k≤d sao cho kerM k−1 ̸=kerM k =kerM k+1 (1.1) Khi đó, đồng thời người ta cũng chứng minh được rằng imM k−1 ̸=imM k =imM k+1 (1.2)
Từ đó ta có định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Số k nguyên dương thỏa mãn điều kiện (1.1) và (1.2) được gọi là chỉ số của ma trận M và ký hiệu k =indM. Để đưa ra khái niệm chỉ số của cặp ma trận (A, B) ta giả thiết rằng (A, B) là chính quy, tức là đa thứcdet(λA+B) ̸≡0 Khi đó, tồn tại hằng số c∈ C sao cho ma trận cA+B khả ngược. Định nghĩa 1.1.2 Chỉ số của cặp ma trận (A, B), ký hiệu là ind(A, B), được định nghĩa là chỉ số của ma trận (cA+B) −1 A.
Ta có thể chứng minh được rằng ind(A, B) không phụ thuộc vào cách chọn hằng số c.
Một vài tính chất của bộ ba các ma trận
Xét bộ ba ma trận (A, A, B) Giả sử rằng rankA = rankA = r, và xét T ∈ GL(R m ) sao cho T| kerA là một đẳng cấu giữa kerA và kerA Toán tử T có thể được xác định như sau: choQ vàQ tương ứng là các phép chiếu lên kerAvà kerA; các ma trận không suy biến V và V được xác định sao cho Q = V Q (0) V −1 và
Q= V Q (0) V −1 , trong đóQ (0) = diag(0, Im−r) Khi đó, đặt T = V V −1 , ta có toán tử T thỏa mãn các yêu cầu như trên.
ChoQ là một phép chiếu bất kỳ lên kerA Ta có bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.3 Các khẳng định sau đây là tương đương
(b) ma trận G= A+BT Q là không suy biến,
(a)=⇒ (b): Giả sử x ∈ R m sao cho (A+BT Q)x = 0 Khi đó BT Qx = −Ax, kéo theo T Qx ∈ S Vì S ∩ kerA = {0} và T Qx ∈ kerA nên T Qx = 0, tức là
Qx = 0 Từ đó suy ra Ax = 0 hay x ∈ kerA, do đó x = Qx = 0 Vậy ma trận
G= A+BT Q là không suy biến.
(b)=⇒ (c): Ta có x= (I −T QG −1 B)x+T QG −1 Bx Vì T QG −1 Bx∈ kerA vàB(I −T QG −1 B)x= [B−(A+BT Q)G −1 B]x+AG −1 Bx=AG −1 Bx∈ imA.
Do đó,(I−T QG −1 B)x ∈S VậyR m =S+kerA.
Tiếp theo, ta xét x ∈ S ∩ kerA Do x ∈ S nên tồn tại z ∈ R m sao cho
Bx= Az =AP z Vì x∈ kerA, ta suy ra T −1 x ∈kerA và T −1 x= QT −1 x Do đó (A+BT Q)T −1 x= AT −1 x+BT QT −1 x =Bx và (A+BT Q)P z =Az =Bx.
Vậy (A+BT Q)T −1 x = (A+BT Q)P z Vì G = A+BT Q không suy biến nên
T −1 x = P z Tác động Q vào hai vế ta suy ra T −1 x = 0 Vậy x = 0 Khẳng định (c) được chứng minh.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.1.4 Giả sử ma trận G không suy biến Khi đó ta có các khẳng định sau
(c) Qe :=T QG −1 B là toán tử lên kerA dọc theo S (1.5) (d) Nếu Q là phép chiếu lên kerA và P = I−Q thì
P G −1 B =P G−1BP và QG −1 B = QG −1 BP +T −1 Q (1.6) (e) T Q G −1 không phụ thuộc vào cách chọn T và Q.
(a) Vì GP = (A+BT Q)P = AP =A, ta có (1.3).
(b) Ta có G −1 BT Q=G −1 (G−A) = (I −P) =Q Từ đó suy ra (1.4).
Qe 2 = T QG −1 BT QG −1 B (1.4) = T QG −1 B =Qe và AQe =AT QG −1 B = 0. Điều này có nghĩa là Qe là một phép chiếu lên kerA Từ chứng minh phần (c) của
Bổ đề 1.1.3 suy ra Qe là một phép chiếu lên kerA dọc theoS.
(d) Vì T −1 Qx∈ kerA với mọi x nên
Vậy P T −1 B =P G −1 BP Mặt khác, ta cũng có
QG −1 B = QG −1 BP +Q(G −1 BT)T −1 Q = QG −1 BP +QQT −1 Q
= QG −1 BP +QT −1 Q= QG −1 BP +T −1 Q.
