Luận văn thạc sĩ phương trình vi phân và phương trình tích phân volterra trong không gian banach

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - NGUYEN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: GS.TSKH NGUYEN VN MẳU H Nđi Nm 2013 Mnc lnc Me ĐAU NHUNG KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Đai cương ve không gian Banach lý thuyet toán tu .5 1.2 Đao hàm tích phân cna hàm nh¾n giá tr% khơng gian Banach 12 1.3 Nua nhóm liên tuc manh tác đ®ng khơng gian Banach .18 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH 21 2.1 Phương trình tích phân Volterra Đ%nh lý Bielecki 21 2.2 Phương pháp xap xi liên tiep 25 2.3 M®t so ví du minh HQA 28 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 35 3.1 Phương trình vi phân vói ve phai liên tuc 35 3.1.1 Phương trình vi phân tőng quát .35 3.1.2 Phương trình vi phân autonomous non-autonomous 36 3.2 Phương trình vi phân vói ve phai khơng liên tuc 45 3.2.1 Phương trình vi phân autonomous 46 3.2.2 Phương trình vi phân non-autonomous 50 3.3 Őn đ%nh mũ đeu cna nghi¾m cna phương trình vi phân 55 3.3.1 Őn đ%nh mũ đeu cna nghi¾m cna phương trình thuan nhat 55 3.3.2 Őn đ%nh mũ đeu cna nghi¾m cna phương trình khơng thuan nhat 72 KET LU¾N 79 Tài li¾u tham khao 80 Me ĐAU Phương trình vi phân tốn HQc đưoc xuat hi¾n tù địi song thnc tien so phát trien cna khoa HQ c khác nhau, bao gom ca khoa HQ c tn nhiên khoa HQ c xã h®i M®t phương trình vi phân m®t ket qua cna vi¾c mơ ta (bang tốn HQc) hi¾n tưong chuyen đng cna vắt the, quỏ trỡnh sinh v phỏt trien cna cỏc loi sinh vắt Mđt vớ du đien hình cho phương trình vi phân %nh luắt II Newton ve chuyen đng cna mđt vắt the, dx m (t) = F (t), (1) dt hang so m khoi lưong cna v¾t the, x(t) v¾n toc cna v¾t the tai thịi điem t, dx(t) = a(t) gia toc tai thòi điem t cna v¾t the F (t) lnc d hon hopt tỏc đng vo vắt the tai thũi iem t Thơng thưịng, lnc hon hop F (t) cịn phu thuđc vo ca vắn toc x(t) nua Vắy phng trỡnh (1), vói f (t, x) = F (t, x), đưoc viet lai thành m dx (t) = f (t, x(t)) (2) dt Đây m®t phương trình vi phõn tng quỏt cap mđt an l hm x(t) Viắc nghiên cúu phương trình (2) se giúp biet đưoc tính chat cna v¾n toc x(t) tai thịi điem t bat kỳ cna v¾t the Gia su yờu cau thờm mđt ieu kiắn cho trúc ve v¾n toc tai thịi điem ban đau x(t0) = x0, (3) vói gia thiet ky thu¾t đ¾t lên cho phương trình (2) vói đieu ki¾n (3) đưoc chuyen ve phương trình ∫ t f (s, x(s))ds (4) x(t) = x0 + t Phương trình (4) m®t phương trình tích phân Volterra Như v¾y phương trình tích phân Volterra đưoc xuat hi¾n nghiên cúu phương trình vi phân tương úng Me ĐAU Các ket qua thu đưoc cna lý thuyet phương trình vi phân khơng gian thnc rat nhieu, khơng phai tőng qt V¾y nên đe có ket qua tőng qt, ngưịi ta can nghiên cúu phương trình vi phân khơng gian tőng qt M®t so khơng gian Banach Lý thuyet phương trình vi phân khơng gian Banach đưoc bat nguon tù cơng trình nghiên cúu cna Hille Yosida (1948) ve sn ton tai nghi¾m cna phương trình dx d = Ax vói A t m®t tốn tu khơng liên tuc khơng gian Banach, ket qua thu đưoc dna ngôn ngu cna nua nhóm tốn tu Năm 1953 Kato nghiên cúu thành cơng sn ton tai nghi¾m cna tốn Cauchy cho phương trình dx d = A(t)x vói t A(t) tốn