Sheet1 Page 1 \documentclass[12pt \usepackage[viscii]{vietnam} \usepackage{amsmath \usepackage{hyperref} \usepackage{fancybox} \usepackage{xcolor} %\usepackage{lyk-arrows} \usepackage {graphicx} %\usepackage{fancyhdr} %\usepackage{titlesec} %\pagestyle{fancy} %\newpagestyle{xuancuong}{\sethead{}{\usepage}{}} \pagestyle{plain} %\pagestyle{myheadings} %\oddsidemargin 0.1in \evensidemargin 0in \textheight 21.5cm \textwidth 16.0cm \usepackage[top=3.0cm %\newtheorem{theorem}{éánh lý}[section] %\newtheorem{corollary}[theorem]{Hđ quọ} %\newtheorem{definition}{éánh nghợa} %\newtheorem{example}[theorem]{Vớ dứ} %\newtheorem{remark}[theorem]{Chỳ ý} %\newtheorem{lemma}[theorem]{B ô} \numberwithin{equation}{section} \let\up\MakeUppercase \def\yy{{\varphi\circ f}} \def\ch{{chùnh hỡnh}} \def\n{{\mathbb N}} \def\c{{\mathbb C}} \def\r{{\mathbb R}} \def\tp{{khụng gian tụpụ}} \def\kgdc{{khụng gian ánh chuƯn}} \def\p{{\mathcal P}} \def\dgl{{òỵc gữi l}} \def\lt{{liờn tức}} \def\kg{{khụng gian}} \def\kv{{khọ vi}} \def\dc{{ánh chuƯn}} \def\bn{{Banach}} \def\lty{{liờn tức yêu}} \def\axtt{{ỏnh xế tuyên tớnh}} \numberwithin{subsection}{section} \newcommand{\norm}[1]{\left\Vert#1\right\Vert} \newcommand{\abs}[1]{\left\vert#1\right\vert} \newcommand{\set}[1]{\left\{#1\right\}} % éánh nghợa lđnh \Mdot \def\Mdot<#1 \setcounter{tocdepth}{1}%% Mức lức khụng cú \subsection (thay s 3 0-4) %\renewcommand{\section}[1]{\S\thesection.\space#1} %-------------------------------------------------------- \begin{document} \thisfancypage{% \setlength{\fboxsep}{0pt}% \setlength{\shadowsize}{0pt}% Sheet1 Page 2 \shadowbox}{} \begin{titlepage} \begin{center} {\large{ TRNG éI HC VINH}} \par \vspace{0.2cm} {\large{KHOA TON}} \par \vspace{0.2cm} - - - - - - $\bigstar$ - - - - - - \par \vspace{0.8cm} %\includegraphics[scale=0.2]{logodhv1.eps} \par \vspace*{0.8in} {\Large {NGUY N TH NAM}} \par \vspace*{1.6in} {\LARGE \textbf{\up{TCH PHN RIEMANN} \\\up{TRONG KHễNG GIAN BANACH}}} \par \vspace*{0.5in} {\bf {KHểA LUN T T NGHIP éI HC}} \par \vspace{0.2in} {\textbf{NGNH Cẳ NHN TON}} %\par % \vspace{0.1in} {\textbf{Chuyờn ngnh:} {\sc XC SUT TH NG Kấ}} \par \vspace{0.8in} \end{center} \hspace*{220pt}\textbf{Cỏn bà hòắng dỗn khúa luĐn:} \hfill{\sc PGS.TS éINH HUY HONG} %\hspace*{150pt}\textbf{Sinh viờn thủc hiđn:} {\sc Lấ TH HOAN} %\hspace*{220pt}\textbf{Lắp:} {42E$_2$ - Toỏn} \begin{center} \par \vspace{0.5in} \vfill \textit{VINH 2006}\\ \ \end{center} \end{titlepage} \fontsize{15pt}{15pt}\selectfont \baselineskip 0.8cm %\pagestyle{xuancuong} \tableofcontents \newpage \section*{Lải mã Ơu} Lý thuyêt tớch phõn úng vai trũ rÔt quan trững trong giọi tớch v Sheet1 Page 3 nhiôu ngnh khoa hữc khỏc. Trong giọi tớch c iơn chỳng ta ó òỵc nghiờn cẹu vô tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian s thủc $\mathbb{R}$. ú khụng trỡnh by tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian Banach tng quỏt. éơ tỡm hiơu vÔn ô ny ánh nghợa tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian Banach chẹng minh màt s kêt quọ tòẵng tủ nhò tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong $\mathbb{R}$ vỗn ỳng i vắi hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian Banach. Sau ú chỳng tụi òa ra cỏc vớ dứ minh hữa cho tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian Banach. Nài dung khúa luĐn òỵc chia lm hai phƠn: \textbf{PhƠn I. Cỏc khỏi niđm cẵ bọn.} PhƠn ny òa ra cỏc khỏi niđm cẵ bọn ơ sỉ dứng trong khúa luĐn. \textbf{PhƠn II. Tớch phõn Riemann cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian Banach.} Trong phƠn ny cỏc tớnh chÔt cỹa tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian Banach tng quỏt. Cui cựng l giắi thiđu cụng thẹc Newton-Leibniz v cỏc vớ dứ minh hữa. Khúa luĐn òỵc hon thnh dòắi sủ hòắng dỗn v giỳp ị tĐn tỡnh cỹa PGS.TS. éinh Huy Hong. Tỏc giọ xin by tử lũng biêt ẵn sõu sĂc ên thƠy. Tỏc giọ xin cọm ẵn cỏc thƠy giỏo cụ giỏo trong Khoa Toỏn ó giỳp ị em trong sut thải gian hữc tĐp tếi khoa. Do thải gian v nồng lủc cũn hến chê nờn khúa luĐn khụng thơ trỏnh khửi nhổng thiêu sút. Chỳng tụi rÔt mong nhĐn òỵc nhổng úng gúp cỹa cỏc thƠy giỏo hẵn. \vskip 0.8cm \hspace*{220pt}\textbf{\textit{Vinh \hspace*{280pt}\textbf{Tỏc giọ} \newpage \addtocounter{section}{1} % éua vo cỏi ny \setcounter{subsection}{0} % v cung cỏi ny n?a \section*{\S1. Cỏc khỏi niđm cẵ bọn} \vskip 0.4cm Mức ny dnh cho viđc giắi thiđu màt s khỏi niđm v kêt quọ cẵ bọn cƠn dựng cho cỏc mức sau. Trong sut khúa luĐn tròảng vụ hòắng ($K = \mathbb{R}$ hoÊc $K = \mathbb{C}$). \subsection{éánh nghợa.}\label{dn11} Cho $E$ l màt $K$-khụng gian vectẵ. Màt \textit{chuƯn} trờn $E$ l màt hm $x \mapsto \|x\|$ tì $E$ vo $\mathbb{R}$ thửa món cỏc iôu kiđn sau: Sheet1 Page 4 (i) $\|x\| \geq 0$ $x = 0$; (ii) $\|\lambda x\| = |\lambda|\|x\|$ \in E$; (iii) $\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ Khụng gian Banach l khụng gian ánh chuƯn Ơy ỹ vắi mờtric sinh bãi chuƯn. \subsection{éánh nghợa.}\label{dn12} Màt tĐp con $A$ cỹa $E$ \dgl \ \textit{bá chÊn} tn tếi màt s tủ nhiờn $n$ sao cho $A \subset nU$ \{nx: x \in U\}$. Vắi $\epsilon > 0$ $$ B_{\epsilon} = B(0 $$ \subsection{éánh nghợa.