(e) Giả sử Q ′ là một phép chiếu bất kỳ lên kerA khác Q và T ′ cũng là một đẳng cấu giữa kerA và kerA Ta có
T QG −1 G ′ = T QG −1 (A+BT ′ Q ′ ) =T QG −1 A+T QG ′−1 BT ′ Q ′
Vậy T QG ′−1 G= T ′ Q ′ G ′−1 , hayT Q G −1 không phụ thuộc vào cách chọn T và Q.
Bổ đề được chứng minh.
Bất đẳng thức Gronwall-Bellman dạng mở rộng
Bổ đề 1.1.5 [8] Cho các hàm liên tục không âm h(t), σ(t), k(t), w(t, r) xác định trên miền a≤r ≤t t 0 , ta ký hiệu hai không gian con:
Ta lưu ý rằng với mọi T > t 0 , không gian C Q ([t 0 , T];R n ) là độc lập với cách chọn phép chiếu Q.
Tính giải được của phương trình vi phân đại số Volterra 14
Để xét tính giải được của phương trình vi phân đại số Volterra, trước tiên ta chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình đó Bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Picard ta có bổ đề sau (chi tiết chứng minh, có thể tham khảo Định lý 3.12 [17]).
Bổ đề 1.3.2 Giả sử S là một hàm được xác định trên [t 0 , T]×C P [t 0 , T];R n
, lấy giá trị trong R n , sao cho với mọi u ∈ C P [t 0 , T];R n
, giá trị của hàm S(t, u) chỉ phụ thuộc vào các giá trị của u trên đoạn [t 0 , t] Hơn nữa, S thỏa mãn điều kiện Lipschitz, nghĩa là tồn tại một hằng số k >0 sao cho
Khi đó phương trình y ′ = (P ′ +P G −1 B)y+P G −1 S(t, y), (1.12) với điều kiện ban đầu y(t 0 ) = P(t 0 )x 0 có nghiệm duy nhất trong C P ([t 0 , T];R n ). Hơn nữa, nếu y(t) và z(t) là hai nghiệm của (1.12) thì tồn tại hằng số c sao cho
∥y(t)−z(t)∥ ≤c∥y(t0)−z(t0)∥, với mọi t∈ [t0, T] (1.13) Định lý 1.3.3 Với mọi t 0 ≥ 0 và x 0 ∈ R n , phương trình (1.10) có nghiệm duy nhất x(ã)∈ C A 1 [t 0 ,∞);R n
, thỏa mãn điều kiện ban đầu
Chứng minh Ta chia chứng minh Định lý thành các bước như sau
• Bước 1: Tỏch nghiệm x(ã) thành x(ã) =P x(ã) +Qx(ã) và tỡm cỏch giải u(ã) =P x(ã) và v(ã) =Qx(ã).
Nhân hai vế của phương trình (1.10) với P G −1 , QG −1 và chú ý G −1 A= P,
K(t, s) u(s) +v(s) ds+QG −1 f(t) (1.16) Khi đó ta có v(t)−QG −1 (t)
• Bước 2: Định nghĩa toán tử H :C [t 0 ,∞);R n
K(t, s)v(s)ds (1.17) Để tìm H −1 ta giải phương trình (Hv)(t) =y(t), t≥t0 Đây là phương trình tích phân Volterra loại hai Ta có
K(tn−1, t n )v(t n )dt n Dựa vào biểu diễn trên, ta xét dãy hàm {K n (t, s)} được xác định bởi
Theo tính chất của tích phân Dirichle, với mọi T >0 ta có sup t 0 ≤s≤t≤T
Từ đó suy ra, chuỗi
Kn(t, s) (1.18) hội tụ đều trờn tập {(t, s) :t0 ≤s≤t≤T} và hàm R(ã,ã) liờn tục Bằng phương pháp lặp liên tiếp ta tìm được v(t) = (H −1 y)(t) =y(t) +
Ta thấy H −1 cũng là toán tử Volterra tuyến tính loại hai (toán tử tích phân) với hạt nhõn R(ã,ã) Như vậy H là một song ỏnh liờn tục trờn C([t0, T];R n ).
• Bước 3: Giải v(t) theou(t) Từ phương trình (1.16), ta có v(t) =H −1 QG −1
(t) = (H −1 u)(t)−u(t), do đó phương trình (1.20) có thể viết lại thành v(t) = (H −1 P u)(t)b −u(t) + (H −1 QG −1 f)(t), (1.21) trong đó Q(t) =b I −Pb(t) =−QG −1 B(t)¯ là phép chiếu chính tắc lên kerA(t).
