Một số phương pháp hiệu quả giải phương trình vi phân đại số phi tuyến có cấu trúc

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————- NGUY€N DUY TRƯèNG M®T SO PHƯƠNG PHÁP HI›U QUÁ GIÁI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SO PHI TUY€N CĨ CAU TRÚC LU¾N ÁN TI€N SĨ TỐN HOC Hà N®i - 2019 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———————- NGUY€N DUY TRƯèNG M®T SO PHƯƠNG PHÁP HI›U QUÁ GIÁI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐAI SO PHI TUY€N CĨ CAU TRÚC Chun ngành: Tốn úng dnng Mã so: 62460112 LU¾N ÁN TI€N SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TSKH Vũ Hồng Linh Hà N®i - 2019 LèI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan nhung ket q trình bày lu¾n án này, dưái sn hưáng dan cua PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, trung thnc chưa tùng đưac cơng bo bat kỳ cơng trình cua khác Nhung ket quã viet chung vái phó giáo sư Vũ Hồng Linh c®ng sn đưac đong ý a vo luắn ỏn H nđi, thỏng nm 2019 Nghiên cúu sinh Nguyen Duy Trưàng LèI CÁM ƠN Trưác het, tơi xin bày tõ lịng biet ơn chân thành sâu sac tái Thay hưáng dan, PGS TSKH Vũ Hồng Linh Thay ngưài đau tiên dìu dat hưáng dan đưàng nghiên cúu khoa HQC Trong suot q trình làm lu¾n án, Thay ln quan tâm giúp đã, chi bão tơi đ®ng viên tơi nhung lúc g¾p khó khăn nghiên cúu Nhà nhung ý tưãng mà Thay gai ý, nhung góp ý, hưáng dan cua Thay, nhung tài li¾u bő ích mà Thay cung cap, tơi hồn thành đe tài cua Tơi xin chân thành cãm ơn thay anh ch% em B® mơn Tốn úng dnng nói riêng Khoa Tốn - Cơ - Tin HQC, trưàng ĐHKHTN ĐHQGHN nói chung Nhung ý kien quý báu cua thay ban ã kỳ Xêmina b® mơn sn tao đieu kiắn cua khoa v cua bđ mụn ó giỳp tụi rat nhieu vi¾c hồn thành lu¾n án Tơi xin chân thành cãm ơn anh ch% em khoa Khoa HQC Tn nhiên, Trưàng Sĩ Quan Lnc Quân Phịng Qn lý HQC VIÊN, Đồn 871, Tőng Cnc Chính Tr% Đơn v% tao MQI đieu ki¾n thu¾n lai cho tơi n tâm HQC t¾p, nghiên cúu cơng tác Sn quan tâm nhung lài đ®ng viên, khích l¾ cua anh ch% em đong nghi¾p giúp tơi rat nhieu vi¾c hồn thành lu¾n án cua Tơi xin gui lài cãm ơn tái "Quy phát trien khoa HQC Và cơng ngh¾ quoc gia - Nafosted" Quy dành nhieu sn hő tra het súc q báu giúp tơi có đieu ki¾n tot nhat đe hoàn thành đe tài nghiên cúu cua Cuoi cùng, lu¾n án se khơng the hồn thành neu khơng có sn đ®ng viên hő tra ve MQI m¾t cua gia đình Qua đây, tơi gui lài cãm ơn tái va, tôi, nhung ngưài ln cho tơi đ®ng lnc, tieng cưài tao đieu ki¾n thài gian cho tơi HQC t¾p nghiên cúu Lu¾n án này, nhung tơi co gang thnc hi¾n, đe gui tái cha me, va con, anh ch% em nhung ngưài thân gia đình, vái tat cã lòng biet ơn sâu sac nhat MUC LUC Trang Lài cam đoan2 Lài cám ơn3 Mnc lnc4 Báng kí hi¾u7 Báng chu viet tat8 Má đau9 Kien thúc chuan b%18 1.1 Giái thi¾u phương trình vi phân đai so phương trình vi phân đai so có ch¾m 18 1.1.1 Khái ni¾m phân loai phương trình vi phân đai so 18 1.1.2 1.1.3 1.2 Phương trình vi phân có ch¾m phương trình vi phõn so cú chắm 22 Sn phn thuđc cua nghi¾m vào du li¾u .25 Phương pháp so cho phương trình vi phân thưàng 28 1.2.1 Các khái ni¾m bãn .28 1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 31 1.2.3 Phương pháp Runge-Kutta đau liên tnc 33 1.2.4 Phương pháp đa bưác 36 1.2.5 Phương pháp Runge-Kutta vái thác trien liên tnc cho phương trình vi phân có ch¾m 38 1.3 Phương pháp so cho phương trình vi phân đai so dang nua hi¾n chi so 40 1.3.1 Phương pháp Runge-Kutta 40 1.3.2 1.4 Phương pháp đa bưác 42 