}\label{dn13} Giọ sỉ $F$ l khụng gian ánh chuƯn. Ta núi ỏnh xế $\varphi: [a \textit{liờn tức tếi iơm} $x_0 \in [a dóy $\{x_n\} \subset [a \to \varphi(x_0)$. Hm $\varphi$ \dgl \ \textit{liờn tức trờn} $[a liờn tức tếi mữi iơm thuàc $[a \subsection{éánh nghợa.}\label{dn14} Giọ sỉ $E$ l khụng gian ánh chuƯn v $\varphi$ l hm tì $(a \mathbb{R}$. Nêu tn tếi giắi hến $\lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{\varphi(x) - \varphi(x_0)}{x - x_0}$ $\varphi$ \textit{cú ếo hm} hay khọ vi tếi $x_0$ v gữi giắi hến ny l ếo hm cỹa hm $\varphi$ tếi $x_0$. Khi ú hm cỹa hm $\varphi$ tếi $x_0$ l $\varphi'(x_0)$. Nhò vĐy $$ \varphi'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0}\dfrac{\varphi(x) - \varphi(x_0)}{x - x_0}. $$ \subsection{éánh nghợa.}\label{dn15} Cho $c \in [a cú \textit{ếo hm trỏi} hay khọ vi trỏi (\textit{ếo hm phọi} hay khọ vi phọi) tếi $c$ $$ \lim\limits_{x \to c^{-}}\dfrac{\varphi(x) - \varphi(c)}{x - c}\ \varphi(c)}{x - c}\right). $$ Ta ký hiđu cỏc giắi hến ú lƠn lòỵt l $\varphi'_{-}(c) \varphi'_{+}(c)$ v gữi chỳng thẹ tủ l ếo hm trỏi cỹa $\varphi$ tếi $c$. \newpage Sheet1 Page 5 \addtocounter{section}{1} % éua vo cỏi ny \setcounter{subsection}{0} % v cung cỏi ny n?a \section*{\S2. Tớch phõn Rimann trong khụng gian \bn} Trong mức ny giỏ trá trong khụng gian thủc) ta să giắi thiđu ánh nghợa tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian \bn \ bÔt kẽ. Sau ú ta să chẹng minh màt s kêt quọ tòẵng tủ nhò cỹa hm s vỗn ỳng cho tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian \bn. \subsection{Khỏi niđm cẵ bọn.}\label{dn21} Cho hm $\varphi: [a \mathbb{R} cỹa $\varphi$ trờn $[a Chia oến $[a $$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b.$$ Mi phộp chia nhò vĐy \dgl \ màt \textit{phõn hoếch} cỹa oến $[a b]$ v òỵc ký hiđu l chổ $\pi$. Cỏc iơm $x_0 gữi l cỏc \textit{iơm chia}. Trờn mi oến chia $[x_{k - 1} x_k] (k = \overline{1 éÊt \begin{equation}\label{Eq:1} \sigma_\pi(\xi_1 1}^{n}(x_k - x_{k - 1})\varphi(\xi_i). \end{equation} Tng \eqref{Eq:1} nhĐn giỏ trá trong $F$ v gữi l \textit{tng tớch phõn} cỹa hm $\varphi$ ẹng vắi phõn hoếch $\pi$ v cỏc iơm chữn $\xi_k \in [x_{k - 1} thuàc vo phõn hoếch $\pi$ v vo cỏc iơm $\xi_k$. Ta ký hiđu $$ d(\pi) = \max\limits_{1 \leq k \leq n}(x_k - x_{k - 1}). $$ Ta núi rÂng cỏc tng $\sigma_\pi$ núi trờn \textit{dƠn tắi giắi hến} $I \in F$ hay hài tứ tắi $I$ khi $d(\pi) \to 0$ s $\epsilon > 0$ cho tròắc \begin{equation}\label{Eq:2} \|\sigma_\pi - I\| = \|\sum_{k = 1}^n(x_k - x_{k - 1})\varphi(\xi_k) - I\| < \epsilon. \end{equation} Khi ú \begin{equation}\label{Eq:3} I = \lim_{d(\pi) \to 0}\sigma_\pi = \lim_{d(\pi) \to 0}\sum_{k = 1}^n(x_k - x_{k - 1})\varphi(\xi_k). \end{equation} \subsubsection{\em \textbf{éánh nghợa.