Luận văn thạc sĩ phương pháp phiếm hàm lyapunov và ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình vi phân có chậm

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LƯU TH± THU HUYEN PHƯƠNG PHÁP PHIEM HÀM LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG ĐE NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CH¾M LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - Năm 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN LƯU TH± THU HUYEN PHƯƠNG PHÁP PHIEM HÀM LYAPUNOV VÀ ÚNG DUNG ĐE NGHIÊN CÚU TÍNH ON бNH NGHIfiM CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CH¾M Chun ngành: Tốn giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS Đ¾NG ĐÌNH CHÂU Hà N®i - Năm 2014 Mnc lnc Ma đau SE on đ%nh nghi¾m cua phương trình vi phân khơng gian Banach 1.1 M®t so khái ni¾m ban 1.1.1 Sn ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 1.1.2 1.2 Các khái ni¾m ve őn đ%nh .9 Phương pháp phiem hàm Lyapunov đoi vói phương trình vi phân khơng gian Banach 10 1.3 Phương pháp xap xi thú nhat 15 1.3.1 Sn ton tai nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 15 1.3.2 Sn őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính có nhieu 19 1.4 Phương pháp phiem hàm Lyapunov Rn 20 1.4.1 Các hàm xác đ%nh dau 20 1.4.2 Đao hàm cna phiem hàm Lyapunov DQc theo nghiắm cna mđt hắ phng trỡnh vi phõn .22 1.4.3 Đ%nh lý thú nhat cna Lyapunov ve sn őn đ%nh 22 1.4.4 Đ%nh lý thú hai cna Lyapunov ve sn őn đ%nh ti¾m c¾n 23 1.4.5 Đ%nh lý thú ba cna Lyapunov ve sn không őn đ%nh 24 1.5 Sn őn đ%nh mũ 25 1.6 Phương pháp cHQN hàm Lyapunov cho h¾ phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang 28 Phương pháp phiem hàm Lyapunov nghiên cÉu tính on đ%nh nghi¾m cua phương trình vi phân hàm 2.1 2.2 2.3 2.4 Khái ni¾m ve phương trình vi phân hàm .35 2.1.1 Đ%nh nghĩa ký hi¾u 35 2.1.2 Đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m 36 Phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình vi phân hàm .37 2.2.1 Phương pháp tùng bưóc 37 2.2.2 Phương pháp toán tu Laplace 38 Lý thuyet őn đ%nh theo Lyapunov 41 2.3.1 Các khái ni¾m ve őn đ%nh .41 2.3.2 Phương pháp hàm Lyapunov .42 Đ%nh lý Razumikhin 50 M®t so mơ hình Éng dnng 3.1 3.2 3.3 35 55 Mơ hình úng dung quan the sinh HQc 55 3.1.1 Mơ hình thú - moi Lotka - Volterra dang đơn gian 56 3.1.2 Mơ hình canh tranh Lotka - Volterra .61 3.1.3 Mơ hình c®ng sinh Lotka-Volterra 66 3.1.4 Mơ hình Lotka-Volterra cho ba loi 69 3.1.5 Mđt so nhắn xét chung ve mơ hình quan the đa lồi 71 Mơ hình Lotka-Volterra có ch¾m 73 3.2.1 Tính őn đ%nh ti¾m c¾n đ%a phương 74 3.2.2 Tính őn đ%nh ti¾m c¾n tồn cuc 79 Sn őn đ%nh cna q trình chuyen đ®ng quay cna mđt vắt the ran 83 3.4 Sn n %nh cna phi chuyen đ®ng 84 Ma đau Lý thuyet őn đ%nh cna phương trình vi phân m®t nhung hưóng nghiên cúu có ý nghĩa quan TRQNG lý thuyet đ%nh tính phương trình vi phân Lý thuyet xuat phát tù nhung địi hoi cna thnc te có nhieu úng dung lĩnh vnc thnc te khác nhau, như: V¾t lý, Sinh thái HQc, Cơ HQc, Trong nhung năm gan có rat nhieu cơng trình cna nhà khoa HQc ngồi nưóc sâu nghiên cúu ve lĩnh vnc Đe nghiên cúu tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân, thưòng su dung phương pháp cna nhà tốn hQc ngưịi Nga A.E.Lyapunov Ngày nay, u cau cna úng dung thnc te sn phát trien vưot b¾c cna tốn HQc, vi¾c nghiên cúu tốn őn đ%nh đưoc mo r®ng theo nhieu hưóng, m®t so nghiên cúu phương trình vi phân có ch¾m Trong ban lu¾n văn chúng tụi se e cắp en mđt so van e sau đây: - Trình bày lai ket qua ban ve tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân không gian Banach, không gian Rn phương pháp hàm Lyapunov đoi vói phương trình vi phân hàm - Phan cuoi cna ban lu¾n văn dành cho viắc trỡnh by chi tiet mđt so ỳng dung cna phương pháp hàm Lyapunov