Phương pháp Liao nghiên cứu sự ổn định của phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Vũ Thanh Lam PHƯƠNG PHÁP LIAO NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LÊ HUY TIỄN Hà Nội - Năm 2017 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới TS Lê Huy Tiễn, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thành viên nhóm seminar Hệ động lực trường Khoa học tự nhiên có góp ý q báu để em hồn luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 05 tháng 10 năm 2017 Học viên Vũ Thanh Lam i Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm ổn định 1.2 Số mũ Lyapunov tính quy 1.3 Hàm Lyapunov 15 1.4 Kỹ thuật tam giác hóa Perron 20 Chương Ổn định phương pháp Liao 25 2.1 Các định lý ổn định Bylov Liao 25 2.2 Mở rộng định lý ổn định Liao 28 2.3 Chứng minh kết 33 2.3.1 Chứng minh Định lý 2.2.1 33 2.3.2 Chứng minh định lý 2.2.5 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 ii LỜI NÓI ĐẦU Việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân nhiều người quan tâm có nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý, kinh tế, sinh học, Có hai phương pháp nghiên cứu ổn định nghiệm phương pháp hàm Lyapunov phương pháp số mũ Lyapunov Để mở rộng phạm vi ứng dụng nó, nhiều hướng nghiên cứu lí thuyết ổn định xuất nhận nhiều kết thú vị lý thuyết ứng dụng Luận văn đề cập đến hướng tiếp cận gần liên quan đến phương pháp số mũ Lyapunov Như ta biết, hệ tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm x = A(t)x, tính âm số mũ Lyapunov khơng suy tính ổn định phương trình có nhiễu x = A(t)x+f (t, x) Phản ví dụ cho điều gọi Hiệu ứng Perron (xem [12]) Năm 1966, D Bylov (xem [4]) đưa thêm điều kiện tính quy hệ để đảm bảo cho tính ổn định hệ với nhiễu Lipschitz đủ nhỏ Sau đó, có nhiều nỗ lực đời để tìm điều kiện đủ cho tính ổn định phương trình có nhiễu Ya Pesin [13], S.-T Liao [8], Năm 2006, Xiongping Dai sử dụng kĩ thuật Liao để đưa điều kiện ổn định khác cho trường hợp nhiễu tuyến tính Điều kiện X Dai xem yếu điều kiện trước Bellman [3], điều kiện nhị phân mũ khác điều kiện đủ Bylov Pesin Mục đích luận văn trình bày lại số khái niệm lí thuyết ổn định phương trình có nhiễu kết X Dai Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Chương dành để trình bày vài khái niệm ví dụ phương trình vi phân lí thuyết ổn định số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, tam giác hóa Perron, Chương Ổn định phương pháp Liao Trong chương chúng tơi đề cập tới kết phương pháp Liao ổn định phương trình với nhiễu tuyến tính Luận văn chi tiết hóa chứng minh X Dai báo [6] viết năm 2006 Hà Nội, ngày 05 tháng năm 2017 Học viên Vũ Thanh Lam Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu khái niệm lý thuyết ổn định cho phương trình vi phân tuyến tính