M®t so ket quã bő tra khác .42 Phương pháp so cho m®t láp phương trình vi phân đai so44 2.1 M®t láp phương trình vi phân đai so khơng có tính la .44 2.1.1 Phân tích cau trúc cua toán .44 2.1.2 Sn phn thuđc cua nghiắm vo du liắu .46 2.2 Các phương pháp Runge-Kutta 49 2.2.1 Rài rac hóa bang phương pháp Runge-Kutta bán hi¾n 49 2.2.2 Rài rac hóa bang phương pháp Runge-Kutta an 52 2.2.3 Sn h®i tn cua phương pháp Runge-Kutta 58 2.2.4 Tính őn đ%nh tuy¾t đoi cua phương pháp Runge-Kutta.60 2.2.5 Sn tích lũy cua sai so 62 2.2.6 Thu nghi¾m so 67 2.3 2.4 Các phương pháp đa bưác 71 2.3.1 Rài rac hóa bang phương pháp đa bưác an bán hi¾n.73 2.3.2 Sn tích lũy cua sai so 76 2.3.3 Sn h®i tn cua phương pháp đa bưác .84 2.3.4 Tính őn đ%nh tuy¾t đoi cua phương pháp đa bưác 86 2.3.5 Thu nghi¾m so 87 So sánh phương pháp 91 Phương pháp so cho m®t láp phương trình vi phân đai so có ch¾m96 3.1 Phân loai toỏn v phõn tớch sn phn thuđc cua nghiắm vo du li¾u 96 3.2 Phương pháp đa bưác ket hap vái n®i suy 104 3.2.1 3.3 3.4 Rài rac hóa bang phương pháp đa bưác ket hap vái n®i suy104 3.2.2 Sn h®i tn cua phương pháp đa bưác ket hap vái n®i suy106 Phương pháp Runge-Kutta bán hi¾n vái thác trien liên tnc 109 3.3.1 Rài rac hóa bang phương pháp Runge-Kutta bán hi¾n vái thác trien liên tnc 109 3.3.2 Sn h®i tn cua phương pháp Runge-Kutta bán hi¾n vái thác trien liên tnc 111 Thu nghi¾m so 118 Ket lu¾n127 Danh mnc cơng trình khoa HQC cúa tác giá liên quan đen lu¾n án128 Tài li¾u tham kháo129 BÁNG KÍ HI›U N T¾p hap so tn nhiên R C T¾p hap so thnc T¾p hap so phúc I Đoan [0, T] ⊂ R R m, ( Cm ) Rm1,m2 m ,m C ppI(k I, I, R Rm ) 2) C p rank A Không gian véc tơ m chieu R, (C) Khơng gian ma tr¾n thnc cã m1 × m2 Khơng gian hàm véc tơ m chieu vi2 liên captnc p cap Khơng tr¾n m ×m khã tnc vi liên Ma tr¾ngian đơncác v%hàm kíchma thưác k cã × k khã Hang cua ma trắn A Const Tớch Kronecker Mđt hang so no O(h k) Q Vơ bé b¾c vái hk Ket thúc chúng minh BÁNG CÁC CHU VI€T TAT BTGTĐ Bài toán giá tr% ban đau OĐTĐ On đ%nh tuy¾t đoi PTVPC Phương trình vi phân có ch¾m PTVPĐS Phương trình vi phân đai so PTVPĐSC Phương trình vi phân đai so có ch¾m PTVPT Phương trình vi phân thưàng AM Adams-Moulton RK Runge-Kutta ERK Runge-Kutta hi¾n (Explicit Runge- Kutta) IRK Runge-Kutta an (Implicit Runge-Kutta) CRK Runge-Kutta liên tnc (Continuous Runge-Kutta) NCE Thác trien liên tnc tn nhiên (Natural Continuous Extension) HEEL Euler bán hi¾n (Half-explicit Euler) HERK Runge-Kutta bán hi¾n (Half-explicit Runge-Kutta) HERK-CE Runge-Kutta bán hi¾n vái thác trien liên tnc (Half-explicit Runge-Kutta with Continuous Extension) HERK-NCE Runge-Kutta bán hi¾n vái thác trien liên tnc tn nhiên (Half-explicit Runge-Kutta with Natural Continuous Extension) HEMID-NCE Trung điem bán hi¾n vái thác trien liên tnc tn nhiên (Half-Explicit Midpoint with Natural Continuous Extension) HELM Đa bưác bán hi¾n (Half-explicit Linear Multistep) HEOL Mđt chõn bỏn hiắn (Half-explicit One-Leg) HEMID Trung điem bán hi¾n (Half-Explicit Midpoint) HEAB Adams-Bashforth bán hi¾n (Half-Explicit Adams- Bashforth) IMID Trung điem an (Implicit Midpoint) TRAP Hình thang (Trapezoidal) BDF Công thúc vi phân lùi (Backward Differentiation Formula) θ = 0.5 θ = 0.7 h =π/10 Sai so x1 Toc đ® x1 Sai so e1 Toc đ® η1 Sai so e1 Toc đ® η1 h/4 3.4495e-05 3.7223 3.9162e-05 3.7157 4.3174e-05 3.7193 h/8 2.3693e-06 3.8638 2.6930e-06 3.8622 2.9595e-06 3.8667 h/16 1.5507e-07 3.9335 1.7642e-07 3.9321 