Để đạt được một xấp xỉ cấp hai cho một lớp các bài toán ổn định bao gồm cả (1.24) là một bài toán ổn định với mọi cỡ bước, ta có thể lựa chọn phương pháp Lobatto IIIC hai nấc với nội suy tuyến tính giữa các điểm nút. Ta có bảng Butcher của phương pháp này
0 1/2 −1/2 1 1/2 1/2
1/2 1/2
Áp dụng phương pháp cho (1.24) với cỡ bước tích phân hằng sốh= 1/(m−δ), m ∈
Z, m≥2, 0≤δ <1, ta được Y1n =yn+ 12h λ(tn)Y1n−λ(tn+1)Y2n− 54λ(tn)η(tn−1) + 45λ(tn+1)η(tn+1−1), Y2n =yn+ 12h λ(tn)Y1n+λ(tn+1)Y2n− 54λ(tn)η(tn−1)−45λ(tn+1)η(tn+1−1), yn+1=Y2n, trong đó η(tn−1) =tn η(tn+1−1) =tn+1 với n≤m−2, η(tn−1) =tn η(tn+1−1) = 1−δ+δy1 với n=m−1, η(tn−1) = (1−δ)yn−m+δyn−m+1 η(tn+1−1) = (1−δ)yn−m+1+δyn−m+2 với n ≥m.
Hình 1.15: Nghiệm số của phương trình (1.24) đạt được bằng phương pháp Lobatto IIIC hai nấc với λ(t) = −50 sin2 23π t− 1
4
Hình 1.16: Nghiệm số của phương trình (1.20) với λ = −50 đạt được bằng phương pháp Lobatto IIIC hai nấc vớim−δ= 12.5.
Vớiλ(t) =−50 sin2 23π t− 14, nó cho ta các nghiệm ổn định với mọi cỡ bước. Đặc biệt, với h = 0.5, trong khi phương pháp trung điểm thất bại thì nghiệm của nó vẫn ổn định (xem Hình 1.15).
Tính ưu việt của phương pháp Lobatto IIIC so với phương pháp hình thang được minh hoạ trong Hình 1.16, trong đó nghiệm của phương trình (1.20) với
λ = −50 được vẽ với cùng cỡ bước như trong Hình 1.11. Những dao động giả ở gần các góc như trong trường hợp áp dụng phương pháp hình thang đã biến mất.
Trên cơ sở xem xét các ví dụ trong phần này, các ví dụ được thiết kế để chỉ ra sự thất bại về tính chính xác và tính ổn định của các phương pháp khi áp dụng cho lớp các phương trình tuyến tính vô hướng đơn giản nhất với chậm hằng số, chúng ta thấy rằng việc giải số các PTVPCC không thể chỉ dựa vào việc sửa lại một mã PTVPT tiêu chuẩn nào đó cho phù hợp với sự có mặt của các thành phần có chậm. Việc giải số các PTVPCC thực sự yêu cầu việc sử dụng các phương pháp được thiết kế một cách đặc biệt, tuỳ thuộc vào bản chất của phương trình cũng như tính chất của nghiệm.
CHƯƠNG 2
SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH CHÍNH QUI CỦA NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN CÓ CHẬM
Trong chương này ta sẽ phân tích cấp độ trơn của nghiệm của các PTVPCC
y0(t) =f(t, y(t), y(t−τ(t, y(t)))), t0 ≤t≤tf, y(t) =φ(t), t≤t0, (2.1) trong đó f :[t0, tf]×Rd×Rd →Rd và các PTVPCC trung tính y0(t) =f(t, y(t), y(t−τ(t, y(t))), y0(t−σ(t, y(t)))), t0 ≤t≤tf, y(t) = φ(t), t≤t0, (2.2)
trong đó f :[t0, tf]×Rd×Rd×Rd →Rd. Đặc biệt, ta sẽ tập trung sự quan tâm vào tính chất và vị trí của các điểm gián đoạn của đạo hàm, nếu có, và sự lan truyền của chúng dọc theo khoảng tích phân dưới các giả thiết khác nhau trên các chậm τ và σ .
Hơn nữa, để cho trọn vẹn, ta sẽ trình bày một vài kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của các bài toán giá trị đầu đã nêu trên.
