Phương Pháp Giải Phương Trình Vi Phân Cấp Bốn Tổng Quát Và Phương Pháp Sai Phân

Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Lời nói đầu Trong lĩnh vực toán ứng dụng thờng gặp nhiều toán có liên quan tới phơng trình vi phân thờng Việc nghiên cứu phơng trình vi phân thờng đóng vai trò quan trọng lý thuyết toán học Nhiều tợng khoa học kỹ thuật dẫn đến toán biên phơng trình vật lý toán Giải toán đến đáp số số yêu cầu quan trọng thực tiễn Trong số trờng hợp, thật đơn giản việc làm đợc nhờ vào nghiệm tờng minh toán dới dạng công thức sơ cấp, tích phân chuỗi hàm Còn đại đa số trờng hợp khác, đặc biệt toán có hệ số biến thiên, toán phi tuyến, toán miền nghiệm tờng minh toán có nhng phức tạp Chính phải nhờ tới phơng pháp xấp xỉ để tìm nghiệm gần Do nhu cầu thực tiễn phát triển lý thuyết toán học, nhà toán học tìm nhiều phơng pháp để giải gần phơng trnhf vi phân thờng (các phơng pháp giải tích nh phơng pháp chuỗi Taylo, phơng pháp xấp xỉ liên tiếp Pica, phơng pháp số nh phơng pháp bớc, phơng pháp Ađam, phơng pháp Runghe - Kuta,) Trong phạm vi đồ án mình, em xin trình bày phơng pháp gần để giải phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát phơng pháp sai phân Đây hai lớp phơng pháp gần quan trọng đợc nghiên cứu nhiều phơng pháp sai phân phơng pháp phần tử hữu hạn Cả hai phơng pháp tìm cách đa toán cho toán đại số, thờng hay nhiều hệ đại số tuyến tính Trong phơng pháp miền ta tìm nghiệm phơng trình thờng đợc phru lới gồm số hữu hạn điểm (nút), đạo hàm phơng trình đợc thay sai phân tơng ứng giá trị hàm nút lới Đồ án đợc chia thành chơng nh sau: Chơng 1: Trình bày khái niệm cảu phơng pháp sai phân tổng thông qua toán biến đổi với phơng trình vi phân cấp hai Chơng 2: Dùng phơng pháp sai phân để giải toán biên phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát cách chi tiết SV: Nguyễn Viết Thanh Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Phần phụ lục cuối chơng trình ví dụ minh hoạ Do hạn chế thời gian nh khả thân nên đồ án thiếu xót Rất mong đợc thông cảm đóng góp ý kiến thầy cô bạn Em xin cảm ơn thầy Lê Trọng Vinh tận tình hớng dẫn em thời gian làm đồ án vừa qua Hà Nội, ngày 19 tháng năm 2004 Sinh viên thực Nguyễn Viết Thanh SV: Nguyễn Viết Thanh Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Chơng Khái niệm mở đầu phơng pháp sai phân 1.1 Mở đầu Trong chơng để trình bày khái niệm phơng pháp sai phân ta xét toán biên phơng trình vi phân cấp hai 1.2 Khái niệm toán biên Bài toán biên có phơng trình vi phân cấp lớn hai điều kiện bốung đợc cho nhiều điểm Chẳng hạn toán biên phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai có dạng: [p(x)y'(x)k]' - q(x) y(x) = -f(x) a số M > không phụ thuộc h cho: (h) Mh Thì ta viết: (h)= O(h) Viết nh có nghĩa là: h nhỏ (h) đại lợng nhỏ h (h) tiến đến số không chậm Mh 1.8 Công thức Taylor Ta nhắc lại công thức Taylor công thức quan trọng đợc sử dụng để xấp xỉ toán vi phân toán sai phân Giả sử F(x) hàm số xác định có đạo hàm đến cấp m + khoảng (, ) chứa x x + x dơng hay âm Khi theo công htức Taylor ta có: F(x+x)=F(x)+xF'(x)+ SV: Nguyễn Viết Thanh ( x ) 2! ( x ) m F (m) (x) + ( x ) F (m+1) (c) F (x) + + (1.3) m! ( m + 1) ! m +1 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Trong c điểm khoảng từ x đến x + x Có thể viết: c = x + x với < < Ta giả thiết thêm: F (m +1) (x) M = const,x [ , ] ( x ) ( ) F (m+1) c ( ) ( m + 1) ! m +1 Khi vô bé x Tức tồn số K > không phụ thuộc vào x cho: ( x ) F ( m+1) (c) K(x)(m+1) ( m + 1) ! (m+1) Công thức Taylor viết gọn nh sau: F(x+x) = F(x)+xF'(x) + ( x ) 2! F(x) + + (x)m (m) F (x) +O x)(m+1) (1.4) m! ( ) 1.9 Liên hệ đạo hàm đạo hàm lới Giả sử hàm y(x) đủ trơn Theo công thức Taylor (1.4) ta có: ( ) y ( x i+1 ) = y ( x i + h ) = y ( x i ) + hy' ( x i ) + O h Ta suy y xi = y ( x i+1 ) y ( x i ) h = y' ( x i ) + O ( h ) (1.5) ( ) y ( x i1 ) = y ( x i h ) = y ( x i ) hy' ( x i ) + O h y xi = y ( x i ) y ( x i1 ) h = y' ( x i ) + O ( h ) (1.6) Ngoài với quy ớc h x1+1 / = x i + ,y i +1 / = y ( x i+1 / ) Ta SV: Nguyễn Viết Thanh Đồ án tốt nghiệp y ( x i+1 ) Trờng ĐHBK Hà Nội h h h = y x i +1 / + = y ( x i+1 / ) + y' ( x i +1 / ) + y" ( x i +1 / ) + O h 2 2! ( ) h h h y ( x i ) = y x i+1 / = y ( x i +1 / ) y' ( x i +1 / ) + y" ( x i +1 / ) + O h 2 2! ( ) Ta suy ( ) y ( x i+1 ) y ( x i ) = hy' ( x i+1 / ) + O h Do y xi = y xi+1 = x ( x i+1 ) y ( x i ) h ( ) y' ( x i +1 / ) + O h (1.7) Đồng thời y ( x i+1 ) + y ( x i ) ( ) = y ( x i+1 / ) + O h (1.8) 1.10 Phơng pháp sai phân Ta tìm cách tính gần giá trị nghiệm y(x i) nút x i h Gọi giá trị gần i Muốn có i ta thay toán vi phân (1.1) - (1.2) toán sai phân: L h ( a x ) + q i i = fi = , N = (1.9) (1.10) đó: = p(xi - h/2), qi = q(xi), fi = f(xi) 1.11 Giải toán sai phân (1.9) - (1.10) phơng pháp truy đuổi Viết cụ thể toán (1.9) - (1.10) ta có: ( ) a i i1 a i + a i+1 + h q i i + a i+1 i+1 = h fi , i = 1,2, N o = , N = (1.11) (1.12) Đó hệ số tuyến tính dạng ba đờng chéo giải phơng pháp truy đuổi Xét hệ đờng chéo tổng quát SV: Nguyễn Viết Thanh Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội A i y i C i y i + B i y i +1 = Fi , i = 1,2, N (1.13) y = m1 y1 + n1 ,y N = m y N + n (1.14) Trong A i > 0,B i > 0,D i = C i A i B i (1.15) m1 1,0 m 1,m1 + m < (1.16) Nh hệ (1.11) - (1.12) trờng hợp riêng hệ (1.13) - (1.14) khi: A i = a i ,B i = a i +1 ,C i = a i + a i +1 + h q i ,Fi = h fi m1 = 0,m = 0, n1 = , n = 1.11.1 Phơng pháp truy đuổi từ phải Ta tìm nghiệm hệ (1.13) - (1.14) dạng y i = i+a y i+1 + i+1 (1.17) Khi biết i i (1.17) cho phép tính yi lùi từ phải sang trái Vì lẽ phơng pháp mang tên phơng pháp truy đuổi từ phải Để tính i, i ta viết (1.17) thay i i -1 y i = i y i + i Thay y i vào (1.13), ta đợc: ( C i A i i ) y i = B i y i+1 + A ii + Fi (1.18) Do Ci - Aii (1.18) Điều kiện đợc thoả mãn nhờ giả thiết (1.15) - (1.16) Vì ta có: Theo giả thiết (1.16), ta có m1 nên đó: C1 - A11 A1 + B1 - A11 = B1 + (1 - 1) A1 B1 > < = B1 C A 11 SV: Nguyễn Viết Thanh Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Một cách tơng tự, giả sử < 1, i = 2,k Ta chứng minh với i = k + Điều rõ ràng < k +1 = Bk Bk = Ck Akk ( Ck Ak Bk ) + B k + ( k ) Ak Ta suy ra: C i A i i A i + B i A i i = B i + ( i ) A i > B i > 0, i Giả thiết (1.15) - (1.16) điều kiện đảm bảo cho công thức truy đuổi