1.9347e-07 3.9352 h/32 9.9166e-09 3.9669 1.1286e-08 3.9664 1.2363e-08 3.9680 h/64 6.2686e-10 3.9836 7.1363e-10 3.9833 7.8126e-10 3.9841 h = π/10 Sai so x2 Toc đ® x2 Sai so e2 Toc đ® η2 Sai so e2 Toc đ® η2 h/4 7.7280e-04 3.7369 7.7209e-04 3.7328 7.7252e-04 3.7354 h/8 5.2951e-05 3.8674 5.2940e-05 3.8664 5.2946e-05 3.8670 h/16 3.4633e-06 3.9344 3.4632e-06 3.9342 3.4632e-06 3.9343 h/32 2.2139e-07 3.9675 2.2139e-07 3.9674 2.2139e-07 3.9675 h/64 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 Bãng 3.11: Ket quã so cho (3.63) bang phương pháp HERK4-NCE3 θ = 0.5 θ = 0.7 h =π/10 Sai so x1 Toc đ® x1 Sai so e1 Toc đ® η1 Sai so e1 Toc đ® η1 h/4 3.4495e-05 3.7223 3.9162e-05 3.7157 4.1926e-05 3.6565 h/8 2.3693e-06 3.8638 2.6930e-06 3.8622 3.1345e-06 3.7416 h/16 1.5507e-07 3.9335 1.7642e-07 3.9321 2.4126e-07 3.6996 h/32 9.9166e-09 3.9669 1.1286e-08 3.9664 2.3625e-08 3.3522 h/64 6.2686e-10 3.9836 7.1363e-10 3.9833 3.5422e-09 2.7376 h = π/10 Sai so x2 Toc đ® x2 Sai so e2 Toc đ® η2 Sai so e2 Toc đ® η2 h/4 7.7280e-04 3.7369 7.7209e-04 3.7328 7.6777e-04 3.7389 h/8 5.2951e-05 3.8674 5.2940e-05 3.8664 5.2353e-05 3.8743 h/16 3.4633e-06 3.9344 3.4632e-06 3.9342 3.3892e-06 3.9493 h/32 2.2139e-07 3.9675 2.2139e-07 3.9674 2.1214e-07 3.9978 h/64 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 1.2838e-08 4.0465 Bãng 3.12: Ket quã so cho (3.63) bang phương pháp HERK4-NCE2 trưàng hap cho PTVPĐS khơng có ch¾m Do tính linh hoat vi¾c thay đői bưác đi, nói chung phương pháp Runge-Kutta vái thác trien liên tnc ưu vi¾t so vái phương pháp đa bưác K€T LU¾N Lu¾n án đe xuat nghiên cúu tính chat cua phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bưác cho mđt lỏp PTVPS phi tuyen cú cau trỳc Luắn án nghiên cúu sn h®i tn cua phương pháp đa bưác ket hap vái m®t phép n®i suy phương pháp Runge-Kutta bán hi¾n vái thác trien liên tnc cho m®t láp PTVPĐSC phi tuyen có cau trúc Các ket q cúa lu¾n án bao gom: Xây dnng thu¾t tốn, phân tích tính őn đ%nh, sn h®i tn cua phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bưác tuyen tính cho m®t láp phương trình vi phân đai so phi tuyen có cau trúc Các phương pháp van giu đưac tính őn đ%nh toc đ® h®i tn áp dnng cho phương trình vi phân thưàng Khi áp dnng cho m®t láp phương trình vi phân đai so nua tuyen tính, phương pháp bán hi¾n có chi phí tính toán thap nhieu so vái phương pháp an Mđt so thu nghiắm so ó ac a e minh HQA cho ket quã lý thuyet Phân tích, phân loai khão sát sn phn thu®c cua nghiắm vo du liắu cho mđt lỏp PTVPSC phi tuyen có cau trúc vái tre hang Xây dnng phương pháp v chỳng minh sn hđi tn cua nghiắm so cho toán bang phương pháp đa bưác ket hap vỏi nđi suy hoắc bang phng phỏp Runge-Kutta bỏn hiắn ket hap vỏi thỏc trien liờn tnc Mđt so thu nghi¾m so đưac đưa minh HQA cho ket quã lý thuyet M®t so hưáng nghiên cúu tiep theo: 1.Xây dnng thu¾t tốn vái đánh giá sai so lna CHQN bưác tn đ®ng 2.Cài đ¾t áp dnng phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bưác đe xuat toán tính so mũ Lyapunov hay khỗng phő Sacker-Sell Tù áp dnng nghiên cúu tính őn đ%nh cua PTVPĐS bang lý thuyet phő 3.Mã r®ng nghiên cúu lý thuyet phương pháp so cho PTVPĐSC phi tuyen vái tre bien thiên DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CÚA TÁC GIÁ LIÊN QUAN Đ€N LU¾N ÁN 1.V.H Linh, N.D Truong (2018), "Runge-Kutta methods revisited for a class of structured strangeness-free differential-algebraic equations", Electr Trans Num Anal., 48: 131-155 (SCIE) 2.V.H Linh and N.D Truong (2018), "Stable numerical solution for a class of structured differential-algebraic equations by linear multistep methods", Acta Math Vietnamica., Published online 29 January 2019, https://doi.org/10.1007/s40306-018-00310-5, (ESCI/SCOPUS) 3.V.H Linh, N.D Truong and M.V Bulatov (2018), "Convergence analysis of linear multistep methods for a class of delay differential-algebraic equations", Bull South Ural State Univ., Series “Math Model., Prog & Soft- ware”., 11 (4): 78-93 (ESCI/SCOPUS) 4.V.H Linh and N.D Truong, "On convergence of continuous Runge-Kutta methods for a class of delay differential-algebraic equations", (submitted for publication) TÀI LI›U THAM KHÁO Tài li¾u tieng Vi¾t [1] Pham Kỳ Anh (2005), Giãi Tích So, NXB Đai HQC Quoc gia H Nđi Ti liắu tieng Anh [2] Arnold M (1993), Stability of numerical methods for differential- algebraic equations of higher index, Appl Num Math., 13: 5–14 [3] Arnold M., Strehmel K and Weiner R (1993), Half-explicit Runge- Kutta methods for semi-explicit differential-algebraic equations of index 1, Nu- mer Math., 64: 409–431 [4] Arnold M (1998), Half-explicit Runge-Kutta methods for semi-explicit differential-algebraic equations of index 2, BIT., 38: 415–438 [5] Ascher U and Petzold L (1991), Projected implicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic equations, SIAM J Numer Anal., 28 (4): 1097– 1120 [6] Ascher U and Petzold L (1993), Stability of computational methods for constrained dynamics systems, SIAM J Sci Comput., 14: 95–120 [7] Ascher U and Petzold L (1995), The numerical solution of delay- differential-algebraic equations of retarded and neutral type, SIAM J Nu- mer Anal., 32: 1635–1657 [8] Ascher U and Petzold L (1998), Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations, SIAM, Philadelphia [9] Baker C.T.H, Paul C.A.H and Tian H (2002), Differential algebraic equa- tions with after-effect, J Comput Appl Math., 140: 63–80 [10] Bellen A (1984), One-step collocation for delay differential equations, J Comput Appl Math., 10: 275–283 [11] Bellen A., Zennaro M (1988), Stability properties of interpolants for Runge-Kutta methods, SIAM J Numer Anal., 25: 411–432 Bellen A., Zennaro M (2003), [12] Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press [13] Bellman R and Cooke K.L (1963), Differential-Difference Equations, Math- ematics in Science and Engineering, Elsevier Science [14] Bellman R and Cooke K.L (1965), On computational solution of a class of functional differential Equations, J Math Anal Appl., 12: 495– 500 [15] Brasey V and Hairer E (1993), Half explicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 2, SIAM J Numer Anal., 30: 538– 552 [16] Brenan K.E., Campbell S.L and Petzold L (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia [17] Bulatov M.V., Linh V.H., Solovarova L.S (2016), On BDF-Based Multistep Schemes for Some Classes of Linear Differential-Algebraic Equations of Index at Most 2, Acta Math Vietnam., 41: 715–730 [18] Campbell S.L and Linh V.H (2009), Stability criteria for differential- algebraic equations with multiple delays and their numerical solutions, Appl Math Comput., 208: 397–415 [19] Cao Y., Li S., Petzold L., and Serban R (2003), Adjoint sensitivity anal- ysis for differential-algebraic equations: the adjoint DAE system and its numerical solution, SIAM J Sci Comput., 24: 1076–1089 [20] Cryer C.W (Sep., 1974), Highly Stable Multistep Methods for Retarded Differential Equations, SIAM J Numer Anal., 11 (4): 788–797 Dieci L and Eirola T.