Luận văn nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân bậc phân số trên không gian banach vô hạn chiều (tt)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ĐỖ VIẾT CÔNG NGHIỆM HẦU TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ TRÊN KHƠNG GIAN BANACH VƠ HẠN CHIỀU Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ THANH HĨA, NĂM 2019 Luận văn hồn thành Trường Đại học Hồng Đức Người hướng dẫn: PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Phản biện 2: GS.TSKH Nguyễn Ngọc Phát Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học Tại: Trường Đại học Hồng Đức Vào ngày 30 tháng 11 năm 2019 Có thể tìm hiểu luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Bộ môn 1 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Nghiệm hầu tuần hồn phương trình vi phân bậc phân số không gian banach vô hạn chiều vấn đề quan tốn học Ngồi cịn có tính ứng dụng số ngành khoa học khác, vấn đề nhận quan tâm nhiều nhà khoa học giới Những chủ đề tồn nghiệm hầu tuần hồn, tính chất tiệm cận nghiệm thời gian tiến tới vô hạn, điều kiện đặt lên hàm vế phải tính chất phổ tốn tử cịn nhiều vấn để để ngỏ cần giải Trong khuôn khổ luận văn thạc sĩ này, nghiên cứu tốn sau Dα+1 u(t) + µDβt u(t) − Au(t) = F (t, u(t)), t u(0) = x, t > 0, µ ≥ ut (0) = y, < α ≤ β ≤ 1, Dαt đạo hàm phân số Caputo bậc α, A : D(A) ⊂ X −→ X tốn tử tuyến tính đóng, sinh họ tốn tử tuyến tính liên tục {Sα,β (t)} không gian Banach X , x, y ∈ X, hàm F : R+ × R → X Bài toán gần nghiên cứu V Keyantuo, C Lizama, M Warma [?] phát triển V.T Luong [?], tác giả tồn nghiệm nhẹ, tính chất tiệm cận nghiệm trường hợp toán tử A toán tử quạt số điều kiện áp đặt lên hàm phi tuyến vế phải Trong luận văn chúng tơi trình bày kết có liên quan đến hai báo Đối tượng nghiên cứu Phương trình vi phân với hai số hạng đạo hàm bậc phân số theo thời gian Mục đích nghiên cứu Chỉ tồn nghiệm mạnh phương trình vi phân bậc phân số rong không gian Banach vô hạn chiều với vế phải hàm tuyến tính Nghiên cứu tồn nghiệm hầu tuần hồn tiệm cận phương trình vi phân với hai số hạng đạo hàm bậc phân số theo thời gian trường hợp tuyến tính phi tuyến Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân bậc phân số không gian Banach vô hạn chiều Phương pháp nghiên cứu Phương pháp điểm bất động; Phương pháp toán tử Ý nghĩa luận văn Kết nghiên cứu đề tài tài liệu tham khảo hữu ích cho người nghiên cứu chun ngành phương trình vi phân tích phân Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức sở Trong phần trình bày kiến thức liên quan đến hàm hầu tuần hoàn; hầu tuần hoàn tiệm cận; hàm đặc biệt đạo hàm bậc phân số Chương 2: Nghiệm hầu tuần hồn phương trình vi phân bậc phân số Trong chương này, trình bày kết tồn tại, tính chất tiệm cận cảu