2.1. Vị trí của các điểm gián đoạn và sự trơn dần của nghiệm
Ta đã chỉ ra trong chương 1 rằng sự xuất hiện của thành phần chậm trong y
hoặc y0 có thể gây ra sự xuất hiện của các điểm gián đoạn trong y0 hoặc trong các đạo hàm cấp cao hơn của y tại các điểm kế tiếp. Mặt khác, ta biết rằng mọi phương pháp số từng bước giải bài toán giá trị ban đầu đều đạt được cấp chính
xác của chính nó với giả thiết nghiệm trơn một cách phù hợp tại mỗi khoảng tích phân [tn, tn+1]. Chính xác hơn, với một phương pháp cấp p, ta thường yêu cầu nghiệm ít nhất là Cp+1-liên tục trên [tn, tn+1]. Do đó, vì sự thành công của phương pháp, cần thiết phải gộp tất cả các điểm gián đoạn của y(s) vào lưới điểm, ít nhất là với s = 0,1, . . . , p+ 1. Phần này sẽ phân tích xem các điểm gián đoạn lan truyền theo khoảng tích phân t0, tf như thế nào và độ trơn của nghiệm tăng lên như thế nào tại một điểm gián đoạn bất kì so với "tổ tiên" của nó, tức là điểm gián đoạn từ đó nó được hình thành.
Số lượng và vị trí của các điểm gián đoạn phụ thuộc chủ yếu vào tính chất của cái được gọi là đối số chậm được xem như những hàm của t
α(t) = t−τ(t, y(t)) và
β(t) =t−σ(t, y(t)).
Hơn nữa, ta sẽ giả thiết α(t) ≤t và β(t) ≤ t vì các chậm luôn là không âm. Đặc biệt, nếuα(t)≥t0 và β(t)≥t0 với mọit≥t0, thì không giá trị nào của y tại các điểmt < t0 là được cần đến trong (2.1) và (2.2) và do đó, không có điểm gián đoạn nào lan truyền từ t0. Khi đó tính chính qui của nghiệm phụ thuộc vào tính chính qui của f, α và β. Đây là trường hợp, chẳng hạn như trong phương trình sau, đôi khi được gọi là phương trình máy vẽ truyền tổng quát hoặc phương trình có chậm tỉ lệ
y0(t) = f(t, y(t), y(qt), y0(pt)), t≥0,
y(0) = y0, (2.3)
trong đó 0< q <1 và 0< p <1.
2.1.1. Các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp
Xét trường hợp vô hướng của phương trình (2.1) (tức là khi d = 1) và giả thiết rằng với đối số chậm α(t) = t−τ thì α(t)< t0 tại một vài điểm t∈ [t0, tf]. Hơn thế nữa, giả thiết rằng nghiệm y(t) không liên kết trơn với hàm khởi tạo
φ(t) tại t0, tức là φ0(t−0)6=y0(t+0) = f(t0, φ(t0), φ(α(t0))). Nếu các hàm f, φ và α là liên tục, hiển nhiên là y0(t) cũng liên tục với mọi t > t0. Mặt khác, nếu f, φ và
α là khả vi thì y00(t) tồn tại với mọi t ngoại trừ các điểm ξ1,i(> t0) sao cho
và
α0(ξ1,i)6= 0,
tức là ngoại trừ các nghiệm đơn, nếu có, của phương trình
α(t) = t0.
Thực vậy, với hàm trơn f(t, y, x) bất kì ta có thể viết như sau
y00(t±) = ∂f ∂t (t, y(t), y(α(t))) + ∂f ∂y(t, y(t), y(α(t)))y 0(t) +∂f ∂x(t, y(t), y(α(t)))y 0(α(t±))α0(t), (2.4) và do đó y00(ξ1+,i) = ∂f ∂t (ξ1,i, y(ξ1,i), y(t0)) + ∂f ∂y(ξ1,i, y(ξ1,i), y(t0))y 0(ξ1,i) +∂f ∂x(ξ1,i, y(ξ1,i), y(t0))y 0(t+0)α0(ξ1,i) (2.5) và y00(ξ1−,i) = ∂f ∂t (ξ1,i, y(ξ1,i), y(t0)) + ∂f ∂y(ξ1,i, y(ξ1,i), y(t0))y 0(ξ1,i) +∂f ∂x(ξ1,i, y(ξ1,i), y(t0))φ 0(t−0)α0(ξ1,i). (2.6) Vì α0(ξ1,i)6= 0 và φ0(t0−) được giả thiết là khác y0(t+0), y00 không tồn tại tại ξ1,i
và mở rộng của nó bởi y00(ξ1,i) = y00(ξ1+,i) có một điểm gián đoạn.