khơng ơ-tơ-nơm Trong trình bày số khái niệm sở phương trình vi phân khái niệm ổn định, số mũ Lyapunov, hàm Lyapunov, kỹ thuật tam giác hóa Perron, Nội dung chương tham khảo sách L Ya Adrianova [1], W A Coppel [5] L Bareira C Valls [2] 1.1 Các khái niệm ổn định Trước tiên, ta tìm hiểu loại ổn định phương trình vi phân Xét phương trình khơng ơ-tơ-nơm x(t) ˙ = f (t, x), t ≥ t0 , (1.1) đó, hàm f : [t0 , +∞) × Rn → Rn hàm thỏa mãn điều kiện cần thiết để (1.1) có nghiệm Hàm vectơ x : [t0 , +∞) → Rn gọi nghiệm phương trình (1.1) miền [t0 , +∞) hàm khả vi thỏa mãn x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ≥ t0 Khái niệm ổn định Lyapunov đặt theo tên nhà toán học người Nga, Aleksandr Lyapunov, người xuất sách Bài toán Tổng quát ổn định chuyển động vào năm 1892 (xem [9]) Lyapunov người xem xét tính chất định tính hệ thống phi tuyến lý thuyết ổn định hệ tuyến tính dựa việc tuyến tính hóa gần điểm cân Cơng trình ông ban đầu xuất tiếng Nga sau dịch sang tiếng Pháp nhận ý nhiều năm Sự quan tâm đến đột ngột bắt đầu thời kỳ chiến tranh lạnh sau phương pháp thứ hai Lyapunov áp dụng ổn định hệ thống dẫn đường hàng không vũ trụ thường chứa yếu tố phi tuyến mà khơng xử lý phương pháp khác Một số lượng lớn các báo xuất sau tạp chí chun ngành điều khiển hệ động lực (xem [11, 7, 10]) Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm x(t) phương trình (1.1) gọi ổn định khoảng [t0 , ∞) với ε > tồn δ = δ(ε, t0 ) > cho nghiệm x(t) phương trình (1.1) thỏa mãn bất đẳng thức x(t0 ) − x(t0 ) < δ tồn [t0 , ∞) thỏa mãn x(t) − x(t) < ε, với t > t0 Nói cách khác, nghiệm x(t) ổn định, nghiệm x(t) gần với thời điểm ban đầu t0 hồn nằm ống ε nhỏ tùy ý đựng quanh nghiệm x(t) (xem Hình 1.1) Hình 1.1: Nghiệm x(t) ổn định Hình 1.2: Nghiệm x(t) ổn định tiệm cận Nếu nghiệm x(t) thỏa mãn lim x(t) − x(t) = t→∞ ta nói x(t) ổn định tiệm cận (xem Hình (1.2)) Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm x(t) phương trình (1.1) gọi ổn định mũ (hay cịn gọi co khơng đều) tồn số α > cho với t0 , tồn số N = N (t0 ) cho x(t) − x(t) ≤ N e−α(t−t0 ) x(t0 ) − x(t0 ) x(t) nghiệm phương trình cho x(t0 ) = x0 Nếu định nghĩa số N chọn độc lập với t0 , ta gọi x(t) ổn định mũ (hay gọi co đều) Ví dụ 1.1.3 Xét phương trình x˙ = Khi đó, ta có nghiệm tổng quát x(t) ≡ c với c số thực tùy ý Rõ ràng nghiệm tầm thường x(t) = ổn định (xem Hình 1.3) với ε > 0, với cách chọn δ = ε, với nghiệm x(t) thỏa mãn |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ |x(t) − x(t)| = |x(t0 ) − x(t0 )| ≤ δ = ε Hình 1.3: Nghiệm tầm thường x ≡ Ví dụ 1.1.3 ổn định không ổn định tiệm cận Tuy nhiên, nghiệm tầm thường không ổn định tiệm cận chọn y(t) ≡ δ/2 lim |x(t) − x(t)| = δ/2 > t→∞ Ví dụ 1.1.4 Nghiệm x(t) = phương trình x˙ = −x ổn định tiệm cận (xem Hình 1.4) Thật vậy, nghiệm khác có dạng x(t) = x(t0 )e−t Do đó, với ε > 0, ta chọn δ = εet0 Khi đó, với nghiệm mà |x(t0 )−x(t0 )| ≤ δ |x(t) − x(t)| = x(t0 )e−t ≤ εet0 e−t ≤ εe−(t−t0 ) ≤ ε Hơn nữa, lim |x(t) − x(t)| = lim x(t0 )e−t = t→∞ t→∞ Do đó, nghiệm tầm thường ổn định tiệm cận Hình 1.4: Nghiệm tầm thường Ví dụ 1.1.4 ổn định tiệm cận Ví dụ 1.1.5 Xét phương trình x˙ = [sin log(t + 1) + cos log(t + 1) − α]x với α > √ Rõ ràng, nghiệm phương trình có dạng x(t) = x0 e t (sin log(t+1)+cos log(t+1)−α)dt t0 Mặt khác, ta có ước lượng sin log(t + 1) + cos log(t + 1) = √ sin log(t + 1) + π ≤ √ Xét dãy trù mật tương đối {Ts }∞ R+ , ta có ước lượng χ+ ∗ (A) = lim sup s→+∞ Ts = lim sup s→+∞ Ts = lim sup s→+∞ = lim sup s→+∞ Ts s−1 Ts max s =0 s−1 1≤k≤n Ts +1 Akk (t)dt Ts +1 (−a)dt Ts s =0 s−1 {−a(Ts +1 − Ts )} s =0 {−aTs } = −a < Ts Do với ε > 0, tồn số δ(ε) cho phương trình có dạng   −a + ε1 a11 (t) f (t) + ε2 a12 (t)  x, x˙ =  sin log t + cos log t − + ε3 a22 (t) (2.4) (trong đó, a11 (t), a12 (t), a22 (t) hàm bị chặn ε1 , ε2 , ε3 số đủ nhỏ cho sup ||A(t) − B(t)|| ≤ δ với A(t), B(t) ma trận hệ số t∈R+ phương trình (2.1) (2.2)) có số mũ Lyapunov thỏa mãn λ+ (x0 ; (2.4)) = lim sup t→+∞ log xB (t; x0 ) < −a + ε < 0, t với x0 ∈ Rn khác khơng Ta ý rằng, hai ví dụ trên, phương trình ban đầu x˙ = A(t)x có số mũ Lyapunov âm, với điều kiện (C1∗ ) (C2∗ ) hệ nhiễu tuyến tính đủ nhỏ có số mũ Lyapunov âm Ví dụ R Bellman rằng, khơng có điều kiện (C2∗ ) định lí khơng cịn Ví dụ 2.2.4 (xem [3], Định lí 2.5) Xét hệ phương trình   −a  x, x˙ =  sin log t + cos log t − 2a với số a thỏa mãn < 2a < + eπ/2 30 Ta viết lại hệ sau: x1 = −ax1 , x2 = sin log t + cos log t − 2a Từ đó, x1 = C1 e−at dx2 = (sin log t + cos log t − 2a) dt = (t sin log t − 2at) dt x2 x2 = C2 et sin log t−2at Từ đó, dễ tính số mũ Lyapunov phương trình + λ+ = −a < λ2 = −2a + < Nếu chọn ma trận nhiễu có dạng  Φ(t) =  e −at 0   phương trình nhiễu trở thành   −a  x, x˙ =  −at e sin log t + cos log t − 2a phương trình có số mũ Lyapunov dương Tương tự, với trường hợp giãn khơng đều, ta có kết khơng ổn định điều kiện (C2∗ ): Định lý 2.2.5 Giả sử hệ vi phân tuyến tính dx = A(t)x ((t, x) ∈ R+ × Rn ) dt (A) thỏa mãn điều kiện (C1∗ ) (C2∗ ) Khi đó, với εˆ > 0, tồn tương ứng số δˆ > 0, cho với hệ vi phân tuyến tính dx = B(t)x ((t, x) ∈ R+ × Rn ) dt B(t) liên tục theo t ∈ R+ , sup B(t) − A(t) < δˆ t∈R+ 31 (B) λ+ inf (x0 ; B) = lim inf t→+∞ log xB (t; x0 ) > ð+ ˆ ∗ (A) − ε t với x0 ∈ Rn khác khơng, x(t) = xB (t; x0 ) nghiệm phương trình (B) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 Mặt khác, điều kiện (C1 ) + (C1∗ ) không thiết kéo theo điều kiện (C2∗ ), ta xét phản ví dụ sau Perron Ví dụ 2.2.6 Cho A(t) sau: A11 (t) = −ω − a(sin log t + cos