ổn định Với điều kiện (1.19) (1.18) cho: yi = Bi A + Fi y i +1 + i i Ci Aii C i Aii Đối chiếu với (1.17), ta suy i+1 = + Fi Bi , i +1 = i Ci Aii C i Aii (1.20) Tại i = 0, công thức (1.17) viết y = m1 , i = n1 (1.21) Sau từ (1.20) cho phép tính tất i, i Bây công thức (1.17) i = N - viết y N = N y N + N Kết hợp với công thức thứ hai (1.14), ta đợc ( m2 N ) y N = n + m2N (1.12) Do giả thiết (1.16) < i 1, i = 2,, N (0 1) đợc nên ta có - m2N > Suy (1.22) cho: yN = n + m2N m2 N Sau (1.17) cho phép tính yi, i = N - 1, N - 2,0 SV: Nguyễn Viết Thanh Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Vậy thuật toán: = m1 , = n1 i+1 = yN = Bi A + Fi , i +1 = i i , i = 2, N Ci Aii C i Aii n + m2N m2 N y i = i+1y i+1 + i+1 ,i = N 1, N 2, m,,2,0 1.11.2 Phơng pháp truy đuổi từ trái Ta tìm nghiệm dạng y i +1 = i+1 y i + i +1 Ta có thuật toán sau: N = m , N = n i = Ai B + Fi , i = i i+1 , i = 1,2, , N C i i +1 B i C i i+1 B i y0 = n1 + m11 m11 y i +1 = i+1 + i +1 , i = 0,1,2, , N 1.12 Sự ổn định toán sai phân Trớc hết để đo độ lớn hàm lới = ( , , N ) R N +1 hàm lới f = (f1, f2,,fN-1) R N , ta sử dụng chuẩn = max { i } , i N f = max N N {f} i (1.24) Định nghĩa Nói toán sai phân (1.9) - (1.10) toán ổn định có nghiệm với vế phải điều kiện biên, đồng thời nghiệm thoả mãn: = K { f } + + K = const (1.25) ý nghĩa toán ổn định là: SV: Nguyễn Viết Thanh 10 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Vi Vi +1 + Vi +2 + i +1 Vi+2 + Vi +3 + i +1 + i +2 Vi+3 + Vi+ + i +1 + i +2 + i+3 Vi + + Vi +5 + i +1 + i+2 + i +3 + i +4 Vi+5 + Vi +6 + i+1 + i +2 + i +3 + i+4 + i +5 h N VN + h N i1 VN + N h k = i +1 k i k Trong hệ số hi số hạng thứ i dãy số Fibonacci hi = h i2 + h i1 i i >2 Dãy số thể hi ứng với giá trị i = 1, 2, 3,, có dạng: 1 13 21 34 55 Viết lại Vi h N VN + h N i VN + N h k = i +1 k i k h N ( N VN + N ) + h N i1 VN + N h k = i +1 ( h N i + N h N i ) VN + N h N i + ( h N i + h N i ) VN + N h N i + ( h N i + h N i ) y b + N h N i + k k i N h k = i +1 k i N h k = i +1 k i N h k = i +1 k i k k k Ta có: i+1 = Fi A I i i ( A i i b i ) , i i = 2, N Trong đó: SV: Nguyễn Viết Thanh 40 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội i = C i A i i + i ( A i i1 B i ) , i = 2, N = C B Với = D0 , = ( D1 1B1 ) C0 Xét quan hệ hệ số Ai, Bi, Ci, Di Ei A i = p i1 B i = ( p i + p i ) + h q i1 / C i = p i+1 + 4p i + h ( q i +1 / + 1i / ) + h g i D i = ( p i+1 + p i ) + h q i+1 / = B i +1 E i = p i+1 = A i+2 Suy ra: E i = A i+2 hay A i = E i2 , i = 2, N D i = B i +1 hay B i = D i1 , i = 2, N Ci Ai + Bi + Di + Ei , i = 2, N (Định lý ổn định hệ năm đờng chéo) Bây ta đánh giá i , i = 2, N i = C i A ii1 + i ( A i i B i ) = C i ( i1 i1 i ) A i i B i C i i1 i1 i A i i i Ta có: i1 i i i + i1 i i + i i i1 ( i ) i1 i Do đó: i Ci Ai i Bi Ci Ai B i Di + Ei , i = 2, N Ta suy ra: SV: Nguyễn Viết Thanh 41 Đồ án tốt nghiệp i+1 Trờng ĐHBK Hà Nội A i i1 B i + A i i1 + Fi Di + Ei A i i B i B i+1 + A i+1 i + Ai B i+1 + A i+2 i1 + Fi B i+1 + A i +2 Đặt: ( i) = A i i1 B i B i+1 + A i +1 ;( i) = Ai B i +1 + A i+2 ; ( i ) = Fi B i +1 + A i +2 Suy ra: i+1 ( i 1) i + ( i ) i1 + ( i ) i ( i 1) i1 + ( i 