tu khơng liên tuc Sau đó, nhung báo cna mình, Hille, Yosida, Phillips Kato đ¾t nen móng cho lý thuyet phương trình vi phân vói tốn tu khơng liên tuc Nó tro thnh mđt lnh vnc toỏn HQc đc lắp, thỳ v% thu hút đưoc sn quan tâm cna nhieu nhà tốn HQ c the giói Lu¾n văn "Phương trình vi phân phương trình tích phân Volterra khơng gian Banach" đưoc chia thành ba chương: Chương NhEng kien thÉc chuan b% Chương nham cung cap so lý thuyet cho hai chương sau, bao gom khái ni¾m ve khơng gian Banach ket qua liên quan Sau đ%nh nghĩa đao hàm tích phân cna hàm nh¾n giá tr% khơng gian Banach Tiep theo khái ni¾m mói quan TRQNG, nua nhóm tốn tu, đưoc su dung suot ve sau Các ket qua cna chương chn yeu đưoc trích tù [1], [9] [10] Chương Phương trình tích phân Volterra khơng gian Ba- nach Muc đích cna chương trình bày ve phương trình tích phân Volterra loai II, chi đưa m®t phương pháp giai phương pháp xap xi liên tiep m®t so ví du minh HQA Đ%nh lý Bielecki đưoc chúng minh rat "nhe nhàng" đe áp dung vào chúng minh sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân o chương sau Các ket qua chn yeu đưoc trích tù [4], [10] [12] Chương Phương trình vi phân khơng gian Banach Chương trình bày dang phương trình vi phân bao gom thuan nhat, không thuan nhat, autonomous, non-autonomous đưa cơng thúc nghi¾m tương úng Cuoi úng dung cơng thúc nghi¾m vào nghiên cúu tính őn đ%nh mũ đeu cna nghi¾m cna phương trình vi phân Các ket qua chn yeu đưoc trích tù [6], [8] [10] Lài cam ơn Lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan nhi¾t tình nghiêm khac cna GS.TSKH Nguyen Văn M¾u Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen thay Qua đây, tơi xin gui lịi cam ơn sâu sac tói q thay Khoa Tốn-Cơ-Tin HQ c, Trưịng Đai HQ c Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i, thay tham gia giang day khóa cao HQc 2011- 2013, có cơng lao day tơi suot q trình HQc t¾p tai Nhà trưịng Tơi xin cam ơn gia đình, ban bè ban đong nghi¾p thân men ó quan tõm, tao ieu kiắn v c v, đng viên tơi đe tơi hồn thành tot nhi¾m vu cna mỡnh H nđi, thỏng 09 nm 2013 Tỏc gia luắn văn Nguyen Xuân Nghĩa Chương NHUNG KIEN THÚC CHUAN B± 1.1 Đai cương ve không gian Banach lý thuyet tốn tE Trưóc tiên đưa nhung sn ki¾n ban nhat ve khơng gian metric Khái ni¾m khơng gian metric Đ%nh nghĩa 1.1 Khơng gian metric l mđt X = cựng vúi mđt hàm so d : X × X −→ R thoa mãn ba tiên đe sau: • d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = ⇐⇒ x = y (tính xác đ%nh dương); • d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính đoi xúng); • d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bat thúc tam giác) Hàm so d đưoc GQI khoang cách hay metric X So d(x, y) đưoc GQI khoang cách giua x y Khơng gian metric đưoc ký hi¾u (X, d) Neu khoang cách d rõ, ta ký hi¾u ngan GQI X Moi phan tu x ∈ X đưoc GQI m®t điem cna không gian metric X Tôpô không gian metric Đ%nh nghĩa 1.2 Cho dãy điem {xn} cna không gian metric (X, d) Ta nói rang (i) Dãy {xn} h®i tn đen điem x ∈ X neu d(xn, x) −→ n −→ +∞ Khi ta ký hi¾u xn −→ x n −→ +∞ ho¾c lim xn = x, gQI x n →+ giái han cna dãy {xn} ∞ (ii) Dãy {xn} dãy ban hay dãy Cauchy neu ∀ε > ∃n0 = n0(ε) : ∀m, n > n0 =⇒ d (xm, xn) < ε Chương NHUNG KIEN THÚC