Phương trình vi phân và phương trình tích phân Volterra trong không gian Banach

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN XUÂN NGHĨA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Hà Nội – Năm 2013 Mục lục MỞ ĐẦU NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại cương không gian Banach lý thuyết toán tử 1.2 Đạo hàm tích phân hàm nhận giá trị khơng Banach 1.3 Nửa nhóm liên tục mạnh tác động khơng gian Banach 5 gian 12 18 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN VOLTERRA TRONG KHƠNG GIAN BANACH 21 2.1 Phương trình tích phân Volterra Định lý Bielecki 21 2.2 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp 25 2.3 Một số ví dụ minh họa 28 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH 3.1 Phương trình vi phân với vế phải liên tục 3.1.1 Phương trình vi phân tổng quát 3.1.2 Phương trình vi phân autonomous non-autonomous 3.2 Phương trình vi phân với vế phải không liên tục 3.2.1 Phương trình vi phân autonomous 3.2.2 Phương trình vi phân non-autonomous 3.3 Ổn định mũ nghiệm phương trình vi phân 3.3.1 Ổn định mũ nghiệm phương trình 3.3.2 Ổn định mũ nghiệm phương trình khơng KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 35 35 35 36 45 46 50 55 55 72 79 80 MỞ ĐẦU Phương trình vi phân toán học xuất từ đời sống thực tiễn sở phát triển khoa học khác nhau, bao gồm khoa học tự nhiên khoa học xã hội Một phương trình vi phân kết việc mô tả (bằng toán học) tượng chuyển động vật thể, trình sinh trưởng phát triển lồi sinh vật Một ví dụ điển hình cho phương trình vi phân định luật II Newton chuyển động vật thể, dx (t) = F (t), (1) dt số m khối lượng vật thể, x(t) vận tốc vật thể thời m điểm t, dx dt (t) = a(t) gia tốc thời điểm t vật thể F (t) lực hỗn hợp tác động vào vật thể thời điểm t Thông thường, lực hỗn hợp F (t) phụ thuộc vào vận tốc x(t) Vậy phương trình (1), với f (t, x) = m1 F (t, x), viết lại thành dx (t) = f (t, x(t)) dt (2) Đây phương trình vi phân tổng qt cấp ẩn hàm x(t) Việc nghiên cứu phương trình (2) giúp biết tính chất vận tốc x(t) thời điểm t vật thể Giả sử yêu cầu thêm điều kiện cho trước vận tốc thời điểm ban đầu x(t0 ) = x0 , (3) với giả thiết kỹ thuật đặt lên cho phương trình (2) với điều kiện (3) chuyển phương trình t x(t) = x0 + f (s, x(s))ds (4) t0 Phương trình (4) phương trình tích phân Volterra Như phương trình tích phân Volterra xuất nghiên cứu phương trình vi phân tương ứng MỞ ĐẦU Các kết thu lý thuyết phương trình vi phân không gian thực nhiều, khơng phải tổng qt Vậy nên để có kết tổng quát, người ta cần nghiên cứu phương trình vi phân khơng gian tổng qt Một số khơng gian Banach Lý thuyết phương trình vi phân khơng gian Banach bắt nguồn từ cơng trình nghiên cứu Hille Yosida (1948) tồn nghiệm phương trình dx dt = Ax với A tốn tử khơng liên tục không gian Banach, kết thu dựa ngơn ngữ nửa nhóm tốn tử Năm 1953 Kato nghiên cứu thành công tồn nghiệm tốn Cauchy cho phương trình dx dt = A(t)x với A(t) tốn tử khơng liên tục Sau đó, báo mình, Hille, Yosida, Phillips Kato đặt móng cho lý thuyết phương trình vi phân với tốn tử khơng liên tục Nó trở thành lĩnh vực tốn học độc lập, thú vị thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Luận văn "Phương trình vi phân phương trình tích phân Volterra không gian Banach" chia thành ba chương: Chương Những kiến thức chuẩn bị Chương nhằm cung cấp sở lý thuyết cho hai chương sau, bao gồm khái niệm không gian Banach kết liên quan Sau định nghĩa đạo hàm tích phân hàm nhận giá trị không gian Banach