Một số phương pháp hiệu quả giải phương trình vi phân đại số phi tuyến có cấu trúc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN DUY TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN CĨ CẤU TRÚC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nôi - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN DUY TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN CÓ CẤU TRÚC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUÂN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH Vũ Hồng Linh Hà Nôi - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, trung thực chưa công bố cơng trình khác Những kết viết chung với phó giáo sư Vũ Hồng Linh cộng đồng ý đưa vào luận án Hà nội, tháng năm 2019 Nghiên cứu sinh Nguyễn Duy Trường LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, PGS TSKH Vũ Hồng Linh Thầy người dìu dắt hướng dẫn đường nghiên cứu khoa học Trong suốt q trình làm luận án, Thầy ln quan tâm giúp đỡ, bảo động viên lúc gặp khó khăn nghiên cứu Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, góp ý, hướng dẫn Thầy, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp, tơi hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn thầy anh chị em Bộ mơn Tốn ứng dụng nói riêng Khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung Những ý kiến quý báu thầy bạn kỳ Xêmina môn tạo điều kiện khoa môn giúp nhiều việc hồn thành luận án Tơi xin chân thành cảm ơn anh chị em khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Sĩ Quan Lục Quân Phịng Quản lý Học viên, Đồn 871, Tổng Cục Chính Trị Đơn vị tạo điều kiện thuận lợi cho yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Sự quan tâm lời động viên, khích lệ anh chị em đồng nghiệp giúp tơi nhiều việc hồn thành luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn tới "Quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia Nafosted" Quỹ dành nhiều hỗ trợ q báu giúp tơi có điều kiện tốt để hồn thành đề tài nghiên cứu Cuối cùng, luận án khơng thể hồn thành khơng có động viên hỗ trợ mặt gia đình Qua đây, tơi gửi lời cảm ơn tới vợ, tôi, người cho động lực, tiếng cười tạo điều kiện thời gian cho học tập nghiên cứu Luận án này, tơi cố gắng thực hiện, để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em người thân gia đình, với tất lòng biết ơn sâu sắc MỤC LỤC Trang 1.1 1.1.1 Rời rạc hóa phương pháp đa bước kết hợp với nội suy104 1.1.2 Sự hội tụ phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 106 1.2 Phương pháp Runge-Kutta bán với thác triển liên tục 109 1.2.1 Rời rạc hóa phương pháp Runge-Kutta bán Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 128 Tài liệu tham khảo 129 BẢNG KÍ HIÊU N R Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số thực C Tập hợp số phức I Đoạn [0, T] c R Rm, (Cm) Không gian véc tơ m chiều R, (C) Rmi,m2 Không gian ma trận thực cỡ mi X m2 C (I , R m ) C (I, Rmi,m2 ) Ik rank A Không gian hàm véc tơ m chiều khả vi liên tục cấp p Tích Kronecker Const O (hk) Một số □ Kết thúc chứng minh Khơng gian hàm ma trận cỡ mi X m2 khả vi liên tục cấp p Ma trận đơn vị kích thước k X k Hạng ma trận A Vô bé bậc với hk BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT BTGTĐ OĐTĐ Bài toán giá trị ban đầu Ổn định tuyệt đối PTVPC Phương trình vi phân có chậm PTVPĐS Phương trình vi phân