Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± OANH M®T SO ÚNG DUNG CUA GIAI TÍCH PHI TUYEN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn Giai tích Mã so: 60460102 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: TS NGUYEN THÀNH CHUNG PGS TS HOÀNG QUOC TỒN HÀ N®I−2016 Mnc lnc Lài nói đau .3 M®t so kien thÉc chuan b%5 1.1 Khái ni¾m đao hàm Gâteaux, đao hàm Fréchet cna phiem hàm kha vi không gian Banach 1.2 Không gian Sobolev đ%nh lý nhúng 1.2.1 Không gian Lp 1.2.2 1.2.3 Khụng gian Hoălder Không gian Sobolev đ%nh lý nhúng 1.3 Sn h®i tu manh, h®i tu yeu khơng gian Banach 12 1.4 Tính nua liên tuc dưói yeu cna phiem hàm kha vi khơng gian Banach Đieu ki¾n Coercive cna phiem hàm 14 1.5 Cnc tr% cna phiem hàm Đieu ki¾n ton tai cnc tr% cna phiem hàm .16 1.6 Đieu ki¾n Palais - Smale đ%nh lý qua núi 17 Úng dnng phương trình vi phân20 2.1 Sn ton tai nhat nghi¾m yeu cna tốn biên đoi vói phương trình vi phân 20 2.2 Bài toán giá tr% riêng 30 2.3 Áp dung đ%nh lý qua núi .32 Ket lu¼n 40 Tài li¼u tham khao42 LốI NểI AU Trúc het ta cú mđt nhắn xét rang: Trong giai tích cő đien, m®t nhung úng dung quan TRQNG nhat cna khái ni¾m đao hàm khao sát toán cnc tr% Mà toán cnc tr% thưịng xuat hi¾n nghiên cúu lóp tốn quan trQNG khác cna tốn HQc, bao gom ca nhung mơ hình tốn HQc cna tốn v¾t lý HQc Đe thay đưoc moi liờn hắ ny, ta hóy lay mđt vớ du đơn gian sau đây: Ta xét phương trình f (x) = khoang I ⊂ R, f (x) hàm liên tuc I Đe giai quyet tốn ngưịi ta có the đưa ve tìm cnc tr% đ%a phương cna m®t hàm kha vi F (x), x ∈ I thoa mãn F J (x) = f (x), x ∈ I Tuy nhiên cnc tr% đ%a ta phương hàm tói khahan vi Fcna (x)hàm nhưFv¾y f (x) = 0vi¾c trongtìm khoang I ngưịi có thecna tìm m®t điem (x) m®t tốn khơng tam thưịng Vì v¾y đe tìm nghi¾m cna phương trình I, túc điem x0 mà tai F J (x0 ) = Đây ý tưong cna phương pháp bien phân Trong nhieu phương pháp cna giai tích phi tuyen úng dung vào phương trình vi phân khơng tuyen tính phương pháp bien phân to có hi¾u qua ca Ý tưong cna phương pháp bien phân áp dung vào phương trình vi phân dna so lý thuyet điem tói han cna phiem hàm kha vi không gian Banach, mà n®i dung cna đưa tốn xét ve viắc nghiờn cỳu mđt phiem hm F kha vi liên tuc theo m®t nghĩa khơng gian Banach đưoc cHQN thích hop (GQI phiem hàm lưong liên ket vói tốn) cho điem tói han cna phiem hàm F nghi¾m yeu cna tốn xét M®t phương pháp thơng thưịng đe tìm điem tói han cna phiem hàm tìm điem cnc tieu cna phiem hàm Tuy nhiên vi¾c tìm điem cnc tieu cna m®t phiem hàm khơng he đơn gian Vì v¾y, nhieu trưịng hop ngưịi ta quan tâm đen điem yên ngna (không phai điem cnc tieu) cna phiem hàm lưong Vi¾c tìm điem yên ngna cna m®t phiem hàm đưoc dna vào ngun lý bien phân Muc đích cna lu¾n văn làm quen vói m®t so van đe cna giai tích phi tuyen, cu the phương pháp bien phân úng dung đe khao sát sn ton tai nghiắm cna mđt vi lúp phng trỡnh vi phõn thũng khụng tuyen tớnh Nđi dung chớnh cna luắn gom có chương: Chương Dành cho vi¾c trình bày lai mđt so khỏi niắm, nđi dung quan TRQNG oc su dung lu¾n văn Chương Trình bày úng dung cna phương pháp giai tích phi tuyen vào phương trình vi phân Hà N®i, ngày 09 tháng 10 năm 2016 Nguyen Th% Oanh Chương M®t so kien thÉc chuan b% Trong chương này, chúng tơi trích dan khỏi niắm, %nh lý v mđt so kien thỳc b