Tiếp theo khái niệm quan trọng, nửa nhóm tốn tử, sử dụng suốt sau Các kết chương chủ yếu trích từ [1], [9] [10] Chương Phương trình tích phân Volterra khơng gian Banach Mục đích chương trình bày phương trình tích phân Volterra loại II, đưa phương pháp giải phương pháp xấp xỉ liên tiếp số ví dụ minh họa Định lý Bielecki chứng minh "nhẹ nhàng" để áp dụng vào chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân chương sau Các kết chủ yếu trích từ [4], [10] [12] Chương Phương trình vi phân khơng gian Banach Chương trình bày dạng phương trình vi phân bao gồm nhất, không nhất, autonomous, non-autonomous đưa công thức nghiệm tương ứng Cuối ứng dụng cơng thức nghiệm vào nghiên cứu tính ổn định mũ nghiệm phương trình vi phân Các kết chủ yếu trích từ [6], [8] [10] Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình nghiêm khắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới q thầy Khoa Tốn-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2011- 2013, có cơng lao dạy dỗ tơi suốt q trình học tập Nhà trường Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên tơi để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Hà nội, tháng 09 năm 2013 Tác giả luận văn Nguyễn Xuân Nghĩa Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đại cương không gian Banach lý thuyết toán tử Trước tiên đưa kiện không gian metric Khái niệm không gian metric Định nghĩa 1.1 Không gian metric tập X = ∅ với hàm số d : X × X −→ R thỏa mãn ba tiên đề sau: • d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = ⇐⇒ x = y (tính xác định dương); • d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (tính đối xứng); • d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Hàm số d gọi khoảng cách hay metric X Số d(x, y) gọi khoảng cách x y Khơng gian metric ký hiệu (X, d) Nếu khoảng cách d rõ, ta ký hiệu ngắn gọi X Mỗi phần tử x ∈ X gọi điểm không gian metric X Tôpô không gian metric Định nghĩa 1.2 Cho dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) Ta nói (i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X d(xn , x) −→ n −→ +∞ Khi ta ký hiệu xn −→ x n −→ +∞ lim xn = x, gọi x n→+∞ giới hạn dãy {xn } (ii) Dãy {xn } dãy hay dãy Cauchy ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ d (xm , xn ) < ε Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Hoặc tương đương ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ d (xn+p , xn ) < ε, ∀p = 1, 2, Định nghĩa 1.3 Không gian metric đầy đủ không gian metric X mà dãy Cauchy hội tụ đến phần tử X Định nghĩa 1.4 Cho (X, d) không gian metric, điểm x0 ∈ X số r > (i) Hình cầu mở tâm x0 bán kính r tập B(x0 , r) := {x ∈ X : d(x, x0 ) < r}; (ii) Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r tập B[x0 , r] := {x ∈ X : d(x, x0 ) ≤ r}; (iii) Lân cận điểm x0 tập U (x0 ) chứa hình cầu mở tâm x0 ; (iv) Tập G ⊂ X tập mở với a ∈ G, tồn lân cận U (a) ⊂ G; (v) Tập F ⊂ X tập đóng phần bù X\F tập mở Tính chất 1.1 Đối với khơng gian metric, có (i) Hợp tùy ý tập mở tập mở; (ii) Giao hữu hạn tập mở tập mở; (iii) Hợp hữu hạn tập đóng tập đóng; (iv) Giao tùy ý tập đóng tập đóng Định nghĩa 1.5 Cho A tập hợp không gian metric X Khi (i) Điểm x ∈ X gọi điểm tập A tồn lân cận U (x) x cho U (x) ⊂ A; (ii) Tập hợp điểm A gọi phần A, ký hiệu int A; (iii) Điểm x ∈ X gọi điểm dính tập A lân cận U (x) x có giao U (x) ∩ A = ∅; (iv) Tập hợp điểm dính A gọi bao đóng tập A, ký hiệu A; (v) Tập A gọi trù mật X A = X Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Tính chất 1.2 Cho A tập