CHUAN B± Ho¾c tương đương ∀ε > ∃n0 = n0(ε) : ∀n > n0 =⇒ d (xn+p, xn) < ε, ∀p = 1, 2, Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian metric đay đu m®t khơng gian metric X mà MQI dãy Cauchy đeu h®i tu đen m®t phan tu cna X Đ%nh nghĩa 1.4 Cho (X, d) m®t khơng gian metric, điem x0 ∈ X so r > (i) Hình cau má tâm x0 bán kính r t¾p B(x0, r) := {x ∈ X : d(x, x0) < r}; (ii) Hình cau đóng tâm x0 bán kính r t¾p B[x0, r] := {x ∈ X : d(x, x0) ≤ r}; (iii) Lân c¾n cua iem x0 l mđt U (x0) chỳa hỡnh cau mo tâm x0; (iv) T¾p G ⊂ X t¾p má neu vói MQI a ∈ G, ton tai mđt lõn cắn U (a) G; (v) T¾p F ⊂ X t¾p đóng neu phan bù cna X\F t¾p mo Tính chat 1.1 Đoi vái m®t khơng gian metric, có (i) Hap tựy ý cỏc mỏ l mđt mỏ; (ii) Giao huu han cỏc mỏ l mđt mỏ; (iii) Hap huu han cỏc úng l mđt úng; (iv) Giao tựy ý cỏc úng l mđt úng %nh ngha 1.5 Cho A l mđt hop khơng gian metric X Khi (i) Điem x ∈ X đưoc GQI điem cna t¾p A neu ton tai mđt lõn cắn U (x) cna x cho U (x) ⊂ A; (ii) T¾p hop điem cna A đưoc GQI phan cna A, ký hi¾u int A; (iii) Điem x ∈ X đưoc GQI điem dính cna t¾p A neu MQI lân c¾n U (x) cna x đeu có giao U (x) ∩ A ƒ= ∅; (iv) T¾p hop điem dính cna A đưoc GQI bao đóng cna t¾p A, ký hi¾u A; (v) T¾p A đưoc gQI trù m¾t X neu A = X Tớnh chat 1.2 Cho A l mđt khụng gian metric X, có (i) A = A ⇐⇒ A đóng; Σ Σ (ii) A = A ⇐⇒ ∀{xn} ⊂ A : xn −→ x =⇒ x ∈ A ; Σ Σ (iii) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∃{xn} ⊂ A : xn −→ x ; Σ Σ (iv) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε > ∃x0 ∈ A : d(x, x0 ) < ε Đ%nh lý Baire ve pham trù Đe phát bieu đưoc Đ%nh lý, trưóc tiên can vài khái ni¾m sau Đ%nh nghĩa 1.6 Cho (X, d) l mđt khụng gian metric v A X (i) T¾p A đưoc GQI t¾p khơng đâu trù m¾t neu moi t¾p mo U ⊂ X đeu ton tai m®t hình cau mo B ⊂ U có giao B ∩ A = ∅ (ii) T¾p A đưoc GQI l thuđc pham trự thỳ nhat neu nú cú the bieu dien dưói dang hop cna m®t so đem đưoc nhung t¾p khơng đâu trù m¾t (iii) T¾p A khụng phai l thuđc pham trự thỳ nhat oc GQI l thuđc pham trự thỳ hai Mắnh e 1.1 Mői t¾p đóng khơng phai t¾p khơng đâu trự mắt eu chỳa mđt hỡnh cau mỏ %nh lý 1.1 (Đ%nh lý Baire ve pham trù) MQI không gian metric u eu l thuđc pham trự thỳ hai Khái ni¾m khơng gian Banach Ngun lý ánh xa co Đ%nh nghĩa 1.7 Không gian (tuyen tính) đ%nh chuan m®t khơng gian tuyen tính X trưịng so F vói m®t hàm so || · || : X −→ R thoa mãn ba tiên đe sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ||x|| = ⇐⇒ x = (tính xác đ%nh dương); • ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ F (tính thuan nhat dương); • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (bat thúc tam giác) Hàm so || · || đưoc GQI chuan X So ||x|| đưoc GQI chuan cna x khơng gian đ%nh chuan đưoc ký hi¾u (X, || · ||) Neu chuan || · || rõ, ta ký hi¾u ngan GQN X Moi phan tu x ∈ X đưoc GQI m®t điem hay vector cna khơng gian đ%nh chuan X Khi F = R ta nói (X, || · ||) khơng gian tuyen tính đ%nh chuan thnc Khi F = C ta nói (X, || · ||) khơng gian tuyen tính đ%nh chuan phúc Nh¾n xét 1.1 Khơng gian tuyen tính đ%nh chuan (X, || · ||) m®t khơng gian metric vói khoang cách đưoc xác đ%nh boi d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ X Do tat ca tính chat cna khơng