Phương pháp số giải phương trình vi phân có chậm

25 2 Sự tồn tại và tính chính qui của nghiệm của phương trình vi phân có chậm 27 2.1 Vị trí của các điểm gián đoạn và sự trơn dần của nghiệm.. Đặcbiệt, ta sẽ tập trung sự quan tâm vào tí

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐỖ THỊ THÚY NGỌC

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

Mã số : 60 46 30

Người hướng dẫn : PGS TS VŨ HOÀNG LINH

HÀ NỘI - 2012

Mục lục

1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có chậm và phương

trình vi phân thường 7

1.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân thường 12

1.2.1 Các khái niệm cơ bản 12

1.2.2 Một số phương pháp số tiêu biểu giải phương trình vi phân thường 14

1.3 Nghiệm số của phương trình vi phân có chậm: Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ hay không? 17

1.3.1 Sự thất bại về cấp chính xác của phương pháp 18

1.3.2 Sự thất bại về tính ổn định 20

1.3.3 Một phương pháp tốt cho các PTVPCC 25

2 Sự tồn tại và tính chính qui của nghiệm của phương trình vi phân có chậm 27 2.1 Vị trí của các điểm gián đoạn và sự trơn dần của nghiệm 27

2.1.1 Các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp 28

2.1.2 Chậm triệt tiêu và không triệt tiêu 31

2.1.3 Chậm bị chặn và không bị chặn 32

2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm 35

3 Các phương pháp cho phương trình vi phân có chậm 37 3.1 Hướng tiếp cận đầu tiên 38

3.2 Các kết quả sơ bộ về phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục 40 3.3 Hướng tiếp cận thông thường thông qua phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục 47

4.1 PTVPCC với chậm hằng số hoặc chậm phụ thuộc thời gian không

triệt tiêu 514.2 PTVPCC với chậm phụ thuộc thời gian tuỳ ý 59

LỜI NÓI ĐẦU

Ta đã biết phương trình vi phân thường (PTVPT) là phương trình có dạng:

y0(t) = f (t, y(t)), t ≥ t 0

Tuy nhiên, trong nhiều vấn đề, biến y0 còn phụ thuộc vào các giá trị trong quákhứ của biến y Khi đó PTVPT trên biến đổi thành phương trình sau, gọi làphương trình vi phân có chậm (PTVPCC):

y0(t) = f (t, y(t − τ1), , y(t − τn)), t ≥ t0,

với τi = τi(t, y(t)) ≥ 0 ∀t ≥ t0, i = 1, , n, được gọi là các chậm

Việc nghiên cứu về mặt lí thuyết cũng như phương pháp số giải PTVPT đãthu hút được sự quan tâm của các nhà toán học trong một thời gian dài với rấtnhiều những kết quả quan trọng Ngược lại, việc nghiên cứu đối với PTVPCCmới được quan tâm nhiều trong thời gian từ những thập niên cuối thế kỉ 20 trởlại đây Sự quan tâm của các nhà toán học ứng dụng dành cho các phương pháp

số giải PTVPCC ngày càng gia tăng, thể hiện qua số lượng ngày càng nhiều cácsách chuyên khảo, bài báo và công trình nghiên cứu được công bố và đăng tảitrên các tạp chí toán học uy tín

Mục tiêu của luận văn này là giới thiệu các phương pháp số giải PTVPCC,đặc biệt là các phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục áp dụng giải bàitoán giá trị ban đầu cho PTVP có chậm hằng số hoặc chậm chỉ phụ thuộc thờigian Luận văn gồm 4 chương:

Chương 1 sẽ giới thiệu PTVPCC thông qua việc so sánh với PTVPT Nhữngkhác biệt quan trọng nhất về tính chất định tính cũng như về khía cạnh giải số

sẽ được đề cập đến trong phần đầu của chương Phần thứ hai của chương giớithiệu một cách vắn tắt các khái niệm cơ bản về phương pháp số giải PTVPT,

từ đó phần thứ ba sẽ chỉ ra lí thuyết cho PTVPT là không đủ khi áp dụng choPTVPCC

Chương 2 trình bày sự tồn tại và tính chính qui nghiệm của PTVPCC Đặcbiệt, ta sẽ tập trung sự quan tâm vào tính chất và vị trí của các điểm gián đoạncủa đạo hàm, nếu có, và sự lan truyền của chúng dọc theo khoảng tích phândưới các giả thiết khác nhau trên các chậm.

Chương 3 phác hoạ một cách vắn tắt một vài hướng tiếp cận khác nhau

đã được sử dụng để giải số các PTVPCC, tập trung vào hướng tiếp cận thôngthường thông qua các phương pháp số giải PTVP với đầu ra liên tục

Chương 4 trình bày sự hội tụ của các phương pháp số giải PTVP với đầu

ra liên tục đã được giới thiệu trong chương 3 Đặc biệt, ta chứng minh tínhđặt chỉnh (well-posedness) của phương pháp và phân tích cấp hội tụ của nó choPTVPCC và PTVPCC trung tính có chậm hằng số hoặc chậm phụ thuộc thờigian

Luận văn được hoàn thành trên cơ sở tham khảo hai tài liệu chính:

1 Uri M.Ascher, Linda R.Petzold, Computer Methods for Ordinary Equationsand Differential-Algebraic Equations, SIAM, 1998

2 Alfredo Bellen, Marino Zennaro, Numerical Methods for Delay DifferentialEquations, Oxford University Press, 2003

Qua đây, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Vũ Hoàng Linh, người thầy

đã tận tâm giảng dạy và hướng dẫn tác giả hoàn thành bản luận văn này Xinđược gửi lời cảm ơn chân thành đến trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đạihọc Quốc gia Hà Nội nơi tác giả đã hoàn thành chương trình cao học dưới sựgiảng dạy và hướng dẫn nhiệt tình của các thầy các cô Xin được cảm ơn tậpthể lãnh đạo, chuyên viên phòng Giáo dục Trung học, Sở Giáo dục và Đào tạoNinh Bình đã thông cảm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi về thời gian,công việc để tác giả hoàn thành khoá học và luận văn Cuối cùng, xin được cảm

ơn bè bạn và gia đình đã hỗ trợ, động viên và chia sẻ những khó khăn với tácgiả trong suốt thời gian học tập vừa qua

Do thời gian và trình độ còn hạn chế, chắc chắn bản luận văn không thểtránh khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo tận tình củacác thầy cô và bạn bè đồng nghiệp, tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, 15.11.2012Học viên