khơng gian metric X, có (i) A = A ⇐⇒ A đóng; (ii) A = A ⇐⇒ ∀{xn } ⊂ A : xn −→ x =⇒ x ∈ A ; (iii) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∃{xn } ⊂ A : xn −→ x ; (iv) A = X ⇐⇒ ∀x ∈ X ∀ε > ∃x0 ∈ A : d(x, x0 ) < ε Định lý Baire phạm trù Để phát biểu Định lý, trước tiên cần vài khái niệm sau Định nghĩa 1.6 Cho (X, d) không gian metric tập A ⊂ X (i) Tập A gọi tập không đâu trù mật tập mở U ⊂ X tồn hình cầu mở B ⊂ U có giao B ∩ A = ∅ (ii) Tập A gọi tập thuộc phạm trù thứ biểu diễn dạng hợp số đếm tập không đâu trù mật (iii) Tập A tập thuộc phạm trù thứ gọi tập thuộc phạm trù thứ hai Mệnh đề 1.1 Mỗi tập đóng khơng phải tập khơng đâu trù mật chứa hình cầu mở Định lý 1.1 (Định lý Baire phạm trù) Mọi không gian metric đủ tập thuộc phạm trù thứ hai Khái niệm không gian Banach Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.7 Khơng gian (tuyến tính) định chuẩn khơng gian tuyến tính X trường số F với hàm số || · || : X −→ R thỏa mãn ba tiên đề sau: • ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X ||x|| = ⇐⇒ x = (tính xác định dương); • ||λx|| = |λ|.||x||, ∀x ∈ X, ∀λ ∈ F (tính dương); • ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, ∀x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác) Hàm số || · || gọi chuẩn X Số ||x|| gọi chuẩn x không gian định chuẩn ký hiệu (X, || · ||) Nếu chuẩn || · || rõ, Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ta ký hiệu ngắn gọn X Mỗi phần tử x ∈ X gọi điểm hay vector không gian định chuẩn X Khi F = R ta nói (X, || · ||) khơng gian tuyến tính định chuẩn thực Khi F = C ta nói (X, || · ||) khơng gian tuyến tính định chuẩn phức Nhận xét 1.1 Khơng gian tuyến tính định chuẩn (X, || · ||) không gian metric với khoảng cách xác định d(x, y) = ||x − y||, ∀x, y ∈ X Do tất tính chất khơng gian metric cho khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.8 Cho dãy điểm {xn } không gian định chuẩn X Ta nói (i) Dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X ||xn − x|| −→ n −→ +∞ Khi ta ký hiệu xn −→ x n −→ +∞ lim xn = x, gọi x n→+∞ giới hạn dãy {xn } (ii) Dãy {xn } dãy hay dãy Cauchy ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀m, n > n0 =⇒ ||xm − xn || < ε Hoặc tương đương ∀ε > ∃n0 = n0 (ε) : ∀n > n0 =⇒ ||xn+p − xn || < ε, ∀p = 1, 2, Định nghĩa 1.9 Không gian Banach hay không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ khơng gian tuyến tính X mà dãy Cauchy hội tụ đến phần tử X Trong suốt luận văn khơng nhấn mạnh thêm ta ln ngầm hiểu X không gian Banach trường số thực phức Định nghĩa 1.10 Một ánh xạ T đưa khơng gian Banach X vào gọi ánh xạ co tồn số L ∈ [0, 1) cho ||T (x) − T (y)|| ≤ L||x − y||, ∀x, y ∈ X Chúng ta có Định lý quan trọng sau Banach đưa năm 1922 Định lý 1.2 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho X không gian Banach Nếu ánh xạ T : X −→ X ánh xạ co phương trình T (x) = x ln có nghiệm x ∈ X Chương NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nhận xét 1.2 (i) Điểm x thỏa mãn T (x) = x gọi điểm bất động ánh xạ T (ii) Nguyên lý ánh xạ co phát biểu mạnh là: ánh xạ co khơng gian metric đủ có điểm bất động Lý thuyết toán tử tuyến tính khơng gian Banach Định nghĩa 1.11 Cho X, Y hai khơng gian tuyến tính trường F = R; C (i) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y gọi toán tử Khi Y = F ta nói A phiếm hàm (ii) Mỗi ánh xạ A : DA ⊂ X −→ Y gọi ánh xạ tuyến tính tốn tử tuyến tính ba điều kiện sau thỏa mãn: • DA khơng gian X; • A(x + y) = Ax + Ay, ∀x, y ∈ DA ; • A(λx) = λAx, ∀x ∈ DA , ∀λ ∈ F Khi Y = F ta nói A phiếm hàm tuyến tính (iii) Khơng gian DA X gọi miền xác định A Không gian RA := A(DA ) Y gọi miền giá trị A Nhận xét 1.3 (i) Cho DA không gian X Khi đó, tốn tử A : DA ⊂ X −→ Y tốn tử tuyến tính A(λx + µy) = λAx + µAy, ∀x, y ∈ DA , ∀λ, µ ∈ F (ii) Từ sau, không cần nhấn mạnh, ta thường xét DA = X Cho X, Y hai khơng gian tuyến tính định chuẩn Định nghĩa 1.12 Một tốn tử tuyến tính A : X −→ Y gọi liên tục hay bị chặn từ điều kiện xn −→ x kéo theo Axn −→ Ax n −→ +∞ Tính chất 1.3 Một tốn tử tuyến tính A : X −→ Y liên tục tồn số K > cho ||Ax|| ≤ K||x||, ∀x ∈ X Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Nhận xét họ U (t, s) bị chặn nên hàm số f (t, x) := ||U (t, ti )x|| liên tục theo (t, x), miền ti ≤ t ≤ ti + Ti ||x − xn || ≤ ∆n , D= với ∆n > Quả vậy, với t ≥ s, ta xét hiệu |f (t, x) − f (s, y)| = ||U (t, ti )x − U (s, ti )y|| ≤ ||U (t, ti )x − U (t, ti )y|| + ||U (t, ti )y − U (s, ti )y|| = ||U (t, ti )(x − y)|| + ||U (t, s)U (s, ti )y − U (s, ti )y|| ≤ ||U (t, ti )||.||(x − y)|| + ||U (t, s)U (s, ti )y − U (s, ti )y|| ≤ KTi ||x − y|| + ||U (t, s)U (s, ti )y − U (s, ti )y|| → (t, x) → (s, y), t ≥ s Tương tự, với t < s, ta xét hiệu |f (t, x) − f (s, y)| = ||U (t, ti )x − U (s, ti )y|| ≤ KTi ||x − y|| + ||U (t, ti )y − U (s, ti )y|| → (t, x) → (s, y), t < s Suy |f (t, x) − f (s, y)| −→ (t, x) −→ (s, y) Vậy nên f (t, x) liên tục miền D Lại hàm N (·) liên tục nên hàm g(t, x) = N (f (t, x)) liên tục D Từ tính liên tục tích phân phụ thuộc tham số, suy hàm ti ti N (||U (ti + s, ti )x||)ds N (||U (t, ti )x||)dt = g(t, x)dt = J(x) = Ti ti +Ti ti +Ti liên tục theo x miền ||x − xn || ≤ ∆n Hơn nữa, từ điều kiện (3.76) ta có J(xn ) > 2i Lại J(x) liên tục nên ta tìm số δn > cho Ti N (||U (ti + s, ti )x||)ds > 2i , ∀x, ||x − xn || ≤ δn J(x) = Không giảm tổng quát, ta xem δn < δn−1 Bây có hai khả năng: ⊕ Khả thứ +∞ N (||U (t + s, t)xn ||)ds = +∞ sup t≥0 66 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Khi tồn tn+1 , Tn+1 cho Tn+1 N (||U (tn+1 + s, tn+1 )xn ||)ds > 2n+1 Đến ta đặt xn+1 = xn ⊕ Khả thứ hai +∞ N (||U (t + s, t)xn ||)ds < +∞ Mn := sup t≥0 Lúc ta lặp lại kiến trúc thực cho x1 Cụ thể, lấy tùy ý số q ∈ (0, 1), hiển nhiên N (qδn ) > 21 N (qδn ) tính liên tục hàm N (·) ta tìm số ε > cho N (qδn − ε) > N (qδn ) (3.77) Hiển nhiên, với t ≥ 0, tập ω := {0 ≤ s ≤ Tn+1 : ||U (t + s, t)xn || > ε} N (||U (t + s, t)xn ||) ≥ N (ε) Suy +∞ Mn ≥ N (||U (t + s, t)xn ||) dt ≥ N (||U (t + s, t)xn ||) dt ≥ ω N (ε) dt = |ω|.N (ε) ω Vậy độ đo Lebesgue tập ω |{0 ≤ s ≤ Tn+1 : ||U (t + s, t)xn || > ε}| ≤ Mn N (ε) (3.78) Gọi Tn+1 số cho Tn+1 > Mn + 2n+2 N (ε) N (qδn ) Theo Định lý 3.11’ tồn số tn+1 > phần tử x ∈ X cho ||U (tn+1 + s, tn+1 )x|| > q||x||, Nói riêng x = 0, nên ta đặt x = δn ∀s ∈ (0, Tn+1 ] x ta tìm x ∈ X, ||x|| = δn cho ||x|| ||U (t1 + s, t1 )x|| > qδn , ∀s ∈ (0, Tn+1 ] Đặt xn+1 = x + xn , dĩ nhiên ||xn+1 − xn || = δn ≤ δn 67 (3.79) Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Theo cách chọn δn , ta có Ti N (||U (ti + s, ti )xn+1 ||)ds > 2i , i = 1, 2, , n (3.80) Chúng ta (3.80) với i = n + Thật vậy, ||U (tn+1 + s, tn+1 )xn+1 || ≥ ||U (tn+1 + s, tn+1 )x|| − ||U (tn+1 + s, tn+1 )xn || (3.81) Dễ thấy tập hợp {0 < s ≤ Tn+1 : ||U (tn+1 + s, tn+1 )xn || ≤ ε} tập tập {0 < s ≤ Tn+1 : ||U (tn+1 + s, tn+1 )x|| > qδn } = {0 < s ≤ Tn+1 } theo (3.79) {0 < s ≤ Tn+1 : ||U (tn+1 + s, tn+1 )xn+1 || > qδn − ε} theo (3.81) có độ đo Lebesgue |{0 < s ≤ Tn+1 : ||U (tn+1 + s, tn+1 )xn || ≤ ε}| = = Tn+1 − |{0 < s ≤ Tn+1 : ||U (tn+1 + s, tn+1 )xn || > ε}| ≥ Tn+1 − Mn theo (3.78) N (ε) Do đó, độ đo Lebesgue tập Ω := {0 < s ≤ Tn+1 : ||U (tn+1 + s, tn+1 )xn+1 || > qδn − ε} có ước lượng |Ω| ≥ Tn+1 − Mn > 2n+2 N (ε) N (qδn ) (3.82) Hiển nhiên, tập Ω, ta có N (||U (tn+1 + s, tn+1 )xn+1 )|| ≥ N (qδn − ε) (3.83) Do đó, ta có đánh giá Tn+1 N (||U (tn+1 + s, tn+1 )xn+1 )||ds ≥ N (||U (tn+1 + s, tn+1 )xn+1 )||ds Ω ≥ N (qδn − ε)ds theo (3.83) Ω 1 N (qδn )ds = |Ω|N (qδn ) Ω n+2 > N (qδn ) = 2n+1 N (qδn ) > 68 theo (3.77) theo (3.82) Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Vậy (3.80) với i = n + Hồn thành q trình chứng minh quy nạp hệ (3.74),(3.75),(3.76) Bước ta tìm x Đặt x = lim xn Thì giới hạn tồn tại, dãy Cauchy, vậy, n→+∞ theo (3.74) (3.75), ta thấy ||xn+p − xn || ≤ ||xn+p − xn+p−1 || + ||xn+p−1 − xn+p−2 || + + ||xn+1 − xn || ≤ δn+p−1 + δn+p−2 + + δn ≤ 1+ 1 + 2 + + p−1 δn 1 p−1 + + + + δn 2 n = 2δn ≤ δ0 −→ n −→ +∞, ∀p = 1, 2, ≤ 1+ Tương tự, ta thu ||xn − x0 || ≤ ||xn − xn−1 || + ||xn−1 − xn−2 || + + ||x1 − x0 || ≤ δn−1 + δn−2 + + δ0 ≤ 2δ0 Suy ||x − x0 || ≤ 2δ0 Cuối cùng, từ (3.76) cách cố định i tùy ý cho n −→ +∞ với ý xn −→ x J(x) phiếm hàm liên tục, ta có Ti N (||U (ti + s, ti )x||)ds ≥ 2i Do i tùy ý nên Tn N (||U (tn + s, tn )x||)ds ≥ 2n , ∀n = 1, 2, hay tương đương tn +Tn N (||U (t, tn )x||)dt ≥ 2n , ∀n = 1, 2, tn Điều dẫn đến +∞ sup s≥0 N (||U (t, s)x||)dt = +∞ s Hay x ∈ E Tóm lại, trường hợp ta chứng minh rằng: ∀x0 ∈ X, ∀δ0 > 0, ∃x ∈ E : ||x − x0 || ≤ 2δ0 Vậy theo Định nghĩa tập E trù mật khơng gian X 69 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Hệ 3.1 Cho U (t, s) họ tốn tử tiến hóa bị chặn Nếu tồn số p > cho +∞ ||U (t, s)x||p dt < +∞, ∀x ∈ X, sup s≥0 s họ U (t, s) ổn định mũ Chứng minh Ta thấy hàm N (u) = up thỏa mãn điều kiện Mệnh đề 3.4 theo giả thiết tập +∞ x ∈ X : sup E= N (||U (t, s)x||)dt = +∞ s≥0 s +∞ ||U (t, s)x||p dt = +∞ x ∈ X : sup = s≥0 = ∅ s Nên khơng trù mật khơng gian X Vậy theo Mệnh đề 3.4 suy họ U (t, s) ổn định mũ Bây chuyển sang chứng minh Định lý 3.10 Chứng minh Với tứ số s ≥ 0, T > 0, a > M > xét tập s+T Es,T,a,M = x∈X: N (a, ||U (t, s)x||)dt ≤ M s Theo tính liên tục hàm N (·) tính bị chặn họ U (t, s) phiếm hàm s+T N (a, ||U (t, s)x||)dt J(x) = s liên tục (lập luận tương tự phần chứng minh Mệnh đề 3.4) Do tập Es,T,a,M tập đóng, thật vậy, xét dãy xn ∈ Es,T,a,M mà xn −→ x n −→ +∞ Khi theo Định nghĩa Es,T,a,M ta có J(xn ) ≤ M Do J(x) liên tục nên cho n −→ +∞ ta J(x) ≤ M , suy x ∈ Es,T,a,M Vậy Es,T,a,M tập đóng Từ dẫn đến tập Ea,M = Es,T,a,M s≥0 T >0 +∞ = x ∈ X : sup s≥0 N (a, ||U (t, s)x||)dt ≤ M s tập đóng 70 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Với ý +∞ Ea,M = x ∈ X : sup s≥0 M >0 N (a, ||U (t, s)x||)dt < +∞ s giả thiết N − ổn định Định lý trở thành X= Ea,M (3.84) a>0 M >0 Hiển nhiên Ea,M ⊂ Ea ,M a ≤ a M ≥ M (3.85) Do ta biểu diễn lại X dạng hợp đếm X= Ea,M a∈Q+ (3.86) M ∈N+ Đúng vậy, với x ∈ X, theo (3.84) tồn a > 0, M > để x ∈ Ea,M Chọn a số hữu tỷ cho < a ≤ a (số a tồn tính trù mật Q R) chọn M số tự nhiên cho M ≥ M Khi đó, từ (3.85) ta có x ∈ Ea ,M Vậy (3.86) thỏa mãn Mặt khác, theo Định lý Baire phạm trù khơng gian đủ X tập thuộc phạm trù thứ hai Do từ (3.86) suy tồn số a0 , M0 cho Ea0 ,M0 tập không đâu trù mật Lại Ea0 ,M0 đóng nên chứa hình cầu B Từ kiện tập Ea0 ,M0 tập +∞ E= x ∈ X : sup s≥0 N (a0 , ||U (t, s)x||)dt = +∞ s rời nhau, suy tập E hình cầu B rời nhau, tập E không trù mật không gian X Cuối theo Mệnh đề 3.4 suy họ U (t, s) ổn