}}\label{dn211} Nêu giắi hến \eqref{Eq:3} tn tếi (theo nghợa núi trờn) Sheet1 Page 6 Riman} (hay gữi tĂt l tớch phõn) cỹa hm $\varphi$ trờn oến $[a b]$ v òỵc viêt bãi màt trong cỏc ký hiđu sau õy \begin{equation}\label{Eq:4} \int\limits_a^b\varphi(x)dx;\ dx;\ \end{equation} Khi ú Trong ký hiđu \eqref{Eq:4} phõn \subsubsection{\em \textbf{NhĐn xột.}}\label{nx212} Tì ánh nghợa cỹa tớch phõn tng tớch phõn $\sigma_\pi$ cỹa nú l hữ cẵ bọn theo nghợa mữi $\epsilon > 0$ v $\pi_2$ l hai phõn hoếch cỹa $[a \delta$ thỡ $$ \|\sigma_{\pi_1}(\xi_1 \eta_q)\| < \epsilon $$ vắi mữi iơm chữn $\xi_1 thuàc cỏc oến chia cỹa $\pi_1$ v $\pi_2$ tòẵng ẹng. Ngòỵc lếi rÂng nêu $\sigma_\pi$ l hữ cẵ bọn thỡ nú hài tứ. \subsubsection{\em \textbf{éánh lý.}}\label{dl213} \textit{Cho hm $\varphi: [a F$. Nêu $\varphi$ khọ tớch trờn $[a ú.} \textit{Chẹng minh.} Chẹng minh theo phòẵng phỏp phọn chẹng. Giọ sỉ ngòỵc lếi b]$. Khi ú cho vắi mữi phõn hoếch $\pi$ cỹa oến $[a $$ a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_n = b $$ vắi $d(\pi) < \delta$ $$ \|\sigma_\pi(\xi_1 $$ vắi mữi cỏch chữn $\xi_k \in [x_{k - 1} \overline{1 MÊt khỏc chÊn ớt nhÔt tếi màt oến chia no ú x_{k_0}]$. Khi ú ta cú thơ chữn iơm $\xi_{k_0} \in [x_{k_0 - 1} x_{k_0}]$ sao cho $$ (x_{k_0} - x_{k_0 - 1})\|\varphi(\xi_{k_0})\| > 1 + 2\|I\| + \|\sum_{j \not= k_0}(x_j - x_{j - 1})\varphi(\xi_j)\|. $$ v ta cú: \begin{eqnarray*} Sheet1 Page 7 \|\sigma_\pi - I\| &=& \left\|(x_{k_0} - x_{k_0 - 1})\varphi(\xi_{k_0}) - \left[I - \sum_{j \not= k_0}(x_j - x_{j - 1})\varphi(\xi_j)\right]\right\|\\ &\geq& 1 + 2\|I\| + \|\sum_{j \not= k_0}(x_j - x_{j - 1})\varphi(\xi_j)\| \\ &-& \left[\|I\| + \|\sum_{j \not= k_0}(x_j - x_{j - 1})\varphi(\xi_j)\|\right] \end{eqnarray*} hay $$ 1 > \|\sigma_\pi - I\| \geq 1 + \|I\|. $$ éõy l màt iôu mõu thuỗn. Tì ú ta suy ra $\varphi$ khọ tớch trờn $[a \subsubsection{\em \textbf{NhĐn xột.}}\label{nx214} (i) éánh lý \ref{dl213} chù l iôu kiđn cƠn m khụng ỹ. Màt hm bá chÊn vỗn cú thơ khụng khọ tớch. Chặng hến ta xột hm Dirichlet $D: [a cho bãi \begin{equation*}\label{Eq: 12} D(x) = \begin{cases} 1 & \text{ nêu $x$ hổu tệ}\\ 0 & \text{ nêu $x$ vụ tệ}. \end{cases} \end{equation*} Rừ rng $D$ bá chÊn nhòng $D$ khụng khọ tớch. ThĐt vĐy cỹa $[a hổu tệ $\xi_k$ thỡ $$ \sigma_\pi = \sum_{k = 1}^{n}(x_k - x_{k - 1})D(\xi_k) = b - a. $$ MÊt khỏc $$ \sigma_\pi = \sum_{k = 1}^{n}(x_k - x_{k - 1})D(\xi_k) = 0. $$ Do ú giắi hến. éiôu ny chẹng tử hm $D(x)$ khụng khọ tớch trờn $[a b]$. (ii) éánh nghợa tớch phõn òa ra ã trờn vắi tròảng hỵp $a < b$. Cỏc tròảng hỵp khỏc ta ánh nghợa nhò sau: \subsubsection{\em \textbf{éánh nghợa.