Luận văn thạc sĩ khoa học phương trình vi phân và phương trình tích phân volterra trong không gian banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành TOÁN GIẢI TÍCH Mã số 60 46 01 02[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2013 Mục lục MỞ ĐẦU NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại cương không gian Banach lý thuyết toán tử 1.2 Đạo hàm tích phân hàm nhận giá trị khơng Banach 1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tác động khơng gian Banach 5 gian 12 18 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH 21 2.1 Phương trình tích phân Volterra Định lý Bielecki 21 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 25 2.3 Một số ví dụ minh họa 28 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 3.1 Phương trình vi phân với vế phải liên tục 3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát 3.1.2 Phương trình vi phân autonomous non-autonomous 3.2 Phương trình vi phân với vế phải không liên tục 3.2.1 Phương trình vi phân autonomous 3.2.2 Phương trình vi phân non-autonomous 3.3 Ổn định mũ nghiệm phương trình vi phân 3.3.1 Ổn định mũ nghiệm phương trình 3.3.2 Ổn định mũ nghiệm phương trình khơng KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 35 35 35 36 45 46 50 55 55 72 79 80 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân toán học xuất từ đời sống thực tiễn sở phát triển khoa học khác nhau, bao gồm khoa học tự nhiên khoa học xã hội Một phương trình vi phân kết việc mô tả (bằng toán học) tượng chuyển động vật thể, trình sinh trưởng phát triển lồi sinh vật Một ví dụ điển hình cho phương trình vi phân định luật II Newton chuyển động vật thể, dx (t) = F (t), (1) dt số m khối lượng vật thể, x(t) vận tốc vật thể thời m điểm t, dx dt (t) = a(t) gia tốc thời điểm t vật thể F (t) lực hỗn hợp tác động vào vật thể thời điểm t Thông thường, lực hỗn hợp F (t) phụ thuộc vào vận tốc x(t) Vậy phương trình (1), với f (t, x) = m1 F (t, x), viết lại thành dx (t) = f (t, x(t)) dt (2) Đây phương trình vi phân tổng qt cấp ẩn hàm x(t) Việc nghiên cứu phương trình (2) giúp biết tính chất vận tốc x(t) thời điểm t vật thể Giả sử yêu cầu thêm điều kiện cho trước vận tốc thời điểm ban đầu x(t0 ) = x0 , (3) với giả thiết kỹ thuật đặt lên cho phương trình (2) với điều kiện (3) chuyển phương trình Z t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (4) t0 Phương trình (4) phương trình tích phân Volterra Như phương trình tích phân Volterra xuất nghiên cứu phương trình vi phân tương ứng MỞ ĐẦU Các kết thu lý thuyết phương trình vi phân khơng gian thực nhiều, tổng quát Vậy nên để có kết tổng quát, người ta cần nghiên cứu phương trình vi phân khơng gian tổng qt Một số khơng gian Banach Lý thuyết phương trình vi phân khơng gian Banach bắt nguồn từ cơng trình nghiên cứu Hille Yosida (1948) tồn nghiệm phương trình dx dt = Ax với A toán tử không liên tục không gian Banach, kết thu dựa ngơn ngữ nửa nhóm tốn tử Năm 1953 Kato nghiên cứu thành công tồn nghiệm tốn Cauchy