• Bước 4: Thay v(ã) vào (1.15) ta được u ′ (t) = P ′ (t) +P G −1 B(t) u(t) +P G −1 f(t) +P G −1
Theo Bổ đề 1.3.2, ta suy ra phương trỡnh (1.22) cú nghiệm duy nhất u(ã) với điều kiện ban đầuu(t 0 ) =P(t 0 )x 0 Kết hợp với (1.21) suy ra nghiệm của phương trình (1.10) x(t) =u(t) +v(t) = (H −1 P u)(t) + (Hb −1 QG −1 f)(t), t≥t0 (1.23) Định lý được chứng minh.
Chú ý 1.3.1 1) VìQG −1 không phụ thuộc vào việc chọn phép chiếuQ nên toán tử H cũng có tính chất này.
2) Với mọiT > t0, không gian CQ([t0, T];R n ) là bất biến dưới tác động của toán tử H.
3) Do đặc điểm của nghiệm của phương trình (1.10) được xác định như trong Định lý 1.3.3, ta phát biểu điều kiện đầu của phương trình như sau u(t0) =P(t0)x0, hoặc P(t0)(x(t0)−x0) = 0, x0 ∈R n (1.24)
Ta lưu ý rằng điều kiện trên không phụ thuộc vào toán tử chiếuQ(t0) đã chọn.
4) Nhân hai vế của (1.22) vớiQta được Qu ′ = QP ′ u VìQ ′ = (Q 2 ) ′ = Q ′ Q+QQ ′ nên (Qu) ′ = Q ′ Qu Do đó, nếu Q(t 0 )u(t 0 ) = 0 thì Q(t)u(t) = 0 với mọi t ≥ t 0 Điều này có nghĩa là nghiệm của (1.22) có thuộc tính bất biến, nghĩa là mọi nghiệm bắt đầu trong imP(t0) thì vẫn nằm trong imP(t) với mọi t > t0.
Công thức biến thiên hằng số
Tiếp theo, ta xõy dựng cụng thức biến thiờn hằng số cho nghiệm x(ã) của phương trình (1.10) Xét phương trình thuần nhất tương ứng của (1.10)
K(t, s)y(s)ds, t≥t 0 (1.25) Định nghĩa 1.3.2 Ma trận Cauchy Φ(t, s), t≥s≥t 0 sinh bởi hệ thuần nhất (1.25) là ma trận thỏa mãn phương trình
Khi đó, ta có công thức biến thiên hằng số cho nghiệm của (1.10) Định lý 1.3.4 Nghiệm duy nhất x(ã) của phương trỡnh (1.10) với điều kiện ban đầu P(t 0 )(x(t 0 )−x 0 ) = 0 được xác định bởi x(t) = Φ(t, t 0 )P(t 0 )x 0 +
Chứng minh Áp dụng cách làm tương tự như trong Định lý 1.3.3, ta tách nghiệm của phương trỡnh thuần nhất (1.25) thành y(ã) = ¯u(ã) + ¯v(ã) và thu được ¯ u ′ (t) = P ′ (t) +P G −1 B(t) ¯ u(t) +P G −1 (t)
Giả sử Φ0(ã,ã) là toỏn tử Cauchy của (1.28), khi đú ta cú
Bằng cách lấy đạo hàm trực tiếp cả hai vế, ta thu được công thức biến thiên hằng số cho nghiệm u(ã) của (1.22) với điều kiện đầu u(t0) =P(t0)x0 là u(t) Z t t 0 Φ 0 (t, τ)P G −1 (τ) f(τ) +
Mặt khác, vì u(t) = Φ¯ 0 (t, t 0 )P(t 0 )x 0 và theo (1.29) ta có quan hệ giữa Φ(t, s) và Φ 0 (t, s), Φ(t, s) = H −1 PbΦ0(ã, s)P(s)
Do đó, bằng cách tác độngH −1 Pb lên cả hai vế của (1.30) và kết hợp với (1.23), ta suy ra nghiệm duy nhấtx(ã)của (1.10) với điều kiện đầuP(t0)(x(t0)−x 0 ) = 0được cho bởi công thức biến thiên của hằng số (1.27) Định lý được chứng minh.
Chú ý 1.3.3 Một điểm khác biệt của phương trình vi phân đại số Volterra (1.26) so với phương trình vi phân đại số thông thường là toán tử Cauchy không còn tính chất nửa nhóm, nghĩa là trong trường hợp tổng quát thì khẳng định sau là không đúng Φ(t, t0) = Φ(t, s)Φ(s, t0), t≥s≥t0 (1.32) Thật vậy, theo (1.26)
K(t, τ)Φ(τ, s)dτ +gs(t), với 0 ≤t 0 ≤s ≤t và g s (t) = Rs t 0K(t, τ)Φ(τ, t 0 )dτ Bằng cách sử dụng (1.27), ta nhận được Φ(t, t 0 ) = Φ(t, s)P(s)Φ(s, t 0 ) +
Như vậy, (1.32) đúng khi và chỉ khi
K(t, τ)Φ(τ, t 0 )dτ = 0, với mọi t 0 ≤ s ≤ t Đẳng thức này không luôn đúng nên trong trường hợp tổng quát thì tính chất nửa nhóm của toán tử Cauchy của (1.26) không thỏa mãn.