định mũ Hệ 3.2 Cho N (u) hàm liên tục không giảm cho N (0) = N (u) > 0, ∀u > Nếu U (t, s) họ tốn tử tiến hóa bị chặn cho với x ∈ X có số a(x) > thỏa mãn +∞ sup s≥0 N (a(x)||U (t, s)x||)dt < +∞, s họ U (t, s) ổn định mũ Chứng minh Ta thấy hàm N (a, u) = N (au) thỏa mãn giả thiết Định lý 3.10, ta có điều phải chứng minh 71 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Hệ 3.3 Cho N (u) hàm liên tục không giảm cho N (0) = N (u) > 0, ∀u > Nếu U (t) nửa nhóm liên tục mạnh cho với x ∈ X có số a(x) > thỏa mãn +∞ N (a(x)||U (t)x||)dt < +∞, tồn số M > α > cho ||U (t)|| ≤ M e−αt , ∀t ≥ Chứng minh Xét họ toán tử tiến hóa (theo Ví dụ 3.3) xác định U (t, s) = U (t − s), ∀s, t, ≤ s ≤ t < +∞ Khi +∞ +∞ N (a(x)||U (t − s)x||)dt N (a(x)||U (t, s)x||)dt = s s +∞ N (a(x)||U (t)x||)dt < +∞, ∀s ≥ = Theo Hệ 3.2 suy họ U (t, s) ổn định mũ đều, suy tồn số M > α > cho ||U (t, s)|| ≤ M e−α(t−s) , ∀s, t, ≤ s ≤ t < +∞ Nói riêng ||U (t)|| = ||U (t, 0)|| ≤ M e−αt , ∀t ≥ 3.3.2 Ổn định mũ nghiệm phương trình khơng Trong mục nghiên cứu tính ổn định mũ phương trình vi phân tuyến tính khơng phương trình vi phân phi tuyến Trước tiên, xét phương trình vi phân tuyến tính khơng dx = A(t)x(t) + f (t), ≤ t < +∞ dt (3.87) Trong A(t) : DA(t) ≡ X → X tốn tử tuyến tính liên tục với t ≥ 0, khả tích địa phương theo t f (t) hàm liên tục nhận giá trị X Cùng với nó, ta xét phương trình tương ứng dx = A(t)x(t), ≤ t < +∞ dt 72 (3.88) Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Định lý 3.12 Giả sử U (t, s) họ tốn tử tiến hóa tương ứng với phương trình (3.88) Khi đó, nghiệm tầm thường phương trình (3.88) ổn định mũ nghiệm phương trình (3.87) ổn định mũ Chứng minh Xét hai nghiệm toán Cauchy tùy ý x1 (t) = x1 (t, s, x1 ) x2 (t) = x2 (t, s, x2 ) phương trình (3.87) Khi có dạng t x1 (t) = U (t, s)x1 + U (t, ξ)f (ξ)dξ; s t x2 (t) = U (t, s)x2 + U (t, ξ)f (ξ)dξ s Suy ||x1 (t) − x2 (t)|| = ||U (t, s)x1 − U (t, s)x2 || ≤ ||U (t, s)||.||x1 − x2 || ≤ M e−α(t−s) ||x1 − x2 ||, U (t, s) ổn định mũ Vậy nghiệm phương trình (3.87) ổn định mũ Trong Định lý ta cần đến bất đẳng thức sau Bổ đề 3.2 (Bổ đề Gronwall-Bellman) Giả sử G(t), B(t) hàm số không âm liên tục nửa khoảng [s, +∞) thỏa mãn bất đẳng thức sau t G(t) ≤ M + G(ξ)B(ξ)dξ, ∀t ≥ s, s với M > Khi ta có ước lượng G(t) ≤ M.e t s B(ξ)dξ , ∀t ≥ s Chứng minh ⊕ Giả thiết viết lại thành G(t) M+ t G(ξ)B(ξ)dξ s ≤ Nhân hai vế với hàm B(t) ≥ 0, ta G(t)B(t) M+ t G(ξ)B(ξ)dξ s ≤ B(t) hay d ln M + dt t G(ξ)B(ξ)dξ s 73 ≤ B(ξ) Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH ⊕ Lấy tích phân hai vế từ s đến t, cho ta t ln M + t − ln M ≤ G(ξ)B(ξ)dξ s B(t)dξ s suy t G(ξ)B(ξ)dξ ≤ M.e M+ t s B(t)dξ s Sử dụng giả thiết lần nữa, ta G(t) ≤ M.e t s B(ξ)dξ , ∀t ≥ s Tiếp theo, xét phương trình vi phân phi tuyến dx = A(t)x(t) + f (t, x(t)), ≤ t < +∞ dt (3.89) Trong A(t) : DA(t) ≡ X → X tốn tử tuyến tính liên tục với t, khả tích địa phương theo t f (t, x) hàm liên tục nhận giá trị X với f (t, 0) = Cùng với nó, ta xét phương trình tương ứng dx = A(t)x(t), ≤ t < +∞ dt (3.90) Định lý 3.13 Giả sử hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x theo t, tức ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L||x − y||, ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ X (3.91) Khi đó, nghiệm tầm thường phương trình (3.90) ổn định mũ nghiệm tầm thường phương trình (3.89) ổn định mũ với L đủ nhỏ Chứng minh ⊕ Ta biết nghiệm tốn Cauchy phương trình (3.89) có biểu diễn t x(t) = U (t, s)x0 + U (t, ξ)f (ξ, x(ξ))dξ s Trong U (t, s) họ tốn tử tiến hóa tương ứng với phương trình (3.90) Suy t ||x(t)|| ≤ ||U (t, s)x0 || + U (t, ξ)f (ξ, x(ξ))dξ s t ≤ ||U (t, s)||.