nghiệm phương trình vi phân bậc phân số 3 Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Hàm hầu tuần hồn Chúng ta kí hiệu BC(X) := {f : R → X : f hàm liên tục, kf k = sup kf (t)k < ∞}, t∈R không gian Banach hàm liên tục bị chặn R nhận giá trị X Ta nhắc lại định nghĩa hàm hầu tuần hoàn (theo nghĩa Bohr), hàm f ∈ BC(R, X) gọi hầu tuần hoàn theo nghĩa Bohr  > tồn T > cho khoảng có độ dài T R chứa điểm τ để sup |f (t + τ ) − f (t)| ≤  t∈R Nếu f hàm hầu tuần hồn, (Định lí xấp xỉ [?, Chap 2]) xấp xỉ R dãy đa thức lượng giác, cụ thể là, dãy hàm t ∈ R có dạng N (n) Pn (t) := X an,k eiλn,k t , n = 1, 2, ; λn,k ∈ R, an,k ∈ X, t ∈ R (1.1) k=1 hiển nhiên hàm xấp xỉ dãy hàm các đa thức lượng giác hàm hầu tuần hồn Ví dụ 1.1 Hàm f (t) = cos t + cos √ 2t, t ∈ R hàm thực hầu tuần hoàn R Ta ký hiệu AP (X) không gian gồm hàm hầu tuần hồn, kí hiệu khơng gian hàm hầu tuần hoàn tiệm cận AAP (X) = AP (X) ⊕ C0 , C0 := {f : R+ → X : f liên tục lim kf (t)k = 0} t→∞ 1.2 1.2.1 Một số hàm đặc biệt Hàm gamma Định nghĩa 1.2.1 Ta gọi hàm gamma hàm cho dạng tích phân Z∞ Γ(p) = e−x xp−1 dx Hàm Γ hàm tham số p tích phân suy rộng, cận vơ ngồi x → p < hàm dấu tích phân tăng vơ hạn Tích phân hội tụ p > phân kì p ≤ Hàm Gamma tổng quát hàm giai thừa 1.2.2 Hàm beta Định nghĩa 1.2.2 Ta gọi hàm beta hàm cho dạng tích phân sau Z1 B(p, q) = xp−1 (1 − x)q−1 dx Hàm B hàm hai tham số p q hội tụ p > 0, q > Hàm B hàm đối xứng với tham số nên B(p, q) = B(q, p) Mối quan hệ hàm Gamma Beta B(p, q) = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) (1.2) 1.2.3 Hàm erfc Định nghĩa 1.2.3 Hàm Erfc xác định công thức Z∞ 2 erf c(z) = √ e−t dt π z 1.2.4 Hàm Mittag-Leffler Định nghĩa 1.2.4 Hàm Mittag-Lefler phụ thuộc tham số định nghĩa công thức Eα (z) = ∞ X k=0 zk , α > 0, α ∈ R, z ∈ C Γ(αk + 1) Hàm Mittag-Lefler phụ thuộc hai tham số giới thiệu Agarwal có dạng Eα,β (z) = ∞ X k=0 zk , α, β > 0, α, β ∈ R, z ∈ C Γ(αk + β) (1.3) Hàm Mittag-Lefler tổng quát hàm mũ 1.3 1.3.1 Tích phân đạo hàm bậc phân số Tích phân bậc phân số Cơng thức Cauchy sử dụng cho tích phân lặp Z t Z τ1 Z τn−1 Z t n J f (t) := ··· f (τ )dτ · · · dτ2 dτ1 = f (τ )(t − τ )n−1 dτ, (n − 1)! a a a a (1.4) với n ∈ N, a, t ∈ R, t > a Nếu n thay số thực dương α (n − a)! hàm Γ(α) ta thu cơng thức tính tích phân bậc phân số sau: Định nghĩa 1.3.1 Giả sử α > 0, t > a, α, a, t ∈ R tốn tử phân số Z t α f (τ )(t − τ )α−1 dτ (1.5) J f (t) := Γ(α) α gọi tích phân phân số Riemann-Liouville bậc α • Tính chất Quy ước: J f (t) := f (t), Có nghĩa J := I tốn tử đồng Mặt khác tính tuyến tính ta có J α (λf (t) + g(t)) = λJ α f (t) + J α g(t), α ∈ R+ , λ ∈ C Nếu f (t) liên tục với t ≥ theo đẳng thức ta có lim J α f (t) = f (t), α→0 J α (J β f (t)) = J β (J α f (t)) = J