(Luận văn) giải tích phân thứ và phương trình vi phân bậc phân số trong không gian sobolev bậc phân số

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM VÀ ĐÀO TẠO KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ TỐNG THỊ THẢO Tống Thị Thảo lu an n va v an lu d oa nl w p ie ghTỐN ỨNG DỤNG tn to GIẢI TÍCH PHÂN THỨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV BẬC PHÂN SỐ f an lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ NĂM 2022 an Lu Hà Nội - 2022 n va ac th si BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VN HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Tống Thị Thảo lu an n va p ie gh tn to GIẢI TÍCH PHÂN THỨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ TRONG KHƠNG GIAN SOBOLEV BẬC PHÂN SỐ w d oa nl Chuyên ngành : Toán ứng dụng Mã số: 46 01 12 nf va an lu lm ul LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi z m co l gm @ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS.TS Hoàng Thế Tuấn an Lu Hà Nội - 2022 n va ac th si i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn tìm tịi, học hỏi, trau dồi kiến thức thân hướng dẫn tận tình thầy Hồng Thế Tuấn Mọi kết nghiên cứu ý tưởng tác giả khác, có trích dẫn cụ thể Tôi xin chịu trách nhiệm lời cam đoan lu an Hà Nội, tháng 10 năm 2022 va n Học viên p ie gh tn to Tống Thị Thảo d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hồng Thế Tuấn, người thầy trực tiếp hướng dẫn giúp đỡ tơi tìm đề tài luận văn định hình hướng nghiên cứu Khơng người hướng dẫn khoa học tận tâm, thầy cịn cho tơi lời khun, động viên, khích lệ giúp tơi trưởng thành sống lu Tôi xin chân thành cảm ơn anh Hà Đức Thái làm nghiên cứu sinh an Viện Tốn học hướng dẫn, góp ý giúp đỡ nhiều va n trình tơi đọc tài liệu làm luận văn tn to Tôi xin chân thành cảm ơn Trung tâm Quốc tế Đào tạo Nghiên cứu ie gh Toán học, Viện Tốn học hỗ trợ tài giúp tơi hồn thành hai năm p học thạc sĩ nl w Trong thời gian học tập Viện Toán học, nhận nhiều d oa quan tâm, góp ý, hỗ trợ quý báu thầy cô, anh chị bạn bè Tôi lu xin chân thành chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy nf va an cô, anh chị bạn bè Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Toán học sở đào tạo Học lm ul viện Khoa học Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt z at nh oi Nam giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi môi trường học tập cho suốt trình thực Luận văn z Cuối cùng, tơi xin tỏ lịng biết ơn vơ hạn tới mẹ tôi: bà Tống Thị Tưởng, @ người kiên nhẫn thương yêu vô điều kiện m co l gm an Lu n va ac th si iii Danh sách ký hiệu Ký hiệu Tên gọi lu an tập hợp số thực C tập hợp số phức Z+ tập hợp số nguyên không âm ∥·∥ chuẩn vectơ ma trận C([a, b]) không gian hàm liên tục [a, b] n va R ie gh tn to p C k ([a, b]) khơng gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục [a, b] không gian hàm liên tục có giá compact Ω oa Cck (Ω) nl w Cc (Ω) không gian hàm khả vi liên tục k lần d an