cho phương trình dx dt = A(t)x với A(t) toán tử khơng liên tục Sau đó, báo mình, Hille, Yosida, Phillips Kato đặt móng cho lý thuyết phương trình vi phân với tốn tử khơng liên tục Nó trở thành lĩnh vực toán học độc lập, thú vị thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Luận văn "Phương trình vi phân phương trình tích phân Volterra khơng gian Banach" chia thành ba chương: Chương Những kiến thức chuẩn bị Chương nhằm cung cấp sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm khái niệm không gian Banach kết liên quan Sau định nghĩa đạo hàm tích phân hàm nhận giá trị không gian Banach Tiếp theo khái niệm quan trọng, nửa nhóm tốn tử, sử dụng suốt sau Các kết chương chủ yếu trích từ [1], [9] [10] Chương Phương trình tích phân Volterra khơng gian Banach Mục đích chương trình bày phương trình tích phân Volterra loại II, đưa phương pháp giải phương pháp xấp xỉ liên tiếp số ví dụ minh họa Định lý Bielecki chứng minh "nhẹ nhàng" để áp dụng vào chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân chương sau Các kết chủ yếu trích từ [4], [10] [12] Chương Phương trình vi phân khơng gian Banach Chương trình bày dạng phương trình vi phân bao gồm nhất, không nhất, autonomous, non-autonomous đưa công thức nghiệm tương ứng Cuối ứng dụng cơng thức nghiệm vào nghiên cứu tính ổn định mũ nghiệm phương trình vi phân Các kết chủ yếu trích từ [6], [8] [10] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, có cơng lao dạy dỗ tơi suốt q trình học tập Nhà trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà nội, tháng 09 năm 2013 Tác giả luận văn Nguyễn Xuân Nghĩa Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại cương không gian Banach lý thuyết toán tử Trước tiên đưa kiện không gian metric Khái niệm không gian metric Định nghĩa 1.1 Không gian metric tập X 6= ∅ với hàm số d : X × X −→ R thỏa mãn ba tiên đề sau: • d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = ⇐⇒ x = y (tính xác định dương); • d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính đối xứng); • d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Hàm số d gọi khoảng cách hay metric X Số d(x, y) gọi khoảng cách x y Khơng gian metric ký hiệu (X, d) Nếu khoảng cách d rõ, ta ký hiệu ngắn gọi X Mỗi phần tử x ∈ X gọi điểm không gian metric X Tôpô không gian metric Định nghĩa 1.2 Cho dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) Ta nói (i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X d(xn , x) −→ n −→ +∞ Khi ta ký hiệu xn −→ x n −→ +∞ lim xn = x, gọi x n→+∞ giới hạn dãy {xn } (ii) Dãy {xn } dãy hay dãy Cauchy ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ d (xm , xn ) < ε Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hoặc tương đương ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ d (xn+p , xn ) < ε, ∀p = 1, 2, Định nghĩa 1.3 Không gian metric đầy đủ không gian metric X mà dãy Cauchy hội tụ đến phần tử X Định nghĩa 1.4 Cho (X, d) không gian metric, điểm x0 ∈ X số r > (i) Hình cầu mở tâm x0 bán