}}\label{dn215} (i) Nêu $a = b$ thỡ $$ \int\limits_{a}^{a}\varphi(x)dx = 0. $$ (ii) Nêu $b < a$ thỡ $$ Sheet1 Page 8 \int\limits_{a}^{b}\varphi(x)dx = -\int\limits_{b}^{a}\varphi(x)dx. $$ \subsection{éiôu kiđn khọ tớch} Dòắi õy ta giắi thiđu màt s iôu kiđn ỹ ơ hm $\varphi$ khọ tớch \subsubsection{\em \textbf{éánh lý.}}\label{dl221} \textit{Nêu hm $\varphi: [a F$ liờn tức trờn $[a \textit{Chẹng minh.} Theo NhĐn xột \ref{nx212} v éánh lý \ref{dl213} > 0$ sao cho vắi hai phõn hoếch bÔt kẽ $\pi^1$ v $\pi^2$ cỹa oến $[a theo $$ \|\sigma_{\pi^1}(\xi^1_{1} \sigma_{\pi^2}(\xi^2_{1} $$ Vỡ hm $\varphi$ liờn tức trờn oến $[a trờn ú. Do ú vắi $\epsilon > 0$ $|x' - x| < \delta$ thỡ $$ \|\varphi(x') - \varphi(x)\| < \frac{\epsilon}{2(b - a)}. $$ Giọ sỉ $\pi^1$ v $\pi^2$ l cỏc phõn hoếch cỹa oến $[a thnh cỏc oến chia $$ \Delta^1_k 1 $$ sao cho $d(\pi^1) < \delta \Delta^1_k \ $\pi^3$ tếo bãi hỵp cỏc iơm chia cỹa $\pi^1$ v $\pi^2$ v chữn $\xi^3_p \in \Delta^3_p cú {\fontsize{13pt}{13pt}\selectfont \begin{eqnarray*} && \|\sigma_{\pi^2}(\xi^2_1 \sigma_{\pi^1}(\xi^1_1 &\leq& \|\sigma_{\pi^2}(\xi^2_1 \sigma_{\pi^3}(\xi^3_1 \|\sigma_{\pi^3}(\xi^3_1 \sigma_{\pi^1}(\xi^1_1 &=&\|\sum_{j = 1}^{n_2}\varphi(\xi^2_j)|\Delta^2_j| - \sum_{p = 1}^{n_3}\varphi(\xi^3_p)|\Delta^3_p|\| + \|\sum_{p = 1}^{n_3}\varphi(\xi^3_p)|\Delta^3_p| - \sum_{k = 1}^{n_1}\varphi(\xi^1_k)|\Delta^1_k|\|\\ Sheet1 Page 9 &\leq& \|\sum_{j = 1}^{n_2}\sum_{\Delta^3_p \subset \Delta^2_j}\left(\varphi(\xi^2_j) - \varphi(\xi^3_p)\right)|\Delta^3_p|\| + \|\sum_{k = 1}^{n_1}\sum_{\Delta^3_p \subset \Delta^1_k}\left(\varphi(\xi^3_p) - \varphi(\xi^1_k)\right)|\Delta^3_p|\|\\ &\leq& \frac{\epsilon}{2(b - a) + 1}\sum_{j = 1}^{n_2}\sum_{\Delta^3_p \subset \Delta^2_j}|\Delta^3_p| + \frac{\epsilon}{2(b - a) + 1}\sum_{k = 1}^{n_1}\sum_{\Delta^3_p \subset \Delta^1_k}|\Delta^3_p|. \end{eqnarray*}} VĐy \subsubsection{\em \textbf{éánh lý.}}\label{dl222} \textit{Nêu hm $\varphi: [a F$ bá chÊn trờn $[a màt s hổu hến iơm thỡ hm $\varphi$ khọ tớch trờn $[a \textit{Chẹng minh.