Đỗ Thị Thuý Ngọc

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU

Nhiều vấn đề thực tế trong vật lí, kĩ thuật, sinh học, y học, kinh tế cóthể được mô hình hóa bằng một bài toán giá trị ban đầu, hoặc còn được gọi làbài toán Cauchy, cho các PTVPT có dạng

mô hình như thế được cho bởi PTVPCC

y0(t) = f (t, yt), t ≥ t0,

trong đó yt = y(t + θ), θ ∈ [−r, 0], là một hàm thuộc vào không gian Banach C =

C0([−r, 0],Rd) các hàm số liên tục ánh xạ khoảng [−r, 0] vào Rd , và f : Ω →Rd

1.1 Một vài ví dụ so sánh phương trình vi phân có

chậm và phương trình vi phân thường

Trong tài liệu này, bài toán giá trị ban đầu (1.2) sẽ được mô tả theo mộtcách thức thân thiện hơn như sau



y0(t) = f (t, y(t − τ1), y(t − τn)), t ≥ t0,

Tùy theo độ phức tạp của hiện tượng, các chậm τi luôn luôn là không âm,

có thể chỉ là các hằng số (trường hợp chậm hằng số), hoặc các hàm số của

t, τ i = τ i (t) (trường hợp chậm biến thiên hoặc phụ thuộc thời gian) hoặc thậmchí là các hàm số của t và chính y, τi = τi(t, y(t)) (trường hợp chậm phụ thuộctrạng thái) Luận văn này sẽ tập trung sự nghiên cứu vào hai trường hợp: chậmphụ thuộc hằng số và chậm phụ thuộc thời gian Để đơn giản hóa về mặt kíhiệu, hàm φ(t) được hiểu là được định nghĩa trong [ρ, t0], trong đó

Ví dụ 1.1.1 Xét phương trình



y0(t) = −y(t − 1), t ≥ 0,

Nghiệm của phương trình được miêu tả trong Hình 1.1 Vì y0(0−) = 0 và

y0(0+) = −y(−1) = −1, hàm đạo hàm y0(t) có một điểm gián đoạn tại t = 0 Đạohàm cấp hai y00(t) được cho bởi

φ0(t−0) = f (t0, φ(t0), φ(t0− τ ), φ0(t0− τ ))

được thỏa mãn, còn không thì nghiệm của (1.6) phải được hiểu theo nghĩa tổngquát “hầu khắp nơi”

Ví dụ 1.1.3 Xét phương trình logistic có chậm sau

y0(t) = ay(t)(1 − y(t − 1)), (1.8)phương trình này mô hình hóa sự thay đổi của dân số, là cải tiến của mô hìnhVerhulst-Pearl y0(t) = ay(t)(1 − y(t))

Trong khi các nghiệm của phương trình Verhulst-Pearl là đơn điệu, cácnghiệm dương của (1.8) là đơn điệu với a ∈ (0, 1/e), dao động với a ∈ [1/e, π/2)

và xấp xỉ với các quỹ đạo tuần hoàn với a > π/2 (Hình 1.3 và 1.4) (Xem [6])Cuối cùng, ta thấy rằng sự có mặt của thành phần chậm có thể thay đổimạnh mẽ tính chất định tính của nghiệm bằng cách tác động đến sự ổn địnhcủa mô hình

Hình 1.3: Nghiệm của (1.8) với y(t) = 0.1 khi t ≤ 0, a = 1.4 và 0.3.

Hình 1.4: Nghiệm của (1.8) với a = 1.7 trong mặt phẳng pha.

Ví dụ 1.1.4 Xét phương trình vô hướng tuyến tính

Nghiệm của phương trình này tiệm cận tới 0 với mọi λ âm và bùng nổ với

λ dương bất kì Hơn nữa trong trường hợp λ âm, nghiệm còn bị chặn bởi giá

trị khởi tạo 1 Mặt khác, với µ 6= 0, thành phần chậm µy(t − 1) trong (1.9) tácđộng như một thành phần cưỡng bức và các tính chất đã nêu của nghiệm có thểkhông còn được thoả mãn Đặc biệt, với mọiµ > 0, tồn tại λ < 0sao cho nghiệmkhông tiệm cận tới 0 và tồn tại giá trị λ < 0 khác sao cho nghiệm tiệm cận tới

0 nhưng không bị chặn bởi giá trị khởi tạo y(0) = 1 Các tình huống này đượcminh họa trong Hình 1.5 với µ = 4, λ = −3.5 và λ = −5 Cũng vậy, với λ = 0.5 và

µ = −1, thành phần chậm −y(t − 1) tác động như là một thành phần ổn địnhhoá (stabilizer) của mô hình có nghiệm ổn định bất chấp tính dương củaλ (xemHình 1.6)

Hình 1.5: Nghiệm ổn định và không ổn định của (1.9) với λ < 0.

Hình 1.6: Nghiệm ổn định của (1.9) với λ > 0.

Ví dụ 1.1.5 PTVPCC trung tính sau là một ví dụ cho thấy chậm với giá trịnhỏ có thể tạo ra một ảnh hưởng rộng lớn

y0(t) = −1.5y0(t − τ ) + λy(t), λ < 0, (1.11)

Nghiệm của phương trình này ổn định tiệm cận với τ = 0 và không ổn địnhvới mọi τ > 0 Trong trường hợp này thành phần chậm tác động như là mộtthành phần làm mất ổn định (destabilizer).

1.2 Phương pháp số giải phương trình vi phân thường

Để có cơ sở theo dõi được điểm khác biệt giữa các phương pháp số giảiPTVPT và PTVPCC, trong phần này ta sẽ nhắc lại các khái niệm cơ bản liênquan đến PTVPT, một số phương pháp số tiêu biểu giải PTVPT cũng như tínhchất của các phương pháp đó (Xem [3])

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Xét bài toán giá trị đầu cho PTVPT tổng quát



y0= f (t, y), 0 ≤ t ≤ b,

trong đó b > 0, c ∈Rn cho trước, f ∈ C([0, b] ×Rn →Rn )

Định nghĩa 1.2.1 Nghiệm y(t) được gọi là ổn định nếu với mọi ε > 0 chotrước, tồn tại một δ > 0 sao cho với mọi nghiệm y(t) ˆ khác y(t) và thoả mãn

|y(0) − ˆ y(0)| ≤ δ

ta cũng có

|y(t) − ˆ y(t)| ≤ ε, ∀t ≥ 0.