α+β f (t), α, β ∈ R+ , λ ∈ C 1.3.2 Đạo hàm bậc phân số Riemann-Liouville Tương tự việc mở rộng định nghĩa tích phân phân số ta mở rộng khái niệm định nghĩa đạo hàm bậc nguyên sang đạo hàm bậc phân số Ta kí hiệu hàm tα−1 , t > 0, α > gα (t) := Γ(α) Định nghĩa 1.3.2 Giả sử α > 0, t > a, α, a, t ∈ R  Z  dn t   f (τ )gn−α (t − τ )dτ n − < α < n ∈ N, α − α) dtn a D f (t) := Γ(n  dn   f (t), α = n ∈ N, dtn (1.6) gọi đạo hàm phân số Riemann-Liouville toán tử vi phân phân số Riemann-Liouville bậc α Chú ý 1.1 Cần ý toán tử đề cập (1.9) tốn tử nghịch đảo trái tích phân phân số (1.8) có nghĩa Dα J α = I 7 quy ước định nghĩa D0 f (t) := f (t), 1.3.3 có nghĩa D0 := I Đạo hàm bậc phân số Caputo Định nghĩa 1.3.3 Giả sử α > 0, t > a, α, a, t ∈ R  Z t    f (n) (τ )gn−α (t − τ )dτ n − < α < n ∈ N, − α) a Dαt f (t) := Γ(n n  d   f (t), α = n ∈ N, dtn (1.7) gọi đạo hàm phân số Caputo toán tử vi phân phân số Caputo bậc α Ví dụ 1.2 Lấy a = 0, α = , (n = 1), f (t) = t theo công thức (1.10) ta có: Z t 1 1/2 dτ Dt t = Γ(1/2) (t − τ )1/2 Theo giá trị đặc biệt hàm Γ nhắc (1.1) sử dụng phép u := (t − τ )1/2 kết cuối cho đạo hàm phân số Caputo hàm f (t) = t 1/2 Dt t = = = = Z −1 t √ d(t − τ ) π (t − τ )1/2 Z −1 √ √ du π tu Z √t 2u √ du π u √ √ ( t − 0) π 1/2 Dt t √ t = √ π (1.8) Chú ý 1.2 Không trường hợp Riemann-Liouville lim Dα f (t) = f (n−1) (t), trường hợp Caputo ta có lim α→n−1 Dαt f (t) α→n−1 (n−1) = f (t) − f (n−1) (0) Tuy nhiên phù hợp với đạo hàm Caputo bậc D0t := I 1.4 1.4.1 Biến đổi Laplace Định nghĩa biến đổi Laplace Định nghĩa 1.4.1 Biến đổi Laplace hàm f (t) với ≤ t < ∞ hàm phức định nghĩa tích phân Z ∞ F (s) := L(f (t); s) := e−st f (t)dt, s∈C (1.9) Nếu tích phân hội tụ phép biến đổi Laplace hàm f (t) tồn với s thuộc miền Trường hợp ngược lại ta nói phép biến đổi Laplace hàm f (t) không tồn Định lý 1.4.1 (Điều kiện đủ để tồn phép biến đổi Laplace) Hàm f(t) thoả mãn (i) Liên tục khúc tất khoảng hữu hạn [0, ∞) (ii) Tồn số α M > cho |f (t)| ≤ M eαt , t > T với T > khơng đổi biến đổi Laplace L(f (t); s) hàm f (t) gọi tồn Chú ý 1.3 Hàm số f gọi liên tục khúc [0, ∞) hàm f liên tục điểm thuộc [0, ∞) trừ hữu hạn điểm gián đoạn , đồng thời điểm t mà f không liên tục f (t+ ) f (t− ) tồn Biến đổi laplace áp dụng nhiều cho toán giá trị ban đầu miền bán vô hạn 1.4.2 Phép biến đổi Laplace nghịch đảo Cho hàm số g(t) xác định R Khi g biểu diễn tích phân Fourier với t ta có cơng thức Fourier Z ∞ Z ∞ 1 iτ t [g(t + 0) + g(t − 0)] = e g(x)e−iτ x dxdτ 2π −∞ −∞ Các hàm f (t) ban đầu khơi phục lại từ biến đổi Laplace cách sử dụng phép biến đổi Laplace nghịch đảo Định lý 1.4.2 (Phép biến đổi Laplace nghịch đảo) Cho f hàm liên tục khúc [0, ∞) số tăng c0 Ta có f (t) = L−1 (F (s); t) := 2πi 1.4.3 Z c+i∞ est F (s)ds, c = Re(s) > c0 (1.10) c−i∞ Các tính chất biến đổi Laplce Định lý 1.4.3 (Tính tuyến tính) Giả sử f(t) g(t) hai hàm triệt tiêu t < có biến đổi Laplace tương ứng F(s) G(s) L(λf (t) + g(t); s) = λL(f (t); s) + L(g(t); s) = λF (s) + G(s) L−1 (λf (t) + g(t); s) = λL−1 (f (t); s) + L−1 (g(t); s) = λf (t) + g(t) (1.11) Định lý 1.4.4 Biến đổi Laplace tích chập f(t) g(t) L(f (t) ∗ g(t); s) = F (s)G(s), (1.12) tích chập định nghĩa f (t) ∗ g(t) = Z t f (t − τ )g(τ )dτ = t Z f (τ )g(t − τ )dτ Bổ đề 1.4.1 Giới hạn hàm sF(s) s → ∞ lim sF (s) = f (0) (1.13) s→∞ Biến đổi Laplace đạo hàm bậc n (n ∈ N) hàm f(t) cho L(f (n) n (t); s) = s F (s) − n−1 X k=0 s n−k−1 (k) f n (0) = s F (s) − n−1 X sk f (n−k−1) (0) k=0 (1.14) 10 1.4.4 Biến đổi Laplace toán tử phân số Giả sử α > F(s) biến đổi Laplace hàm f(t) ta có (a) Biến đổi Laplace tích phân phân số bậc α cho L{J α f (t); s} = s−α F (s) (1.15) (b) Biến đổi Laplace đạo hàm phân số Riemann-Liouville bậc α cho α α L{D f (t); s} = s F (s) − = sα F (s) − n−1 X k=0 n−1 X sk [Dα−k−1 f (t)]t=0 sn−k−1 [Dk J n−α f (t)]t=0 , n − < α < n k=0 (1.16) (c) α, β, λ ∈ R, α, β > 0, p ∈ N biến đổi Laplace hàm MittagLefler định nghĩa L{t αp+β−1 (p) Eα,β (±λtα ; s} p!sα−β , Re(s) > |λ|1/a = α p+1 (s ∓ λ) (1.17) Định lý 1.4.5 Giả sử α > F(s) biến đổi Laplace hàm f(t) biến đổi Laplace đạo hàm phân số Caputo bậc α ta có L{Dαt f (t); s} α = s F (s) − n−1 X sα−k−1 f (k) (0), n − < α < n (1.18) k=0 Kết luận chương Trong chương trình bày kiến thức liên quan đến hàm hầu tuần hoàn, hầu tuần hoàn tiệm cận, hàm đặc biệt Đạo hàm, tích phân bậc phân số tính chất 11 Chương NGHIỆM HẦU TUẦN HỒN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ Trong chương nghiên cứu tồn nghiệm, tính chất tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với hai số hạng đạo hàm bậc phân số Các kết chương dựa vào kết báo [?] 2.1 Tồn nghiệm cho phương trình tuyến tính Chúng ta xét phương trình vi phân với hai số hạng đạo hàm bậc phân số theo thời gian không gian Banach X có dạng sau Dα+1 u(t) + µDβt u(t) − Au(t) = f (t), t < α, β ≤ 1, µ ≥ 0, t > (2.1) u(0) = x, ut (0) = y, (2.2) < α ≤ β ≤ 1, Dαt đạo hàm phân số Caputo bậc α, A : D(A) ⊂ X −→ X tốn tử tuyến tính đóng, sinh họ tốn tử tuyến tính liên tục {Sα,β (t)} không gian Banach X , x, y ∈ X, f : R+ → X Để sử dụng phương pháp toán tử nghiên cứu toán (2.1)− (2.2), sử dụng định nghĩa họ tốn tử qui sau (xem [?]) Định nghĩa 2.1.1 Cho µ ≥ ≤ α, β ≤ Giả sử A tốn tử tuyến tính đóng với miền xác định D(A) khơng gian Banach X Chúng ta nói A toán tử sinh họ (α, β)µ - qui tồn ω ∈ R họ ánh xạ liên tục mạnh Sα,β : R+ → L (X) cho 12 {λα+1 + µλβ : Re(λ) > ω} ⊂ ρ(A) Z ∞ α α+1 β −1 H(λ)x := λ (λ +µλ −A) x = e−λt Sα,β (t)xdt, Re(λ) > ω, x ∈ X Ta biết trường hợp µ = 0, α = 0, C0 -nửa nhóm, cịn µ = 0, α = 1, có họ cosine Sự tồn đặc trưng họ (α, β)µ - qui thảo luận [?] Ta nói u ∈ C (R+ ; X) nghiệm mạnh toán (2.1)− (2.2) u(t) ∈ D(A) với t ≥ u thỏa mãn (2.1)− (2.2) Định lý sau chứng minh [?] trường hợp đặc biệt α = β Định lý 2.1.1 Cho < α, β ≤ 1, µ ≥ A toán tử sinh họ (α, β)µ -chính quy Sα,β (t) thỏa mãn kSα,β (t)k ≤ M eωt , t ≥ Với hàm bị chặn mũ f : R+ → D(A), nghiệm bị chặn mũ toán (2.1)− (2.2) cho u(t) =Sα,β (t)x + (1 ∗ Sα,β ) (t)y + µ (g1+α−β ∗ Sα,β ) (t)x + (gα ∗ Sα,β ∗ f ) (t), (2.3) với x, y ∈ D(A) Điều kiện đủ để thu toán tử sinh họ (α, β)µ -chính quy cho kết Định lý 2.1.2 Cho < α, β ≤ 1, µ ≥ A là tốn tử quạt góc βπ/2 Khi A sinh họ (α, β)µ -chính quy Nhắc lại tốn tử A đóng xác định trù mật gọi ω -quạt góc θ ωI + A quạt góc θ Chú ý khái niệm tốn tử ω -quạt góc θ sử dụng Cuesta [?] để thiết lập ước lượng nghiệm tốn tử kéo theo tính khả tích chúng trường hợp ω < Kết sử dụng số tác giả để thiết lập điều kiện cần toán tử A cho tồn nghiệm nhẹ bị chặn phương trình tiến hóa Hệ 2.1.1 Cho < α, β ≤ 1, µ > A tốn tử ω -quạt góc π β Khi A sinh họ (α, β)µ -chính quy bị chặn mũ Sα,β (t) 13 Dùng định nghĩa Sα,β (t) theo nghĩa biến đổi Laplace, ta có kết sau Hệ 2.1.2 Cho < α, β ≤ 1, µ > A tốn tử ω -quạt góc π β Với hàm bị chặn mũ f : R+ → D(A), nghiệm bị chặn mũ toán (2.1)− (2.2) cho u(t) =Sα,β (t)x + (1 ∗ Sα,β ) (t)y + µ (g1+α−β ∗ Sα,β ) (t)x + (gα ∗ Sα,β ∗ f ) (t), < α, β ≤ 1, µ ≥ (2.4) với x, y ∈ D(A), Sα,β (t) họ (α, β)µ -chính quy sinh A Kết hợp kết trên, ta đưa hệ sau cho tồn nghiệm toán (2.1)− (2.2) Hệ 2.1.3 Cho < α, β ≤ 1, µ > A tốn tử ω -quạt góc π β Khi với hàm bị chặn mũ f : R+ → D(A), tồn nghiệm bị chặn mũ toán (2.1)− (2.2) cho x, y ∈ D(A) Trong trường hợp đặc biệt ω = ta có kết sau π Hệ 2.1.4 Cho < α, β ≤ 1, µ > A tốn tử quạt góc β Khi tồn nghiệm bị chặn đa thức toán (2.1)− (2.2) với hàm bị chặn đa thức f : R+ → D(A), cho x, y ∈ D(A) 2.2 2.2.1 Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận trường hợp tuyến tính Trong mục ta nghiên cứu nghiệm nhẹ bị chặn cho phương trình vi phân bậc phân số tuyến tính Dα+1 u(t) + µDβt u(t) − Au(t) = h(t), t ≥ 0, t < α ≤ β ≤ 1, µ ≥ 0, (2.5) 14 với điều kiện ban đầu u(0) = x, u0 (0) = y (xác định X ) A toán π tử ω -quạt góc β Nhắc lại hàm u ∈ C (R+ ; X) gọi nghiệm mạnh (2.5) R+ u(t) ∈ D(A) (2.5) xác định R+ Nếu u(t) ∈ X thay cho miền xác định A, ta nói u nghiệm nhẹ phương trình π tuyến tính (2.5) Do A ω -quạt góc β , theo Định lý 2.1.1 Định lý 2.1.2, nghiệm nhẹ (2.5) tồn xác định u(t) = Sα,β (t)x + (g1 ∗ Sα,β ) (t)y + µ (g1+α−β ∗ Sα,β (t)) x + (Sα,β ∗ f ) (t), (2.6) < α, β ≤ 1, µ > 0, x, y ∈ X; f := h ∗ gα Sα,β (t) họ (α, β)µ -chính quy sinh A Để nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm nhẹ, ta cần chứng minh tính khả tích họ (α, β)µ -chính quy sinh A Định lý sau thiết lập ước lượng sắc nét họ nghiệm tương ứng với phương trình tuyến tính Nó mở rộng phương pháp có nghĩa Cuesta cho kết tính khả tích Định lý 2.2.1 Cho < α, β ≤ 1, µ > ω < Giả sử A toán tử π ω -quạt góc β , A sinh họ (α, β)µ -chính quy Sα,β (t) thỏa mãn kSα,β (t)k ≤ C , + |ω| (tα+1 + µtβ ) t ≥ 0, (2.7) với số C > phụ thuộc vào α, β Hệ 2.2.1 Cho < α < β ≤ Dưới giả thiết định lý trên, ta có (gα ∗ Sα,β ) (t) → t → ∞ Ta nhắc lại M (X) không gian AP (X), AAP (X) Dùng định lý trên, ta chứng minh định lý sau Định lý 2.2.2 Cho < α < β ≤ µ ≥ Giả sử A toán tử ω -quạt π góc β Khi với f ∈ M (X) tồn nghiệm nhẹ u phương trình (2.5) thỏa mãn u ∈ M (X) 15 2.2.2 Nghiệm hầu tuần hoàn tiệm cận trường hợp nửa tuyến tính Định nghĩa tốn tử chồng chất Nemytskii N (ϕ)(·) := f (·, ϕ(·)) với ϕ ∈ M (X) Ta xác định tập M (R+ × X; X) bao gồm tất hàm f : R+ × X → X cho f (·, x) ∈ M (X) với x ∈ K , K tập bị chặn X Ta ký hiệu n C0 (R+ × X, X) = h ∈ BC (R+ × X, X) : lim kf (t, x)k = t→∞ với x tập bị chặn X} Định lý 2.2.3 Cho f ∈ M (R+ × X, X) cho trước giả sử tồn số Lf > cho kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lf kx − yk, (2.8) với t ∈ R+ , x, y ∈ X Cho ϕ ∈ M (X) Khi N (ϕ) thuộc không gian M (X) Sau ta nghiên cứu tồn tính nghiệm M (X) phương trình vi phân bậc phân số nửa tuyến tính Dα+1 u(t) + µDβt u(t) − Au(t) = Dαt f (t, u(t)), t t ≥ 0, < α ≤ β ≤ 1, µ > 0, (2.9) với u(0) = x, u0 (0) = y (xác định X ) A tốn tử π ω -quạt góc β với ω < Xét trường hợp tuyến tính, định nghĩa sau nghiệm nhẹ tự nhiên Chú ý trường hợp đường biên µ = α = tương ứng khái niệm nghiệm nhẹ cho toán nửa tuyến tính u00 (t) = Au(t) + f (t, u(t)) giả thiết A toán tử sinh họ cosin C(t) Thật vậy, trường hợp S1,0 (t) ≡ C(t) kết hợp họ sine (g1 ∗ S1,0 )(t) 16 Định nghĩa 2.2.1 Giả sử < α ≤ β ≤ 1, µ > Hàm u : R+ → X gọi nghiệm nhẹ phương trình (2.9) thỏa mãn u(t) =Sα,β (t)x + (g1 ∗ Sα,β ) (t)y + µ (g1+α−β ∗ Sα,β (t)) x Z t + Sα,β (t − s)f (s, u(s))ds (2.10) với t ∈ R+ (x, y) ∈ X × X Ta có kết tồn nghiệm nhẹ cho toán nửa tuyến tính sau Định lý 2.2.4 Cho < α ≤ β ≤ µ > Giả định A tốn π tử ω -quạt góc β ω < Cho f : R+ × X → X hàm M (R+ × X; X) giả sử tồn hàm khả tích bị chặn Lf : R+ → R+ thỏa kf (t, x) − f (t, y)k ≤ Lf (t)kx − yk, (2.11) với x, y ∈ X t ≥ Khi phương trình (2.9) có nghiệm nhẹ u ∈ M (X) 2.3 Ứng dụng Trong phần này, ta đưa ví dụ cụ thể tốn tử tình phần trước áp dụng Ta bắt đầu với ví dụ tốn tử ω -quạt góc θ ≤ π ω khơng cần thiết âm Ví dụ 2.1 Cho Ω ⊂ RN tập mở cho A tốn tử elliptic thơng thường cho Au=− N X Dj aij Di u + i,j=1 N X i=1 bi Di u − N X Di (ci u) + c0 u i=1 với hệ số thực Ta giả