Những điểm gián đoạn này trong y00 được gọi là những điểm gián đoạn gốc mức 1. Bằng việc vi phân (2.4), ta dễ dàng kiểm tra được rằng mỗi điểm gián đoạn thứ cấp mức 1 ξ1,i sẽ tạo ra các điểm gián đoạn gốc mức 2 trong y000 tại điểm ξ2,j(> ξ1,i) bất kì là một nghiệm đơn của phương trình
α(t) =ξ1,i với i nào đó.
Nói chung, điểm gián đoạn gốc mức k ξk,i bất kì tạo ra các điểm gián đoạn gốc mức (k+ 1) trong y(k+2) tại các điểm ξk+1,j kế tiếp, ở đó nghiệm của (2.1) trở nên trơn hơn khi mức của các điểm gián đoạn gốc tăng lên. Tính chính qui củay(t) tăng lên sẽ được gọi là sự trơn dần lên của nghiệm. Ngược lại, cùng một lập luận khi áp dụng cho (2.2) sẽ cho thấy rằng với PTVPCC dạng trung tính, sự trơn dần lên của nghiệm không xuất hiện và nói chung, nghiệm vẫn chỉ là
Trong trường hợp đặc biệt khi điểm gián đoạn là một nghiệm với bội lẻz ≥3 của phương trình
α(t) =ξj,i (2.7)
với i, j nào đó, sự trơn dần lên của nghiệm tăng nhanh hơn khi z= 1 và cũng có thể áp dụng cho các phương trình trung tính. Thực vậy, bằng (2.5) và (2.6), rõ ràng với α0(ξ1,i) = 0, nghiệm y ít nhất là thuộc lớp C2 tại ξ1,i . Hiện tượng này, được gọi là "sự trơn dần tổng quát” và được xác định trong định lý dưới đây.
Định lý 2.1.1. (Cho PTVPCC) Nếu ξj,i là một điểm gián đoạn gốc ở đó hàm
y(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp ω −1, thì y(t) là khả vi liên tục tại điểm lan truyền ξj+1,k ít nhất là cho đến cấp z.ω, với giả thiết ξj+1,k là một nghiệm của (2.7) có bội lẻ z.
Ta cũng đã thấy rằng, nói chung, với các PTVPCC dạng trung hoà, sự trơn dần lên của nghiệm không xảy ra. Chính xác hơn, nghiệmy(t)bảo toàn, tại mọi điểm lan truyền, cùng một tính chính qui như các điểm tổ tiên của nó và do đó như tại điểm khởi tạo t0. Tuy nhiên, người ta đã thấy rằng, với τ =σ, sự trơn dần lên tổng quát, có thể thực sự xảy ra, theo định lý sau, với giả thiết rằng điều kiện nối
φ(t0)− =y0(t0)+=f(t0, φ(t0), φ(α(t0)), φ0(α(t0))) được thoả mãn.
Định lý 2.1.2. (Cho PTVPCC trung tính) Nếu ξj,i là một điểm gián đoạn gốc mà ở đó hàm y(t) có các đạo hàm liên tục đến cấp ω−1, thì y(t) là khả vi liên tục tại điểm lan truyềnξj+1,k ít nhất là đến cấp z.(ω−1), với giả thiết rằng ξj+1,k
là một nghiệm của (2.7) có bội lẻ z.
Các điểm gián đoạn khác có thể xuất hiện nếu các hàm f, τ và φ trong (2.1) và (2.2) có một vài điểm gián đoạn theot trong một vài đạo hàm của chúng. Các điểm gián đoạn như thế cũng được lan truyền bởi đối số chậm α(t) và β(t) theo nguyên tắc lan truyền điểm gián đoạn gốc và được gọi là các điểm gián đoạn thứ cấp. Cũng giống như với các điểm gián đoạn gốc, để bảo toàn cấp chính xác của một phương pháp số, chúng cần phải được gộp vào trong lưới.
Từ nay trở đi, các điểm gián đoạn gốc và thứ cấp thường được gọi chung là các điểm gián đoạn. Tuy nhiên, để cho đơn giản, ta giả sử rằng tất cả các hàm trong (2.1) và (2.2) là C∞-liên tục. Do đó, bên trong mỗi khoảng giữa hai điểm gián đoạn gốc liên tiếp, nghiệm y(t) cũng là C∞-liên tục, và không có điểm gián đoạn thứ cấp nào là có mặt.
Định nghĩa 2.1.1. Một điểm gián đoạn ξ được gọi là điểm gián đoạn cấp k nếu
y(s)(ξ) tồn tại với s= 0, . . . , k và y(k) là liên tục Lipschitz tại ξ.