Định nghĩa 1.2.2 Nếu có thêm điều kiện

|y(t) − ˆ y(t)| → 0 khi t → ∞

thì y(t) được gọi là ổn định tiệm cận

Chọn lưới điểm ∆ = {t0 = 0, t1, , tN = b} và đặt hn = tn − tn−1 với n =

1, , N Ta xét một phương pháp số đơn giản giải (1.12), đó là phương phápEuler hiển, có dạng

y n = y n−1 + h n f (t n−1 , y n−1 ).

Ta viết lại công thức trên thành

yn− yn−1

hn − f (t n−1 , y n−1 ) = 0.

Cho u là một hàm bất kì định nghĩa trên lưới điểm ∆ Xét toán tử sai phân

Nhu(t n ) ≡ u(tn) − u(tn−1)

hn − f (t n−1 , u(t n−1 ))

với n = 1, , N Toán tử sai phân này thay đổi tùy theo phương pháp Xét yh

là một hàm lưới nhận giá trị yn tại mỗi điểm tn, n = 0, 1, , N Khi đó phươngpháp số cho bởi phương trình toán tử

Định nghĩa 1.2.5 Phương pháp số được gọi là hội tụ cấp pnếu sai số toàn cục

e n, trong đó e n = y n − y(t n ), e 0 = 0 thoả mãn

e n = O(hp)

với n = 1, 2, , N

Định nghĩa 1.2.6 Phương pháp số được gọi là ổn định – 0 nếu có các hằng số

h0 và K sao cho với các hàm lưới xh và zh bất kì với h ≤ h0 ta luôn có

Định nghĩa 1.2.7 Điều kiện sau được gọi là điều kiện ổn định tuyệt đối

|yn| ≤ |yn−1| , n = 1, 2, , N.

Định nghĩa 1.2.8 Miền ổn định tuyệt đối của một phương pháp số là miềntrong mặt phẳng phức z sao cho khi áp dụng phương pháp cho phương trình thử,với z = λh nằm trong miền này, ta được một nghiệm xấp xỉ thoả mãn điều kiện

(a) Phương pháp Euler hiển yn = yn−1+ hnf (tn−1, yn−1).

Người ta chứng minh được rằng phương pháp Euler hiển chính xác cấp 1, ổnđịnh – 0 và do đó hội tụ cấp 1 Tuy nhiên phương pháp Euler hiển không ổnđịnh – A

(b) Phương pháp Euler ẩn y n = y n−1 + h n f (t n , y n ).

Cũng như phương pháp Euler hiển, người ta chứng minh được rằng phươngpháp Euler ẩn chính xác cấp 1, ổn định – 0 và do đó hội tụ cấp 1 Tuy nhiên,không giống phương pháp Euler hiển, phương pháp Euler ẩn là ổn định – A

(c) Phương pháp trung điểm yn = yn−1+ hnf (tn−1/2,yn +y n−1

Nói chung, một phương pháp R – K s - nấc giải PTVPT y0 = f (t, y) có thểđược viết dưới dạng

1 (c) Phương pháp trung điểm

1/2 1/2

1 (d) Phương pháp hình thang

1 1/2 1/2 1/2 1/2

Ngoài các phương pháp một bước, người ta còn xây dựng các phương pháp

đa bước để giải bài toán giá trị ban đầu cho các PTVPT Một phương pháp k bước tuyến tính tổng quát có dạng

Nếu β0 = 0, ta có một công thức đa bước hiển Ngược lại, ta có một côngthức đa bước ẩn.

Hai họ phương pháp đa bước phổ biến nhất là các phương pháp Adams vàcác phương pháp BDF

Các phương pháp Adams hiển, còn được gọi là các phương pháp Bashforth, là phổ biến nhất trong các phương pháp đa bước hiển và có dạngnhư sau

1.3 Nghiệm số của phương trình vi phân có chậm:

Phương pháp cho phương trình vi phân thường liệu có đủ hay không?

Để minh hoạ một vài đặc trưng cơ bản của các phương pháp số giải PTVPCC

và sự khác nhau của chúng so với các phương pháp số giải PTVPT, ta xem xétPTVPCC hằng số sau



y0(t) = f (t, y(t), y(t − 1)), t ≥ 0,

Hướng tiếp cận việc giải số (1.13) một cách tự nhiên nhất, nhưng không phải

là duy nhất, là sử dụng các bước tích phân nhỏ hơn hoặc bằng chậm τ = 1 vàtích phân từng bước các PTVPT đạt được từ (1.13) bằng cách thay thành phầnchậm y(t − 1) bằng một hàm η(t − 1) cho trước, tuỳ theo giá trị của t mà bằnghàm khởi tạoφ(t−1)hoặc bằng một mở rộng liên tục của nghiệm tìm được trước

đó bởi chính phương pháp đang sử dụng Do đó, tại bước thứ (n + 1), phươngtrình được giải sẽ là

Công thức tích phân cho ta giá trị yn+1 và nghiệm xấp xỉ η của (1.13) liêntục trong [tn, tn+1] sao cho η(tn+1) = yn+1

Một tính chất riêng của hướng tiếp cận này là trong khi phương pháp số giảiPTVPT chỉ cung cấp các giá trị xấp xỉ của nghiệm tại các điểm nút thì việc càiđặt phương pháp số giải (1.14) có thể yêu cầu các hiểu biết về nghiệm xấp xỉη(t)

tại một vài điểm t − 1 có thể khác các điểm nút Do đó, nói chung, các phươngpháp số giải PTVPCC sẽ dựa trên cơ sở các mở rộng liên tục của các phươngpháp số giải PTVPT Điều này có thể thực hiện bằng một phép nội suy hậunghiệm (a posteriori interpolation) của các giá trị yn được cung cấp bởi phươngpháp PTVPT rời rạc cơ sở hoặc, tốt hơn, bằng phương pháp số giải PTVP vớiđầu ra liên tục, đó là các phương pháp cung cấp từng bước một xấp xỉ liên tụccủa nghiệm (xem Hình 1.7) Như chúng ta sẽ thấy, sự thành công của phươngpháp số giải PTVP thường với đầu ra liên tục đạt được về mặt sự chính xác và

Hình 1.7: Nghiệm xấp xỉ của (1.13) đạt được bằng phương pháp số giải PTVP với đầu

1.3.1 Sự thất bại về cấp chính xác của phương pháp

Để minh hoạ cho khả năng có thể mất tính chính xác, xét lớp các phươngtrình tuyến tính hệ số hằng số sau



y0(t) = ay(t) −π2eay(t − 1), t ≥ 0, y(t) = φ(t) = eatsin(π2t), t ≤ 0, (1.15)Nghiệm của phương trình, y(t) = eatsin(π2t), thuộc lớp C∞ trong [−1, +∞).Theo (1.14), với n = 0, 1, , ta sẽ giải PTVPT sau