sử aij ∈ L∞ (Ω)(i, j = 1, , N ), bi , ci ∈ W 1,∞ (Ω) (i = 1, , N ) c0 ∈ L∞ (Ω) hàm giá trị thực cho N X i,j=1 aij (x)ξi ξj ≥ γ|ξ|2 , 17 với ξ ∈ RN , với x ∈ Ω γ > số cố định Cho V = H01 (Ω) V = H (Ω) với Ω có tính mở rộng hàm Sobolev Định nghĩa a : V × V → R N Z N Z N Z X X X a(u, v) = aij Di uDj vdx + bi Di uvdx + ci uDi vdx i,j=1 Ω i=1 Ω i=1 Ω Z + co uvdx Ω Dễ để thấy dạng a liên tục cưỡng tồn w ∈ R cho a(u, u) + wkuk2L2 (Ω) ≥ 2−1 γkuk2V Cho A toán tử L2 (Ω) kết hợp với dạng a Ta biết A sinh nửa π nhóm chỉnh hình L2 (Ω) góc θa ≤ Hơn nữa, nửa nhóm nội suy Lp (Ω) (1 ≤ p < ∞) nửa nhóm chỉnh hình với góc θa Lp (Ω) Cho Ap kí hiệu tốn tử sinh nửa nhóm Lp (Ω) Do nửa nhóm Lp (Ω) chỉnh hình góc θa , ta có tốn tử Ap toán tử ω -quạt (với ω ∈ R) góc θa Hơn nữa,   N   X N θa = π/2 − inf θ > : aij (x)ξi ξj ∈ Σθ với ξ ∈ C , x ∈ Ω   i,j=1 π Đặc biệt, θa lấy đến β với β < hệ số aij không đối π xứng Ngược lại, θa = aij đối xứng, có nghĩa là, aij (x) = aji (x) với i, j = 1, , N với x ∈ Ω Tiếp theo ta đưa ví dụ ω âm Ví dụ 2.2 a) Giả sử Ω ⊂ RN tập mở bị chặn Cho dạng aD : H01 (Ω) × H01 (Ω) xác định Z aD (u, v) = ∇u · ∇vdx Ω Khi tốn tử AD L2 (Ω) kết hợp với aD toán tử Laplace với điều kiện biên Dirichlet Đây trường hợp đặc biệt ví dụ trước π Lp (Ω) (1 ≤ p < ∞) với Cho AD,p toán tử ω -quạt góc ω < 18 b) Giả sử Ω ⊂ RN tập mở bị chặn với biên liên tục Lipschitz ∂Ω cho γ ∈ L∞ (∂Ω) thỏa γ(x) ≥ γ0 > với số γ0 Định nghĩa dạng song tuyến tính aγ L2 (Ω) Z Z aγ (u, v) = ∇u · ∇vdx + Ω γuvdσ, u, v ∈ H (Ω) ∂Ω Khi tốn tử Aγ L2 (Ω) kết hợp với dạng aγ toán tử Laplace với điều kiện biên Robin Toán tử thỏa mãn tính chất suy rộng Ví dụ 2.1 Cho Aγ,p tương ứng toán tử Lp (Ω) π Ví dụ 2.1 Khi Aγ,p tốn tử ω -quạt góc Lp (Ω)(1 ≤ p < ∞) với ω < Mệnh đề 2.1 Giả sử b ∈ L1 (R+ ) b(t) → t → ∞ Khi phương trình (2.19) với điều kiện ban đầu điều kiện biên Dirichlet khơng có nghiệm nhẹ phân tích thành tổng phần thứ hầu tuần hồn(có thể không) phần thứ hai dần t → ∞ Kết luận chương Chương trình bày chi tiết kết tồn nghiệm tính chất tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với hai số hạng bậc phân số không gian Banach vô hạn chiều, cụ thể: - Tồn nghiệm mạnh biểu diễn nghiệm phương trình tuyến tính - Tồn nghiệm hầu tuần hồn tiệm cận phương trình tuyến tính, phi tuyến với điều kiện tốn tử A tốn tử ω - quạt góc βπ/2, ω < điều kiện áp đặt lên hàm phi tuyến 19 Kết luận luận văn Luận văn đạt số kết sau: • Trình bày số kiến thức có liên quan đến hàm hầu tuần hoàn, hàm đặc biệt, đạo hàm bậc phân số • Trình bày chi tiết tồn nghiệm mạnh biểu diễn nghiệm phương trình vi phân hai số hạng bậc phân số tuyến tính • Trình bày tồn nghiệm hầu tuần hồn tiệm cận phương trình vi phân hai số hạng bậc phân số tuyến tính, phi tuyến