||x0 || + ||U (t, ξ)|| ||f (ξ, x(ξ))||dξ s t ≤ Ke−α(t−s) ||x0 || + Ke−α(t−ξ) L||x(ξ)||dξ s 74 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Ước lượng cuối có U (t, s) ổn định mũ ||f (ξ, x(ξ))|| = ||f (ξ, x(ξ)) − f (ξ, 0)|| ≤ L||x(ξ)|| Từ ta có t ||x(t)||eα(t−s) ≤ K||x0 || + KL||x(ξ)||eα(ξ−s) dξ s ⊕ Áp dụng Bổ đề Gronwall-Bellman, ta ||x(t)||eα(t−s) ≤ K||x0 ||e t s KLdξ = KeKL(t−s) ||x0 || Suy ||x(t)|| ≤ Ke−(α−KL)(t−s) ||x0 || = Ke−β(t−s) ||x0 || α với β = α − KL > ta chọn L < K Vậy nghiệm tầm thường (3.89) ổn định mũ với L đủ nhỏ Cuối cùng, xét phương trình vi phân phi tuyến dạng dx = A(t)x(t) + f (t, x(t)) + g(t, x(t)), ≤ t < +∞ dt (3.92) Trong A(t) : DA(t) ≡ X → X tốn tử tuyến tính liên tục với t, khả tích địa phương theo t f (t, x), g(t, x) hàm liên tục nhận giá trị X với f (t, 0) = g(t, 0) = Cùng với nó, ta xét phương trình tương ứng dx = A(t)x(t), ≤ t < +∞ dt (3.93) Định lý 3.14 Giả sử hàm f (t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, theo t, tức ||f (t, x) − f (t, y)|| ≤ L||x − y||, ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ X (3.94) Và hàm g(t, x) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x, tức ||g(t, x) − g(t, y)|| ≤ γ(t)||x − y||, ∀t ≥ 0, ∀x, y ∈ X, (3.95) với hàm số γ(t) khả tích nửa khoảng [0, +∞) Khi đó, nghiệm tầm thường phương trình (3.93) ổn định mũ nghiệm tầm thường phương trình (3.92) ổn định mũ với L đủ nhỏ Chứng minh ⊕ Ta biết nghiệm tốn Cauchy phương trình (3.92) có biểu diễn t x(t) = U (t, s)x0 + U (t, ξ) [f (ξ, x(ξ)) + g(ξ, x(ξ))] dξ s 75 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Trong U (t, s) họ tốn tử tiến hóa tương ứng với phương trình (3.93) Suy t ||x(t)|| ≤ ||U (t, s)x0 || + U (t, ξ) [f (ξ, x(ξ)) + g(ξ, x(ξ))] dξ s t ≤ ||U (t, s)||.||x0 || + ||U (t, ξ)|| ||f (ξ, x(ξ))|| + ||g(ξ, x(ξ))|| dξ s t −α(t−s) ≤ Ke Ke−α(t−ξ) L + γ(ξ) ||x(ξ)||dξ ||x0 || + s Ước lượng cuối có U (t, s) ổn định mũ ||f (ξ, x(ξ))|| = ||f (ξ, x(ξ)) − f (ξ, 0)|| ≤ L||x(ξ)||; ||g(ξ, x(ξ))|| = ||g(ξ, x(ξ)) − g(ξ, 0)|| ≤ γ(ξ)||x(ξ)|| Từ ta có t α(t−s) ||x(t)||e K L + γ(ξ) ||x(ξ)||eα(ξ−s) dξ ≤ K||x0 || + s ⊕ Áp dụng Bổ đề Gronwall-Bellman, ta ||x(t)||eα(t−s) ≤ K||x0 ||e t s K[L+γ(ξ)]dξ = Ke t s K[L+γ(ξ)]dξ ||x0 || Suy ước lượng ||x(t)|| ≤ Ke−α(t−s) e t s K[L+γ(ξ)]dξ ||x0 || ≤ Ke−α(t−s) eKL(t−s)+λK ||x0 || = KeλK e−(α−KL)(t−s) ||x0 || = M e−β(t−s) ||x0 || +∞ Trong λ = γ(ξ)dξ < +∞, M = KeλK , β = α − KL > ta chọn L < Vậy nghiệm tầm thường (3.92) ổn định mũ với L đủ nhỏ α K Ví dụ 3.8 Nghiên cứu tính ổn định mũ nghiệm phương trình vi phân sau (a) √ dx = (−2 + sin t)x(t) − (t5 + 1)t 10 + |t − 2013| log(t + 12), ≤ t < +∞; dt (b) √ dx e−6 e−6 e−6 = (−2 + sin t)x(t) − cos3 x(t) − x(t)8− t +t+1 + , ≤ t < +∞; dt 6 dx (c) = (−2 + sin t)x(t) − e−t arctan x(t) + e−6 dt 76 x(t) e−τ dτ, ≤ t < +∞ Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Lời giải Trước tiên ta có nhận xét phương trình vi phân tương ứng với phương trình dx = (−2 + sin t)x(t) dt có nghiệm tầm thường ổn định mũ với hệ số α = 2, K = e6 , theo Ví dụ 3.6 phần (a) Do để giải Ví dụ ta áp dụng Định lý phương trình khơng (a) Kiểm tra giả thiết Định lý 3.12, hàm f (t) = −(t + 1) √ t 10 + |t − 2013| log(t + 12) thỏa mãn (vì liên tục) Nên theo Định lý đó, suy nghiệm ổn định mũ (b) Tương tự, ta cần kiểm tra giả thiết Định lý 3.13 hàm f (t, x) = − e−6 e−6 −√t2 +t+1 e−6 cos3 