1) i2 + ( i 1) i1 ( i ) i2 + ( i ) i + ( i ) i ( i ) i + ( i ) i + ( i ) ( 3) + ( 3) + ( 3) ( ) + ( ) + ( ) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta đợc: i = { { { { { ( i ) ( i + 1) + ( i ) ( i + ) + ( i + 1) ( i ) ( i + 3) + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ( i + ) ) ( i + ) ( i + ) } + + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ( i + ) ) ( i ) ( i + 1) ( i + ) } ( i + ) + + } + } + } + } ( ( N + ) + ( N 2) ) + + ( i ) + ( i ) ( i + ) + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) N N + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i ) ( i + ) + ( i ) ( i + 1) ( i + ) + + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) + ( i ) ( i + 1) ( i + ) + + { { { ( i ) ( i + 1) + ( i ) ( i + ) + ( i ) ( i + 1) ( i + 3) + + { SV: Nguyễn Viết Thanh 42 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) } ( i + ) + + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) ( i + 1) ( i + ) } ( i + ) + } + } + } + } + } ( N ) Dựa vào điều kiện biên toán (III), ta có: Z N = N Z N N Z N + N = N = Z N = N Z N N Z N Z N + 4Z N 3Z N = Z N + 4Z N = Z N = Z N N = + N Suy ra: i ( i ) + ( i ) ( i + ) + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) + ( i ) ( i + 1) ( i + ) + + {{{{ + { ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) + ( i ) ( i + ) ( i + ) + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) } ( i + ) + + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) + ( i ) ( i + 1) ( i + ) } ( i + ) + + } + } + } + } ( N ) N N %( j ) j= i j =i Aj + Bj %( j ) ( j ) = Do đó: i Fj Trong đó: %i = i = ( ) ( ) %i + = i + = i ( ) ( ) ( ) % i + = i i + + i = % i + i + + %1 i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) %i + = i i + + i i + + i + i + ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) = %( i + ) ( i + ) + %( i + 1) ( i + 1) %i + = i i + + i i + + i + i + i + + ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ( i ) ( i + 1) + ( i ) ) ( i + ) = %( i + ) ( i + ) + %( i + ) ( i + ) SV: Nguyễn Viết Thanh 43 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội % i + = % i + i + ( ) ( ) ( ) %( i + ) ( i + ) %j = ( ) %( j 1) ( j ) %( j ) ( j ) % N = % N N + % N N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tơng tự nh phần V i ta đợc A j + B j 5c2 + h c nên suy ra: i 5c2 + h c Và N %( j ) F j =1 tơng tự, j ta ( dễ dàng chứng tỏ ) % j 1, j = i, N j = i, N Khi đánh giá nh sau: ( ) i i 5c2 + h c { } max Fj j = i,N 5c2 + h c N %( j ) max { F } N %( j ) j =1 h i k +1 k k =2 5c2 + h c { } max Fj j = 2,N 5c2 + h c { } max Fj j = 2,N 5c2 + h c j =1 j j = i,N { } max Fj j = i,N 5c2 + h c 5c2 + h c N ( N i 1) j =1 + h2c = 5c N ( N k 1) j =1 i ( N k 1) k =2 i k =2 { } { } max Fj hi k +1 j = i,N { } max Fj hi k +1 j = 2,N ( N k 1) h max Fj j = i,N i k +1 i ( N k 1) h k =2 SV: Nguyễn Viết Thanh i 44 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội { } max Fj i h i N ) ( k + 1) i ( 5c2 + h c k =2 i ( i 1) ( + i + ) h i N ( ) i 5c2 + h c k =2 j = 2,N { } max Fj j = 2,N ( i 1) ( 2N i ) h i1 ( 5c2 + h c ) F Suy ra: Z i ( h i1 + h i ) y a + h i + ( i 1) ( 2N i ) h