(1999), On smooth decompositions of matrices, [21] SIAM J Matr Anal Appl., 20: 800–819 [22] Dokchan R (2011), Numerical Integration of Differential-Algebraic Equations with Harmless Critical Point, Ph.D thesis, Humboldt-University of Berlin [23] Du N.H., Linh V.H., Mehrmann V and Thuan D.D.(2013), Stability and robust stability of linear time-invariant delay differentialalgebraic equa- tions, SIAM J Matr Anal Appl., 34 (4): 1631–1654 [24] Gear C.W., Leimkuhler B and Gupta G.K (1985), Automatic integra- tion of Euler-Lagrange equations with constraints, J Comput Appl Math., 12/13: 77–90 Gear C.W (1988), Differential-algebraic equation index transformations, [25] SIAM J Sci Statist Comput., 9: 3947 [26] Griepentrog E and M aărz R.(1986), Differential-Algebraic Equations and their Numerical Treatment, Teubner Verlag, Leipzig [27] Guglielmi N (1997), On the asymptotic stability properties of Runge- Kutta methods for delay differential equations, Numer Math., 77: 467–485 [28] Guglielmi N and Hairer E (2001), Implementing Radau IIA methods for stiff delay differential equations, Computing., 67: 1–12 [29] Guglielmi N and Hairer E (2008), Computing breaking points in implicit delay differential equations, Adv Comput Math., 29: 229–247 Hairer E., Lubich C [30] and Roche M (1989), The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods, Springer, Berlin [31] Hairer E., N ørsett S.P and Wanner G (1996), Solving Ordinary Differential Equation I – nonstiff Problems, 2nd ed., Springer, Berlin [32] Hairer E and Wanner G (1996), Solving ordinary differential equation II – Stiff and differential-algebraic problems, 2nd ed., Springer, Berlin [33] Hauber R (1997), Numerical treatment of retarded differential- algebraic equations by collocation methods, Adv Comput Math., 7: 573–592 [34] Higueras I and Garcia-Celayeta B (1999), Runge-Kutta methods for DAEs A new approach, J Comput Appl Math., 111: 4961 [35] Higueras I., M aărz R and Tischendorf C (2003), Stability preserving inte- gration of index-1 DAEs, Appl Num Math., 45: 175– 200 [36] Kunkel P and Mehrmann V (1998), Regular solutions of nonlinear DAEs and their numerical determination, Numer Math., 79: 581–600 [37] Kunkel P and Mehrmann V (2004), Index reduction for DAEs by minimal extension, Z Angew Math Mech., 84: 579–597 [38] Kunkel P and Mehrmann V (2006), Differential-Algebraic Equations Analy- sis and Numerical Solution, European Mathemantical Society, Zuă rich [39] Kunkel P and Mehrmann V (2007), Stability properties of DAEs and spin-stabilized discretization, Electr Trans Num Anal., 26: 383– 420 [40] Lamour R., M aărz R., and Tischendorf C (2013), Differential- Algebraic Equations: A Projector Based Analysis, Springer, Heidelberg [41] Linh V.H and Mehrmann V (2011), Approximation of spectral intervals and associated leading directions for linear DAEs via smooth singular value decompositions, SIAM J Numer Anal., 49: 1810–1835 [42] Linh V.H., Mehrmann V and Vleck E.V (2011), QR methods and error analysis for computing Lyapunov and Sacker-Sell spectral intervals for linear differential-algebraic equations, Adv Comput Math., 35: 281– 322 [43] Linh V.H and Mehrmann V (2014), Efficient integration of matrix- valued non-stiff DAEs by half-explicit methods, J Comput Appl Math., 262: 346– 360 [44] Linh V.H and "Half-explicit Truong N.D (2018), Runge-Kutta- Chebyshev methods for strangeness- free stiff DAEs", Vietnam J Math Ap- plic., (accepted for publication) [45] Liniger W (1979), Multistep and one-leg methods for implicit mixed dif- ferential algebraic systems, IEEE Trans Circ and Syst., CAS26: 755–762 Liu H and Xiao A (2012), Convergence of linear multistep [46] methods and one-leg methods for index-2 differential-algebraic equations with a vari- able delay, Adv AppL Math Mech., (5): 636– 646 [47]L oă tstedt P and Petzold L (1986), Numerical Solution of Nonlinear Dif- ferential Equations with Algebraic Constraints I: Convergence Results for Backward Differentiation Formula, Math Comput., 46 (174): 491–516 [48]M aă rz R (1985), On Initial Values Problems in DifferentialAlgebraic Equations and Their Numerical Treatment, Computing., 35: 13–37 [49]M aă rz R (1986), On one-leg methods for differential-algebraic equations, Circ Syst Signal Proc., 2: 87–95 [50] Murua A (1997), Partitioned Half-Explicit Runge-Kutta Methods for Differential-Algebraic Systems of Index 2, Computing., 59: 43–61 [51] Oberle H.J and Pesch H.J (1981), Numerical Treatment of Delay Differ- ential Equations by Hermite Interpolation, Numer Math., 37: 235–255 [52] Pantelides C.C (1988), The consistent initialization of differential- algebraic systems, SIAM J Sci Statist Comput., 9: 213–231 [53] Petzold L (1986), Order results for implicit Runge-Kutta methods ap- plied to differential/algebraic systems, SIAM J Numer Anal., 23 (4): 837– 852 [54] Phi H (2015), Analysis and Numerical solution of Delay Differential- Algebraic Equations, PhD thesis, TU Berlin, Berlin, Germany [55] Rabier P.J and Rheinboldt W.C (2002), Theoretical and Numerical Analysis of Differential-Algebraic Equations, Vol VIII of Handbook of Num Analysis., Elsevier Publications, Amsterdam, The Netherlands [56] Rheinboldt W.C (1984), Differential-algebraic systems as differential equations on manifolds, Math Comp., 43: 473-–482 [57] Shampine L.F and Gahinet P (2006), Delay-differential-algebraic equa- tions in control theory, Appl Num Math., 56: 574–588 [58] Van der Houwen P.J and Sommeijer B.P (1980), On the internal stability of explicit m-stage Runge-Kutta methods for large m-values, Z Angew Math Mech., 60: 479–485 [59] Verwer J.G., Hundsdorfer W.H and Sommeijer B.P (1990), Convergence properties of the Runge-Kutta-Chebyshev method, Numer Math., 57: 157– 178 [60] Verwer J.G (1996), Explicit Runge-Kutta methods for parabolic partial differential equations, Appl Num Math., 22: 359–379 [61] Zhu W., Petzold L.R (1997), Asymptotic stability of linear delay DAEs and numerical methods, Appl Num Math., 24: 247–264 [62] Zhu W., Petzold L.R (1998), Asymptotic stability of Hessenberg delay DAEs of retarded or neutral type, Appl Num Math., 27: 309–325 ... bien cua tốn, nên khơng phân tích láp PTVPĐS 1.1.2 Phương trình vi phân có ch¾m phương trình vi phân đai so có ch¾m Nghiên cúu ve phương trình vi phân có ch¾m (PTVPC) phương pháp so giãi PTVPC phát... VI? ??T TAT BTGTĐ Bài toán giá tr% ban đau OĐTĐ On đ%nh tuy¾t đoi PTVPC Phương trình vi phân có ch¾m PTVPĐS Phương trình vi phân đai so PTVPĐSC Phương trình vi phân đai so có ch¾m PTVPT Phương trình. .. đai so 18 1.1.2 1.1.3 1.2 Phương trình vi phân có ch¾m phương trình vi phân đai so có ch¾m 22 Sn phn thuđc cua nghiắm vo du liắu .25 Phương pháp so cho phương trình vi phân thưàng 28 1.2.1 Các