Một lớp phương pháp tốt để tích phân (1.16) được cho bởi phương pháptrùng khớp tạiν điểm Gauss, có thể được xem là các phương pháp Runge-Kutta

ν-nấc cấp 2ν Vì chúng là các phương pháp trùng khớp dựa trên sự xấp xỉ đathức từng khúc bậc ν, nên chúng cũng cung cấp một mở rộng liên tục η(t) cócấp chính xác đều ν + 1 Do đó, phương pháp trùng khớp Gauss xuất hiện như

là một lớp các phương pháp liên tục hấp dẫn để tích phân các PTVPCC giốngnhư (1.15)

Với ν = 1, phương pháp đã được biết đến như là phương pháp trung điểm,

và với phương trình tổng quát (1.14) nó có dạng

Để kiểm tra cấp chính xác rời rạc p của các phương pháp số giải PTVP vớiđầu ra liên tục thu được, xét nghiệm của (1.15) trong đoạn [0, 10] và nhớ rằng

nghiệm thuộc lớp C∞ Do đó không có điểm gián đoạn nào ảnh hưởng được đếncấp chính xác của phương pháp Ta kí hiệu eh là sai số tuyệt đối lớn nhất tạicác điểm nút với cỡ bước tích phân h = 1/(m − δ) Bằng cách chia đôi cỡ bước,giá trị tiệm cận của tỉ số rh = eh/e h

2

được kì vọng bằng 2p

Hình 1.8: Đồ thị logarit của các tỉ số rh, h = 1/(m − δ), m − δ = 2 i ∗ k, như là một hàm

số của i, cho các nghiệm số của phương trình (1.15) với a = 1 đạt được bằng phương pháp trùng khớp tại ν = 1 và ν = 2 các điểm Gauss Các giá trị của m − δ được xác định bởi k = 1 (đường nét liền) và k = 5/3 (đường nét đứt).

Với các giá trị nguyên (δ = 0) và không nguyên (δ > 0) của m − δ, tương ứngvới h là hoặc không là “ước” của chậm τ = 1, công thức trung điểm duy trì đượccấp chính xác rời rạc được kì vọng là 2 Ngược lại, công thức trùng khớp Gauss2-nấc có cấp chính xác rời rạc là 4 hoặc 3 tuỳ theo m − δ là nguyên hay khôngnguyên, trong khi cấp chính xác đều là bằng 3

Phương trình này có nghiệm, được vẽ trên Hình 1.9 với một số giá trị của λ,

là ổn định tiệm cận với mọi λ < 0

Công thức trung điểm (1.17), được mở rộng bởi phép nội suy tuyến tính, ápdụng cho phương trình (1.20) có dạng

y n+1 = 1 +

1

2 hλ
yn− 45hλ

1 − 12hλ

Hình 1.9: Nghiệm của (1.20) với λ < 0.

cỡ bước tích phân h > 0 bất kì Vì nghiệm của (1.20) ổn định tiệm cận với mọi

λ < 0, ta kì vọng tính chất đó cũng đúng cho nghiệm số đạt được bằng phươngpháp trung điểm mà không phụ thuộc vào cỡ bướch Tuy nhiên, trong khi (1.21)cho ta các nghiệm số ổn định của (1.20) khi m − δ là số nguyên (δ = 0), thì cácgiá trị không nguyên củam − δ có thể tạo ra các nghiệm số không ổn định Hình1.10 thể hiện các nghiệm số của (1.20) vớiλ = −50, đạt được bằng cách áp dụng(1.21) với m − δ = 10 và m − δ = 12,5 Mặc dù trong trường hợp sau ta sử dụngmột cỡ bước tích phân nhỏ hơn nhưng nghiệm đạt được lại không ổn định.Bây giờ ta xét một phương pháp ổn định – A rất phổ biến khác, gọi là phương

Hình 1.10: Nghiệm số của phương trình(1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương pháp trung điểm với h = 1/(m − δ), m − δ nguyên hoặc không nguyên.

pháp hình thang, áp dụng cho phương trình tổng quát (1.14), như sau

yn+1 = yn+ h

2 (f (tn, yn, x (tn− 1)) + f (tn+1, yn+1, x (tn+1− 1))) (1.22)

Áp dụng (1.22) cho (1.20) với cỡ bước hằng số h = 1/ (m − δ) , m ∈ Z, m ≥

2, 0 ≤ δ < 1 và nội suy tuyến tính giữa các điểm nút cho ta

yn+1 = (1+

1

2 hλ ) y n − 4

5 hλ 1−12hλ với n ≤ m − 2,

yn+1 = (1+

1

2 hλ ) y n − 1

2 h45λ(2−δ+δy 1 ) 1− 1

2 hλ với n = m − 1,và

Mặc dù phương pháp hình thang thể hiện tính ổn định tốt hơn phương pháptrung điểm khi áp dụng cho các PTVPCC tuyến tính hệ số hằng số, chúng cóthể là không đủ khi áp dụng cho lớp rộng hơn các PTVPCC tuyến tính hệ sốbiến thiên, thậm chí với các giá trị m − δ nguyên Để minh hoạ cho sự khácnhau này giữa các phương pháp khi áp dụng cho các PTVPT và PTVPCC, xétphương trình



y0(t) = λ(t)y(t) −45λ(t)y(t − 1), t ≥ 0,

Hình 1.11: Nghiệm số của phương trình (1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương pháp hình thang với m − δ = 12.5.

trong đó λ(t) = −50 sin2 2π3 t − 14

, có nghiệm được vẽ trong Hình 1.12 (bêntrái), là ổn định tiệm cận

Hình 1.12: Nghiệm của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó.

Với phương trình tuyến tính hệ số biến thiêny0(t) = λ(t)y(t), y(0) = y0,ta biếtrằng nghiệm tiến đến 0 với mọi hàm thực λ(t) ≤ 0 sao cho

1.12 (bên phải) Nghiệm số, với cỡ bước tích phân h = 0.5, được vẽ trong Hình1.13 (bên phải).

Cũng cần thiết phải chỉ ra rằng, hai ví dụ cuối cùng được thiết kế để pháhỏng tính chất ổn định đại số của các phương pháp PTVPT khi áp dụng choPTVPCC Một sự thay đổi nhỏ trên hệ số λ(t) trong (1.24) hoặc trên cỡ bướctích phân có thể làm cho các mô hình khi áp dụng phương pháp trung điểm

và phương pháp hình thang trở thành ổn định Các kết quả số đạt được bằngphương pháp trung điểm và phương pháp hình thang cho hai ví dụ cuối cùngvới cỡ bước h = 0.505, tương ứng với m − δ = 1.98, được vẽ trên Hình 1.14 màtrong đó, sau một vài dao động giả, chúng trở nên ổn định tiệm cận

Hình 1.13: Nghiệm số của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó đạt được bằng phương pháp trung điểm (bên trái) và phương pháp hình thang (bên phải) với m−δ = 2.