Mặt khác, khi chứng minh tính ổn định mũ bằng phương pháp cổ điển thì tính nửa nhóm của toán tử Cauchy có vai trò quan trọng trong việc đánh giá nghiệm của phương trình chịu nhiễu (xem [18, 19, 20]) Vì thế đối với phương trình vi phân đại số Volterra, phương pháp này sẽ không còn hiệu lực và ta phải tìm cách xây dựng một phương thức khác trong việc đánh giá nghiệm của nó.
Gọi x(t, t0, x0), t ≥ t0 là nghiệm duy nhất của phương trình (1.25) với điều kiện đầu (1.24) Ta có định nghĩa về sự ổn định của nghiệm của (1.25) như sau Định nghĩa 1.3.5. i) Phương trình vi phân đại số Volterra (1.25) được gọi là ổn định đều nếu tồn tại hằng số Mc 0 >0, không phụ thuộc vào t 0 , sao cho
∥x(t, t 0 , x 0 )∥ ≤Mc 0 ∥P(t 0 )x 0 ∥, t≥t 0 ≥0 và x 0 ∈ R n (1.33) ii) Cho ω > 0 Phương trình vi phân đại số Volterra (1.25) được gọi là ω-ổn định mũ nếu tồn tại hằng số Mc, không phụ thuộc vào t 0 sao cho
Giả thiết 1.3.6 Giả sử tồn tại một phộp chiếu khả vi Q(ã) lờn kerA(ã) sao cho
Tương tự như các kết quả khác của phương trình vi phân thường (phương trình vi phân đại số) về tính ổn định đều và ổn định mũ (định lý 3.5 trang 112 và định lý 4.13 trang 124 trong [15]), thì đối với phương trình vi phân đại số Volterra ta cũng dễ dàng chứng minh được mối liên hệ giữa tính ổn định và tính bị chặn của toán tử Cauchy như trong định lý sau. Định lý 1.3.7 Giả sử Giả thiết (1.3.6) được thỏa mãn Khi đó, i) Phương trình vi phân đại số Volterra (1.25) ổn định đều khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương M 0 >0 sao cho
∥Φ(t, s)∥ ≤M 0 , t ≥s≥t 0 (1.35) ii) Cho ω > 0 Phương trình vi phân đại số Volterra (1.25) được gọi là ω-ổn định mũ khi và chỉ khi tồn tại hằng số dương M sao cho
Tính ổn định vững của phương trình vi phân đại số Volterra
Trong chương này, chúng ta xem xét sự ảnh hưởng của nhiễu nhỏ phi tuyến đến tính ổn định của phương trình vi phân đại số Volterra (1.25) Giả sử với mọi t≥t 0 , hệ số B(t)x của (1.25) chịu tác động của nhiễu và trở thànhB(t)x+F(t, x) với F(t, x) là hàm xác định nào đó Khi đó, với t0 >0 bất kỳ, phương trình chịu nhiễu có dạng
Giả sử rằngF(t,0) = 0,với mọi t≥t 0 ,khi đó phương trình (2.1) có nghiệm tầm thường x(ã) ≡0.
Tính bị chặn của nghiệm phương trình vi phân đại số Volterra 22
Giả thiết 2.1.1 Giả sử với mọit≥t 0 ,các hàmP G −1 (t)F(t, x)vàQG −1 (t)F(t, x) là Lipschitz theo biến x với cỏc hệ số Lipschitz lần lượt là l t và γ t Hơn nữa, lã và γã là cỏc hàm liờn tục.
