Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÀNH CHUNG PGS TS HOÀNG QUỐC TOÀN HÀ NỘI−2016 Mục lục Lời nói đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet phiếm hàm khả vi không gian Banach Không gian Sobolev định lý nhúng 1.2.1 Không gian Lp 1.2.2 Không gian H oălder 1.2.3 Không gian Sobolev định lý nhúng 1.3 Sự hội tụ mạnh, hội tụ yếu không gian Banach 12 1.4 Tính nửa liên tục yếu phiếm hàm khả vi không 1.2 gian Banach Điều kiện Coercive phiếm hàm 1.5 1.6 Cực trị phiếm hàm Điều kiện tồn cực trị phiếm hàm 16 Điều kiện Palais - Smale định lý qua núi 17 Ứng dụng phương trình vi phân 2.1 14 20 Sự tồn nghiệm yếu toán biên phương trình vi phân 20 2.2 Bài toán giá trị riêng 30 2.3 Áp dụng định lý qua núi 32 Kết luận Tài liệu tham khảo 40 42 LỜI NÓI ĐẦU Trước hết ta có nhận xét rằng: Trong giải tích cổ điển, ứng dụng quan trọng khái niệm đạo hàm khảo sát toán cực trị Mà toán cực trị thường xuất nghiên cứu lớp toán quan trọng khác tốn học, bao gồm mơ hình tốn học tốn vật lý học Để thấy mối liên hệ này, ta lấy ví dụ đơn giản sau đây: Ta xét phương trình f (x) = khoảng I ⊂ R, f (x) hàm liên tục I Để giải toán người ta đưa tìm cực trị địa phương hàm khả vi F (x), x ∈ I thoả mãn F (x) = f (x), x ∈ I Tuy nhiên việc tìm cực trị địa phương hàm khả vi F (x) tốn khơng tầm thường Vì để tìm nghiệm phương trình f (x) = khoảng I người ta tìm điểm tới hạn hàm F (x) I, tức điểm x0 mà F (x0 ) = Đây ý tưởng phương pháp biến phân Trong nhiều phương pháp giải tích phi tuyến ứng dụng vào phương trình vi phân khơng tuyến tính phương pháp biến phân tỏ có hiệu Ý tưởng phương pháp biến phân áp dụng vào phương trình vi phân dựa sở lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach, mà nội dung đưa toán xét việc nghiên cứu phiếm hàm F khả vi liên tục theo nghĩa khơng gian Banach chọn thích hợp (gọi phiếm hàm lượng liên kết với toán) cho điểm tới hạn phiếm hàm F nghiệm yếu toán xét Một phương pháp thơng thường để tìm điểm tới hạn phiếm hàm tìm điểm cực tiểu phiếm hàm Tuy nhiên việc tìm điểm cực tiểu phiếm hàm khơng đơn giản Vì vậy, nhiều trường hợp người ta quan tâm đến điểm yên ngựa (không phải điểm cực tiểu) phiếm hàm lượng Việc tìm điểm yên ngựa phiếm hàm dựa vào nguyên lý biến phân Mục đích luận văn làm quen với số vấn đề giải tích phi tuyến, cụ thể phương pháp biến phân ứng dụng để khảo sát tồn nghiệm vài lớp phương trình vi phân thường khơng tuyến tính Nội dung luận văn gồm có chương: Chương Dành cho việc trình bày lại số khái niệm, nội dung quan trọng sử dụng luận văn Chương