} Ta chù xột tròảng hỵp $\varphi$ cú màt iơm giỏn oến $c \in [a c- \epsilon] \subset [a b]$. Theo giọ thiêt $\varphi$ liờn tức trờn cỏc oến $[a \epsilon]$ v $[c + \epsilon $\varphi$ khọ tớch trờn cỏc oến ú. Chữn $\delta > 0$ thửa món ánh nghợa tớch phõn cỹa $\varphi$ trờn oến $[a [c + \epsilon Giọ sỉ $\pi^1$ v $\pi^2$ l hai phõn hoếch tựy ý cỹa $[a $d(\pi^1) xem rÂng mi oến chia cỹa $\pi^2$ òỵc bao hm trong màt oến chia no ú cỹa $\pi^1$. Ngoi ra $c - \epsilon$ v $c + \epsilon$ luụn l cỏc iơm chia. Ta cú \begin{eqnarray*} && \|\sigma_{\pi^2}(\xi^2_1 \sigma_{\pi^1}(\xi^1_1 &= & \sum_{j = 1}^{n_2}|\Delta_j^2|\varphi(\xi^2_j) - \sum_{k = 1}^{n_1}|\Delta_k^1|\varphi(\xi^1_k)\\ &\leq& \|\sum_{\Delta^2_j \subset [a \epsilon]}|\Delta_j^2|\varphi(\xi^2_j) - \sum_{\Delta^1_k \subset [a &+& \|\sum_{\Delta^2_j \subset [c - \epsilon \epsilon]}|\Delta_j^2|\varphi(\xi^2_j)\| + \|\sum_{\Delta^1_k \subset [c - \epsilon \epsilon]}|\Delta_k^1|\varphi(\xi^1_k)\|\\ &+& \|\sum_{\Delta^2_j \subset [c + \epsilon b]}|\Delta_j^2|\varphi(\xi^2_j) - \sum_{\Delta^1_k \subset [c + \epsilon &\leq& \epsilon + 2M\epsilon + 2M\epsilon + \epsilon\\ &=& 2\epsilon(2M + 1) \end{eqnarray*} vắi mữi $\xi^1_k \in \Delta^1_k \ $\varphi$ khọ tớch trờn $[a Sheet1 Page 10 \subsubsection{\em \textbf{Vớ dứ.}}\label{vd223} 1) Giọ sỉ $E = l_p$ vắi \begin{eqnarray*} l_p &=& \bigg\{\{x_n\} \subset \mathbb{R}: \sum_{n = 1}^{\infty}|x_n|^p < \infty\bigg\} \|x\|_p &=& \left(\sum_{n = 1}^{\infty}|x_n|^p\right)^\frac{1}{p} \ \end{eqnarray*} Cho hai hm $f \begin{eqnarray*} f(x) &=& a\ g(x) &=& ax\ \end{eqnarray*} trong ú $a$ l phƠn tỉ cho tròắc thuàc $l_p$. Bõy giả ta să xột tớnh khọ tớch v tớnh tớch phõn cỹa $f$ v $g$. Vỡ $f trờn $[0 Giọ sỉ $\pi$ l phõn hoếch $[0 cỏc iơm $x_0 \overline{0 $$ \sigma_\pi(f) = \sum_{i = 1}^{n}(x_i - x_{i - 1})f(\xi_i) = \sum^{n}_{i = 1}\frac 1n f(x_i) = \sum_{i = 1}^{n}\frac 1na = a. $$ Do ú $$ \lim_{n \to \infty}\sigma_\pi(f) = a. $$ MÊt khỏc $$ \int\limits_{0}^{1}f(x)dx = a. $$ Vắi phõn hoếch $\pi$ nhò trờn ta cú $$ \sigma_\pi(g) = \sum_{i = 1}^{n}(x_i - x_{i - 1})g(x_i) = \frac 1n\sum^{n}_{i = 1}x_ia = \frac 1n\sum^{n}_{i = 1}\frac in a = \frac a2. $$ Tòẵng tủ nhò i vắi hm $f$ $$ \int\limits_{0}^{1}g(x)dx = \frac a2. $$ 2) Giọ sỉ $E = C_{[a xỏc ánh nhò sau \begin{eqnarray*} f(x) &=& ux\ g(x) &=& ux^2\ \end{eqnarray*} . phõn Rimann trong khụng gian n} Trong mức ny giỏ trá trong khụng gian thủc) ta să giắi thiđu ánh nghợa tớch phõn cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian n. khỏi niđm cẵ bọn ơ sỉ dứng trong khúa luĐn. extbf{PhƠn II. Tớch phõn Riemann cỹa hm nhĐn giỏ trá trong khụng gian Banach. } Trong phƠn ny cỏc tớnh chÔt