lu có giá compact Ω không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω Dtα đạo hàm Riemann-Liouville dαt đạo hàm Caputo D(A) miền toán tử tuyến tính A ⌊·⌋ hàm sàn X′ khơng gian đối ngẫu khơng gian Banach X A′ tốn tử tuyến tính đối ngẫu tốn tử tuyến tính A nf va Cc∞ (Ω) z at nh oi lm ul z co l gm @ m Cho f : Rd −→ R, α = (α1 , α2 , , αd ) ∈ Zd+ đa số Ta ký ∂ α2 f ∂ αd f αd (x) ∂xα2 ∂xd n va ∂ α1 f D f (x) = ∂xα1 α an Lu hiệu ac th si iv Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii iii Mục lục iv Mở đầu lu Danh sách ký hiệu an n va tn to gh KIẾN THỨC CHUẨN BỊ p ie 1.1 Không gian Lp bất đẳng thức 1.2 Không gian Sobolev-Slobodeckij w oa nl 1.3 Hàm Gamma hàm Beta 10 d 1.4 Hàm Mittag-Leffler 10 lu nf va an ĐỊNH NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM BẬC PHÂN SỐ ∂tα VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM BẬC PHÂN SỐ 12 lm ul 2.1 Giới thiệu không gian hàm toán tử 12 z at nh oi 2.2 Sự mở rộng dαt lên Hα (0, T ): bước trung gian 15 2.3 Định nghĩa ∂tα : hoàn thành mở rộng dαt 19 2.4 Một số tính chất đạo hàm bậc phân số 28 z gm @ 2.5 Các đạo hàm bậc phân số hàm Mittag - Leffler 34 46 an Lu 47 n va Tài liệu tham khảo m Kết luận 39 co PHÂN BẬC PHÂN SỐ l BÀI TOÁN GIÁ TRỊ ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH VI ac th si Lời mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu cần thiết tiến hành nghiên cứu lu Trong luận văn chúng tơi giới thiệu phép tính vi - tích phân phân an va thứ phương trình vi phân bậc phân số dựa sở lý thuyết tốn n tử khơng gian Sobolev bậc phân số Cách tiếp cận mở rộng tn to khái niệm đạo hàm Caputo Riemann - Liouville cổ điển không ie gh gian Sobolev bậc phân số (bao gồm số âm) Nó cho phép chúng p ta nghiên cứu cách thống phép tính vi - tích phân phân thứ nl w phương trình vi phân bậc phân số theo thời gian d oa Phương trình vi phân bậc phân số lý thuyết toán học sử lu dụng để mơ tả tượng, q trình tiến hóa mà trạng thái chúng nf va an phụ thuộc vào tồn lịch sử trước Trong 30 năm trở lại đây, với phát triển máy tính điện tử phương pháp số, lý thuyết lm ul tìm thấy ứng dụng rộng rãi giải vấn đề z at nh oi nảy sinh từ sống ngành khoa học khác học, vật lý, hóa học, tài chính, tâm lý học, v.v Cơng trình mang tính hệ thống đề cập tới ứng dụng z gm @ giải tích phân thứ [1] Trong sách này, tác giả giới thiệu nhiều ý tưởng, phương pháp ứng dụng giải tích phân thứ nhiều l góc độ thực tế Sau [1], nhiều chuyên khảo trình bày sở lý luận lý co m thuyết xuất Ở giới thiệu đến người đọc quan an Lu tâm số tài liệu tiêu biểu số đó: S Samko, O Marichev A Kilbas [2], R Gorenflo S Vesella [3], K Miller B Ross [4] Ngồi va n ra, gần có thêm đóng góp I Podlubny [5], K Diethelm [6], V ac th si Lakshmikantham, S Leela J Vasundhara Devi [7], B Bandyopadhyay S Kamal [8] Ngoài kiến thức đúc kết chuyên khảo nói trên, năm gần có hàng ngàn báo phương trình vi phân bậc phân số đời (theo trang Mathscienet Hội tốn