tro đưoc su dung lu¾n văn 1.1 Khái ni¾m đao hàm Gâteaux, đao hàm Fréchet cua phiem hàm kha vi khơng gian Banach Muc tiêu cna phan trình bày lai khái ni¾m đao hàm khơng gian Banach tính chat quan TRQNG cna chúng x f : X → R1.1.1 (ho¾c C) m®tGâteaux) phiem hàm đ%nh X.gian Ta nói∈fX, Đ%nh nghĩa (Đao hàm Giaxác su X không Banach, kha vi Gâteaux tai điem x neu ton tai ánh xa δf (x) tuyen tính liên tuc cho f (x + th) − = δf (x) h, ∀h ∈ X f (x ) lim t→0 t Neu f kha vi Gâteaux tai MQI điem x ∈ X ta nói f kha vi Gâteaux t¾p X Đ%nh nghĩa 1.1.2 (Đao hàm Fréchet) Cho X không gian Banach, f phiem hàm xác đ%nh X Ta nói phiem hàm f kha vi manh hay kha vi ∗ ∗ f JFréchet (u) ∈ Xtai (X ukhơng đoi tai ngau đưoctính GQI đao hàm điem ∈ X gian neu ton m®tcna ánhX) xa tuyen liên tuc, ký hi¾u Fréchet cna f tai u cho J |f (u + v)(u) − fv|(u) ǁvǁ− f X lim ǁvǁ →0X = Neu ánh xa u ›→ f J (u) liên tuc ta nói phiem hàm f thu®c lóp C (X, R) Gia su f phiem hàm kha vi Fréchet không gian Banach X ánh xa f J : X → X ∗, đao hàm Fréchet cna f R kha vi Fréchet tai x f kha vi Gâteaux tai x NeuNeu f : fX :→X R→có đao hàm Gâteaux δf liên tuc X f kha vi Fréchet f ∈ C (X, R) u lai ∈ Xneuthoa mãn f J (u) = đưoc GQI điem tói han,Điem ngưoc f J (u) ƒ=phương utrình đưoc GQI điem đeu ( hay điem quy) cna f So β ∈ R đưoc GQI giá tr% tói han cna f neu ton tai m®t điem tói han u ∈ X cho f (u) = β, f J (u) = 1.2 Không gian Sobolev đ%nh lý nhúng không gianphan Lp (Ω), gian , không gian Sobolev đ%nh lý nhỳng Trong nykhụng ta nhac laiHoălder mđt so %nh ngha, tính chat quan TRQNG cna 1.2.1 Khơng gian Lp Đ%nh nghĩa 1.2.1 Gia su Ω t¾p đo đưoc cna Rn, vói p ∈ [1, +∞) ta ký hi¾u Σ p Lp (Ω) = f : Ω → R ho¾cC , f đo đưoc ∫ |f (x)| dx < +∞  Ω  Khi Lp (Ω) khơng gian Banach vói chuan 1/ p ǁfǁp = = |f (x)| ǁfǁLp(Ω)  Ω ∫ p , f ∈ Lp (Ω) dx Đ%nh lý 1.2.1 (Bat ang thỳc Hoălder)(Xem [3] B e 1.9) Gia su f ∈ Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω) vái + = p, q ∈ [1, +∞) Khi p q ǁf.gǁ1 ≤ ǁf ǁp ǁgǁq Ta nói rang hàm đo đưoc f b% ch¾n thnc sn Ω neu ton tai hang so c > cho |f (x)| ≤ c hau khap nơi x ∈ Ω Hang so c nho nhat cho bat thúc thoa mãn đưoc ký hi¾u ǁfǁ∞ Ký hi¾u L∞ (Ω) t¾p hop hàm b% ch¾n thnc sn Ω, khơng gian Banach xác đ%nh vóilàchuan ǁfǁcác ∞ ǁ∞ đo = essinf {c : µ {x ∈ Ω : |f (x)| > c} = 0} , ú f l đ Lebesgue %nh nghĩa 1.2.2 Vói p ∈ [1, +∞) ta đ%nh nghĩa L1lo c (Ω) = {f : f ∈ Lp (K) , ∀K ⊂⊂ Ω} Kí hi¾u (K ⊂⊂ Ω) ngha l K l compact Nhẳn xột 1.2.1 ã Neu l hop mo Rn p ∈ [1, +∞) C0∞ (Ω) trù mắt Lp () ã Neu meas()

cho bat thúc γ |f (x) − f (y)| ≤ cǁx − yǁΩ thoa mãn vói MQI x, y ∈ Ω T¾p hop tat ca hàm liờn tuc Hoălder vúi chi so oc ký hiắu Σ C 0,γ Ω = − p  x dt dt + |x λ (t)| 1 ≥ c2 − Σ ǁx ǁ = xn − dt + λ x |xn − x| dt − + n Tù suy ǁxnǁ b% ch¾n ∫ xn x − (xn − x) Bưác Tù bưóc H khơng gian Hilbert nên ta có the trích m®t dãy h®i tu yeu H Gia su xn ~ x H ∫π 2 ∫π ∫ p−1 Σ xp−1 − x Σ p−1 hay |||xn − x|||2 = (F J (xn ) − F J (x) , xn − x) ∫π Rõ ràng + (g (xn (t)) − g (x (t))) (xn (t) − x (t)) dt (F J (xn ) − F J (x) , xn − x) → Tù sn h®i tu đeu cna {xn } ∫ ∞ n=1 n→∞ ∞ {g (xn )} n=1 (do (2.8)) ta có π (g (xn (t)) − g (x (t))) (xn (t) − x (t)) dt → n → ∞ Tù suy ǁ|xn − x|ǁ → n → ∞ hay xn → x H(do (2.10) ) Đ%nh lý [0, 2.3.4 âm π].Neu λ > −1 bi toỏn (2.8) cú mđt nghiắm yeu khụng