Trình bày ứng dụng phương pháp giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân Hà Nội, ngày 09 tháng 10 năm 2016 Nguyễn Thị Oanh Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi trích dẫn khái niệm, định lý số kiến thức bổ trợ sử dụng luận văn 1.1 Khái niệm đạo hàm Gâteaux, đạo hàm Fréchet phiếm hàm khả vi không gian Banach Mục tiêu phần trình bày lại khái niệm đạo hàm không gian Banach tính chất quan trọng chúng Định nghĩa 1.1.1 (Đạo hàm Gâteaux) Giả sử X không gian Banach, x ∈ X, f : X → R (hoặc C) phiếm hàm xác định X Ta nói f khả vi Gâteaux điểm x tồn ánh xạ δf (x) tuyến tính liên tục cho f (x + th) − f (x) = δf (x) h, t→0 t lim ∀h ∈ X Nếu f khả vi Gâteaux điểm x ∈ X ta nói f khả vi Gâteaux tập X Định nghĩa 1.1.2 (Đạo hàm Fréchet) Cho X không gian Banach, f phiếm hàm xác định X Ta nói phiếm hàm f khả vi mạnh hay khả vi Fréchet điểm u ∈ X tồn ánh xạ tuyến tính liên tục, ký hiệu f (u) ∈ X ∗ (X ∗ không gian đối ngẫu X) gọi đạo hàm Fréchet f u cho |f (u + v) − f (u) − f (u) v| = v X X →0 lim v Nếu ánh xạ u → f (u) liên tục ta nói phiếm hàm f thuộc lớp C (X, R) Giả sử f phiếm hàm khả vi Fréchet không gian Banach X ánh xạ f : X → X ∗, đạo hàm Fréchet f Nếu f : X → R khả vi Fréchet x f khả vi Gâteaux x Nếu f : X → R có đạo hàm Gâteaux δf liên tục X f khả vi Fréchet f ∈ C (X, R) Điểm u ∈ X thỏa mãn phương trình f (u) = gọi điểm tới hạn, ngược lại f (u) = u gọi điểm ( hay điểm quy) f Số β ∈ R gọi giá trị tới hạn f tồn điểm tới hạn u ∈ X cho f (u) = β, f (u) = 1.2 Không gian Sobolev định lý nhúng Trong phần ta nhắc lại số định nghĩa, tính chất quan trọng khụng gian Lp (), khụng gian H oălder , khụng gian Sobolev định lý nhúng 1.2.1 Không gian Lp Định nghĩa 1.2.1 Giả sử Ω tập đo Rn , với p ∈ [1, +∞) ta ký hiệu Lp (Ω) =   p f : Ω → R hoặcC , f đo  |f (x)| dx < +∞ Ω    Khi Lp (Ω) khơng gian Banach với chuẩn 1/ p p |f (x)| dx , f ∈ Lp (Ω)  f p = f Lp (Ω) = nh lý 1.2.1 (Bt ng thc H oălder)(Xem [3] Bổ đề 1.9) Giả sử f ∈ Lp (Ω) , g ∈ Lq (Ω) với p + q = p, q ∈ [1, +∞) Khi f.g ≤ f p g q Ta nói hàm đo f bị chặn thực Ω tồn số c > cho |f (x)| ≤ c hầu khắp nơi x ∈ Ω Hằng số c nhỏ cho bất đẳng thức thỏa mãn ký hiệu f ∞ Ký hiệu L∞ (Ω) tập hợp hàm bị chặn thực Ω, không gian Banach xác định với chuẩn f f ∞ ∞ = essinf {c : µ {x ∈ Ω : |f (x)| > c} = 0} , µ độ đo Lebesgue Định nghĩa 1.2.2 Với p ∈ [1, +∞) ta định nghĩa L1loc (Ω) = {f : f ∈ Lp (K) , ∀K ⊂⊂ Ω} Kí hiệu (K ⊂⊂ Ω) nghĩa K tập compact Ω • Nếu Ω tập hợp mở Rn p ∈ [1, +∞) Nhận xét 1.2.1 C0∞ (Ω) trù mật Lp (Ω) • Nếu meas(Ω) < +∞ (meas(Ω) ký hiệu độ đo Lebesgue Ω) ≤ q < p ≤ ∞ khơng gian Lp (Ω) nhúng liên tục vào Lq (Ω), kí hiệu Lp (Ω) → Lq (Ω) ta có f Mệnh đề 1.2.1 q ≤ (meas(Ω)) p − q1 f p , ∀f ∈ Lp (Ω) • Giả sử dãy {fn } hội tụ đến f Lp (Ω) Khi tồn dãy {fnk } hội tụ đến f hầu khắp nơi tồn g(x) ∈ Lp (Ω), g(x) ≥ cho |fnk (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi Ω • (Định lý hội tụ trội) Giả sử {fn } dãy hàm khả tích Ω, fn → f hầu khắp nơi giả sử tồn g(x) ∈ L1 (Ω) , |fn (x)| ≤ g (x) Khi lim fn (x) dx = n→+∞ Ω 1.2.2 f (x) dx Khụng gian H oălder Trc ht, ta cú nh ngha khụng gian H oălder nh ngha 1.2.3 (Khụng gian H oălder) Hm f : R (hoc C) c gi l liờn tc H oălder vi số γ (0 < γ ≤ 1) tồn số c > cho bất đẳng thức |f (x) − f (y)| ≤ c x − y γ Ω thỏa mãn với x, y ∈ Ω Tập hợp tất hàm liên tục H oălder vi ch s c ký hiu l C 0,γ Ω Từ (f (t) xn (t) − f (t) z (t)) dt ≤ f (t) L2 (0,1) xn (t) − z (t) C[0,1] → 0, n → +∞ Do 1 f (t) xn (t) dt → f (t) z (t) dt (n → +∞) (2.4) Dựa vào tính chất hội tụ yếu khơng gian Banach ta có H z ≤ lim inf xn n→∞ H (2.5) Từ (2.3), (2.4), (2.5) ta nhận lim inf F (xn ) ≥ F (z) n→∞ Như F phiếm hàm nửa liên tục yếu H Tiếp theo ta chọn tập hợp M ⊂ H nguyên lý cực tiểu Trước hết ta có x L2 (0,1) ≤ x H , x H p dng bt ng thc H oălder ta có, với x ∈ H 1 F (x) = 1 x (t) dt + 2n + |x (t)| 2n+2 1 ≥ 2 |f (t)| |x (t)| dt x (t) dt− x ≥ ≥ x = x 2 H − f L2 (0,1) H − f L2 (0,1) H x H x −2 f 28 L2 (0,1) x H L2 (0,1) f (t) x (t) dt dt − Rõ ràng với x ∈ H mà x H >2 f L2 (0,1) , ta có F (x) > Hơn F (o) = Chọn tập M = x∈H: x ≤2 f L2 (0,1) + ⊂ H Như M hình cầu đóng H với bán kính R = 1+2 f L2 (0,1) Do M tập compact yếu, khác rỗng, nằm H Từ ta suy F nửa liên tục yếu M Vậy theo nguyên lý cực tiểu ta suy tồn x0 ∈ H điểm tới hạn F Do x0 nghiệm yếu tốn (2.1) Bước Chứng minh tính nghiệm yếu tốn biên (2.1) Ta có x0 nghiệm yếu s → s2n+1 đơn điệu, với x1 , x2 ∈ H ta có (δF (x1 ) − δF (x2 ) , x1 − x2 ) x1 (t) − x2 (t) dt+ = x2n+1 (t) − x2n+1 (t) (x1 (t) − x2 (t)) dt 2 ≥ x1 − x2 Từ suy δF (x1 ) = 0, δF (x2 ) = x1 = x2 29 2.2 Bài toán giá trị riêng Cho p > số thực, X := W01,p (0, 1) xác định với chuẩn  x X 1/p p x (t)  = Trong mục nghiên cứu giá trị riêng toán   − x (t) p−2 x (t) = λ|x (t)|p−2 x (t) , t ∈ (0, 1)  x (0) = x (1) = (2.6) Với tham số thực λ Bài toán tuyến tính với p = khơng tuyến tính với p = Định nghĩa 2.2.1 Chúng ta nói λ ∈ R giá trị riêng (2.6) có nghiệm yếu x ∈ X, x = (2.6) thỏa mãn 1 x (t) p−2 x (t) y (t) dt = λ |x (t)| p−2 x (t) y (t) dt, ∀y ∈ X 0 Khi x gọi hàm riêng liên kết