Phương pháp số giải phương trình vi phân có chậm

1 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THỊ THÚY NGỌC PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ CHẬM Chun ngành : TỐN HỌC TÍNH TỐN Mã số : 60 46 30 Người hướng dẫn : PGS TS VŨ HOÀNG LINH HÀ NỘI - 2012 Mục lục Lời nói đầu Giới thiệu 1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân thường 1.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân thường 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi phân thường 1.3 Nghiệm số phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ hay không? 1.3.1 Sự thất bại cấp xác phương pháp 1.3.2 Sự thất bại tính ổn định 1.3.3 Một phương pháp tốt cho PTVPCC Sự tồn tính qui nghiệm phương trình vi phân có chậm 2.1 Vị trí điểm gián đoạn trơn dần nghiệm 2.1.1 Các điểm gián đoạn gốc thứ cấp 2.1.2 Chậm triệt tiêu không triệt tiêu 2.1.3 Chậm bị chặn không bị chặn 2.2 Sự tồn tính nghiệm 12 12 14 17 18 20 25 27 27 28 31 32 35 Các phương pháp cho phương trình vi phân có chậm 37 3.1 Hướng tiếp cận 38 3.2 Các kết sơ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 40 3.3 Hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 47 Sự hội tụ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục 50 4.1 PTVPCC với chậm số chậm phụ thuộc thời gian không triệt tiêu 51 4.2 PTVPCC với chậm phụ thuộc thời gian tuỳ ý 59 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 69 Phụ lục 70 LỜI NÓI ĐẦU Ta biết phương trình vi phân thường (PTVPT) phương trình có dạng: y (t) = f (t, y(t)), t ≥ t0 Tuy nhiên, nhiều vấn đề, biến y phụ thuộc vào giá trị khứ biến y Khi PTVPT biến đổi thành phương trình sau, gọi phương trình vi phân có chậm (PTVPCC): y (t) = f (t, y(t − τ1 ), , y(t − τn )), t ≥ t0 , với τi = τi (t, y(t)) ≥ ∀t ≥ t0 , i = 1, , n, gọi chậm Việc nghiên cứu mặt lí thuyết phương pháp số giải PTVPT thu hút quan tâm nhà toán học thời gian dài với nhiều kết quan trọng Ngược lại, việc nghiên cứu PTVPCC quan tâm nhiều thời gian từ thập niên cuối kỉ 20 trở lại Sự quan tâm nhà toán học ứng dụng dành cho phương pháp số giải PTVPCC ngày gia tăng, thể qua số lượng ngày nhiều sách chun khảo, báo cơng trình nghiên cứu công bố đăng tải tạp chí tốn học uy tín Mục tiêu luận văn giới thiệu phương pháp số giải PTVPCC, đặc biệt phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục áp dụng giải toán giá trị ban đầu cho PTVP có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Luận văn gồm chương: Chương giới thiệu PTVPCC thông qua việc so sánh với PTVPT Những khác biệt quan trọng tính chất định tính khía cạnh giải số đề cập đến phần đầu chương Phần thứ hai chương giới thiệu cách vắn tắt khái niệm phương pháp số giải PTVPT, từ phần thứ ba lí thuyết cho PTVPT khơng đủ áp dụng cho PTVPCC Chương trình bày tồn tính qui nghiệm PTVPCC Đặc biệt, ta tập trung quan tâm vào tính chất vị trí điểm gián đoạn đạo hàm, có, lan truyền chúng dọc theo khoảng tích phân giả thiết khác chậm Chương phác hoạ cách vắn tắt vài hướng tiếp cận khác sử dụng để giải số PTVPCC, tập trung vào hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục Chương trình bày hội tụ phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục giới thiệu chương Đặc biệt, ta chứng minh tính đặt chỉnh (well-posedness) phương pháp phân tích cấp hội tụ cho PTVPCC PTVPCC trung tính có chậm số chậm phụ thuộc thời gian Luận văn hoàn thành sở tham khảo hai tài liệu chính: Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equations and Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998 Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press, 2003 Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người thầy tận tâm giảng dạy hướng dẫn tác giả hoàn thành luận văn Xin gửi lời cảm ơn chân thành đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội nơi tác giả hồn thành chương trình cao học giảng dạy hướng dẫn nhiệt tình thầy cô Xin cảm ơn tập thể lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học, Sở Giáo dục Đào tạo Ninh Bình thơng cảm, động viên tạo điều kiện thuận lợi thời gian, cơng việc để tác giả hồn thành khoá học luận văn Cuối cùng, xin cảm ơn bè bạn gia đình hỗ trợ, động viên chia sẻ khó khăn với tác giả suốt thời gian học tập vừa qua Do thời gian trình độ cịn hạn chế, chắn luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận bảo tận tình thầy cô bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, 15.11.2012 Học viên Đỗ Thị Thuý Ngọc CHƯƠNG GIỚI THIỆU Nhiều vấn đề thực tế vật lí, kĩ thuật, sinh học, y học, kinh tế mơ hình hóa tốn giá trị ban đầu, cịn gọi tốn Cauchy, cho PTVPT có dạng y (t) = g(t, y(t)), t ≥ t0 , y(t0 ) = y0 , (1.1) hàm y(t), gọi biến trạng thái, biểu diễn đại lượng tham gia vào q trình Tuy nhiên, để làm cho mơ hình phù hợp với tượng thực tế, ta cần biến đổi vế phải (1.1) để thể phụ thuộc biến y vào giá trị khứ biến trạng thái y Dạng tổng qt mơ cho PTVPCC y (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , yt = y(t + θ), θ ∈ [−r, 0], hàm thuộc vào không gian Banach C = C ([−r, 0], Rd ) hàm số liên tục ánh xạ khoảng [−r, 0] vào Rd , f : Ω → Rd hàm cho ánh xạ tập hợp Ω ⊂ R × C vào Rd Bài toán giá trị ban đầu y (t) = f (t, yt ), t ≥ t0 , yt0 = y(t0 + θ) = Φ(θ), Φ(θ) ∈ C biểu diễn điểm khởi tạo liệu khởi tạo (1.2) 1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân thường Trong tài liệu này, toán giá trị ban đầu (1.2) mô tả theo cách thức thân thiện sau y (t) = f (t, y(t − τ1 ), y(t − τn )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 (1.3) Tùy theo độ phức tạp tượng, chậm τi ln ln khơng âm, số (trường hợp chậm số), hàm số t, τi = τi (t) (trường hợp chậm biến thiên phụ thuộc thời gian) chí hàm số t y , τi = τi (t, y(t)) (trường hợp chậm phụ thuộc trạng thái) Luận văn tập trung nghiên cứu vào hai trường hợp: chậm phụ thuộc số chậm phụ thuộc thời gian Để đơn giản hóa mặt kí hiệu, hàm φ(t) hiểu định nghĩa [ρ, t0 ], ρ = 1≤i≤n min(t − τi ) t≥t0 Một trường hợp phổ biến thú vị n = τ1 ≡ 0, (1.3) có dạng sau y (t) = f (t, y(t), y(t − τ )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 (1.4) Vì với t ≥ t0 xảy t − τ < t0 , khác phương trình dạng (1.1) (1.4) nghiệm (1.4) thường phụ thuộc vào hàm khởi tạo φ(t) phụ thuộc vào giá trị khởi tạo y0 (1.1) Nói chung, đạo hàm bên phải y (t+ ), f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ )), không đạo hàm − trái y (t0 ) nghiệm y khơng liên kết trơn với hàm khởi tạo φ(t) điểm t0 , có tính chất C -liên tục đảm bảo Hơn nữa, tính khơng liên tục đạo hàm lan truyền từ điểm khởi tạo t0 theo khoảng tích phân tạo điểm gián đoạn mà đó, nghiệm ngày trơn Như hệ quả, chí hàm f (t, y, x), τ (t, y) φ(t) (1.4) C ∞ -liên tục nói chung y(t) đơn giản C -liên tục [t0 , tf ] Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình y (t) = −y(t − 1), t ≥ 0, y(t) = 1, t ≤ (1.5) Nghiệm phương trình miêu tả Hình 1.1 Vì y (0− ) = y (0+ ) = −y(−1) = −1, hàm đạo hàm y (t) có điểm gián đoạn t = Đạo hàm cấp hai y (t) cho y (t) = −y (t − 1), có điểm gián đoạn t = Đạo hàm cấp ba cho y (t) = −y (t − 1) = y (t − 2) có điểm gián đoạn t = 2, tương tự điểm bội số chậm t = 3, 4, Hình 