Hình 1.14: Nghiệm số của phương trình (1.24) với λ(t) ≤ 0 nào đó đạt được bằng phương pháp trung điểm (bên trái) và phương pháp hình thang (bên phải) với m − δ = 1.98.

1.3.3 Một phương pháp tốt cho các PTVPCC

Để đạt được một xấp xỉ cấp hai cho một lớp các bài toán ổn định bao gồm

cả (1.24) là một bài toán ổn định với mọi cỡ bước, ta có thể lựa chọn phươngpháp Lobatto IIIC hai nấc với nội suy tuyến tính giữa các điểm nút Ta có bảngButcher của phương pháp này

0 1/2 −1/2

1 1/2 1/2 1/2 1/2

Áp dụng phương pháp cho (1.24) với cỡ bước tích phân hằng sốh = 1/ (m − δ) , m ∈

η(tn− 1) = tnη(t n+1 − 1) = 1 − δ + δy 1

với n = m − 1,

η(t n − 1) = (1 − δ)y n−m + δy n−m+1

η(tn+1− 1) = (1 − δ)yn−m+1+ δyn−m+2

với n ≥ m.

Hình 1.15: Nghiệm số của phương trình (1.24) đạt được bằng phương pháp Lobatto IIIC hai nấc với λ(t) = −50 sin2 2π3 t − 14

và m − δ = 2.

Hình 1.16: Nghiệm số của phương trình (1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương pháp Lobatto IIIC hai nấc với m − δ = 12.5.

Vớiλ(t) = −50 sin2 2π3 t − 14

, nó cho ta các nghiệm ổn định với mọi cỡ bước.Đặc biệt, với h = 0.5, trong khi phương pháp trung điểm thất bại thì nghiệmcủa nó vẫn ổn định (xem Hình 1.15)

Tính ưu việt của phương pháp Lobatto IIIC so với phương pháp hình thangđược minh hoạ trong Hình 1.16, trong đó nghiệm của phương trình (1.20) với

λ = −50 được vẽ với cùng cỡ bước như trong Hình 1.11 Những dao động giả

ở gần các góc như trong trường hợp áp dụng phương pháp hình thang đã biếnmất

Trên cơ sở xem xét các ví dụ trong phần này, các ví dụ được thiết kế để chỉ

ra sự thất bại về tính chính xác và tính ổn định của các phương pháp khi ápdụng cho lớp các phương trình tuyến tính vô hướng đơn giản nhất với chậmhằng số, chúng ta thấy rằng việc giải số các PTVPCC không thể chỉ dựa vàoviệc sửa lại một mã PTVPT tiêu chuẩn nào đó cho phù hợp với sự có mặt củacác thành phần có chậm Việc giải số các PTVPCC thực sự yêu cầu việc sửdụng các phương pháp được thiết kế một cách đặc biệt, tuỳ thuộc vào bản chấtcủa phương trình cũng như tính chất của nghiệm

CHƯƠNG 2

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH

Hơn nữa, để cho trọn vẹn, ta sẽ trình bày một vài kết quả về sự tồn tại vàtính duy nhất nghiệm của các bài toán giá trị đầu đã nêu trên

2.1 Vị trí của các điểm gián đoạn và sự trơn dần của

nghiệm

Ta đã chỉ ra trong chương 1 rằng sự xuất hiện của thành phần chậm trong y

hoặc y0 có thể gây ra sự xuất hiện của các điểm gián đoạn trong y0 hoặc trongcác đạo hàm cấp cao hơn của y tại các điểm kế tiếp Mặt khác, ta biết rằng mọiphương pháp số từng bước giải bài toán giá trị ban đầu đều đạt được cấp chính

xác của chính nó với giả thiết nghiệm trơn một cách phù hợp tại mỗi khoảngtích phân [tn, tn+1] Chính xác hơn, với một phương pháp cấp p, ta thường yêucầu nghiệm ít nhất là Cp+1-liên tục trên [t n , t n+1 ] Do đó, vì sự thành công củaphương pháp, cần thiết phải gộp tất cả các điểm gián đoạn của y(s) vào lướiđiểm, ít nhất là với s = 0, 1, , p + 1 Phần này sẽ phân tích xem các điểmgián đoạn lan truyền theo khoảng tích phân t0, tf như thế nào và độ trơn củanghiệm tăng lên như thế nào tại một điểm gián đoạn bất kì so với "tổ tiên" của

nó, tức là điểm gián đoạn từ đó nó được hình thành

Số lượng và vị trí của các điểm gián đoạn phụ thuộc chủ yếu vào tính chấtcủa cái được gọi là đối số chậm được xem như những hàm của t



y0(t) = f (t, y(t), y(qt), y0(pt)), t ≥ 0,

trong đó 0 < q < 1 và 0 < p < 1

2.1.1 Các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp

Xét trường hợp vô hướng của phương trình (2.1) (tức là khi d = 1) và giảthiết rằng với đối số chậm α(t) = t − τ thì α(t) < t0 tại một vài điểm t ∈ [t0, tf].Hơn thế nữa, giả thiết rằng nghiệm y(t) không liên kết trơn với hàm khởi tạo

φ(t) tại t 0, tức là φ0(t−0) 6= y0(t+0) = f (t 0 , φ(t 0 ), φ(α(t 0 ))) Nếu các hàm f, φ và α làliên tục, hiển nhiên là y0(t) cũng liên tục với mọi t > t0 Mặt khác, nếu f, φ và

α là khả vi thì y00(t) tồn tại với mọi t ngoại trừ các điểm ξ1,i(> t0) sao cho

α (ξ1,i) = t0

Vì α0(ξ1,i) 6= 0 và φ0(t−0) được giả thiết là khác y0(t+0), y00 không tồn tại tại ξ1,i

và mở rộng của nó bởi y00(ξ1,i) = y00(ξ1,i+) có một điểm gián đoạn

Những điểm gián đoạn này trong y00 được gọi là những điểm gián đoạn gốcmức 1 Bằng việc vi phân (2.4), ta dễ dàng kiểm tra được rằng mỗi điểm giánđoạn thứ cấp mức 1 ξ1,i sẽ tạo ra các điểm gián đoạn gốc mức 2 trong y000 tạiđiểm ξ2,j(> ξ1,i) bất kì là một nghiệm đơn của phương trình