gian metric đeu cho khơng gian tuyen tính đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.8 Cho dãy điem {xn} cna không gian đ%nh chuan X Ta nói rang (i) Dãy {xn} h®i tn đen điem x ∈ X neu ||xn − x|| −→ n −→ +∞ Khi ta ký hi¾u xn −→ x n −→ +∞ ho¾c lim xn = x, gQI x n →+ ∞ giái han cna dãy {xn} (ii) Dãy {xn} dãy ban hay dãy Cauchy neu ∀ε > ∃n0 = n0(ε) : ∀m, n > n0 =⇒ ||xm − xn|| < ε Ho¾c tương đương ∀ε > ∃n0 = n0(ε) : ∀n > n0 =⇒ ||xn+p − xn|| < ε, ∀p = 1, 2, Đ%nh nghĩa 1.9 Không gian Banach hay không gian tuyen tính đ%nh chuan đay đu m®t khơng gian tuyen tính X mà MQI dãy Cauchy đeu h®i tu đen mđt phan tu cna X Trong suot luắn ny khơng nhan manh thêm ta ln ngam hieu X khơng gian Banach trưịng so thnc hoắc phỳc %nh ngha 1.10 Mđt ỏnh xa T a khơng gian Banach X vào đưoc GQI ánh xa co neu ton tai m®t hang so L ∈ [0, 1) cho ||T (x) − T (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ X Chúng ta có Đ%nh lý quan TRQNG sau đưoc Banach đưa năm 1922 Đ%nh lý 1.2 (Nguyên lý ánh xa co) Cho X m®t khơng gian Banach Neu ánh xa T : X −→ X m®t ánh xa co phương trình T (x) = x ln có nghi¾m nhat x ∈ X Nh¾n xét 1.2 (i) Điem x thoa mãn T (x) = x đưoc GQI điem bat đ®ng cna ánh xa T (ii) Nguyên lý ánh xa co đưoc phát bieu manh là: MQI ánh xa co không gian metric đu đeu có điem bat đ®ng nhat Lý thuyet tốn tE tuyen tính khơng gian Banach Đ%nh nghĩa 1.11 Cho X, Y hai khơng gian tuyen tính trưòng F = R; C (i) Moi ánh xa A : DA ⊂ X −→ Y đưoc GQI m®t tốn tu Khi Y = F ta nói A m®t phiem hàm (ii) Moi ánh xa A : DA ⊂ X −→ Y đưoc GQI m®t ánh xa tuyen tính ho¾c tốn tu tuyen tính neu ba đieu kiắn sau oc thoa món: ã DA l khụng gian cna X; • A(x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ DA; • A(λx) = λAx, ∀x ∈ DA, ∀λ ∈ F Khi Y = F ta nói A m®t phiem hàm tuyen tính (iii) Khơng gian DA cna X đưoc GQI mien xác đ%nh cna A Không gian RA := A(DA) cna Y đưoc GQi mien giá tr% cna A Nh¾n xét 1.3 (i) Cho DA m®t khơng gian cna X Khi đó, tốn tu A : DA ⊂ X −→ Y tốn tu tuyen tính chi A(λx + µy) = λAx + µAy, ∀x, y ∈ DA, ∀λ,µ ∈ F (ii) Tù ve sau, khơng can nhan manh, ta thưịng xét DA = X Cho X, Y hai không gian tuyen tính đ%nh chuan Đ%nh nghĩa 1.12 M®t tốn tu tuyen tính A : X −→ Y đưoc GQI liên tnc hay b% ch¾n neu tù đieu ki¾n xn −→ x kéo theo Axn −→ Ax n −→ +∞ Tính chat 1.3 M®t tốn tu tuyen tính A : X −→ Y liên tnc neu chs neu ton tai m®t hang so K > cho ||Ax|| ≤ K||x||, ∀x ∈ X H¾ qua 3.1 Cho U (t, s) HQ tốn tu tien hóa b% chắn eu Neu ton tai mđt so p > cho ∫ sup s≥ +∞ ||U (t, s)x||pdt < +∞, ∀x ∈ X, s HQ U (t, s) őn đ%nh mũ đeu N (u) = up ChÚng minh Ta thay hàm thoa mãn đieu ki¾n cna M¾nh đe 3.4 theo gia thiet t¾p N (||U (t, s)x||)dt = +∞Σ E = x ∈ X : sup ∫ +∞ Σ = x s≥ ∈ X : sup s≥0 p ∫ ||U (t, s)x|| dt = +∞ s = ∅ +∞ s Nên khơng trù m¾t khơng gian X V¾y theo M¾nh đe 3.4 suy HQ U (t, s) őn đ%nh mũ đeu Bây giò chuyen sang chúng minh Đ%nh lý 3.10 □ ChÚng minh Vói moi b® tú so s ≥ 0, T > 0, a > M > xét t¾p ∫ s+T N (a, ||U (t, s)x||)dt ≤ M Σ Es,T,a,M = s x ∈ X : Theo tính liên tuc cna hàm N (·) tính b% ch¾n đeu cna HQ U (t, s) phiem hàm ∫ s+ T J (x) = N (a, ||U (t, s)x||)dt s liên tuc (l¾p lu¾n tương tn phan chúng minh cna M¾nh đe 3.4) Do t¾p Es,T,a,M