với giá trị riêng λ Xét y = x, p x (t) dt λ= > p |x (t)| dt Định lý 2.2.1 Giả sử p x (t) dt , x∈X p x=o |x (t)| dt λ1 = inf hay λ1 = inf x∈X    1 p x (t) dt : 0 30   p |x (t)| dt =  (2.7) Khi giá trị λ1 đạt giá trị riêng bé tất giá trị riêng (2.6) Chứng minh Ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để chứng tỏ λ1 giá trị riêng bé tất giá trị riêng (2.6) Trước hết chứng tỏ giá trị bé (2.7) đạt x1 ∈ X với p |x1 (t)| dt = ∞ Thật vậy, tồn dãy {xn }n=1 ⊂ X thỏa mãn 1 p p xn (t) dt → λ1 |xn (t)| dt = ∞ Điều có nghĩa dãy {xn }n=1 bị chặn X Ta có phép nhúng X → → C 0,γ [0, 1] compact (nhờ định lý nhúng Rellich - Kondrachov) phép nhúng C 0,γ [0, 1] → Lp (0, 1) liên tục nên X → → Lp (0, 1) compact Hơn nữa, nhờ tính phản xạ X nên tồn dãy ∞ ∞ {xnk }k=1 ⊂ {xn }n=1 x1 ∈ X thỏa mãn xnk Khi x1 X, xnk −→ x1 Lp (0, 1) p |x1 (t)| dt = x1 p ≤ lim inf xn n→∞ p = λ1 , nên p x1 (t) dt = λ1 Áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange với 1 p p |x1 (t)| dt − x1 (t) dt g (x1 ) = f (x1 ) = 0 31 Đạo hàm Fréchet hàm f g x1 không gian X ta f (x1 ) y = p x1 (t) p−2 x1 (t) y (t) dt p−2 |x1 (t)| g (x1 ) y = p x1 (t) y (t) dt, với y ∈ X Nếu x1 = o ta có g (x1 ) = o Khi tồn λ ∈ R thỏa mãn f (x1 ) = λg (x1 ) Do 1 x1 (t) p−2 x1 p−2 (t) y (t) dt = λ |x1 (t)| x1 (t) y (t) dt, với y ∈ X Đặt y = x1 ta λ = λ1 Khi λ1 giá trị cực tiểu điểm cực tiểu x1 nên λ1 giá trị riêng bé giá trị riêng toán (2.6) 2.3 Áp dụng định lý qua núi Trong mục nghiên cứu tồn nghiệm toán biên  p−2  −x (t) + λx (t) = |x (t)| x (t) , t ∈ (0, π) (2.8)  x (0) = x (π) = p > số thực cho trước λ ∈ R tham số Nhận xét 2.3.1 Hàm số đồng nghiệm toán 32 Định lý 2.3.1 Nếu tốn (2.8)có nghiệm dương C [0, π] λ > −1 (2.9) Chứng minh Thật vậy, giả sử x ∈ C [0, π] nghiệm dương (2.8) Nhân hai vế với sint tích phân ta π λ π p−2 |x (t)| x (t) sin tdt + x (t) sin tdt = π x (t) sin tdt π x (t) sin tdt = I > Sử dụng cơng thức tích phân phân phần Đặt    u = sin t  du = cos tdt, ⇒  x  v = x (t) (t) dt = dv Khi I = x (t) sin t|π0 − π x (t) cos tdt, π I = − x (t) cos tdt Đặt    u = −cost  du = sin tdt, ⇒  x (t) dt = dv  v = x (t) Khi π I = −x (t) cost|π0 − x (t) sin tdt, π I = − x (t) sin tdt Từ π π x (t) sin tdt > − λ x (t) sin tdt ⇒ λ > −1 33 Định nghĩa hai hàm số R → R sau   s ≤ 0, g (s) =  sp−1 s > 0,   s ≤ 0, G (s) =  sp s > 0, p Khi G ∈ C (R) G (s) = g (s) với s ∈ R (ghi nhớ p > 2) Đặt H := W01,2 (0, π) định nghĩa π π λ x (t) dt + F (x) := π |x (t)| dt − G (|x (t)|)dt, hay π F (x) = π π |x (t)| dt − p λ x (t) dt + p |x (t)| dt, 0 với