α (t) = ξ1,i với i nào đó

Nói chung, điểm gián đoạn gốc mức k ξk,i bất kì tạo ra các điểm gián đoạngốc mức (k + 1) trong y(k+2) tại các điểm ξk+1,j kế tiếp, ở đó nghiệm của (2.1)trở nên trơn hơn khi mức của các điểm gián đoạn gốc tăng lên Tính chính quicủay(t) tăng lên sẽ được gọi là sự trơn dần lên của nghiệm Ngược lại, cùng mộtlập luận khi áp dụng cho (2.2) sẽ cho thấy rằng với PTVPCC dạng trung tính,

sự trơn dần lên của nghiệm không xuất hiện và nói chung, nghiệm vẫn chỉ là

C0-liên tục tại mọi điểm gián đoạn gốc

Trong trường hợp đặc biệt khi điểm gián đoạn là một nghiệm với bội lẻz ≥ 3

của phương trình

với i, j nào đó, sự trơn dần lên của nghiệm tăng nhanh hơn khi z = 1 và cũng cóthể áp dụng cho các phương trình trung tính Thực vậy, bằng (2.5) và (2.6), rõràng với α0(ξ1,i) = 0, nghiệm y ít nhất là thuộc lớp C2 tại ξ1,i Hiện tượng này,được gọi là "sự trơn dần tổng quát” và được xác định trong định lý dưới đây.Định lý 2.1.1 (Cho PTVPCC) Nếu ξ j,i là một điểm gián đoạn gốc ở đó hàm

y(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp ω − 1, thì y(t) là khả vi liên tục tại điểmlan truyền ξj+1,k ít nhất là cho đến cấp z.ω, với giả thiết ξj+1,k là một nghiệmcủa (2.7) có bội lẻ z

Ta cũng đã thấy rằng, nói chung, với các PTVPCC dạng trung hoà, sự trơndần lên của nghiệm không xảy ra Chính xác hơn, nghiệmy(t) bảo toàn, tại mọiđiểm lan truyền, cùng một tính chính qui như các điểm tổ tiên của nó và do đónhư tại điểm khởi tạo t0 Tuy nhiên, người ta đã thấy rằng, với τ = σ, sự trơndần lên tổng quát, có thể thực sự xảy ra, theo định lý sau, với giả thiết rằngđiều kiện nối

φ(t0)− = y0(t0)+= f (t0, φ(t0), φ(α(t0)), φ0(α(t0)))

được thoả mãn

Định lý 2.1.2 (Cho PTVPCC trung tính) Nếu ξj,i là một điểm gián đoạn gốc

mà ở đó hàm y(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp ω − 1, thì y(t) là khả vi liêntục tại điểm lan truyềnξj+1,k ít nhất là đến cấp z.(ω − 1), với giả thiết rằng ξj+1,k

là một nghiệm của (2.7) có bội lẻ z

Các điểm gián đoạn khác có thể xuất hiện nếu các hàm f, τ và φ trong (2.1)

và (2.2) có một vài điểm gián đoạn theot trong một vài đạo hàm của chúng Cácđiểm gián đoạn như thế cũng được lan truyền bởi đối số chậm α(t) và β(t) theonguyên tắc lan truyền điểm gián đoạn gốc và được gọi là các điểm gián đoạnthứ cấp Cũng giống như với các điểm gián đoạn gốc, để bảo toàn cấp chính xáccủa một phương pháp số, chúng cần phải được gộp vào trong lưới

Từ nay trở đi, các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp thường được gọi chung làcác điểm gián đoạn Tuy nhiên, để cho đơn giản, ta giả sử rằng tất cả các hàmtrong (2.1) và (2.2) là C∞-liên tục Do đó, bên trong mỗi khoảng giữa hai điểmgián đoạn gốc liên tiếp, nghiệm y(t) cũng là C∞-liên tục, và không có điểm giánđoạn thứ cấp nào là có mặt

Định nghĩa 2.1.1 Một điểm gián đoạn ξ được gọi là điểm gián đoạn cấp k nếu

y(s)(ξ) tồn tại với s = 0, , k và y(k) là liên tục Lipschitz tại ξ

Tất nhiên, với các PTVPCC, mọi điểm gián đoạn gốc mứcpđều có cấpk ≥ p

Vì cần thiết phải gộp các điểm gián đoạn cấp thấp vào trong lưới điểm, cầnphải phân tích xem chúng lan truyền như thế nào dọc theo khoảng tích phânbằng cách chỉ ra một vài tình huống đặc biệt

2.1.2 Chậm triệt tiêu và không triệt tiêu

Đầu tiên, ta sẽ nghiên cứu, với (2.1) và (2.2) khi τ = σ, xem các điểm giánđoạn gốc gần các điểm mà ở đó chậm τ (t) triệt tiêu được định vị như thế nào.Trong trường hợp này, được gọi là trường hợp chậm triệt tiêu, một điểm ξ > t0

được giả thiết tồn tại sao cho α(ξ) = ξ Nhờ có tính liên tục củaα(t), hiển nhiên

là, với mọi điểm gián đoạn mức k ξk,i < ξ sao cho α(ξk,i) < ξk,i, tồn tại một điểmgián đoạn mức k + 1, gọi là ξk+1,j, sao cho α(ξk+1,j) < ξk+1,j và ξk,i < ξk+1,j < ξ.Nói cách khác, có nhiều hữu hạn điểm gián đoạn trong một lân cận trái bất kìcủa ξ (xem Hình 2.1)

Hình 2.1: Sự tích tụ các điểm gián đoạn trong một lân cận trái của một điểm chậm triệt tiêu ξ.

Mặt khác, với PTVPCC, sự trơn dần lên của nghiệm luôn xảy ra, và do đótồn tại một lân cận trái của ξ bao gồm các điểm gián đoạn có cấp lớn bất kì,

ở đó nghiệm trơn đúng như được yêu cầu Đây không phải là trường hợp củaPTVPCC trung tính mà ở đó sự trơn dần lên của nghiệm không xảy ra.