phương pháp xap xi thú nhat cho mơ hình úng dung Bo cuc lu¾n văn gom ba chương: Chương 1: Trình bày m®t so tính chat nghi¾m cna phương trình vi phân khơng gian Banach không gian Rn Chương 2: Trình bày tính chat nghi¾m cna phương trình vi phân cú chắm Chng 3: Trỡnh by mđt so ỳng dung ve tính őn đ%nh nghi¾m cna phương trình vi phân Ban lu¾n văn đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan t¾n tình cna PGS TS Đ¾ng Đình Châu Nhân d%p tơi xin bày to lịng biet ơn sâu sac tói Thay ngưịi dành nhieu thịi gian cơng súc đe hưóng dan, kiem tra, giúp đõ tơi vi¾c hồn thành ban lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn đen thay giáo Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, trưịng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên - ĐHQG Hà N®i ve kien thúc nhung đieu tot đep mang lai cho tơi thịi gian tơi HQc t¾p tai trưịng Tơi xin cam ơn phòng Sau đai HQc ve nhung đieu ki¾n thu¾n loi vi¾c hồn thành thn tuc HQ c t¾p bao v¾ lu¾n văn Cuoi tơi muon bày to lịng biet ơn gia đình, ngưịi thân cho dna ve tinh than v¾t chat cho tụi cuđc song v HQc Mắc dự ó có nhieu co gang ban lu¾n văn khó tránh khoi nhung thieu sót Tơi rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban đe ban luắn oc hon thiắn hn H Nđi, thỏng 10 năm 2014 Lưu Th% Thu Huyen Chương SE on đ%nh nghi¾m cua phương trình vi phân khơng gian Banach 1.1 1.1.1 Mđt so khỏi niắm c ban SE ton tai nhat nghi¾m cua phương trình vi phân tuyen tính Gia su B khơng gian Banach Trong khơng gian B ta xét phương trình vi phân dx( = f (t, x(t)), t) dt (1.1) t ∈ R+, x(.) ∈ B hàm f : R+ ì D D vúi D l mđt mien đơn liên khơng gian Banach B Ta hieu nghi¾m cna (1.1) nghi¾m cő đien theo nghĩa sau Đ%nh nghĩa 1.1.1 Hàm x = x(t), (x : I → B; I ⊂ R+ ) xác đ%nh I , kha vi liên tnc theo t ∈ I đưac GQI nghi¾m cua (1.1) neu thay vào (1.1) ta thu đưac m®t đong nhat thúc I Túc dx(t) = f (t, x(t)); ∀t∈ dt I Bài tốn Cauchy: Tìm nghi¾m x = x(t) cna phương trình (1.1) thoa mãn đieu ki¾n ban đau x(t0) = x0 vói (t0, x0) ∈ I × B cho trưóc Tương úng vói phương trình (1.1) ta thưịng xét phương trình tích phân sau: ∫ t f (τ, x(τ ))dτ (1.2) x(t) = x0 + t Nh¾n xét: Neu hàm f liên tuc theo chuan B ta có the chi rang nghi¾m cna (1.2) nghi¾m cna bi toỏn Cauchy v ngoc lai Ký hiắu S(,à) = Σ (t, x) ∈ R+ × B : |t − t0 | ≤ ε, ||x − x0 || ≤ µ , vói ε > 0, µ > lân c¾n đóng cna điem (t0, x0) Khi ta có đ%nh lý ton tai nhat nghi¾m cna tốn Cauchy sau: Đ%nh lý 1.1.1 (Tính nhat nghiắm %a phng) Gia su ton tai mđt lõn c¾n đóng cua (t0, x0) cho lân c¾n hàm f (t, x) liên tnc theo t, ||f (t, x0 )|| ≤ M0 < +∞ thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz: ||f (t, x2 ) − f (t, x1 )|| ≤ M ||x2 − x1 || (1.3) M m®t hang so huu han Khi ton tai mđt lõn cắn cua iem x0 m lõn cắn (1.1) có nhat nghi¾m x = x(t) thóa mãn đieu ki¾n ban đau x(t0) = x0 Chúng minh Tù gia thiet suy ton tai ε, η > cho mien |t − t0| ≤ ε, ||x − x0|| ≤ η, ta có: ||f (t, x)|| ≤ ||f (t, x0 )|| + ||f (t, x) − f (t, x0 )|| ≤ ||f (t, x0 )|| + M η ≤ M1 < +∞ Σ η Lay δ = ε, ký hi¾u Cδ(B) không gian Banach hàm liên tuc x(t) M1 xác đ%nh |t − t0| ≤ δ vói chuan ||x(t)|| |||x||| = sup |t−t0|≤δ GQI ... 1.6 Phương pháp cHQN hàm Lyapunov cho h¾ phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang 28 Phương pháp phiem hàm Lyapunov nghiên cÉu tính on đ%nh nghi¾m cua phương trình vi phân hàm 2.1... có nhat nghi¾m cua phương trình (2.1) qua (t0, ϕ) 2.2 Phương pháp tìm nghi¾m cua phương trình vi phân hàm Ta có the tìm nghi¾m cna phương trình vi phân hàm (2.1) bang hai phương pháp phương pháp. .. Đe nghiên cúu tính őn đ%nh cna phương trình vi phân hàm thưòng áp dung phương pháp hàm Lyapunov Sau đây, chúng tơi xin trình bày khái ni¾m ve sn őn đ%nh cna nghi¾m cna phương trình vi phân hàm