t¾p đóng, th¾t v¾y, xét dãy xn ∈ Es,T,a,M mà xn −→ x n −→ +∞ Khi theo Đ%nh nghĩa cna Es,T,a,M ta có J (xn) ≤ M Do J (x) liên tuc nên cho n −→ +∞ ta đưoc J (x) ≤ M , suy x ∈ Es,T,a,M V¾y Es,T,a,M t¾p đóng Tù dan đen t¾p \ Ea,M = \ Es,T,a,M s≥0 T>0 ∫ Σ = x X: sup ∈ +∞ N (a, ||U (t, s)x||)dt ≤ M s≥0 nhung t¾p đóng s Vói ý rang [ x ∈ X : sup ∫ N (a, ||U (t, s)x||)dt < +∞ s≥0 Ea,M = Σ +∞ s M>0 gia thiet N− őn đ%nh đeu cna Đ%nh lý tro thành [ [ X= Ea,M (3.84) a>0 M>0 Hien nhiên Ea,M ⊂ Ea ,M aJ ≤ a M J ≥ M J J Do ta có the bieu dien lai X dưói dang hop đem đưoc [ [ X= Ea,M a∈Q+ M∈N+ (3.85) (3.86) Đúng v¾y, vói MQI x ∈ X, theo (3.84) ton tai a > 0, M > đe x ∈ Ea,M CHQN aJ so huu ty cho < aJ ≤ a (so a the ton tai tính trù m¾t cna Q R) chQn M J so tn nhiên cho M J ≥ M Khi đó, tù (3.85) ta có x ∈ Ea ,M V¾y (3.86) đưoc thoa mãn M¾t khác, theo Đ%nh lý Baire ve pham trù khơng gian đn X thuđc pham trự thỳ hai Do ú tự (3.86) suy ton tai chi so a0, M0 cho Ea0,M0 khơng phai t¾p khơng đâu trù m¾t Lai Ea0,M0 đóng nên chúa m®t hình cau B Tù sn ki¾n t¾p Ea0,M0 t¾p ∈ Σ ∫ E = x X: +∞ J J N (a0, ||U (t, s)x||)dt = +∞ sup s≥0 s rịi nhau, suy t¾p E hình cau B rịi nhau, thành thu t¾p E khơng trù m¾t khơng gian X Cuoi theo M¾nh đe 3.4 suy HQ U (t, s) őn đ%nh mũ đeu □ H¾ qua 3.2 Cho N (u) m®t hàm liên tnc khơng giam cho N (0) = N (u) > 0, ∀u > Neu U (t, s) HQ tốn tu tien hóa b% ch¾n đeu cho vái mői x ∈ X có m®t so a(x) > thóa mãn ∫ +∞ sup s≥ s N (a(x)||U (t, s)x||)dt < +∞, HQ U (t, s) őn đ%nh mũ đeu ChÚng minh Ta thay hàm N˜ (a, u) = N (au) thoa mãn gia thiet cna Đ%nh lý 3.10, ta có đieu phai chúng minh □ H¾ qua 3.3 Cho N (u) m®t hàm liên tnc khơng giam cho N (0) = N (u) > 0, ∀u > Neu U (t) nua nhóm liên tnc manh cho vái mői x ∈ X có m®t so a(x) > thóa mãn ∫ +∞ N (a(x)||U (t)x||)dt < +∞, ton tai hang so M > α > cho ||U (t)|| ≤ Me−αt, ∀t ≥ ChÚng minh Xét HQ tốn tu tien hóa (theo Ví du 3.3) xác đ%nh boi U (t, s) = U (t − s), ∀s, t, ≤ s ≤ t < +∞ Khi ∫ ∫ +∞ s N (a(x)||U (t, s)x||)dt = +∞ ∫s +∞ N (a(x)||U (t − s)x||)dt = N (a(x)||U (t)x||)dt < +∞, ∀s ≥ 0 Theo H¾ qua 3.2 suy HQ U (t, s) őn đ%nh mũ đeu, suy ton tai hang so M > α > cho ||U (t, s)|| ≤ Me−α(t−s), ∀s, t, ≤ s ≤ t < +∞ Nói riêng □ ||U (t)|| = ||U (t, 0)|| ≤ Me−αt, ∀t ≥ 3.3.2 On đ%nh mũ đeu cua nghi¾m cua phương trình khơng thuan nhat Trong muc nghiên cúu tính őn đ%nh mũ đeu cna ca phương trình vi phân tuyen tính khơng thuan nhat phương trình vi phân phi tuyen Y Trưóc tiên, xét phương trình vi phân tuyen tính khơng thuan nhat dx dt = A(t)x(t) + f (t),≤0 ∞t < + (3.87) Trong A(t) : DA(t) ≡ X → X toán tu tuyen tính liên tuc vói moi t ≥ 0, kha tích đ%a phương theo t f (t) hàm liên tuc nh¾n giá tr% X Cùng vói nó, ta xét phương trình thuan nhat tương úng dx dt = A(t)x(t), 0≤t < +∞ (3.88) Đ%nh lý 3.12 Gia su U (t, s) HQ tốn tu tien hóa tương úng vái phương trình (3.88) Khi đó, neu nghi¾m tam thưàng cua phương trình (3.88) őn đ%nh mũ đeu MQI nghi¾m cua phương trình (3.87) őn đ%nh mũ đeu ChÚng minh Xét hai nghi¾m cna tốn Cauchy tùy ý x1(t) = x1(t, s, x1) x2(t) = x2(t, s, x2) cna phương trình (3.87) Khi se có dang ∫ x1(t) = U (t, s)x1 + Suy U (t, ξ)f (ξ)dξ; t s ∫ t U (t, ξ)f (ξ)dξ x2(t) = U (t, s)x2 + s ||x1(t) − x2(t)|| = ||U (t, s)x1 − U (t, s)x2|| ≤ ||U (t, s)||.