kính r tập B(x0 , r) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < r}; (ii) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r tập B[x0 , r] := {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r}; (iii) Lân cận điểm x0 tập U (x0 ) chứa hình cầu mở tâm x0 ; (iv) Tập G ⊂ X tập mở với a ∈ G, tồn lân cận U (a) ⊂ G; (v) Tập F ⊂ X tập đóng phần bù X\F tập mở Tính chất 1.1 Đối với khơng gian metric, có (i) Hợp tùy ý tập mở tập mở; (ii) Giao hữu hạn tập mở tập mở; (iii) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng; (iv) Giao tùy ý tập đóng tập đóng Định nghĩa 1.5 Cho A tập hợp không gian metric X Khi (i) Điểm x ∈ X gọi điểm tập A tồn lân cận U (x) x cho U (x) ⊂ A; (ii) Tập hợp điểm A gọi phần A, ký hiệu int A; (iii) Điểm x ∈ X gọi điểm dính tập A lân cận U (x) x có giao U (x) ∩ A 6= ∅; (iv) Tập hợp điểm dính A gọi bao đóng tập A, ký hiệu A; (v) Tập A gọi trù mật X A = X Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tính chất 1.2 Cho A tập khơng gian metric X, có (i) A = A ⇐⇒ A đóng;   (ii) A = A ⇐⇒ ∀{xn } ⊂ A : xn −→ x =⇒ x ∈ A ;   (iii) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∃{xn } ⊂ A : xn −→ x ;   (iv) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε > ∃x0 ∈ A : d(x, x0 ) < ε Định lý Baire phạm trù Để phát biểu Định lý, trước tiên cần vài khái niệm sau Định nghĩa 1.6 Cho (X, d) không gian metric tập A ⊂ X (i) Tập A gọi tập không đâu trù mật tập mở U ⊂ X tồn hình cầu mở B ⊂ U có giao B ∩ A = ∅ (ii) Tập A gọi tập thuộc phạm trù thứ biểu diễn dạng hợp số đếm tập không đâu trù mật (iii) Tập A tập thuộc phạm trù thứ gọi tập thuộc phạm trù thứ hai Mệnh đề 1.1 Mỗi tập đóng khơng phải tập khơng đâu trù mật chứa hình cầu mở Định lý 1.1 (Định lý Baire phạm trù) Mọi không gian metric đủ tập thuộc phạm trù thứ hai Khái niệm khơng gian Banach Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.7 Khơng gian (tuyến tính) định chuẩn khơng gian tuyến tính X trường số F với hàm số || · || : X −→ R thỏa mãn ba tiên đề sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ||x|| = ⇐⇒ x = (tính xác định dương); • ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ F (tính dương); • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Hàm số || · || gọi chuẩn X Số ||x|| gọi chuẩn x không gian định chuẩn ký hiệu (X, || · ||) Nếu chuẩn || · || rõ, Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ta ký hiệu ngắn gọn X Mỗi phần tử x ∈ X gọi điểm hay vector không gian định chuẩn X Khi F = R ta nói (X, || · ||) khơng gian tuyến tính định chuẩn thực Khi F = C ta nói (X, || · ||) khơng gian tuyến tính định chuẩn phức Nhận xét 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, || · ||) không gian metric với khoảng cách xác định d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ X Do tất tính chất không gian metric cho không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.8 Cho dãy điểm {xn } khơng gian định chuẩn X Ta nói (i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X ||xn − x|| −→ n −→ +∞ Khi ta ký hiệu xn −→ x n −→ +∞ lim xn = x, gọi x n→+∞ giới hạn dãy {xn } (ii) Dãy {xn } dãy hay dãy Cauchy ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ ||xm − xn || < ε Hoặc tương đương ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ ||xn+p − xn || < ε, ∀p = 1, 2, Định nghĩa 1.9 Khơng gian Banach hay khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ khơng gian tuyến tính X mà dãy Cauchy hội tụ đến phần tử X Trong suốt luận văn không nhấn mạnh thêm ta ln ngầm hiểu X không gian Banach trường số thực phức Định nghĩa 1.10 Một ánh xạ T đưa không gian Banach X vào gọi ánh xạ co tồn số L ∈ [0, 1) cho ||T (x) − T (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ X Chúng ta có Định lý quan trọng sau Banach đưa năm 1922 Định lý 1.2 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho X không gian Banach Nếu ánh xạ T : X −→ X ánh xạ co phương trình T (x) = x ln có nghiệm x ∈ X Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhận xét 1.2 (i) Điểm x thỏa mãn T (x) = x gọi điểm bất động ánh xạ T (ii) Nguyên lý ánh xạ co phát biểu mạnh là: ánh xạ co khơng gian metric đủ có điểm bất động Lý thuyết tốn tử tuyến tính khơng gian Banach Định nghĩa 1.11 Cho X, Y hai khơng gian tuyến tính trường F = R; C (i) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y gọi toán tử Khi Y = F ta nói A phiếm hàm (ii) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính ba điều kiện sau thỏa mãn: • DA không gian X; • A(x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ DA ; • A(λx) = λAx, ∀x ∈ DA , ∀λ ∈ F Khi Y = F ta nói A phiếm hàm tuyến tính (iii) Khơng gian DA X gọi miền xác định A Không gian RA := A(DA ) Y gọi miền giá trị A Nhận xét 1.3 (i) Cho DA không gian X Khi đó, tốn tử A : DA ⊂ X −→ Y tốn tử tuyến tính A(λx + µy) = λAx + µAy, ∀x, y ∈ DA , ∀λ, µ ∈ F (ii) Từ sau, không cần nhấn mạnh, ta thường xét DA = X Cho X, Y hai không gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.12 Một tốn tử tuyến tính A : X −→ Y gọi liên tục hay bị chặn từ điều kiện xn −→ x kéo theo Axn −→ Ax n −→ +∞ Tính chất 1.3 Một tốn tử tuyến tính A : X −→ Y liên tục tồn số K > cho ||Ax|| ≤ K||x||, ∀x ∈ X Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Định nghĩa 1.13 Chuẩn toán tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y số thực không âm, ký hiệu xác định ||A|| := sup ||Ax|| ||x||≤1 Tính chất 1.4 Đối với tốn tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y ta có ||Ax|| = inf{K > : ||Ax|| ≤ K||x||, ∀x} x6=0 ||x|| ||A|| = sup ||Ax|| = sup ||x||=1 Định nghĩa 1.14 Cho X Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn (i) Ta định nghĩa khơng gian tốn tử tuyến tính liên tục sau L (X; Y) := {A : X −→ Y A tốn tử tuyến tính liên tục }; L (X) := L (X; X) = {A : X −→ X A toán tử tuyến tính liên tục } (ii) Khơng gian liên hợp X không gian X∗ := L (X; R) = {A : X −→ R A phiếm hàm tuyến tính liên tục } (iii) Tốn tử liên hợp tốn tử tuyến tính liên tục A : X −→ Y toán tử A∗ : Y∗ −→ X∗ xác