Xét không gianCQ([t0, T];R n )được định nghĩa trong (1.11) TrênCQ([t0, T];R n ), ta trang bị một chuẩn kế thừa từ chuẩn supremum củaC([t0, T];R n ) Để ngắn gọn trong cách trình bày, ta sẽ viết C Q (T) thay vì C Q ([t 0 , T];R n ) Đặt γ¯ t = sup t 0 ≤s≤t γ s với t≥t 0 , khi đó ta có bổ đề về tính giải được của phương trình (2.1) như sau
C Q (T ) < 1, thì phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu
P(t 0 )(x(t 0 )−x 0 ) = 0, (2.2) có thể giải được trên [t0, T] Hơn nữa, tồn tại hằng số MT sao cho
Chứng minh Tương tự như trong chứng minh của Định lý 1.3.3, đặtu(ã) =P x(ã) và v(ã) =Qx(ã) ta cú u ′ (t) = (P ′ +P G −1 B)u(t)+P G −1 (t)
, (2.5) với t 0 ≤t≤T Kết hợp với (1.21), ta có v(t) = H −1 P ub
(t), T ≥t≥t 0 Khi đó, do tính Lipschitz theo biến x của QG −1 (t)F(t, x), ta có sup t 0 ≤t≤T
C Q (T)< 1 nên Γu là ánh xạ co Theo nguyên lý điểm bất động, tồn tại duy nhấtx ∗ ∈ C [t0, T];R n sao chox ∗ = Γu(x ∗ ). Giả sử x ∗ = g(u) ta có g(u)(t) = (H −1 P u)(t) +b H −1 QG −1 F ã, g(u(ã))
T ∥H −1 ∥ CQ (T) ta suy ra sup t 0 ≤t≤T
Như vậy, g là Lipschitz liên tục với hệ số Lipschitz L T Do g(0) = 0 ta thấy sup t 0 ≤t≤T
, (2.8) với mọi t0 ≤ t ≤T Lưu ý rằng với mọi t0 ≤ t ≤ T, hàm P G −1 F t, g(u)(t) là Lipschitz theou Áp dụng lại Bổ đề 1.3.2, ta cú thể giải u(ã) từ (2.8) với điều kiện ban đầu u(t 0 ) =P(t 0 )x 0 Tiếp đến, nghiệm của (2.1) được đưa ra bởi x(t) =g(u)(t), t 0 ≤t≤T (2.9) Hơn nữa, cũng theo bổ đề 1.3.2 ta có
Kết hợp (2.7) và (2.9) ta thu được
∥x(t)∥ ≤ MT ∥P(t0)x(0)∥, t0 ≤t≤T,trong đó MT = cLT Vậy bổ đề được chứng minh.
Từ Bổ đề 2.1.2, suy ra nghiệm x(ã) của phương trỡnh (2.1) với điều kiện ban đầu P(t0)(x(t0)−x0) = 0 tồn tại trên [t0,∞) nếu γ¯T
T > t 0 Thayf(t)trong công thức (1.27) bởi F(t, x(t)) ta có công thức biến thiên hằng số cho nghiệm của (2.1) như sau x(t) = Φ(t, t 0 )P(t 0 )x 0 +
K(τ, s)H −1 QG −1 F(ã, x(ã))(s)ds dτ +H −1 QG −1 F(t, x(t)), (2.10) với mọi t≥t 0
Trong nội dung tiếp theo, ta xét tính bị chặn của nghiệm phương trình (1.25) dưới tác động nhiễu nhỏ phi tuyến Để đơn giản trong trình bày, ta ký hiệu
C Q (∞) :=C Q ([0,∞),R n ). Định lý 2.1.3 Giả sử các giả thiết 1.3.6, 2.1.1 được thỏa mãn; nghiệm của
(1.25) ổn định đều và H −1 là một toán tử giới nội tác động trên C Q (∞) với
C Q (∞) = K1 Khi đó, nếu L = 1−K1γ¯∞ > 0, ta có thể tìm được hằng số
M 2 > 0 sao cho nghiệm x(ã) của (2.1) với điều kiện đầu (1.24) thỏa món
Chứng minh Trước tiên, theo Bổ đề 2.1.2 ta thấy điều kiện L = 1−K 1 ¯γ∞ > 0 đảm bảo để nghiệm x(ã) của phương trỡnh (2.1) với điều kiện ban đầu (1.24) tồn tại trên [t 0 ,∞) Ngoài ra, theo giả thiết về tính ổn định đều của nghiệm phương trình (1.25) ta suy ra
Từ công thức biến thiên hằng số (2.10), ta nhận được
P G −1 (τ)K(τ, s)H −1 QG −1 F(ã, x(ã))(s) ds dτ, t≥t 0 Kết hợp với điều kiện Lipschitz của P G −1 F(ã, x) và QG −1 F(ã, x), suy ra
∥x(s)∥ds dτ. Đặt M 2 = M L 0 , ta có sup t 0 ≤s≤t
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall-Bellman tổng quát trong Bổ đề 1.1.5 vớiσ = 1, c1= M2∥P(t0)x0∥ và c2 =M2 ta nhận được sup t 0 ≤s≤t
Ta có điều cần chứng minh.
Từ Định lý 2.1.3 ta có hệ quả sau
Hệ quả 2.1.4 Giả sử rằng các giả thiết 1.3.6, 2.1.1 được thỏa mãn, phương trình(1.25) ổn định và H −1 là một toán tử bị chặn hoạt động trên C Q ([0,∞),R n ) với
K1γ¯s∥P G −1 (τ)K(τ, s)Q(s)∥ds dτ 0 nếu a 0, đặt K(t, h) =e e λ(t−h) K(t, h), t ≥ h ≥ 0 Ta định nghĩa toán tử He tương tự như trong (1.17) mà ở đú K(ã,ã) được thay bởiK(ã,e ã).
Khi đó ta có định lý sau về độ ổn định theo hàm mũ của nghiệm của phương trình (1.25) dưới tác động của nhiễu nhỏ phi tuyến. Định lý 2.2.1 Nếu phương trình (1.25) là ω-ổn định mũ và tồn tại hằng số λ ∈ (0, ω) sao cho He −1 liên tục trên C Q (∞) với ∥He −1 ∥ C Q (∞) = Ke 1 thỏa mãn
Le = 1−Ke1γ¯∞ >0 Giả sử thêm rằng lim sup t>s,s→∞
Z τ 0 ¯ γhe λ(τ−h) ∥P G −1 (τ)K(τ, h)Q(h)∥dh dτ ≤ λeL 3M, (2.14) với M được định nghĩa trong (1.36) Khi đó, sẽ tồn tại hằng số K >0 sao cho
∥x(t, s, x0)∥ ≤Ke − λ(t−s) 2 ∥P(s)x0∥, với mọi t≥s≥0, trong đú x(ã, s, x0) là nghiệm phương trỡnh
K(t, s)x(s)ds+F(t, x(t)), t ≥s≥0 với điều kiện ban đầu P(s)(x(s, s, x0)−x0) = 0 Điều đó có nghĩa là, phương trình chịu nhiễu (2.1) là λ 2 -ổn định mũ.
Chứng minh Để đơn giản các ký hiệu, ta viết x(t) thay cho nghiệm x(t, s, x 0 ). Đặt y(t) =e λ(t−s) x(t) và F t, y(t)e
, t≥s Dễ thấy y(t) thỏa mãn phương trình
Mặt khác, vì phương trình (1.25) chỉ số 1 và
Q =G, suy ra phương trình (2.15) cũng có chỉ số 1 Ngoài ra, ta cũng dễ dàng chứng minh được P G −1 Fe(t,ã) và QG −1 Fe(t,ã) lần lượt là l t và γ t -Lipschitz.
Gọi Φ(ã,e ã) là toỏn tử Cauchy phương trỡnh thuần nhất tương ứng của (2.15) Khi đú ta cú quan hệ Φ(t, h) =e e λ(t−h) Φ(t, h), t≥ h ≥ s, với Φ(ã,ã) là toỏn tử Cauchy của (1.25) Vì phương trình (1.25) là ω-ổn định mũ nên Φ(t, h)e
=e λ(t−h) ∥Φ(t, h)∥ ≤M e (λ−ω)(t−h) ≤M, t≥h≥s. Áp dụng Định lý 2.1.3 ta có
∥y(t)∥ ≤M ef M f N(t,s) e ∥P(s)x0∥, t≥s, (2.16) trong đó Mf=M/Le và
Với ký hiệuN(t, s)như trên thì theo giả thiết (2.14) suy ra tồn tại số dươngT >0 sao cho
2M(t−s), với mọi t > s≥T (2.17) Tiếp theo ta xét ba trường hợp khi t > s.
• Trường hợp t > s≥T Khi đó ta có (2.17) kết hợp với (2.16) ta được
• Xét trường hợp t > T > s≥0 Khi đó
• Đối với trường hợp còn lại 0 ≤s < t < T Theo bổ đề 2.1.2 ta có
Tổng hợp lại, đặt K = max n
Ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ 2.2.1 Xét phương trình vi phân đại số Volterra (2.1) với
là phép chiếu lên kerA vàG =A+BQ
là khả nghịch nên phương trình (2.18) có chỉ số 1 Khi đó,u =P(x1, x2) ⊤ = (x1,0) ⊤ ; v =Q(x 1 , x 2 ) = (0, x 2 ) ⊤ Hơn nữa,
Như vậy, từ (1.15), (1.16) ta có
Cộng hai phương trình của hệ trên, ta được ˙ x 1 (t) =−3x 1 (t) +x 2 (t), (2.20) Suy ra toán tử H được xác định bởi (1.17) là
, t≥t 0 , với x(ã) = (x 1 (ã), x 2 (ã)) ⊤ ∈ C([t 0 ,∞);R 2 ) Để tớnh H −1 ta giải phương trỡnh x2(t)−
Z t t 0 g(t, s)x2(s)ds = ¯x2. Phương trình này cho ta x 2 =−¯x 2 −
Từ phương trình thứ hai của (2.19) ta có x 2 (t) =x 1 +
1 +s 2 x 1 (s)ds, Thay kết quả trên vào (2.20) ta được ˙ x 1 (t) =−2x 1 (t) +