Để tránh sự hội tụ của các điểm gián đoạn do các chậm triệt tiêu, giả thiếtsau sẽ thường xuyên được giả sử là được thỏa mãn

(H1) Tồn tại một hằng số τ0 > 0 sao cho τ = t − α(t) ≥ τ0 với mọi t ∈ [t0, tf].Hiển nhiên là, dưới giả thiết (H1), khoảng cách giữa một điểm gián đoạn và

tổ tiên của nó ít nhất là bằng τ0 Do đó, trong một khoảng bị chặn [t0, tf] bất

kì, số lượng các điểm gián đoạn là hữu hạn

2.1.3 Chậm bị chặn và không bị chặn

Ở đây ta sẽ nghiên cứu xem các điểm gián đoạn gốc lan truyền như thế nàotheo quy tắc tổng quát sau

với i nào đó, trong đó, với k > 0 và j bất kì, ξk,j là một điểm gián đoạn gốc mức

k và ξ0,1= t0 là điểm gián đoạn gốc mức 0 duy nhất Đặc biệt, khi khoảng tíchphân là không bị chặn, tức là tf = +∞, cần thiết phải phân biệt giữa các môhình với hàm chậm τ bị chặn hoặc không bị chặn Ta xét các giả thiết sau

(H2) lim

t→+∞ α(t) = +∞.

(H 3 ) Tồn tại một hằng số τ 1 > 0 sao cho τ = t − α(t) ≤ τ 1 với mọi t ∈ [t 0 , tf].Xét theo khía cạnh về sự lan truyền của các điểm gián đoạn, (H2) có nghĩarằng nghiệm là trơn vô hạn và, khi k tăng lên, các điểm gián đoạn ξk,i phải hội

tụ tới một điểm chậm triệt tiêu (xem Hình 2.1) hoặc phân kì tới +∞(xem Hình2.2) Trong cả hai trường hợp, điểm gián đoạn gốc mức k bất kì đạt được saumột t đủ lớn

Giả thiết về tính bị chặn (H3) hiển nhiên suy ra (H2) nhưng điều ngượclại thì không đúng Chẳng hạn, trong phương trình máy vẽ truyền y0(t) =

f (t, y(t), y(qt)), t ≥ 0 ta có

α(t) = qt, 0 < q < 1,

và

τ (t) = (1 − q)t,

cả hai đều không bị chặn

Đặc biệt, khi (H3) được thoả mãn, mô hình được gọi là có bộ nhớ mờ dần.Điều này có nghĩa là với mọi t, sau một khoảng thời gian trôi qua đủ dài nhưng

bị chặn đều, giá trị nghiệm y(t) sẽ không ảnh hưởng đến vế phải của (2.1) hoặc

(2.2) Nói cách khác, để tích phân PTVPCC, cần thiết phải lưu trữ một đoạnhữu hạn của phần lịch sử cuối cùng.

Ngược lại, với chậm không bị chặn τ (t), đối số chậm α(t) = t − τ (t) có thể

bị chặn hoặc không Khi cả τ (t) và α(t) không bị chặn, giống như với phươngtrình máy vẽ truyền, nghiệm y(t) thậm chí phụ thuộc vào một đoạn lớn tuỳ ýcủa phần lịch sử cái mà phải được lưu trữ lại để phục vụ cho việc giải số

Hình 2.2: Chuỗi phân kì các điểm gián đoạn.

Nếu đối số chậm bị chặn, giả sử α(t) ≤ M, thì có nhiều hữu hạn các điểmgián đoạn gốc có thể nằm bên phải của M nhưng không số nào trong các điểm

đó, nếu có, có thể tăng mức của nó lên trong [M, +∞)(xem Hình 2.3) Điều nàyngăn trở sự trơn dần lên của nghiệm ngoại trừ một lớp các hàm chính qui nhấtđịnh Hơn nữa, nghiệm y(t) phụ thuộc hoàn toàn vào phần lịch sử cho tới M.Trong nhiều ứng dụng, giả thiết sau được thoả mãn

(H4) Đối số chậm α(t) là một hàm tăng chặt với mọi t ∈ [t0, tf]

Đây là trường hợp, chẳng hạn, cho mọi mô hình có chậm hằng số τ Nóichung, nếu (H4) thoả mãn và α(t0) < t0, thì các điểm gián đoạn gốc tạo thànhmột chuỗi tăng ξ 1 < ξ 2 < < ξ j < , ở đó, với j bất kì, ξ j = ξ j,1 là điểm giánđoạn mức j duy nhất Tức là, khi thời gian trôi qua, nghiệm càng lúc càng trởnên trơn hơn Ngược lại, các đối số chậm dao động có thể gây ra sự đan xen củacác điểm gián đoạn có mức khác nhau như được chỉ ra trong Hình 2.4

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, cần thiết phải định vị các điểm gián đoạnchính được định nghĩa như sau

Hình 2.3: Các điểm gián đoạn có cùng mức được sinh ra bởi một đối số chậm bị chặn.

Hình 2.4: Sự đan xen các điểm gián đoạn có mức khác nhau.

Định nghĩa 2.1.2 Tập con chỉ số 1 các điểm gián đoạn gốc ξi được định nghĩaquy nạp như sau

ξ0= t 0; với i ≥ 0, ξi+1 là nghiệm nhỏ nhất có bội lẻ của phương trình α(t) = ξi,được gọi là tập các điểm gián đoạn chính

2.2 Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm

Cũng như đối với các PTVPT, các định lí về sự tồn tại và tính duy nhấtnghiệm của các phương trình giá trị đầu (2.1) và (2.2) cần thiết phải được dựatrên tính liên tục theo t và tính liên tục Lipschitz theo u, v và w của các hàm

(t0, t0+ ξ] Khi đó bài toán (2.9) có nghiệm duy nhất trong [t0, t0+ δ) với δ > 0

nào đó và nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ liệu khởi tạo

Có thể chỉ ra rằng, dưới những giả thiết giống nhau, nghiệm có thể liêntục cho đến khi một nghiệm cực đại được xác định trong khoảng [t0, b), với

t0 < b ≤ tf Điều này cho phép chúng ta chứng minh được định lí tồn tại toàncục sau

Định lý 2.2.2 (Sự tồn tại toàn cục) Nếu, dưới những giả thiết của Định lí2.2.1, nghiệm cực đại duy nhất của (2.9) là bị chặn, thì khi đó nó tồn tại trêntoàn bộ khoảng [t0, tf)