định A∗ ϕ(x) = ϕ(Ax), ∀ϕ ∈ Y∗ Tính chất 1.5 Đối với hai khơng gian tuyến tính định chuẩn X Y, ta có (i) Khơng gian L (X; Y) đầy đủ Y đầy đủ; (ii) Khơng gian X∗ ln đầy đủ; (iii) Tốn tử A∗ tốn tử tuyến tính liên tục ||A∗ || = ||A|| Các Định lý Định lý 1.3 (Định lý Hahn-Banach) Cho G không gian khơng gian tuyến tính định chuẩn X Khi đó, phiếm hàm tuyến tính liên tục G thác triển bảo chuẩn lên tồn X, nghĩa ∀f ∈ G∗ ∃F ∈ X∗ : F |G = f, ||F ||X = ||f ||G Nhận xét 1.4 Nếu không gian G trù mật X thác triển 10 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hệ 1.1 Cho G khơng gian đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn X Khi đó, với điểm x0 6∈ G tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X∗ cho ||f || = 1, f |G = f (x0 ) = d(x0 , G) > Hệ 1.2 Cho X khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi đó, với điểm x0 6= X có phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X∗ cho ||f || = f (x0 ) = ||x0 || Ta có Định lý sau thường gọi Nguyên lý bị chặn Nó nói mối liên hệ tính bị chặn điểm tính bị chặn họ tốn tử Định lý 1.4 (Định lý Banach-Steinhaus) Cho X không gian Banach Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Giả sử họ {At : t ∈ T } họ tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Khi đó, với x ∈ X, tồn số Mx > cho ||At x|| ≤ Mx , ∀t ∈ T, tồn số M > cho ||At || ≤ M, ∀t ∈ T Nói cách khác, ∀x ∈ X, sup ||At x|| < +∞, sup ||At || < +∞ t∈T t∈T Hệ 1.3 Cho X không gian Banach Y khơng gian tuyến tính định chuẩn Khi đó, giới hạn điểm dãy tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Y toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y Cho X, Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.15 Tốn tử tuyến tính A : DA ⊂ X −→ Y gọi tốn tử đóng từ điều kiện   xn −→ x, xn ∈ DA x ∈ DA kéo theo Axn −→ y Ax = y Định lý 1.5 (Định lý đồ thị đóng) Mọi tốn tử đóng đưa khơng gian Banach X vào khơng gian Banach Y tốn tử tuyến tính liên tục 11 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.2 Đạo hàm tích phân hàm nhận giá trị không gian Banach Định nghĩa đạo hàm tính chất Giả sử (X, || · ||) không gian Banach, [a, b] , −∞ < a < b < +∞, khoảng đóng x : [a, b] → X hàm cho trước Định nghĩa 1.16 Chúng ta gọi đạo hàm (Fréchet) hàm x(·) điểm t giới hạn (nếu tồn tại) dx x(t + h) − x(t) (t) := lim dt h h→0 (1.1) Khi ta nói hàm x(·) khả vi (Fréchet) điểm t Đôi ta ký hiệu đạo hàm x0 (t) = dx (t) dt Tại t = a (t = b), hiểu giới hạn (1.1) giới hạn bên phải (bên trái) Khi hàm x(·) khả vi t ∈ [a, b], ta nói hàm x(·) khả vi đoạn [a, b] Bây ví dụ minh họa Nó cịn sử dụng sau Ví dụ 1.1 (Đạo hàm hàm vector) Cho hàm vector x(t) = (x1 (t), x2 (t), , xn (t)) ∈ Rn Khi đó, hàm vector x(t) khả vi hàm số thành phần x1 (t), x2 (t), , xn (t) khả vi, x0 (t) = (x01 (t), x02 (t), , x0n (t)) Thật vậy, hàm số thành phần x1 (t), x2 (t), , xn (t) khả vi, ta xét v u n  2 x(t + h) − x(t) uX xk (t + h) − xk (t) 0 t − (x1 (t), , xn (t)) − xk (t) −→ 0, h −→ = h h k=1 Vậy hàm vector x(t) khả vi