1.1: Nghiệm (1.5) Trong mơ hình tổng qt hơn, đạo hàm y (t) phụ thuộc vào y y giá trị khứ t − τ Trong trường hợp này, (1.4) thay đổi thành dạng y (t) = f (t, y(t), y(t − τ ), y (t − τ )), t ≥ t0 , y(t) = φ(t), t ≤ t0 , (1.6) hàm φ(t) giả thiết C -liên tục Phương trình (1.6) gọi PTVPCC trung tính (delay differential equation of neutral type) Như trước nói, hàm khởi tạo φ(t) không liên kết trơn với nghiệm y(t) t0 , nơi có tính liên tục đảm bảo Điểm gián đoạn lan truyền thành tập điểm gián đoạn mà nghiệm, khơng giống trường hợp khơng trung tính, thuộc lớp C Do đó, điều kiện nối φ (t− ) = f (t0 , φ(t0 ), φ(t0 − τ ), φ (t0 − τ )) thỏa mãn, cịn khơng nghiệm (1.6) phải hiểu theo nghĩa tổng quát “hầu khắp nơi” Ví dụ 1.1.2 Xét phương trình y (t) = −y (t − 1), t ≥ 0, y(t) = t, t ≤ 0, (1.7) có nghiệm vẽ Hình 1.2 Vì y (0− ) = y (0+ ) = −y (−1) = −1, đạo hàm y (t) có điểm gián đoạn t = Hơn nữa, y (t) = −y (t − 1) với t ≥ 0, đạo hàm y (t) không liên tục t = t = 2, 3, bội số t = Hình 1.2: Nghiệm (1.7) Ví dụ sau rằng, nghiệm bị chặn PTVPT dao động hệ thống có hai thành phần dao động hỗn loạn hệ thống có ba thành phần (Định lí Poincaré-Bendixon), nghiệm PTVPCC có tính chất dao động chí dao động hỗn loạn trường hợp vơ hướng Ví dụ 1.1.3 Xét phương trình logistic có chậm sau y (t) = ay(t)(1 − y(t − 1)), (1.8) phương trình mơ hình hóa thay đổi dân số, cải tiến mô hình Verhulst-Pearl y (t) = ay(t)(1 − y(t)) Trong nghiệm phương trình Verhulst-Pearl đơn điệu, nghiệm dương (1.8) đơn điệu với a ∈ (0, 1/e), dao động với a ∈ [1/e, π/2) xấp xỉ với quỹ đạo tuần hoàn với a > π/2 (Hình 1.3 1.4) (Xem [6]) Cuối cùng, ta thấy có mặt thành phần chậm thay đổi mạnh mẽ tính chất định tính nghiệm cách tác động đến ổn định mơ hình 10 Hình 1.3: Nghiệm (1.8) với y(t) = 0.1 t ≤ 0, a = 1.4 0.3 Hình 1.4: Nghiệm (1.8) với a = 1.7 mặt phẳng pha Ví dụ 1.1.4 Xét phương trình vơ hướng tuyến tính y (t) = λy(t) + µy(t − 1), t ≥ 0, y(t) = −t + 1, t ≤ 0, (1.9) với hệ số λ, µ số thực Ta biết rằng, với µ = 0, phương trình (1.9) có dạng y (t) = λy(t), t ≥ 0, y(0) = 1, (1.10) Nghiệm phương trình tiệm cận tới với λ âm bùng nổ với λ dương Hơn trường hợp λ âm, nghiệm cịn bị chặn giá 64 đó, với s ≤ tn+1 , η(s) nghiệm số liên tục cho phương pháp số giải PTVP với đầu liên tục Khi định nghĩa yn = [y(tn ), y(tn−1 ), , y(tn−k+1 )]T η n = [η(tn ), η(tn−1 ), , η(tn−k+1 )]T Bằng Bổ đề 4.2.1 với u(x) = y(x), v(x) = η(x), zn = yn wn =η n , với h ≤ h0 , nghiệm số ζ(t) η(t) (4.18) (4.19) thỏa mãn bất phương trình |||zn+1 − η n+1 ||| ≤ (1 + hn+1 Q)|||yn − η n ||| + hn+1 P max y(t) − η(t) , t≤tn+1 (4.20) zn+1 = (ζ(tn+1 ), y(tn ), , y(tn−k+2 ))T max tn ≤t≤tn+1 ζ(t) − η(t) ≤ (T +hn+1 S) max n−in ≤s≤n y(ts ) − η(ts ) +hn+1 R max y(t) − η(t) t≤tn+1 (4.21) Xét bất phương trình |||yn+1 − η n+1 ||| ≤ |||yn+1 − zn+1 ||| + |||zn+1 − η n+1 ||| (4.22) Nhờ giả thiết (h1 ), nghiệm zn+1 (t) (4.18) đủ trơn Do đó, giả thiết (h2 ) (xem Định nghĩa 3.2.2), (4.20) dẫn đến |||yn+1 − η n+1 ||| ≤ M hp+1 n+1 + (1 + hn+1 Q)|||yn − η n ||| + hn+1 P max y(t) − η(t) t≤tn+1 Do đó, với en = max |||yi − η i ||| k−1≤i≤n En = max y(t) − η(t) t≤tn với n = k − 1, , N, ta en+1 ≤ M hp+1 n+1 + (1 + hn+1 Q)en + hn+1 P En+1 (4.23) với n = k − 1, , N − Tương tự, với hàm nội suy xét bất đẳng thức max tn ≤t≤tn+1 y(t) − η(t) ≤ max tn ≤t≤tn+1 y(t) − ζ(t) + max tn ≤t≤tn+1 ζ(t) − η(t) Do tính trơn y(t), giả thiết (h3 ) (xem Định nghĩa 3.2.2) (h4 ), (4.21), ta có max tn ≤t≤tn+1 y(t) − η(t) ≤ M hq+1 n+1 + (T + hn+1 S) +hn+1 R max y(t) − η(t) t≤tn+1 max n−in ≤s≤n y(ts ) − η(ts )