x ∈ H Định lý 2.3.2 Nếu λ > −1 F ∈ C (H, R) Chứng minh Ta có π π x (t) y (t) dt + λ δF (x, y) = π p−2 x (t)y (t) dt − |x (t)| x (t) y (t)dt Với x, x1 ∈ H ∀y ∈ H ta có |δF (x, y) − δF (x1 , y)| π π x − x1 = y dt + λ π L2 (0,π) L max |x − x1 | y t∈[0,π] ≤ x − x1 H y H ≤ (1 + C) x − x1 |x1 | y L2 (0,π) + λ max |x − x1 | y t∈[0,π] L2 (0,π) + L2 (0,π) + (λ + L) x − x1 H y p−1 − |x| ≤ x − x1 p−1 (x − x1 ) ydt + H 34 C[0,π] y L2 (0,π) ydt Từ đó, với ∀y ∈ H δF (x, y) → δF (x1 , y) x → x1 Do δF (x, y) liên tục H nên F ∈ C (H, R) Với λ > −1 biểu thức  π  12 π |x| :=  2 |x (t)| dt , x (t) dt + λ 0 thỏa mãn c1 x ≤ |x| ≤ c2 x , (2.10) với x ∈ H ci > 0, i = 1, số độc lập với x   21 π x (t) dt x = Lại có  π  p1   21 π x (t) dt p |x (t)| dt ≤ cp   (nhờ bất đẳng thức Poincaré) Suy π π λ x (t) dt + F (x) = ≥ |x| = |x| π |x (t)| dt − p p p |x (t)| dt cp p |||x||| p c1 p 1 cp p−2 − |||x||| p c1 − Bởi p > 2, nhờ (2.10) nên tồn r > đủ nhỏ thỏa mãn b = inf F (x) > = F (o) x =r 35 Giả sử x ∈ H, x > (0, π) Khi với s > ta có   π π 2−p 1 s 2   x |x (t)| dt − dt + λ F (sx) = (t) sp p 0 π p |x (t)| dt Với s > đặt e = sx Khi với s đủ lớn có e > r F (e) ≤ Định lý 2.3.3 Nếu λ > −1 F thỏa mãn điều kiện (P S) ∞ Chứng minh Ta chứng minh dãy {xn }n=1 ⊂ H thỏa mãn d := sup |F (xn )| < ∞, F (xn ) → (n → ∞) (2.11) n chứa dãy hội tụ ∞ Bước Chứng minh dãy {xn }n=1 dãy bị chặn Ta có  π π 1 xn (t) xn (t) dt + λ xn (t) xn (t) dt (F (xn ) , xn ) = p p 0  π − |xn (t)| p−2 xn (t) xn (t) dt  = π 1 p π 2 Do (2.11) ta có (F (xn ) , xn ) ≤ xn p 36  p |xn (t)| dt |xn (t)| dt − xn (t) dt + λ π Với n đủ lớn, ta có (F (xn ) , xn ) p d + xn ≥ F (xn ) − π π = xn  − |xn (t)| dt − p π 1 p 2 1 − p π ≥ c21 1 − p  π |x (t)| dt x (t) dt + λ   p |xn (t)| dt |xn (t)| dt − xn (t) dt + λ  p |xn (t)| dt π π = π λ (t) dt + 2 xn Từ suy xn bị chặn Bước Từ bước H khơng gian Hilbert nên ta trích dãy hội tụ yếu H Giả sử xn x H Do phép nhúng H → → C [0, π] compact (theo định lý nhúng Rellich - Kondrachov) nên ta có xn → x C [0, π] g (xn ) → g (x) C [0, π] Có π π xn |||xn (t) − x (t) |||2 = π π π xnp−1 − xp−1 (xn − x) dt |xn − x| dt − 0 xp−1 − xp−1 (xn − x) dt n + |xn (t) − x (t)| dt π xn − x dt + λ = (t) − x (t) dt + λ 37 hay |||xn − x|||2 = (F (xn ) − F (x) , xn − x) π (g (xn (t)) − g (x (t))) (xn (t) − x (t)) dt + Rõ ràng (F (xn ) − F (x) , xn − x) → ∞ n → ∞ (do (2.8)) ∞ Từ hội tụ {xn }n=1 {g (xn )}n=1 ta có π (g (xn (t)) − g (x (t))) (xn (t) − x (t)) dt → n → ∞ Từ suy |xn − x| → n → ∞ hay xn → x H(do (2.10) ) Định lý 2.3.4 Nếu λ > −1 tốn (2.8) có nghiệm yếu không âm [0, π] Chứng minh Từ định lý 2.3.2 2.3.3 ta thấy F thỏa mãn định lý qua núi nên tồn điểm tới hạn x0 ∈ H F ( x0 nghiệm yếu toán (2.8)) với F (x0 ) = c ≥ b > Chúng ta chứng tỏ x0 ≥ [0, π] Thật vậy, x0 điểm tới hạn F nên δF (x0 , y) = 0, hay π π x0 (t) y (t) dt + λ π x0 p−1 (t) y (t) dt = x0 (t) y (t)dt − 0 Do đó, π π x0 (t) y (t) dt + λ π x0 (t) y (t) dt = g (x0 (t))y (t) dt 38 − với y ∈ H Đặt y = x− , x0 = max {0, −x0 }, π dx− (t) dt + λ dt Từ x− π x− (t) dt = 0 = hay x0 (t) ≥ với ∀t ∈ [0, π] 39 KẾT LUẬN Mục đích luận văn áp dụng lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach, dựa vào nguyên lý cực tiểu định lý qua núi để chứng minh tồn nghiệm yếu toán biên Kết luận văn thể nội dung sau đây: Chứng minh toán Dirichlet phương trình (2.1) có nghiệm yếu khơng tầm thường không gian H := W01,2 (0, 1) Bằng cách áp dụng lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi không gian Banach thông qua nguyên lý cực tiểu định lý nhúng không gian Sobolev, chứng minh phiếm hàm lượng Euler Lagrange liên kết với toán tồn điểm tới hạn tốn (2.1) tồn nghiệm yếu khơng gian H xây dựng thích hợp Nghiên cứu giá trị riêng toán phương trình (2.6) Việc chứng minh tồn giá trị riêng toán đưa việc chứng minh tồn nghiệm yếu toán (2.6) không gian X := W01,p (0, 1) Bằng cách áp dụng phương pháp nhân tử Lagrange với định lý nhúng không gian Sobolev, chứng minh giá trị riêng bé tất giá trị riêng toán đạt Xét tồn nghiệm toán biên phương trình (2.8) khơng gian H := W01,2 (0, π) Dựa vào giả thiết ấn định lên phương trình (2.8), chúng tơi định nghĩa phiếm hàm F liên kết với toán cách áp dụng định lý qua núi, định lý nhúng, lý thuyết điểm tới hạn phiếm hàm khả vi chứng minh Kết luận 41 tồn nghiệm không âm [0, π] với điều kiện tham số λ Mặc dù cố gắng, nhiên luận văn khơng tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý q thầy bạn đọc Tài liệu tham khảo [1] A Ambrosetti, P H Rabinowitz, Dual variational methods in critical point theory and application, Journal of Functional Analysis14, 349 - 381, 1973 [2] Dương Minh Đức, Giải tích hàm, ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh 2000 [3] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer NewYork 2011 [4] Hoàng Tụy, Hàm thực giải tích hàm, ĐHQG Hà Nội 2005 [5] James C Robinson, Infinite - Dimensional Dynamical System, Cambridge University Press , USA 2001 [6] Pavel Drábek, Jaroslav Milota , Methods of Nonlinear Analysis Applications to Differential Equations, Birkhă auser, Basel Boston Berlin 2007