x0 (t) = (x01 (t), x02 (t), , x0n (t)) Ngược lại, hàm vector x(t) khả vi x0 (t) = (y1 (t), y2 (t), , yn (t)) Ta ý với k = 1, 2, , n v u n  2 xk (t + h) − xk (t) uX xk (t + h) − xk (t) t − yk (t) ≤ − yk (t) h h k=1 x(t + h) − x(t) −→ h −→ = − x (t) h 12 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vậy hàm số thành phần xk (t) khả vi x0k (t) = yk (t) từ x0 (t) = (x01 (t), x02 (t), , x0n (t))  Ví dụ 1.2 (Đạo hàm hàm ma trận) Cho hàm ma trận   x11 (t) x12 (t) x1n (t)  x (t) x22 (t) x2n (t)  x(t) =  21  = (xij (t))m×n xm1 (t) xm2 (t) xmn (t) phần tử Mm×n (R) ≡ L (Rn ; Rm ) Khi đó, hàm ma trận x(t) khả vi hàm số thành phần xij (t) khả vi,   0 x11 (t) x12 (t) x1n (t)  x0 (t) x022 (t) x02n (t)  x0 (t) =  21  = (x0ij (t))m×n x0m1 (t) x0m2 (t) x0mn (t) Thật vậy, trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức v uX n u m X t a2ij , |aij | ≤ kAk ≤ i=1 j=1 với A = (aij )m×n i, j tập số Thật vậy, theo Định nghĩa chuẩn, ta có v !2 u m n uX X ||A|| = sup ||Ax|| = sup t aij xj ||x||≤1 ||x||≤1 i=1 j=1 v ! n ! v u m uX n n X X X u u m X 2 ≤ sup t aij xj ≤ t a2ij ||x||≤1 i=1 j=1 j=1 i=1 j=1 Tiếp theo ta chọn x ∈ Rn cho thành phần xj = 1, lại = 0, ||x|| = Từ v u m uX ||A|| ≥ ||Ax|| = t a2 ≥ |aij | ij i=1 Áp dụng bất đẳng thức Khi hàm số thành phần xij (t) khả vi v u m n  2 uX X xij (t + h) − xij (t) x(t + h) − x(t) − (xij (t)) ≤ t − x0ij (t) −→ 0, h −→ h h i=1 j=1 13 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Vậy hàm ma trận x(t) khả vi x0 (t) = (x0ij (t))m×n Ngược lại, hàm ma trận x(t) khả vi x0 (t) = (yij (t))m×n , ta có xij (t + h) − xij (t) x(t + h) − x(t) ≤ − y (t) − x (t) ij h h Suy hàm số thành phần xij (t) khả vi x0ij (t) = yij (t), từ x0 (t) = (x0ij (t))m×n  Tiếp theo ta đưa tính chất phép tính vi phân Fréchet Nó giống đạo hàm thơng thường Tính chất 1.6 Nếu hàm x(t) khả vi điểm t liên tục điểm Tính chất 1.7 Khi phép tốn hàm có nghĩa, có cơng thức sau, vế phải tồn [x(t) + y(t)]0 = x0 (t) + y (t); [αx(t)]0 = αx0 (t), α ∈ R; [x(t) ◦ y(t)]0 = x0 (t) ◦ y(t) + x(t) ◦ y (t); (x ◦ y)0 (t) = x0 (y(t)) ◦ y (t) Định nghĩa tích phân tính chất Tiếp theo định nghĩa tích phân Bochner-Riemann hàm x(·) giống tích phân Riemann cổ điển Chúng ta thực sau Định nghĩa 1.17 (1) Ký hiệu {∆n } dãy phân hoạch đoạn [a, b], tức ∆n = {tni }, i = 0, 1, , mn , a = tn0 < tn1 < < tnmn = b (2) Chúng ta nói dãy {∆n } chuẩn tắc lim sup |tni − tni−1 | = n→+∞ 1≤i≤mn 14 (1.2) Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ (3) Bây định nghĩa hàm x(·) xác định đoạn [a, b] khả tích Bochner-Riemann dãy chuẩn tắc phân hoạch {∆n } kỳ cách chọn điểm θin ∈ (tni−1 , tni ) dãy tổng Riemann sau hội tụ mn X n (tni−1 − tni )x(θin ) (1.3) S (∆n ) = i=1 Khi giới hạn Z b x(t)dt := lim S n (∆n ) n→+∞ a (1.4) gọi tích phân Bochner-Riemann hàm x(·) đoạn [a, b] Nhận xét 1.5 Giống giải tích cổ điển giới hạn không phụ thuộc vào cách chọn dãy phân hoạch ln tồn hàm liên tục Cũng có tương tự tích phân Lebesgue, định nghĩa tích phân Bochner-Lebesgue sau