học Mỹ, có khoảng 3500 cơng bố liên quan đến lĩnh vực năm vừa) Các công trình liên quan tồn tại, tính nhất, dáng điệu tiệm cận, trình rẽ nhánh nghiệm, lý thuyết điều khiển, phương pháp giải gần nghiệm vấn đề sử dụng phương trình bậc phân số để giải toán thực tế lu an Sau chúng tơi điểm qua đóng góp số nhóm nghiên cứu tiêu va biểu giới Một kết quan trọng n phương trình đạo hàm riêng bậc phân số Giáo sư A Kochubei (Insti- gh tn to tute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Ucraina) cộng Sử dụng hàm H , phương pháp đông cứng hệ số lược đồ ie p Levi, họ tồn nghiệm cổ điển toán Cauchy cho nl w phương trình khuếch tán thời gian phân thứ d oa Nhóm nghiên cứu thành cơng phương trình bậc phân số an lu Giáo sư L Cafferelli (The University of Texas at Austin, Mỹ) Họ thu nf va kết quan trọng Định lý Evans-Krylov cho phương trình phi tuyến đầy đủ không địa phương, dáng điệu nghiệm phương lm ul trình porous medium với khuếch tán phân thứ, tính quy nghiệm z at nh oi toán Obstacle phân thứ parabolic, tính chất địa phương nghiệm cho phương trình elliptic nửa tuyến tính phân thứ với kì dị lập, tốn parabolic với đạo hàm thời gian phân thứ Các kết nhóm z gm @ Cafferelli chủ yếu liên quan đến tốn tử phân thứ theo khơng gian Nhóm Giáo sư R Zacher (Ulm University, Đức) nghiên cứu nghiệm l co yếu phương trình đạo hàm riêng với thời gian phân thứ thu m nhiều kết quan trọng liên quan đến tồn tại, nghiệm, an Lu dáng điệu tiệm cận, ước lượng tối ưu, tính quy nghiệm, tính n va ổn định, không ổn định bùng nổ loại nghiệm ac th si Cũng liên quan đến vấn đề nghiên cứu nghiệm yếu, nhóm Giáo sư Jian Guo Liu (Duke University, Mỹ) xây dựng lý thuyết tổng quát cho tích phân đạo hàm bậc phân số Caputo Trên sở đó, họ nghiên cứu mơ hình vật lý mơ tả phương trình với tốn tử đạo hàm khơng địa phương Về khía cạnh giải gần đúng, nhóm Giáo sư W Mclean (New South Wale University, Úc) cho nhiều kết thú vị quan trọng Nhóm Giáo sư M Yamamoto (The University of Tokyo, Nhật) xét tốn ngược phương trình đạo hàm riêng thời gian phân thứ lu an Sử dụng Định lý nội suy Marcinkiewicz, Định lý Calderón-Zygmund, lý n va thuyết nhiễu định lý điểm bất động, nhóm Giáo sư Kyeong Hun tn to Kim (Korea University, Hàn Quốc) chứng minh tồn tại, tính ước lượng cho nghiệm suy rộng không gian Sobolev gh p ie số lớp phương trình đạo hàm riêng với đạo hàm bậc phân số w theo thời gian hệ số đo tương đối tổng quát oa nl Ở Việt Nam có số nhóm nghiên cứu phương trình vi d phân bậc phân số Giáo sư Vũ Ngọc Phát học trò nghiên cứu an lu toán điều khiển, tồn nghiệm, tính ổn định thời gian hữu hạn nf va phương trình vi phân bậc phân số có trễ Gần đây, Giáo sư Đinh Nho Hào lm ul cộng triển khai nghiên cứu toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng thời gian phân thứ thu số kết ban z at nh oi đầu Tại Đại học Sư phạm Hà Nội, nhóm Phó Giáo sư Trần Đình Kế Giáo z sư Cung Thế Anh nghiên cứu phương trình vi phân bậc phân