Hệ quả 2.2.1 Bên cạnh các giả thiết của Định lí 2.2.1, giả thiết rằng hàm

f (t, u, v) thoả mãn điều kiện

kf (t, u, v)k ≤ M (t) + N (t)(kuk + kvk)

trong [t0, tf) ×Rd×Rd, trong đó M (t) và N (t) là các hàm dương liên tục trên

[t0, tf) Khi đó nghiệm của (2.9) tồn tại và là duy nhất trên toàn bộ khoảng

mọi thứ sẽ hơi khác một chút và các điều kiện bổ sung phải được đặt trên hàm

f (t, u, v, w) Chẳng hạn, ta thấy rằng nếu τ (t0) = σ(t0) = 0, thì phương trình(2.10) cho tay0(t 0 ) = f (t 0 , y(t 0 ), y(t 0 ), y0(t 0 )) Do đó, nếu với giá trị khởi tạo y(t 0 )

phương trình

z = f (t0, y(t0), y(t0), z) (2.11)không có nghiệmz, thì phương trình (2.10) không có nghiệm qua điểm(t0, y(t0)).Định lí sau, thoả mãn cho trường hợp chậm triệt tiêu (xem [8])

Định lý 2.2.3 (Sự tồn tại địa phương) Xét phương trình PTVPCC trung tính

( y0(t) = f (t, y(t), y(t − τ (t)), y0(t − τ (t))), t ≥ t 0 , y(t0) = y0,

L(1 − µξ) < 1,

thì một nghiệm khả vi liên tục duy nhất của (2.12) tồn tại trong [t0, t0+ δ) với

δ > 0 nào đó

CHƯƠNG 3

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHO PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN CÓ CHẬM

Ta đã thấy trong chương 1 rằng bài toán giá trị ban đầu cho các PTVPCC

có thể được viết như sau



y0(t) = f (t, yt), t ≥ t0,

yt0 = y(t0+ θ) = Φ(θ), (3.1)trong không gian BanachC = C0([−r, 0], Rd)các hàm số liên tụcyt= y(t+θ), θ ∈ [−r, 0], ánh xạ khoảng [−r, 0] vào Rd Đặc trưng của các phương trình như vậy

là, với mọi t, đạo hàm y0(t) phụ thuộc vào hàm trạng thái y t, hơn là phụ thuộcvào giá trị trạng thái y(t) như đã xảy ra với các PTVPT Điều này tạo nên sựkhác nhau giữa hai lớp phương trình và tạo ra nhiều sự phức tạp trong nghiệmcủa chúng xét từ cả hai quan điểm lí thuyết và giải số Đặc biệt, đối với việc giải

số (3.1), thậm chí dù phương trình đã được thoả mãn với một nghiệm rời rạc

y(tn), n = 1, 2, , việc tính toán phụ thuộc vào các hàm trạng thái y(tn+ θ) vớimọi hoặc một vài giá trị củaθ, đôi khi không xác định được hoặc thường khôngthể dự đoán được Đây là khó khăn chính khi giải số các phương trình vi phân

có chậm

Một vài hướng tiếp cận, hơi khác nhau một chút, đã được áp dụng cho việcgiải số (3.1) Một vài trong số đó dựa trên một phép biến đổi bài toán gốc thànhmột bài toán khác tương đương nhưng đơn giản hơn theo một nghĩa nào đó,chẳng hạn như là một phương trình tích phân Volterra hoặc một hệ các PTVPT

có các phương pháp hiệu quả để giải, hoặc các phương trình đạo hàm riêng(PDE) với các điều kiện biên/điều kiện đầu đặc biệt Các hướng tiếp cận khácbắt đầu trực tiếp từ bài toán có dạng sau



y0(t) = f (t, y(t), y(t − τ (t, y(t)))), t0 ≤ t ≤ tf, y(t) = φ(t), t ≤ t0,

3.1 Hướng tiếp cận đầu tiên

Hướng tiếp cận đầu tiên đến phương pháp số giải PTVPCC trong trường hợpđơn giản hơn khi chậm không phụ thuộc trạng thái, được biết đến từ những năm

1950, đặc trưng bởi việc áp dụng trực tiếp các công thức đã biết cho PTVPT,

cơ bản là các phương pháp đa bước tuyến tính cho phương trình

yn+1 = yn+ hn+1f (tn, yn, yq),

trong khi cho phương trình



y0(t) = f (t, y(t), y(t − τ (t)), y0(t − τ (t))), t0 ≤ t ≤ tf, y(t) = φ(t), t ≤ t 0 ,

nó là

yn+1= yn + hn+1f (tn, yn, yq, y0q),

y0n = f (tn, yn, yq, y0q),

với số nguyên q < n nào đó

Hướng tiếp cận này đã áp đặt một sự ràng buộc chặt chẽ lên lưới điểm mà,trong một vài trường hợp, làm cho phương pháp không thể thực hiện được Thậtvậy, đối với bài toán



y0(t) = y(t/2), 0 ≤ t ≤ 1,

với t bất kì thuộc ∆, t/2 có thể thuộc vào lưới∆ và do đó, một cỡ bước ban đầu

là không tồn tại Hơn nữa, vì các điểm lưới phải thỏa mãn tn+1 = 2tn với n ≥ 1,

ta có h n+1 = t n Do đó, cỡ bước cuối cùng luôn luôn bằng 12 và sự hội tụ thậmchí không thể được suy xét đến

Bất luận thế nào, ngoại trừ trường hợp chậm triệt tiêu, một lưới ∆ luôn cóthể được xây dựng trên khoảng bị chặn [t0, tf] bất kì với cỡ bước nhỏ tùy ý.Chiến lược tốt nhất để làm việc này là bắt đầu từ điểm t0, định vị mọi điểmgián đoạn nằm trong khoảng tích phân [t0, tf] và đặt chúng vào ∆ Sau đó lấpđầy∆ bắt đầu từ điểm cuối tf và xử lí ngược lại với cỡ bước cực đại được mongmuốn Mọi điểm lưới mới tn dẫn tới một điểm đứng trước tn − τ (tn), có thể là

> t 0, cũng được gộp trong lưới ∆ Do đó, với cỡ bước cực đại hbất kì, ta có mộtlưới ∆ với các phần tử nhiều hữu hạn thích hợp cho sự hội tụ

Hình 3.1: Sự hội tụ không mong muốn các điểm lưới gần ζ.

Hướng tiếp cận này không phải lúc nào cũng tốt đẹp vì với một số đối sốchậm α(t) = t − τ (t), lưới điểm phân bố trong [t0, tf] có thể là khá không đều và

dư thừa cục bộ Xét trường hợp một đối số chậm bị chặn có tiệm cận ngang ζ,chẳng hạn như trong Hình 3.1,tf càng lớn thì ∆càng trù mật về bên trái của ζ.Hướng tiếp cận khác, với mục đích để tránh sự phức tạp do sự gián đoạncủa nghiệm, đã được áp dụng bằng cách đưa ra một biến mới x(t) = y(t) − D(t),trong đó D(t) là một hàm đa thức từng khúc sao cho x(t) đủ trơn Khi đó bài