i1 ( 5c2 + h c ) F Với : i 5c2 + h c { } max Fj j = i,N 5c2 + h c N %( j ) max { F } j j = i,N j =1 N %( j ) j =1 { } max Fj j = i,N N ( N ) h i1 5c2 + h c j =1 ( 5c2 + h c ) F Vậy: Z i ( h i1 + h i ) + ( h i1 + h i ) y a + ( h i1 ( N 2) hi 5c2 + h c F + ( i 1) ( 2N i ) h i1 ( 5c2 + h c ) F ( i 1) ( 2N i 1) h i + ( N ) h i F 5c + h c ( ) ( i 1) ( 2N i ) h i1 + ( N ) h i h + hi ) ya + f 5c2 + h c ( ) Rõ ràng ta thấy tơng tự toán (II) nghiệm toán (III) phụ thuộc vào vế phải phơng trình sai phân điều kiện biên Nh từ v = V + Z ta suy SV: Nguyễn Viết Thanh 45 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội v i Vi + Z i ( h i1 + h i ) y a + ( h N i1 + h N i ) y a + ( i 1) ( 2N i ) h i1 + ( N i 1) ( N + i ) h N i1 + ( N ) ( h i + h N i ) h + f 5c2 + h c ( Tức v i K f ) + K1 y a + K y b , i = 2, N Trong đó: ( i 1) ( 2N i ) h i1 + ( N i 1) ( N + i ) h N i + ( N ) ( h i + h N i ) h K= 5c + h c ( ) K1 = hi-1 + hi, K2 = hN-i-1 + hN-1 K, K1, K2 = Const Định lý đợc chứng minh 2.9 Bài toán sai phân sai số Gọi y nghiệm toá vi phân (2.1) - (2.2) v nghiệm toán sai phân (I) Đặt z = v - y zi = vi - yi (zi - biểu thị sai số nút i ta lấy vi y(xi)) Ta có toán sai phân sai số z L h zi = Lh vi Lh yi L h z i = L h v i + L h y i L h z i = fi ( ) ( ) L h z i = Ly i + O h = f ( x i ) + O h Suy ra: ( ) ( ) L h z i = fi + f ( x i ) + O h = O h Vậy ta có hệ L z = ,i i h h i i = O h z rh = v rh y rh = y% y%= ( ) 2.10.Sự hội tụ sai số Định lý: phơng pháp sai phân (I) phơng pháp hội tụ với cấp xác O(h ) SV: Nguyễn Viết Thanh 46 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Chứng minh Với hàm lới xác định h , ta định nghĩa chuẩn = max { i i h áp dụng định lý ổn định vào toán sai phân sai số, ta suy ra: z = vy K + K1 z a + K z b = + K Bất đẳng thức chứng tỏ zi = vi - yi tức vi y(xi) h Hơn bất đẳng thức ớc lợng sai số z = vy K ' : v y K Cỡ sai số O)h2) (tức KK ' h ( KK ' = const ) Định lý chứng minh xong Chú ý: Từ chứng minh định lý ta phát biểu gọn Xấp xỉ + ổn định = hội tụ Xấp xỉ cấp + ổn định = hội tụ cấp Thí dụ 1: Để kiểm tra đắn phơng pháp, ta xét thí dụ sau: 2y ( 4) ( x ) 3y"( x ) 5y ( x ) = f ( x ) 0[...]... 0 Sai số đạt: max { i y(x i ) } 0.01 i = 0,4 Chơng 2 Phơng pháp sai phân giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn SV: Nguyễn Vi t Thanh 16 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Trong chơng một ta đã xét các khái niệm của phơng pháp sai phân thông qua bài toán biênđói với phơng trình vi phân cấp hai nhằm hiểu đợc t tởngcủa phơng pháp Chơng này đi vào nội dung chính của đồ án là dùng phơng pháp sai phân. .. nghĩa Gọi y(x) là nghiệm của bài toán vi phân (1.1) - (1.2) và i là nghiệm của bài toán sai phân (1.9) - (1.0) Nói phơng pháp sai phân (1.9) - (1.10) hội tụ nếu: y 0 khi h 0 Tức là: i, y ( x i ) 0 khi h 0 Hay: i, i y ( x i ) khi h 0 Nói phơng pháp sai phân có cấp chính xác O(hm), m > 0 nếu: Định lý Phơng pháp sai phân (1.9) - (1.10) là phơng pháp hội tụ vơí cấp chính xác O(h2) Chứng minh Đặt... dùng phơng pháp sai phân để giải gần đúng phơng trình vi phân cấp bốn tổng quát một cách chi tiết 1.1 Bài toán vi phân Cho hai số a và b