:= Γy với điều kiện ban đầu x 1 (t 0 ) =x 0 1 , z 1 (t 0 ) = 0 và y = (x 1 , z 1 ) ⊤ Dễ thấy d dt∥y∥ 2 = d dt(y ⊤ y) = (y ⊤ ) ′ y+y ⊤ y ′ = (y ′ ) ⊤ y+y ⊤ y ′
Vậy phương trình (2.21) là ổn định tiệm cận Ngoài ra, ta cũng tính được
Ke 1 =∥He −1 ∥ C Q (∞) ≤1 + π 2 Xét hệ nhiễu (2.15) với
F(t, x 1 , x 2 , x 3 ) =k(sinx 1 , x 2 ,sinx 3 ) ⊤ Khi đó ta có
Vì hệ số Lipschitz củaP G −1 F vàQG −1 F lần lượt là lt = 3k và γt =k Mặt khác ta cũng có e λ(t−s) P G −1 (t)K(t, s)Q(s)
Khi đó ta có lim sup t>s,s→∞
Do đó, nếu số thực k thỏa mãn k
3 r1.27 4.73 ⇔7.1315k−0.0363< 0 ⇔k 0 sao cho với mọi t 0 ≥0 thì
Chứng minh Trước hết, ta chứng minh bất đẳng thức này đúng với t 0 = 0 Thật vậy, với mỗi t > 0, ta xác định một toán tử ξ t : L γ →R n được cho bởi ξt(f) =e γ 1 t
Theo giả thiết, sup t≥0 ∥ξt(f)∥ < ∞ với mọi f ∈ L γ nên theo nguyên lý bị chặn đều, ta suy ra sup t≥0 ∥ξ t ∥= K 0 vàf tùy ý trong L γ (t0) Khi đó với ε >0bất kỳ, ta định nghĩa hàm liên tục fε ∈ L γ như sau: fε là tuyến tính trên [t0−ε, t0] và
Rõ ràng là limε→0∥f ε ∥ L γ (0) =∥f∥ L γ (t 0 ). Hơn nữa, theo định nghĩa của H −1 trong (1.19) và tớnh liờn tục của K(ã,ã), cú thể thấy rằng ε→0limH −1 QG −1 f ε (t) =H −1 QG −1 f(t), với mọi t≥t 0
Do đó, ta có limε→0 Lf ε
∥Lt 0f∥ C γ 1 (t 0 ) = sup t≥t 0 e γ 1 t ∥Lt 0f(t)∥ = sup t≥t 0 e γ 1 t lim ε→0∥Lfε(t)∥
= lim ε→0∥Lf ε ∥ C γ 1 ≤Klim ε→0∥f ε ∥ L γ = K∥f∥ L γ (t 0 ) Định lý được chứng minh. Định lý 2.3.2 Cho γ >0 Khi đó ta có các mệnh đề sau
1 Nếu toán tử L ánh xạ không gian L γ vào không gian C γ , thì phương trình
2 Cho hằng số γ 1 ∈ [0, γ) và giả sử tồn tại hàm g ∈ L 1 ([0,∞);R) sao cho e γ(t−s)
Khi đó, nếu phương trình (1.25) là γ-ổn định mũ, thì H −1 QG −1 biến L γ thành C γ và toán tử L ánh xạ không gian L γ vào không gian C γ 1
1)Giả sử toán tửLánh xạ không gianL γ vào không gianC γ Cố địnhs > 0 Theo Định lý 2.3.1, L s là toán tử bị chặn tác dụng từ L γ (s) đến C γ (s) với ∥L s ∥ ≤ K. Với σ > 0, xét hàm f σ (u) = 1 σe − u−s σ −γu A(u)v, với u ≥s.
Dễ thấy QG −1 fσ(u) = 0 với mọi u ≥s và
Z ∞ s e − u−s σ ∥P(u)v∥du ≤K 0 ∥v∥ (2.26) Vậy f σ ∈L γ (s) và ∥f σ ∥ L γ (s) ≤K 0 ∥v∥ Hơn nữa, với mọi t≥s σ→0lim(e γt L s f σ )(t) =e γt lim σ→0
Z ∞ 0 e −h dh=e γ(t−s) Φ(t, s)P(s)v (2.27) Mặt khác, từ (2.24) của Định lý 2.3.1, ta có e γt ∥L s f σ (t)∥= e γt
≤K∥f σ ∥ L γ (s). Kết hợp kết quả trên với (2.26) và (2.27), ta có điều cần chứng minh
2) Với mọi f ∈ L γ , ta xét phương trình Hy = QG −1 f Vì C Q (∞) là một gian con bất biến củaC([t0,∞);R n ) đối vớiH, nên phương trình này tồn tại duy nhất nghiệm y trênCQ(∞) Theo định nghĩa của H trong (1.17) ta có e γt y(t) Z t t 0 e γt QG −1 (t)K(t, s)y(s)ds+e γt QG −1 f(t), t≥t0.