Định nghĩa 1.18 (1) Một hàm x : [a, b] −→ X gọi hàm đơn giản có dạng n X x= xi χEi (1.5) i=1 {Ei } họ hữu hạn tập đo rời phủ lên đoạn [a, b], phần tử xi ∈ X χEi hàm đặc trưng tập Ei , nghĩa  t ∈ Ei χEi (t) = t 6∈ Ei (2) Một hàm x(·) xác định đoạn [a, b] gọi hàm đo mạnh có dãy hàm đơn giản {xn } hội tụ đến x hầu khắp nơi, tức lim ||xn (t) − x(t)|| = với hầu hết t ∈ [a, b] n→+∞ (1.6) (3) Đối với hàm đơn giản x(·) định nghĩa tích phân Bochner-Lebesgue Z b n X x(t)dt := |Ei |xi , (1.7) a i=1 |Ei |, i = 1, 2, , n, ký hiệu độ đo Lebesgue tập Ei 15 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ (4) Đối với hàm đo mạnh x(·), nói x(·) khả tích BochnerLebesgue tồn dãy hàm đơn giản {xn } cho Z b lim ||xn (t) − x(t)||dt = (1.8) n→+∞ a Khi giới hạn b Z b Z x(t)dt := lim xn (t)dt n→+∞ a (1.9) a tồn gọi tích phân Bochner-Lebesgue hàm x(·) đoạn [a, b] (5) Đối với hàm x(·) khả tích Bochner-Lebesgue (hoặc Bochner-Riemann) đoạn [a, b], định nghĩa Z a Z b x(t)dt := − x(t)dt (1.10) b a Từ sau, khơng có thích thêm, ta ln hiểu tích phân xét tích phân Bochner-Lebesgue Tương tự lý thuyết tích phân Riemann cổ điển lý thuyết tích phân Lebesgue thơng thường tính chất sau: Tính chất 1.8 Hàm đo mạnh x(t) khả tích Bochner-Lebesgue hàm số ||x(t)|| khả tích Lebesgue Khi ta có ước lượng Z Z b b x(t)dt ≤ ||x(t)||dt a a Nếu hàm x khả tích Bochner-Riemann khả tích Bochner-Lebesgue hai tích phân Nếu x khả tích Bochner-Riemann (hoặc Bochner-Lebesgue) Z b Z c Z b x(t)dt = x(t)dt, a ≤ c ≤ b x(t)dt + a a c Nếu x, y khả tích Bochner-Riemann (hoặc Bochner-Lebesgue) Z b Z b Z b [αx(t) + βy(t)]dt = α x(t)dt + β y(t)dt, α, β ∈ R a a a Nếu A tốn tử tuyến tính liên tục Z b Z A b x(s)ds = a Ax(s)ds a 16 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tính chất 1.9 (Tính liên tục tích phân phụ thuộc tham số) Cho miền D = {x ∈ X : ||x − x0 || ≤ δ} Giả sử f : [a, b] × D → X hàm liên tục theo hai biến Khi đó, tích phân phụ thuộc tham số Z b J(x) = f (t, x)dt a hàm liên tục theo x tập D Tính chất 1.10 (Định lý Fubini đổi thứ tự lấy tích phân) Giả sử f : [a, b] × [c, d] → X hàm liên tục theo hai biến Khi đó, ta có đẳng thức ! ! Z b Z d Z d Z b f (t, s)ds a dt = c f (t, s)dt c ds a Mối liên hệ đạo hàm tích phân Định nghĩa 1.19 Một hàm x : [a, b] 7→ X gọi liên tục tuyệt đối đoạn [a, b] với ε > tồn δ > cho với họ khoảng rời (a1 , b1 ), , (an , bn ) đoạn [a, b] ta có n X n X i=1 i=1 (bi − ) < δ =⇒ ||x(bi ) − x(ai )|| < ε Nhận xét 1.6 Hàm liên tục tuyệt đối đoạn [a, b] liên tục đoạn Tính chất 1.11 (Định lý thứ I Giải tích) Nếu hàm x(t) khả Rt tích đoạn [a, b] đoạn tích phân y(t) = a x(s)ds, t ∈ [a, b], hàm liên tục tuyệt đối, khả vi hầu khắp nơi ta có cơng thức Z t d x(s)ds = x(t), với hầu hết t ∈ [a, b] (1.11) dt a Tính chất 1.12 (Định lý thứ II Giải tích) Nếu hàm x(t) liên tục tuyệt đối đoạn [a, b] đoạn khả vi hầu khắp nơi, có đạo hàm x0 (t) khả tích ta có cơng thức Newton-Leibniz Z t x0 (s)ds = x(t) − x(a), với tất t ∈ [a, b] (1.12) a Nhận xét 1.7 Với giả thiết mạnh hơn, ta có hai kết hay dùng sau: X Công thức (1.11) ∀t ∈ [a, b] hàm x(t) liên tục đoạn [a, b] X Công thức (1.12) ∀t ∈ [a, b] hàm x(t) khả vi đoạn [a, b] có đạo hàm x0 (t) khả tích đoạn 17 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tác động khơng gian Banach Cho X không gian Banach Chúng ta có hai khái niệm quan trọng sau