với a < b Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < x < b thoả mãn: Ly = [ p(x)y"] "+[ q(x)y' ] ' + g(x)y = f(x) (2.1) y(a) = ya, y(b)= yb, y'(a) = y'a, y'(b) = y'b (2.2) Trong đó: p = p(x) liên tục và các đạo hàm p', p" liên tục q = q(x) liên tục và đạo hàm q' liên tục G(x),... N = 2hy' b = y b N ( ) Hệ (I) cũng đợc gọi là lợc đồ sai phân đối với bài toán biên đã cho Thay cho bài toán vi phân (2.1) - (2.2) đối với ẩn hàm y = y(x) ta có bài toán sai phân (I) đối với ẩn hàm (I) là hệ phơng trình đại số bậc nhất tuyến tính có dạng năm đờng chéo 1.6 Cách giải bài toán sai phân (I) 1.6.1 Phơng pháp truy đuổi Bài toán sai phân có dạng: 0 y a 3 + 4 = 2hy 0 1 2 a A i i2...Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Bài toán sai phân có nghiệm duy nhất, đồng thời nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên, nghĩa là khi vế phải của phơng trình sai phân và điều kiện biên thay đổi ít thì nghiệm cũng thay đổi ít Bất đẳng thức (1.25) nói lên ý nghĩa đó, ta gọi đó là bất... i- 1 2 h SV: Nguyễn Vi t Thanh 2 2 i 2 ữ 2 i (2.9) 19 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội 1.5 Phơng pháp sai phân Giả sử bài toán vi phân (2.1)- (2.2) thoả mãn định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm, ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng (y(x i) tại các nút xi Q h Gọi các giá trị gần đúng đó là i Muốn có i ta thay bài toán vi phân (2.1) - (2.2) bởi bài toán sai phân tơng ứng Đặt (x)... Ta suy ra: SV: Nguyễn Vi t Thanh 11 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội ( ay xi ) xi = a i+1 y xi +1 a i y xi = ( py' ) ' ( x i ) + O h 2 h ( ) Do đó: ( ) L h y i Ly i = i O h 2 (1.26) Vì lẽ đó ta nói toán tử sai phân Lh xấp xỉ toán tử vi phân L tới cấp O(h2) Hơn nữa, vì 0 - y0 = - = 0 và N - yN = - = 0 nên ta cũng nói: bài toán sai phân (1.9) - (1.10) xấp xỉ bài toán vi phân (1.1) - (1.2) 1.14... SV: Nguyễn Vi t Thanh ( ) ' h p ( a ) y' ( a ) ) + O h 2 ( 2 ( ) (1.27) 13 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội Nh vậy, ta thấy nếu thay p(a)y'(a) a1 y x1 thì sai số địa phơng tại biên chỉ đạt cấp O(h) do đó sẽ ảnh hởng đến sai số trên toàn lới Để đạt đợc sai số tại biên cấp O(h2), ta sử dụng thêm chính chơng trình (1.1) tại x = a ( p ( a ) y' ( a ) ) ' = q( a) y( a) f ( a) Thay đẳng thức này vào (2.17):... hệ đại số tuyến tính dạng ba đờng chéo đợc giải theo phơng pháp truy đuổi nêu ở trên Sau khi giải ra ta đợc kết quả 1 = -0,19943, 2 = -0,26393, 3 = -0,20295 Ta có thể tìm đợc nghiệm tổng quát của phơng trình đã cho là: y = ( arcsin x ) + C 1 arcsin x + C 2 2 Dựa vào các điều kiện biên, ta tìm đợc C1 = 0, C2 = -0,274156 Suy ra nghiệm riêng tơng ứng của phơng trình là y = ( arcsin x ) 0,274156 2 So sánh... dụng (2.34) tại i = 2 và (2.35) rồi thay vào phơng trình (2.17) ta có: SV: Nguyễn Vi t Thanh 33 Đồ án tốt nghiệp Trờng ĐHBK Hà Nội c0 y 0 d 0 ( 1 y 0 + 1 ) + e 0 2 ( 1y 0 + 1 ) 2 y 0 + 2 = f0 c 0 e 0 2 + 1 ( e0 2 d 0 ) y1 = f0 e 0 2 1 ( e 0 2 d 0 ) Suy ra: f0 e 0 2 1 (e 0 2 d 0 ) = 0 c 0 e0 2 + 1 (e 0 2 d 0 ) y0 = Tóm lại, qui trình giải hệ (2.17) (2.21) theo phơng pháp truy đuổi từ trái