||x1 − x2|| ≤ Me−α(t−s)||x1 − x2||, U (t, s) őn đ%nh mũ đeu V¾y mQI nghi¾m cna phương trình (3.87) őn đ%nh mũ đeu Trong Đ%nh lý tiep theo ta se can đen bat thúc sau Bo đe 3.2 (Bo đe Gronwall-Bellman) Gia su G(t), B(t) hàm so không âm liên tnc nua khoang [s, +∞) thóa mãn bat thúc sau ∫ t G(t) ≤ M + s G(ξ)B(ξ)dξ, ∀t ≥ s, vái M > Khi ta có ưác lưang G(t) ≤ M.e¸ st B(ξ)dξ, ∀t ≥ s ChÚng minh ⊕ Gia thiet cna có the viet lai thành M+ G(t) ∫ t s G(ξ)B(ξ)dξ ≤ Nhân hai ve vói hàm B(t) ≥ 0, ta đưoc M+ hay G(t)B(t) ∫ t d G(ξ)B(ξ)dξ ≤ B(t) s Σln M + dt ∫ t ΣΣ G(ξ)B(ξ)dξ s □ ≤ B(ξ) ⊕ Lay tích phân hai ve tù s đen t, cho ta ln M + ∫ M + ∫ G(ξ)B(ξ)dξ − ln M ≤ s suy Σ t ∫ t B(t)dξ s t G(ξ)B(ξ)dξ ≤ M.es ¸ t B(t)dξ s Su dung gia thiet m®t lan nua, ta đưoc B(ξ)dξ G(t) ≤ M.e ¸t , ∀t ≥ s s Y □ Tiep theo, xét phương trình vi phân phi tuyen dx dt = A(t)x(t) + f (t, x(t)), ≤ ∞t < + (3.89) Trong A(t) : DA(t) ≡ X → X tốn tu tuyen tính liên tuc vói moi t, kha tích đ%a phương theo t f (t, x) hàm liên tuc nh¾n giá tr% X vói f (t, 0) = Cùng vói nó, ta xét phương trình thuan nhat tương úng dx dt = A(t)x(t), 0≤t < +∞ (3.90) Đ%nh lý 3.13 Gia su hàm f (t, x) thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz theo x đeu theo t, túc ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L||x − y||, ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ X (3.91) Khi đó, neu nghi¾m tam thưàng cua phương trình (3.90) őn đ%nh mũ đeu nghi¾m tam thưàng cua phương trình (3.89) őn đ%nh mũ đeu vái L đu nhó ChÚng minh ⊕ Ta biet rang nghi¾m cna tốn Cauchy cna phương trình (3.89) có bieu dien ∫ t x(t) = U (t, s)x0 + U (t, ξ)f (ξ, x(ξ))dξ s Trong U (t, s) HQ tốn tu tien hóa tương úng vói phương trình (3.90) Suy t ||x(t)|| ≤ ||U (t, s)x0|| ∫ + s U (t, ξ)f (ξ, x(ξ))dξ ∫ ≤ ||U (t, s)||.|| x0|| + ≤ Ke−α(t−s)||x0|| + t ||U (t, ξ)|| ||f (ξ, x(ξ))||dξ ∫ ts Ke−α(t−ξ).L||x(ξ)||dξ s Ưóc lưong cuoi có đưoc U (t, s) őn đ%nh mũ đeu ||f (ξ, x(ξ))|| = ||f (ξ, x(ξ)) − f (ξ, 0)|| ≤ L||x(ξ)|| Tù ta có ||x(t)||eα(t−s) ≤ K||x0|| ∫ t KL||x(ξ)||eα(ξ−s)dξ + s ⊕ Áp dung Bő đe Gronwall-Bellman, ta đưoc = K||x ||e¸ t α(t−s) Ke ||x(t)|| ≤ KLdξ e KL(t−s) ||x || Suy ||x(t)|| ≤ Ke−(α−KL)(t−s)||x0|| = Ke−β(t−s)||x0|| α vói β = α − KL > ta cHQN L < K V¾y nghi¾m tam thưịng cna (3.89) őn đ%nh mũ đeu vói L đn nho Y Cuoi cùng, xét phương trình vi phân phi tuyen dang □ dx = A(t)x(t) + f (t, x(t)) + g(t, x(t)), ≤ t < +∞.(3.92) dt Trong A(t) : DA(t) ≡ X → X tốn tu tuyen tính liên tuc vói moi t, kha tích đ%a phương theo t f (t, x), g(t, x) hàm liên tuc nh¾n giá tr% X vói f (t, 0) = g(t, 0) = Cùng vói nó, ta xét phương trình thuan nhat tương úng dx = A(t)x(t), ≤ t < +∞ (3.93) dt Đ%nh lý 3.14 Gia su hàm f (t, x) thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz theo x, đeu theo t, túc ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L||x − y||, ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ X (3.94) Và hàm g(t, x) thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz theo x, túc ||g(t, x) − g(t, y)|| ≤ γ(t)||x − y||, ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ X, (3.95) vái hàm so γ(t) kha tích nua khoang [0, +∞) Khi đó, neu nghi¾m tam thưàng cua phương trình (3.93) őn đ%nh mũ đeu nghi¾m tam thưàng cua phương trình (3.92) őn đ%nh mũ đeu vái L đu nhó ChÚng minh ⊕ Ta biet rang nghi¾m cna tốn Cauchy cna phương trình (3.92) có bieu dien ∫ t x(t) = U (t, s)x0 + U (t, ξ) [f (ξ, x(ξ)) + g(ξ, x(ξ))] dξ s Trong U (t, s) HQ tốn tu tien hóa tương úng vói phương trình (3.93) Suy ||x(t)|| ≤ ||U (t, s)x0|| + t ∫ s U (t, ξ) [f (ξ, x(ξ)) + g(ξ, x(ξ))] dξ ∫ t Σ ≤ ||U (t, s)||.