Định nghĩa 1.20 Ta nói họ U (t) t≥0 tốn tử tuyến tính liên tục tác động X nửa nhóm liên tục mạnh (hay C0 − nửa nhóm) điều kiện sau thỏa mãn: • U (0) = I (toán tử đồng X); • U (t)U (s) = U (t + s), ∀t, s ≥ (tính chất nửa nhóm); • lim U (t)x = x, ∀x ∈ X (tính liên tục mạnh) t&0 Định nghĩa 1.21 Toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh U (t) tốn tử A định nghĩa sau:   U (t)x − x • DA = x ∈ X : lim tồn ; t&0 t U (t)x − x , ∀x ∈ DA t t&0 • Ax = lim Chú ý 1.1 Toán tử sinh toán tử tuyến tính nói chung khơng liên tục Ví dụ 1.3 Cho X không gian Banach Giả sử A tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào Khi họ U (t) = e tA := +∞ k k X t A k=0 k! , t ≥ 0, nửa nhóm liên tục mạnh với tốn tử sinh tốn tử A Thật vậy, ⊕ etA xác định tốt Vì ||tk Ak || tk ||A||k ≤ k! k! P P+∞ ||tk Ak || tk ||A||k chuỗi số +∞ hội tụ nên chuỗi số hội tụ theo dấu hiệu so k=0 k=0 k! k! P +∞ tk Ak tA sánh Do chuỗi k=0 k! hội tụ tuyệt đối, hay e tồn tốn tử tuyến tính liên tục (Hệ Định lý Banach-Steinhaus), suy etA xác định tốt ⊕ e0A = I Điều hiển nhiên 18 Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ⊕ etA esA = e(t+s)A , ∀t, s ≥ Thật +∞ k k X t A etA esA = = = = ! +∞ m m X s A k! n=0 k+m=n +∞ n X X n=0 +∞ X n=0 n! m! m=0 k=0 +∞ X X k=0 ! tk Ak sm Am (quy tắc Cauchy nhân chuỗi lũy thừa) k! m! n! tk sn−k An k!(n − k)! (t + s)n n A = e(t+s)A n! ⊕ lim etA x = x, ∀x ∈ X Thật vậy, từ chỗ t&0 tA −I = e +∞ k k X t A k=1 k! suy +∞ +∞ k k X t A X tk ||A||k tA = et||A|| − −→ 0, t −→ 0+ ||e − I|| = ≤ k! k! k=1 k=1 Hay lim etA = I =⇒ lim etA x = x, ∀x ∈ X t&0 t&0
tA Vậy họ e t≥0 nửa nhóm liên tục mạnh ⊕ Tiếp theo, ta chứng minh với x ∈ X, etA x − x = Ax t t&0 lim Quả vậy, từ chỗ tA e −I = +∞ k k X t A k=1 k! = tA +∞ k−1 k−1 X t A k! k=1 = tA + tA +∞ k−1 k−1 X t A k=2 k! suy tA +∞ k−1 k−1 +∞ k−1 +∞ k−1 X X X e − I t A t ||A||k−1 t ||A||k−1 − A = A ≤ ||A|| ≤ ||A|| t k! k! (k − 1)! k=2 k=2 k=2 Từ tA +∞ k   X e − I t ||A||k t||A|| − A ≤ ||A|| = ||A|| e − −→ 0, t −→ 0+ t k! k=1 19 ... 28 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 3.1 Phương trình vi phân với vế phải liên tục 3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát 3.1.2 Phương trình vi phân autonomous... ĐẦU Phương trình vi phân toán học xuất từ đời sống thực tiễn sở phát triển khoa học khác nhau, bao gồm khoa học tự nhiên khoa học xã hội Một phương trình vi phân kết vi? ??c mô tả (bằng toán học) ... thuyết phương trình vi phân với tốn tử khơng liên tục Nó trở thành lĩnh vực toán học độc lập, thú vị thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Luận văn "Phương trình vi phân phương trình tích phân Volterra