Tất nhiên, với các PTVPCC, mọi điểm gián đoạn gốc mứcpđều có cấpk ≥p. Vì cần thiết phải gộp các điểm gián đoạn cấp thấp vào trong lưới điểm, cần phải phân tích xem chúng lan truyền như thế nào dọc theo khoảng tích phân bằng cách chỉ ra một vài tình huống đặc biệt.
2.1.2. Chậm triệt tiêu và không triệt tiêu
Đầu tiên, ta sẽ nghiên cứu, với (2.1) và (2.2) khi τ =σ, xem các điểm gián đoạn gốc gần các điểm mà ở đó chậm τ(t) triệt tiêu được định vị như thế nào. Trong trường hợp này, được gọi là trường hợp chậm triệt tiêu, một điểm ξ > t0
được giả thiết tồn tại sao cho α(ξ) =ξ. Nhờ có tính liên tục củaα(t), hiển nhiên là, với mọi điểm gián đoạn mức k ξk,i < ξ sao cho α(ξk,i)< ξk,i, tồn tại một điểm gián đoạn mức k+ 1, gọi là ξk+1,j, sao cho α(ξk+1,j) < ξk+1,j và ξk,i < ξk+1,j < ξ. Nói cách khác, có nhiều hữu hạn điểm gián đoạn trong một lân cận trái bất kì của ξ (xem Hình 2.1).
Hình 2.1: Sự tích tụ các điểm gián đoạn trong một lân cận trái của một điểm chậm triệt tiêu ξ.
Mặt khác, với PTVPCC, sự trơn dần lên của nghiệm luôn xảy ra, và do đó tồn tại một lân cận trái của ξ bao gồm các điểm gián đoạn có cấp lớn bất kì,
ở đó nghiệm trơn đúng như được yêu cầu. Đây không phải là trường hợp của PTVPCC trung tính mà ở đó sự trơn dần lên của nghiệm không xảy ra.
Để tránh sự hội tụ của các điểm gián đoạn do các chậm triệt tiêu, giả thiết sau sẽ thường xuyên được giả sử là được thỏa mãn
(H1) Tồn tại một hằng số τ0 >0 sao cho τ =t−α(t)≥τ0 với mọi t∈[t0, tf]. Hiển nhiên là, dưới giả thiết (H1), khoảng cách giữa một điểm gián đoạn và tổ tiên của nó ít nhất là bằng τ0. Do đó, trong một khoảng bị chặn [t0, tf] bất kì, số lượng các điểm gián đoạn là hữu hạn.
2.1.3. Chậm bị chặn và không bị chặn
Ở đây ta sẽ nghiên cứu xem các điểm gián đoạn gốc lan truyền như thế nào theo quy tắc tổng quát sau
α(ξk,j) =ξk−1,i, (2.8)
với i nào đó, trong đó, với k >0 và j bất kì, ξk,j là một điểm gián đoạn gốc mức
k và ξ0,1 =t0 là điểm gián đoạn gốc mức 0 duy nhất. Đặc biệt, khi khoảng tích phân là không bị chặn, tức là tf = +∞, cần thiết phải phân biệt giữa các mô hình với hàm chậm τ bị chặn hoặc không bị chặn. Ta xét các giả thiết sau
(H2) lim
t→+∞α(t) = +∞.
(H3) Tồn tại một hằng số τ1 >0 sao cho τ =t−α(t)≤τ1 với mọi t∈[t0, tf]. Xét theo khía cạnh về sự lan truyền của các điểm gián đoạn, (H2) có nghĩa rằng nghiệm là trơn vô hạn và, khi k tăng lên, các điểm gián đoạn ξk,i phải hội tụ tới một điểm chậm triệt tiêu (xem Hình 2.1) hoặc phân kì tới +∞ (xem Hình 2.2). Trong cả hai trường hợp, điểm gián đoạn gốc mức k bất kì đạt được sau một t đủ lớn.
Giả thiết về tính bị chặn (H3) hiển nhiên suy ra (H2) nhưng điều ngược lại thì không đúng. Chẳng hạn, trong phương trình máy vẽ truyền y0(t) =
f(t, y(t), y(qt)), t≥0 ta có
α(t) =qt,0< q <1,
và
τ(t) = (1−q)t,
cả hai đều không bị chặn.
Đặc biệt, khi (H3) được thoả mãn, mô hình được gọi là có bộ nhớ mờ dần. Điều này có nghĩa là với mọi t, sau một khoảng thời gian trôi qua đủ dài nhưng bị chặn đều, giá trị nghiệm y(t) sẽ không ảnh hưởng đến vế phải của (2.1) hoặc
(2.2). Nói cách khác, để tích phân PTVPCC, cần thiết phải lưu trữ một đoạn hữu hạn của phần lịch sử cuối cùng.