Chỳng %nh lý 2.3.2 ta thay mãnnghi¾m đ%nh lý qua núi nênminh ton taiTù m®t điem tói han x0 2.3.3 ∈ H cna F ( xF0 thoa m®t yeu cna tốn (2.8))v¾y, vói F c ≥tói b han > Chúng chúng [0, π] Th¾t (x x 0)là=điem cna F nêntaδF (x ,toy)x0=≥0,0hay π ∫ Do đó, π ∫ x0 (t) y (t) dt π ∫ x0 (t) y (t)dt − p−1 (t y(t) dt = +λ x0 ) ∫π ∫π ∫π 0 x0 (t) y (t) dt x0 (t) y (t) dt +λ = g (x0 (t))y (t) dt vói bat kỳ y ∈ H Đ¾t y = x−0 , x0− = max {0, −x0 }, đưoc ∫ π x− 2dt = dt + ∫ d− 0 π dx (t) λ 0 t Tù x−0 = hay x0 (t) ≥ vói ∀t ∈ [0, π] KET LU¾N Muc đích cna lu¾n văn áp dung lý thuyet điem tói han cna phiem hàm kha vi không gian Banach, dna vào nguyên lý cnc tieu đ%nh lý qua núi đe chúng minh sn ton tai nghi¾m yeu cna tốn biên Ket qua cna luắn oc the hiắn o cỏc nđi dung sau đây: nhat nghi¾m yeu khơng tam khơng gian H :=trình W1,2(2.1) (0, 1) 1.Chúng minh đưoc bàithưịng tốn Dirichlet đoi vói phương có Bang cách áp dung lý thuyet điem tói han cna phiem hàm kha vi không gian Banach thông qua nguyên lý cnc tieu đ%nh lý nhúng không gian Sobolev, chúng minh phiem hàm lưong Euler Lagrange liên ket vói tốn ton tai điem tói han tốn (2.1) ton tai nghi¾m yeu khơng gian H đưoc xây dnng thích hop Nghiên cúu giá tr% riêng cna tốn đoi vói phương trình (2.6) Vi¾c chúng minh sn ton tai giá tr% riêng cna tốn đưoc đưa ve vi¾c chúng minh sn ton tai nghi¾m yeu cna tốn (2.6) khơng gian X := W1,p (0, 1) Bang cách áp dung phương pháp nhân tu Lagrange vói đ%nh lý nhúng không gian Sobolev, chúng minh đưoc giá tr% riêng bé nhat tat ca giá tr% riêng cna toán đat đưoc khơng giantaiH nghi¾m := W1,2cna (0,bài π).tốn Dnabiên vào đoi vói gia phương thiet an đ%nh lên 3.Xét sn ton trình (2.8) phương trình (2.8), chúng tơi đ%nh nghĩa phiem hàm F liên ket vói tốn bang cách áp dung đ%nh lý qua núi, đ%nh lý nhúng, lý thuyet điem tói han cna phiem hàm kha vi chúng tơi chúng minh Ket lu¾n 41 đưoc sn ton tai nghi¾m khơng âm [0, π] vói đieu ki¾n cna tham so λ M¾c dù co gang, nhiên lu¾n văn khơng tránh khoi nhung sai sót, rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna q thay ban ĐQc Tài li¾u tham khao [1]A Ambrosetti, P H Rabinowitz, Dual variational methods in critical point theory and application, Journal of Functional Analysis14, 349 - 381, 1973 [2] Dương Minh Đúc, Giai tích hàm, ĐHQG Thành Ho Chí Minh 2000 [3] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer NewYork 2011 [4] Hồng Tuy, Hàm thnc giai tích hàm, ĐHQG Hà N®i 2005 [5] James C Robinson, Infinite - Dimensional Dynamical System, Cambridge University Press , USA 2001 cations Differential Equations, Birkhaăuser, Baselof Nonlinear Boston Berlinto [6]Pavel Drábek, Jaroslav Milota , Methods Analysis Appli- 2007 ... phương pháp bien phân Trong nhieu phương pháp cna giai tích phi tuyen úng dung vào phương trình vi phân khơng tuyen tính phương pháp bien phân to có hi¾u qua ca Ý tưong cna phương pháp bien phân. .. tơi trình bày m®t so úng dung cna giai tích phi tuyen vào phương trình vi phân đe nghiên cúu sn ton tai nghi¾m yeu cna tốn biên 2.1 SE ton tai nhat nghi¾m yeu cua tốn biên đoi vái phương trình vi. .. bien phân áp dung vào phương trình vi phân dna so lý thuyet điem tói han cna phiem hàm kha vi khơng gian Banach, mà n®i dung cna đưa tốn xét ve vi? ??c nghiờn cỳu mđt phiem hm F kha vi liờn tuc theo