Sử dụng bất đẳng thức Gronwall được e γt y(t)
, t ≥t0 (2.28) Điều này có nghĩa là H −1 QG −1 f ∈C γ và
Từ giả thiết (1.25) là γ-ổn định mũ kết hợp với (2.25) và (2.28), ta có e γt
< ∞, với mọi t≥t0 Do đó, Lf ∈ C γ 1 Định lý được chứng minh.
Ví dụ 2.3.1 Giả sử rằng K(t, s) = 0 nếu t−s ≥ 1 và sup s≤t ∥K(t, s)∥ < g(s),
∀ s ≥ 0 trong đó g ∈ L 1 ([0,∞);R) Khi đó, (1.25) ổn định mũ khi và chỉ khi nghiệm của (2.22) với điều kiện ban đầu P(t 0 )x(t 0 ) = 0 nằm trong C γ 1 với mọi f ∈ L γ , trong đó 0≤γ 1 < γ.
Luận văn nghiên cứu về tính ổn định của phương trình vi phân đại số Volterra và đã đạt được những kết quả như sau:
Trình bày lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của đại số tuyến tính liên quan đến chỉ số của cặp ma trận.
Trình bày về tính giải được của phương trình vi phân đại số kiểu Volterra chỉ số 1 dựa trên phương pháp sử dụng các phép chiếu để phân tích nghiệm của hệ. Đưa ra các điều kiện bảo toàn tính bị chặn của nghiệm và tính ổn định mũ của hệ dưới tác động của nhiễu nhỏ phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz.
Thiết lập định lý kiểu Bohl-Perron cho phương trình vi phân đại số Volterra và đưa ra một số ví dụ để minh họa cho kết quả lý thuyết.
Hướng phát triển tiếp theo của đề tài là nghiên cứu tính ổn định của hệ động lực ẩn dạng Volterra trên thang thời gian Theo như hiểu biết của chúng tôi, các bài toán trên vẫn chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ.
[1] A.S Andreev, O.A Peregudova (2018), “On the stability and stabilization problems of Volterra integro-differential equations”,Russian Journal of Non- linear Dynamics, 14(3), pp 387–407.
[2] T.T Anh, P.H Anh Ngoc (2017), “New stability criteria for linear Volterra timevarying integro-differential equations”, Taiwanese Journal of Mathemat- ics, 21(4), pp 841–863.
[3] E Braverman, I.M Karabash (2012), “Bohl-perron type stability theorems for linear difference equations with infinite delay”,Journal of Difference Equa- tions and Applications, 18(5), pp 909–939.
[4] H Brunner (2017), Volterra Integral Equations: An Introduction To Theory and Applications, University Printing House, Cambridge University Press.
[5] X Chang, R Wang (2011), “Stability of perturbed n-dimensional Volterra differential equations”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 74(5), pp 1672–1675.
[6] M.R Crisci, V.B Kolimanovskll, E Russo, A Vecchio (2000), “On the expo- nential stability of discrete Volterra systems”,Journal of Difference Equations and Applications, 6(6), pp 667–680.
[7] N.H Du, V.H Linh (2006), “On the robust stability of implicit linear systems containing a small parameter in the leading term”, IMA Journal of Mathe- matical Control and Information, 23(1), pp 67–84.
[8] A Filatov and L Sarova (1976),Integral’nye neravenstva i teorija nelineinyh kolebanii, Moskva.
[9] N.T Ha (2021), “On the robust stability of Volterra differential-algebraic equations”, Systems & Control Letters, 149, p 104883.
[10] R M¨arz (1998) , Extra-ordinary differential equation: attempts to an analysis of differential algebraic system, Progress in Mathematics, 168, pp 313–334.
[11] P.H.A Ngoc (2007), “Stability radii of positive linear Volterra-Stieltjes equa- tions”, Journal of Differential Equations, 243(1), pp 101–122.
[12] O Perron (1930), “Die stabilit¨atsfrage bei differentialgleichungen”,Mathema- tische zeitschrift, 32(1), pp 703–728.
[13] G Seifert (1974), “Lyapunov-Razumikhin conditions for asymptotic stability in functional differential equations of Volterra type”, Journal of Differential Equations, 16(2), pp 289–297.
[14] D.D Thuan, K.C Nguyen, N.T Ha, N.H Du (2019), “Robust stability of lin- ear time-varying implicit dynamic equations: a general consideration”,Math- ematics of Control, Signals, and Systems, 31, pp 385–413.
[15] L Yu, M.G Daleckii (1971), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, Amer Math Soc., Providence, RI.
[16] Abdul-Majid Wazwaz (2011),Linear and Nonlinear Integral Equations Meth- ods and Applications.