số @ gm không gian trừu tượng, phương trình bao hàm thức phân thứ Tại Đại học l Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, nhóm Giáo sư Đặng Đức m co Trọng nghiên cứu toán tồn nghiệm nhẹ phương trình đạo an Lu hàm riêng phân thứ với điều kiện cuối, điều kiện biên hỗn hợp, tốn chỉnh hóa hệ số phương trình đạo hàm riêng bậc phân số va Từ năm 2014 tới nay, nhóm Giáo sư Nguyễn Đình Cơng, Phó Giáo sư n ac th si Đoàn Thái Sơn nghiên cứu lý thuyết định tính phương trình vi phân phân thứ Đóng góp nhóm tập chung vào hướng sau: tồn tính nghiệm, tính ổn định, tính hút hệ, tồn đa tạp bất biến ổn định, vấn đề sinh hệ động lực phương trình vi phân phân thứ Mặc dù có nghiều nghiên cứu phương trình vi phân bậc phân số xuất Sự phát triển lĩnh vực giai đoạn sơ khai Nguyên nhân nhân suy biến biểu diễn tích phân bậc phân số làm cho nghiệm phương trình có nhiều tính chất khác với nghiệm phương trình vi phân thường Vì vậy, cần có lu thêm nhiều nghiên cứu chuyên sâu để phân tích phụ thuộc vào trí nhớ an trình sinh nghiệm chúng va n Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu gh tn to Hiểu vận dụng kết tiền ấn phẩm p ie Giáo sư M Yamamoto “Fractional calculus and time-fractional diferential w equations: revisit and construction of a theory” (xem [9]) oa nl Chúng tơi quan tâm đến phép tính vi - tích phân phân thứ, phương d trình vi phân bậc phân số, không gian Sobolev bậc không nguyên an lu lý thuyết toán tử nf va Phương pháp nghiên cứu lm ul Chúng sử dụng công cụ kiến thức phép tính vi - tích phân z at nh oi cổ điển, phép biến đổi tích phân, giải tích phân thứ, lý thuyết khơng gian Sobolev bậc không nguyên nguyên lý từ giải tích hàm Cấu trúc dự kiến kết đạt luận văn z @ Ngoài phần Danh sách ký hiệu, Lời mở đầu, Lời cảm ơn, Lời cam gm m • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị co l đoan, Kết luận Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương an Lu • Chương 2: Xây dựng định nghĩa mở rộng cho khái niệm đạo hàm ac th tính chất đạo hàm bậc phân số n va bậc phân số cách nhìn lý thuyết tốn tử đưa số si 19 Áp dụng quy tắc Lebnitz, ta thu Z Z t d t 1−α ′ (t − s) v (s)ds = (t − s)−α v ′ (s)ds − α dt 0 Suy Dtα v(t) = dαt v(t) Vì C [0, T ] ⊂ Hα (0, T ) nên ta cần chứng minh ∂tα v = Dtα v với v ∈ Hα (0, T ) Xét v ∈ Hα (0, T ) Khi tồn u ∈ L2 (0, T ) cho J α u = v hay u = J −α v = ∂tα v Ta có: d 1−α J v(t) dt d  1−α α  J (J u) (t) = dt d = Ju(t) dt Z d t u(s)ds = u(t) = dt lu Dtα v(t) = an n va p ie gh tn to d oa nl w Suy ∂tα v = Dtα v Định nghĩa ∂tα: hoàn thành mở rộng lm ul dαt nf va an lu 2.3 z at nh oi Bằng cách định nghĩa ∂tα , hiểu ∂tα = với z < α < 21 , định nghĩa ∂tα với 12 ≤ α <    ∈ Hα (0, T ) = D (∂ α ) , < α < , t  1∈ / D (∂ α ) , ≤ α < (0, 1) Điều cho thấy m tiếp tục mở an Lu t−α Γ(1−α) với α ∈ ∂tα chưa đủ Do co mở rộng l Tuy nhiên, dαt = Dtα = gm @ t rộng định nghĩa ∂tα để định nghĩa ∂tα v khơng ac th đề sau: n va gian tổng quát hơn, chẳng