log t), A12 (t) = A21 (t) = 0, A22 (t) = −ω + a(sin log t + cos log t) Xét phương trình tuyến tính     x1 d x1  = A(t)   ((t, x) ∈ R+ × R2 ) dt x2 x2 ω a số dương cho a < ω < 2(eπ + 1)a Dễ thấy λ+ (x; A) = −ω + a < với véctơ khác không x ∈ R2 Đặt    f (t, x) =  1+λ |x1 | với < λ < 2a − eπ Khi nghiệm tầm thường phương trình nhiễu ω−a dx = A(t)x + f (t, x) dt không ổn định tiệm cận (xem [1, Ví dụ 1.1]) f (t, x) = o( x ) Định lý ổn định 2.1.4 Liao kéo theo phương trình (A) khơng thỏa mãn điều kiện (C2∗ ) Chú ý tồn nhiều hệ vi phân tuyến tính (A) thỏa mãn điều kiện (C1∗ ) (C2∗ ) 32 2.3 Chứng minh kết 2.3.1 Chứng minh Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.1 kết báo Xiongping Dai [6] Ý tưởng để chứng minh xuất phát từ cơng trình Liao Chứng minh Định lý 2.2.1 Giả sử hệ vi phân tuyến tính dx = A(t)x ((t, x) ∈ R+ × Rn ) dt (A) thỏa mãn điều kiện (C1∗ ) (C2∗ ) Nhắc lại R+ = {t ∈ R | t ≥ 0} ký hiệu Rn không gian Euclide n-chiều với chuẩn thông thường · Với hàm giá trị ma trận thực cỡ n × n liên tục B(t) xác định R+ , ta viết lại phương trình nhiễu (B) dạng: dx = A(t)x + Φ(t)x ((t, x) ∈ R+ × Rn ), dt (B) ma trận nhiễu Φ(t) = B(t) − A(t) (với t ∈ R+ ) Với véctơ x0 ∈ Rn , ta kí hiệu x(t) = xB (t; x0 ), t ∈ R+ , nghiệm phương trình (B) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(0) = x0 ∗ Giả sử dãy số thực {Ts }∞ R+ ứng với điều kiện (C2 ) giống phần giới thiệu đặt Ts+1 χ+ s (A) Akk (t)dt = max 1≤k≤n Đặt hs (t; k) = exp (s = 0, 1, 2, ) (2.5) Ts χ+ s (A)(t − Ts ) − Ts+1 − Ts 33 t Akk (τ )dτ Ts (2.6) với k = 1, , n, với s = 0, 1, , với Ts ≤ t ≤ Ts+1 Khi đó, đặt   h (t; 1)  s      hs (t; 2)  Hs (t) =        hs (t; n) (2.7) ma trận đường chéo cỡ n × n với s = 0, 1, với Ts ≤ t ≤ Ts+1 Xét phép biến đổi tuyến tính cho biến y = Hs (t)x (s = 0, 1, , Ts ≤ t ≤ Ts+1 ) (2.8) Khi đó, phương trình (B) khoảng [Ts , Ts+1 ] chuyển thành hệ tuyến tính dy = Ps (t)y + Φs (t)y (Ts ≤ t ≤ Ts+1 , y ∈ Rn ) dt (2.9) với s = 0, 1, , Ps (t) = (Psjk (t)) = Hs (t)A(t)Hs (t)−1 + dHs (t) Hs (t)−1, dt (2.10) Φs (t) = Hs (t)Φ(t)Hs (t)−1 (2.11) Với ≤ j < k ≤ n, với s = 0, 1, với Ts ≤ t ≤ Ts+1 , ta viết Psjk (t) Ajk (t)hs (t; j) = = Ajk (t) exp hs (t; k) t [Akk (τ ) − Ajj (τ )]dτ (2.12) Ts Tính toán đơn giản từ điều kiện (C1∗ ), ta có  +  χs (A) 12 1n Ps (t) Ps (t)  Ts+1 −Ts    χ+ 2n s (A)   P (t) s T −T s s+1  Ps (t) =        + χs (A) 0 Ts+1 −Ts (2.13) Từ tính bị chặn A(t) tính trù mật tương đối {Ts } R+ , dễ thấy tồn số C˜ ≥ 34 (2.14) xác định qua số A (C1∗ ) {Ts } (C2∗ ), cho s∈Z+ χ+ s (A) Ts+1 − Ts max sup sup sup 1≤j (2.18) Phương trình (2.16) với bất đẳng thức Cauchy kéo theo tồn số < λ < 1, (2.19) cho với s ∈ Z+ , với Ts ≤ t ≤ Ts+1 , với véctơ y = (y , , y n )T ∈ Rn , bất đẳng thức sau đúng: k−j λ 1≤j