x − x8 + 6 Hiển nhiên hàm f (t, x) liên tục, f (t, 0) = e−6 e−6 −√t2 +t+1 ∂f (t, x) = sin x cos2 x − ∂x 2 Do theo Định lý Lagrange, ta có |f (t, x) − f (t, y)| = ∂f (t, ξ) |x − y| ≤ e−6 |x − y|, (với ξ nằm x y ) ∂x Vậy hàm f (t, x) Lipschitz theo x với số L = e−6 < α = K e Từ đó, theo Định lý 3.13, suy nghiệm tầm thường phương trình cho ổn định mũ (c) Ta kiểm tra giả thiết Định lý 3.14 Hàm x −6 e−τ dτ f (t, x) = e liên tục, f (t, 0) = ∂f (t, x) = e−6 e−x ∂x Do theo Định lý Lagrange, ta có |f (t, x) − f (t, y)| = ∂f (t, ξ) |x − y| ≤ e−6 |x − y|, (với ξ nằm x y ) ∂x 77 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Vậy hàm f (t, x) Lipschitz theo x với số L = e−6 < α = K e Còn hàm g(t, x) = −e−t arctan x liên tục, g(t, 0) = ∂g (t, x) = −e−t ∂x x +1 Do theo Định lý Lagrange, ta có |g(t, x) − g(t, y)| = ∂g (t, η) |x − y| ≤ e−t |x − y|, (với η nằm x y ) ∂x Vậy hàm g(t, x) Lipschitz theo x với hàm hệ số γ(t) = e−t khả tích nửa khoảng [0, +∞), +∞ +∞ e−t dt = < +∞ γ(t)dt = 0 Vậy theo Định lý 3.14, suy nghiệm tầm thường phương trình cho ổn định mũ 78 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách đầy đủ hệ thống dạng phương trình vi phân không gian Banach, đồng thời đưa công thức nghiệm tương ứng Về phương trình tích phân Volterra, luận văn trình bày phương trình loại II phương pháp xấp xỉ liên tiếp việc giải chúng, có vai trị to lớn việc khảo sát tồn nghiệm phương trình vi phân Luận văn bước đầu nghiên cứu lý thuyết ổn định, tác giả ứng dụng cơng thức nghiệm phương trình vi phân để tập trung nghiên cứu đặc tính ổn định mũ nghiệm phương trình vi phân tương ứng Đặc biệt số khái niệm định lý quan trọng có ví dụ minh họa với lời giải chi tiết Các hướng phát triển từ luận văn: Nghiên cứu thêm phương pháp giải phương trình tích phân Volterra như: phương pháp nghiệm chuỗi, phương pháp biến đổi Laplace; Nghiên cứu phương trình vi phân có trễ, phương trình tích phân kỳ dị, phương trình vi tích phân không gian Banach; Nghiên cứu thêm ổn định mũ khái niệm khác như: ổn định, ổn định tiệm cận nhị phân mũ Nghiên cứu phương pháp phiếm hàm Lyapunov khảo sát tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Mặc dù cố gắng hết mình, khả thời gian có hạn, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót phương diện kiến thức kỹ soạn thảo LaTex Tác giả luận văn mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn ngày hoàn chỉnh Tác giả xin chân thành cảm ơn! 79 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Trần Đức Long (2001), Giáo trình hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu (2010), Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kỳ dị, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Burton T.A (2005), Volterra Integral and Differential Equations, Elsevier B.V [6] Daleckii Ju., Krein M (1974), Stability of Solutions of Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society [7] Engel K-J., Nagel R (2006), A Short Course on Operator Semigroups, Springer Science+Business Media, LLC [8] Krein S (1972), Linear Differential Equations in Banach Space, American Mathematical Society [9] Pazy A (1983), Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, Springer-Verlag New York, Inc [10] Rolewicz S (1987), Functional Analysis and Control Theory-Linear Systems, Springer-Science+Business Media, B.V [11] Rudin W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc [12] Zemyan S.M (2012), The Classical Theory of Integral Equations, Springer Science+Business Media, LLC 80