hạn L2 (0, T ) Chúng ta bắt đầu với mệnh si 20 Mệnh đề 2.10 Cho < α < ≤ β < Khi Jα : β H(0, T ) −→ α+β H(0, T ) đẳng cấu Chứng minh Xét u ∈ β H(0, T ) ⊂ L2 (0, T ) Khi tồn u1 ∈ L2 (0, T ) cho u = τ (u1 ), hay u(t) = u1 (T − t) với t ∈ [0, T ] Ta có Jα u(t) = = lu = an n va = Z T (s − t)α−1 u(s)ds Γ(α) t Z T (s − t)α−1 u1 (T − s)ds Γ(α) t Z −1 (T − ξ − t)α−1 u1 (ξ)dξ Γ(α) T −t Z T −t (T − ξ − t)α−1 u1 (ξ)dξ Γ(α) to gh tn = (J α u1 )(T − t) = τ (J α u1 ) (t) p ie Mà τ, J α đẳng cấu Do Jα đẳng cấu nl w Ký hiệu (J α )′ (Jα )′ toán tử đối ngẫu J α Jα Gọi H(0, T ) không gian đối ngẫu Hα (0, T ) d α −α oa H−α (0, T ) an lu H(0, T ) Khi ta có mệnh đề sau: nf va Mệnh đề 2.11 Cho α > β ≥ thỏa mãn α + β < Khi đó: lm ul (i) (J α )′ : H−α−β (0, T ) −→ H−β (0, T ) đẳng cấu Đặc biệt, (J α )′ : z at nh oi H−α (0, T ) −→ L2 (0, T ) đẳng cấu (ii) (Jα )′ : −α−β H(0, T ) −→ −β H(0, T ) đẳng cấu Đặc biệt, (Jα )′ : H(0, T ) −→ L2 (0, T ) đẳng cấu z −α m co J α v = (Jα )′ v l gm @ (iii) Với v ∈ L2 (0, T ) ta có n va J α : Hβ (0, T ) −→ Hα+β (0, T ), an Lu Chứng minh (i) Chúng ta nhắc lại ac th si 21 đẳng cấu theo Mệnh đề 2.8 Do (J α )′ : H−α−β (0, T ) −→ H−β (0, T ) đẳng cấu (ii) Theo Mệnh đề 2.10, Jα : β H(0, T ) −→ α+β H(0, T ) đẳng cấu ′ Do (Jα ) : −α−β H(0, T ) −→ −β H(0, T ) đẳng cấu (iii) Với u, v ∈ L2 (0, T ) bất kỳ, ta có (Jα )′ v, w
−α H(0,T )×H α (0,T ) = (Jα w, v)L2 (0,T )×L2 (0,T ) , (·, ·)L2 (0,T ) tích vơ hướng L2 (0, T ) Do ta cần chứng minh lu (J α v, w)L2 (0,T ) = (Jα w, v)L2 (0,T ) với w ∈ L2 (0, T ) an va Ta có n to Z α T J α v(t)w(t)dt Z0 T Z t (t − s)α−1 v(s)dsw(t)dt = 0 Γ(1 − α) ! Z T Z T (t − s)α−1 w(t)dt v(s)ds = s Γ(1 − α) Z T = Jα w(s)v(s)ds p ie gh tn (J v, w)L2 (0,T ) = d oa nl w nf va an lu = (Jα w, v)L2 (0,T ) lm ul Suy z at nh oi (J α v, w)L2 (0,T ) = (Jα w, v)L2 (0,T ) với w ∈ L2 (0, T ) z Do @ m co l gm J α = (Jα )′ L2 (0, T ) Chọn γ > cho < α + γ < Khi từ phép nhúng Sobolev ta có n ac th H(0, T ) ,→ H α+γ (0, T ) ,→ C[0, T ] va α+γ an Lu Bây định nghĩa Jα′ u cho u ∈ L1 (0, T ) sau: si 22 Do đó, u ∈ L1 (0, T ) coi phần tử α+γ
′ H(0, T ) = −α−γ H(0, T ) sau: u : α+γ H(0, T ) −→ R RT φ 7−→ u(t)φ(t)dt Định nghĩa xác định Z ⟨u, φ⟩−α−γ H(0,T )×α+γ H(0,T ) ≤ T |u(t)||φ(t)|dt Z T ≤ sup |φ(t)| |u(t)|dt t∈[0,T ] lu = ∥u∥L1 (0,T ) ∥φ∥C[0,T ] an n va ≤ C∥u∥L1 (0,T ) ∥φ∥α+γ H(0,T ) tn to Hơn ta có ∥u∥−α−γ H(0,T ) ≤ C∥u∥L1 (0,T ) , nên L1 (0, T ) ⊂ D (Jα′ ) = −α−γ ie gh H(0, T ) Khi cải thiện Mệnh đề 2.11 sau: p Mệnh đề 2.12 Ta có Z t ′ (t − s)α−1 u(s)ds, < t < T, với u ∈ L1 (0, T ) Jα u(t) = Γ(α) (2.8) d oa nl w nf va an lu Chúng ta viết lại công thức (2.8) sau Jα′ = J α L1 (0, T ) lm ul Chứng minh Chọn γ > 12 Khi α + γ > 21 , với v ∈ L1 (0, T ) ta có z at nh oi L1 (0, T ) ⊂−α−γ H(0, T ) ∥v∥−α−γ H(0,T ) ≤ C∥v∥L1 (0,T ) Xét u ∈ L1 (0, T ) Vì L2 (0, T ) trù mật L1 (0, T ) nên tồn un ⊂ L2 (0, T ) cho un → u L1 (0, T ) u → ∞ Theo Mệnh đề gm −α−γ (*) @ H(0, T ) −→ −γ H(0, T ) đẳng l Theo Mệnh đề 2.11 (Jα )′ : z 2.11, ta có Jα′ un = J α un với n ∈ N m co cấu, nên tồn số C cho ′ J (un − u) ≤ C ∥un − u∥−α−γ H(0, T ) ≤ C ∥un − u∥L1 (0,T ) α −γH(0,T ) an Lu −γ H(0, T ) ac th (**) n va Mà ∥un − u∥L1 (0,T ) → n → ∞ nên Jα′ un −→ Jα′ u si 23 Mặt khác, với u ∈ L1 (0, T ), áp dụng bất đẳng thức Young cho tích chập ta có ∥J α un − J α u∥L1 (0,T ) = J α (un − u) L1 (0,T ) α−1 t ∗ (un − u) = Γ(1 − α) L (0,T ) α−1 t ∥un − u∥L1 (0,T ) ≤ Γ(1 − α) L (0,T ) = C ∥un − u∥L1 (0,T ) lu Suy J α un −→ J α u L1 (0, T ), hay J α un −→ J α u −γ H(0, T ) an Kết hợp với (*) (**) ta có Jα′ u = J α u va n Định nghĩa 2.13 Cho α ∈ (0, 1), định nghĩa
−1 với D (∂tα ) = Hβ (0, T ) D (∂tα ) = −β H(0, T ) (2.9) p ie gh tn to ∂tα := Jα′ w Từ định nghĩa Mệnh đề 2.11 ta có định lý sau oa nl Định lý 2.14 Cho α > β ≥ thỏa mãn α + β < Khi d ∂tα : −β H(0, T ) −→ −α−β H(0, T ) ∂tα : Hα+β (0, T ) −→ Hβ (0, T ) nf va an lu đẳng cấu Ví dụ 2.15 Với < α < Chọn γ > cho lm ul < α + γ < ta xét ∂tα với D(∂tα ) = −γ−α H(0, T ) ⊃ L1 (0, T ) Khi ∈ D(∂tα ), ta có z at nh oi ∂tα = Dtα = t−α Γ(1 − α) z t−α ∈ L1 (0, T ), theo Mệnh đề 2.12 ta có Γ(1 − α) ! ! Z t 1 t−α = (t − s)α−1 s−α ds Γ(1 − α) Γ(1 − α) Γ(α) Z 1 = (t − ut)α−1 (ut)−α tdu Γ(1 − α)Γ(α) Z 1 = (1 − u)α−1 u−α du Γ(1 − α)Γ(α) m co Jα′ l gm @ Thật vậy, an Lu n va ac th si 24 B(α, − α) = Γ(1 − α)Γ(α) = Do đó, từ định nghĩa ta có ∂tα = t−α Γ(1 − α) Mệnh đề 2.16 Cho < α < Khi d ∂tα u(t) = dt Γ(1 − α) t Z ! (t − s)−α u(s)ds (C0∞ (0, T ))′ , với u ∈ L1 (0, T ), d đạo hàm yếu dt lu Chứng minh Với u ∈ L1 (0, T ), φ ∈ C0∞ (0, T ) cần chứng an minh va n * ! t + d (t − s)−α u(s)ds , φ dt Γ(1 − α) + *Z t (t − s)−α u(s)ds, φ′ (t) = (−1) Γ(1 − α) Z p ie gh tn to < ∂tα u, φ > = w oa nl Chọn γ > cho < α + γ < Khi L1 (0, T ) ⊂ −α−γ H(0, T ) d Do C [0, T ] trù mật L1 (0, T ), nên tồn un ∈ C [0, T ], n ∈ lu an N cho un → u L1 (0, T ) n → ∞ Lại có L1 (0, T ) ⊂−α−γ nf va H(0, T ), nên un → u ∈−α−γ H(0, T ) lm ul Theo Định lý 2.14 có ∂tα : −α−γ H(0, T ) −→ −γ−2α H(0, T ) đẳng cấu z at nh oi Do tồn số C cho α ∂ (un − u) −γ−2α ≤ C ∥un − u∥−γ−α H(0,T ) t H(0,T ) D φ∈C0∞ [0,T ], ∥φ∥=1 D E w, φ = ∥w∥−γ−2α H(0,T ) n va ac th Suy ∂tα un −→ ∂tα u (C0∞ [0, T ])′ an Lu sup φ∈γ+2α H(0,T ), ∥φ∥=1 m E w, φ co ≤ sup H(0, T ) l H(0, T ) ⊂ (C0∞ (0, T ))′ ∥w∥(C0∞ [0,T ])′ = 2α+γ gm −2α−γ H(0, T ) Vì C0∞ (0, T ) ⊂ @ nên −2α−γ z Suy ∂tα un −→ ∂tα u si 25 Mặt khác, theo Mệnh đề 2.9, ta có ∂tα un = Dtα un , ∀n ∈ N Lại có L1 (0, T ) ⊂ (C0∞ [0, T ])′ suy ∂tα un = ∂tα u (C0∞ [0, T ])′ Do Dtα un −→ ∂tα u (C0∞ [0, T ])′ (2.10) Ta cần chứng minh Dtα un −→ Dtα u (C0∞ [0, T ])′ lu an n va tn to Với φ ∈ C0∞ [0, T ], ta có * ! + Z t d < Dtα un , φ > = (t − s)−α un (s)ds , φ dt Γ(1 − α) * + Z t = (−1) (t − s)−α un (s)ds, φ′ (t) Γ(1 − α) Z T Z t (t − s)−α un (s)dsφ′ (t)dt = Γ(1 − α) ie gh Tương tự, ta có p < Z T >= Γ(1 − α) Z t (t − s)−α udsφ′ (t)dt oa nl w Khi Dtα u, φ d Z TZ t