Ngược lại, với chậm không bị chặn τ(t), đối số chậm α(t) = t−τ(t) có thể bị chặn hoặc không. Khi cả τ(t) và α(t) không bị chặn, giống như với phương trình máy vẽ truyền, nghiệm y(t) thậm chí phụ thuộc vào một đoạn lớn tuỳ ý của phần lịch sử cái mà phải được lưu trữ lại để phục vụ cho việc giải số.
Hình 2.2: Chuỗi phân kì các điểm gián đoạn.
Nếu đối số chậm bị chặn, giả sử α(t) ≤ M, thì có nhiều hữu hạn các điểm gián đoạn gốc có thể nằm bên phải của M nhưng không số nào trong các điểm đó, nếu có, có thể tăng mức của nó lên trong [M,+∞)(xem Hình 2.3). Điều này ngăn trở sự trơn dần lên của nghiệm ngoại trừ một lớp các hàm chính qui nhất định. Hơn nữa, nghiệm y(t) phụ thuộc hoàn toàn vào phần lịch sử cho tới M.
Trong nhiều ứng dụng, giả thiết sau được thoả mãn
(H4) Đối số chậm α(t) là một hàm tăng chặt với mọi t ∈[t0, tf].
Đây là trường hợp, chẳng hạn, cho mọi mô hình có chậm hằng số τ. Nói chung, nếu (H4) thoả mãn và α(t0) < t0, thì các điểm gián đoạn gốc tạo thành một chuỗi tăng ξ1< ξ2 < . . . < ξj < . . ., ở đó, với j bất kì, ξj =ξj,1 là điểm gián đoạn mức j duy nhất. Tức là, khi thời gian trôi qua, nghiệm càng lúc càng trở nên trơn hơn. Ngược lại, các đối số chậm dao động có thể gây ra sự đan xen của các điểm gián đoạn có mức khác nhau như được chỉ ra trong Hình 2.4.
Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp, cần thiết phải định vị các điểm gián đoạn chính được định nghĩa như sau.
Hình 2.3: Các điểm gián đoạn có cùng mức được sinh ra bởi một đối số chậm bị chặn.
Hình 2.4: Sự đan xen các điểm gián đoạn có mức khác nhau.
Định nghĩa 2.1.2. Tập con chỉ số 1 các điểm gián đoạn gốcξi được định nghĩa quy nạp như sau
ξ0=t0; với i≥0, ξi+1 là nghiệm nhỏ nhất có bội lẻ của phương trình α(t) = ξi, được gọi là tập các điểm gián đoạn chính.
2.2. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm
Cũng như đối với các PTVPT, các định lí về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của các phương trình giá trị đầu (2.1) và (2.2) cần thiết phải được dựa trên tính liên tục theo t và tính liên tục Lipschitz theo u, v và w của các hàm
f(t, u, v) và f(t, u, v, w).
Bây giờ ta đưa ra một vài kết quả đã biết cho phương trình (2.1) dưới các điều kiện tổng quát hơn cho các chậm (xem [5],[7]).
Định lý 2.2.1. (Sự tồn tại địa phương) Xét phương trình
y0(t) = f(t, y(t), y(t−τ(t))), t0 ≤t≤tf,
y(t0) = y0, (2.9)
và giả thiết rằng hàm f(t, u, v) là liên tục trên A⊆ [t0, tf)×Rd×Rd và liên tục Lipschitz địa phương theo u và v. Hơn nữa, giả sử rằng hàm chậm τ(t) ≥ 0 là liên tục trong [t0, tf), τ(t0) = 0 và, với ξ > 0 nào đó, t−τ(t) > t0 trong khoảng
(t0, t0+ξ]. Khi đó bài toán (2.9) có nghiệm duy nhất trong [t0, t0+δ) với δ > 0
nào đó và nghiệm này phụ thuộc liên tục vào dữ liệu khởi tạo.
Có thể chỉ ra rằng, dưới những giả thiết giống nhau, nghiệm có thể liên tục cho đến khi một nghiệm cực đại được xác định trong khoảng [t0, b), với
t0 < b ≤ tf. Điều này cho phép chúng ta chứng minh được định lí tồn tại toàn cục sau.
Định lý 2.2.2. (Sự tồn tại toàn cục) Nếu, dưới những giả thiết của Định lí 2.2.1, nghiệm cực đại duy nhất của (2.9) là bị chặn, thì khi đó nó tồn tại trên