||x0|| + ||U (t, ξ)|| ∫ s t ≤ Ke−α(t−s)||x0|| + Σ ||f (ξ, x(ξ))|| + ||g(ξ, x(ξ))|| dξ Σ Ke Σ L+ −α(t−ξ) ||x(ξ)||dξ γ(ξ) s Ưóc lưong cuoi có đưoc U (t, s) őn đ%nh mũ đeu ||f (ξ, x(ξ))|| = ||f (ξ, x(ξ)) − f (ξ, 0)|| ≤ L||x(ξ)||; ||g(ξ, x(ξ))|| = ||g(ξ, x(ξ)) − g(ξ, 0)|| ≤ γ(ξ)||x(ξ)|| Tù ta có ||x(t)||eα(t−s) ≤ K||x0|| ∫ + Σ||x(ξ)||e Σ K L + γ(ξ) dξ α(ξ−s) s ⊕ Áp dung Bő đe Gronwall-Bellman, ta đưoc x(t)||eα(t−s) ≤ K||x || ¸ t ||e K[L+γ(ξ)]dξ K[L+γ(ξ)]dξ s ||x ¸ = Ke t || s Suy ưóc lưong ||x(t)|| ≤ Ke −α(t−s ) ¸ es t ||x0|| K[L+γ(ξ)]dξ ≤ Ke−α(t−s)eKL(t−s)+λK||x0|| = KeλKe−(α−KL)(t−s)||x0|| = Me−β(t−s)||x0|| ∫ +∞ Trong λ = γ(ξ)dξ < +∞, M = KeλK , β = α − KL > ta cHQN K L < V¾y nghi¾m tam thưịng cna (3.92) őn đ%nh mũ đeu vói L đn nho □ α Ví dn 3.8 Nghiên cúu tính őn đ%nh mũ đeu cna nghi¾m cna phương trình vi phân sau (a) dx = (−2 + sin t)x(t) − (t5 + 1)t√10 + |t − 2013| log(t + 12), ≤ t < +∞; d t dx e−6 e−6 (b) = (−2 + sin t)x(t) − dt (c) dx cos x(t) − √ − t2 e−6 +t+1 x(t)8 = (−2 + sin t)x(t) − e arctan x(t) d −6 t+ e −t t + ∫ x(t) τe − , ≤ t < +∞; dτ, ≤ t < +∞ Lài giai Trưóc tiên ta có nh¾n xét rang phương trình vi phân thuan nhat tương úng vói phương trình dx dt = (−2 + sin t)x(t) có nghi¾m tam thưịng őn đ%nh mũ đeu vói h¾ so α = 2, K = e6, theo Ví du 3.6 phan (a) Do đe giai Ví du ta áp dung Đ%nh lý o ve phương trình khơng thuan nhat (a) Kiem tra gia thiet cna Đ%nh lý 3.12, hàm f (t) = −(t5 + 1)t√10 + |t − 2013| log(t + 12) thoa mãn (vì liên tuc) Nên theo Đ%nh lý đó, suy MQI nghi¾m cna őn đ%nh mũ đeu (b) Tương tn, ta chi can kiem tra gia thiet cna Đ%nh lý 3.13 đoi vói hàm f (t, x) = − e−6cos3 x− e−6x −√t2+t+1 e−6 6 + Hien nhiên hàm f (t, x) liên tuc, f (t, 0) = ∂f −6 √ (t, x) e−6 x e 8− t2+t+1 sin x cos − = 2 ∂x Do theo Đ%nh lý Lagrange, ta có ∂ f (t, ξ) |x − y| ≤ e−6 |x − y|, (vói ξ nam |f (t, x) − f (t, y)| = ∂x giua x y ) V¾y hàm f (t, x) Lipschitz theo x vói hang so α = L = e−6 < e K Tù đó, theo Đ%nh lý 3.13, suy nghi¾m tam thưịng cna phương trình cho őn đ%nh mũ đeu (c) Ta kiem tra gia thiet cna Đ%nh lý 3.14 Hàm f (t, x) = ∫ x e−6 e−τ dτ liên tuc, f (t, 0) = ∂f ∂x (t, x) = e−6e−x2 Do theo Đ%nh lý Lagrange, ta có ∂f ∂x |f (t, x) − f (t, y)| = (t, ξ) .|x − y| ≤ e−6 |x − y|, (vói ξ nam giua x y ) V¾y hàm f (t, x) Lipschitz theo x vói hang so L = e−6 < α K = e6 Còn hàm g(t, x) = −e−t arctan x liên tuc, g(t, 0) = ∂g (t, x) = −e−t ∂x x2 + Do theo Đ%nh lý Lagrange, ta có ∂g −t |g(t, x) − g(t, y)| = ∂x (t, η) |x − y| ≤ e |x − y|, (vói η nam giua x y) V¾y hàm g(t, x) Lipschitz theo x vói hàm h¾ so γ(t) = e−t kha tích nua khoang [0, +∞), ∫ +∞ γ(t)dt = ∫ +∞ e−tdt = < ∞ + V¾y theo Đ%nh lý 3.14, suy nghi¾m tam thưịng cna phương trình cho őn đ%nh mũ đeu □ KET LUắN Luắn trỡnh by mđt cỏch khỏ ay n h¾ thong dang phương trình vi phân khơng gian Banach, đong thịi đưa đưoc cơng thúc nghi¾m tương úng Ve phương trình tích phân Volterra, lu¾n văn mói chi trình bày ve phương trình loai II phương pháp xap xi liên tiep vi¾c giai chúng, van có vai trị to lón vi¾c khao sát sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân Lu¾n văn bưóc đau nghiên cúu ve lý thuyet őn đ%nh, o tác gia úng dung cơng thúc nghi¾m cna phương trình vi phõn e trung nghiờn cỳu mđt ắc tớnh őn đ%nh mũ đeu cna nghi¾m cna phương trình vi phõn tng ỳng ắc biắt mđt so khỏi niắm c ban đ%nh lý quan TRQNG đeu có nhung ví du minh HQA vói lịi giai chi tiet Các hưóng có the phát trien tù lu¾n văn: C Nghiên cúu thêm phương pháp giai phương trình tích phân Volterra như: phương pháp nghi¾m chuoi, phương pháp bien đői Laplace; C Nghiên cúu ve phương trình vi phân có tre, phương trình tích phân kỳ d%, phương trình vi tích phân không gian Banach; C Nghiên cúu thêm ve őn đ%nh mũ đeu khái ni¾m khác như: őn đ%nh, őn đ%nh ti¾m c¾n nh% phân mũ Nghiên cúu phương pháp phiem hàm Lyapunov khao sát tính őn đ%nh cna nghi¾m cna phương trình vi phân M¾c dù co gang het mình, kha thịi gian có han, v¾y lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót ca ve phương di¾n kien thúc ky soan thao LaTex Tác gia lu¾n văn mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn ngày đưoc hồn chinh Tác gia xin chân thành cam ơn! 79 Tài li¾u tham khao [1] Pham Kỳ Anh, Tran Đúc Long (2001), Giáo trình hàm thnc giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Nguyen The Hồn, Pham Phu (2010), Cơ sá phương trình vi phân lý thuyet őn đ%nh, NXB Giáo duc Vi¾t Nam [3] Nguyen Văn M¾u (2006), Lý thuyet tốn tu phương trình tích phân kỳ d %, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [4] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [5] Burton T.A (2005), Volterra Integral and Differential Equations, Elsevier B.V [6] Daleckii Ju., Krein M (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society [7] Engel K-J., Nagel R (2006), A Short Course on Operator Semigroups, Springer Science+Business Media, LLC [8] Krein S (1972), Linear Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society [9] Pazy A (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag New York, Inc [10] Rolewicz S (1987), Functional Analysis and Control Theory-Linear Systems, Springer-Science+Business Media, B.V [11] Rudin W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc [12] Zemyan S.M (2012), The Classical Theory of Integral Equations, Springer Science+Business Media, LLC 80 ... Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH h¾ so L(s) m®t hàm kha tích đ%a phương theo s Khi đó, 23 Chương PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH (i) Tốn tu tích. .. 28 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 35 3.1 Phương trình vi phân vói ve phai liên tuc 35 3.1.1 Phương trình vi phân tőng quát .35 3.1.2 Phương trình vi phân autonomous non-autonomous... cho phương trình (2) vói đieu ki¾n (3) đưoc chuyen ve phương trình ∫ t f (s, x(s))ds (4) x(t) = x0 + t Phương trình (4) m®t phương trình tích phân Volterra Như v¾y phương trình tích phân Volterra