đại số PTVPĐSC Phương trình vi phân đại số có chậm PTVPT Phương trình vi phân thường AM Adams-Moulton RK ERK Runge-Kutta Runge-Kutta (Explicit Runge-Kutta) IRK Runge-Kutta ẩn (Implicit Runge-Kutta) CRK Runge-Kutta liên tục (Continuous Runge-Kutta) NCE Thác triển liên tục tự nhiên (Natural Continuous Extension) HEEL HERK Euler bán (Half-explicit Euler) Runge-Kutta bán (Half-explicit Runge-Kutta) HERK-CE Runge-Kutta bán với thác triển liên tục (Half-explicit Runge-Kutta with Continuous Extension) HERK-NCE Runge-Kutta bán với thác triển liên tục tự nhiên (Half-explicit Runge-Kutta with Natural Continuous Extension) HEMIDNCE Trung điểm bán với thác triển liên tục tự nhiên HELM (Half-Explicit Midpoint with Natural Continuous Extension) Đa bước bán (Half-explicit Linear Multistep) HEOL Một chân bán (Half-explicit One-Leg) HEMID Trung điểm bán (Half-Explicit Midpoint) HEAB Adams-Bashforth bán (Half-Explicit Adams-Bashforth) IMID Trung điểm ẩn (Implicit Midpoint) TRAP Hình thang (Trapezoidal) BDF Công thức vi phân lùi (Backward Differentiation Formula) MỞ ĐẦU Rất nhiều toán thực tế lĩnh vực khoa học kĩ thuật học, hóa học, thiết kế mạch điện, điều khiển, v.v mơ hình hóa dạng hệ hỗn hợp phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số Các hệ gọi phương trình vi phân đại số (PTVPĐS) PTVPĐS có dạng tổng quát F(t, x, x') = 0, (0.1) t I = [0, T], F : I X Rm X Rm ! Rn, n, m N Nếu ma trận Jacobian F theo x' khơng suy biến từ phương trình (0.1) ta giải x' theo t, x, thu phương trình vi phân thường (PTVPT) Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobian F theo x' suy biến Khi có PTVPĐS, cịn gọi phương trình vi phân ẩn hay phương trình vi phân suy biến Ví dụ 0.1 [38, Example 1.2] Bài tốn mơ tả tiêu hao điện mạch điện gồm điện trở tụ điện (xem Hình 0.1) Chúng ta ký hiệu xi, i = 1,2,3 điện nút mạch điện, U (t) hiệu điện thế, R, C trở kháng điện trở điện dung tụ điện Jfl o R u c Hình 0.1: Mạch điện Dựa vào định luật bảo toàn, ta thu PTVPĐS có dạng C(x' — x'2) + (x1 — x2)/ R = 0, x1 — x3 — U (t) = 0, (0.2) x3 + a(t) = Trong trường hợp đơn giản chọn a(t) số Đây PTVPĐS có số vi phân Ví dụ 0.2 [38, Example 1.3] Xét lắc đơn có khối lượng m độ dài l Hình 0.2 Hình 0.2: Con lắc đơn Đặt hệ trục tọa độ Oxy, dao động lắc mô tả hệ mx" + 2Ẳ x = 0, my" + 2ly + mg = 0, (0.3) x2 + y2 — l2 = 0, số g gia tốc trọng trường, (x, y) tọa độ lắc hệ trục tọa độ Oxy tham số Lagrange l đại diện cho sức căng dây Bằng cách đặt Z1 = x', z2 = y', hệ (0.3) trở thành x — Z1 = 0, y - Z2 = 0, mz'1 + 2l x = 0, (0.4) mz2 + 2ly + mg = 0, x2 + y2 — l2 = Đây PTVPĐS số với biến x, y, z1, z2, l Một số ví dụ khác phương trình Van der Pol hay tốn bán rời rạc phương trình đạo hàm riêng Navier-Stokes, v.v dẫn đến PTVPĐS Khi nghiên cứu PTVPT PTVPĐS, thường quan tâm tới hai toán toán giá trị ban đầu (BTGTĐ) toán giá trị biên Phương pháp AM2 (3.25) h = p/10 Sai số Xi Tốc độ Xi Sai số X2 Tốc độ X2 h/4 1.3863e-04 2.9582 2.9698e-03 3.0033 h/8 1.7502e-05 2.9857 3.7209e-04 2.9967 h/16 2.1967e-06 2.9940 4.6550e-05 2.9988 h/32 2.7499e-07 2.9979 5.8198e-06 2.9998 h/64 3.4398e-08 2.9990 7.2747e-07 3.0000 Bảng 3.9: Sai số tốc độ hội tụ cho toán (3.63) e = 0.5 e = 0.3 Sai số Xi Tốc độ Xi Sai số ei Tốc độ hi Sai số ei h/4 4.8389e-03 1.7949 4.8230e-03 1.7872 4.8247e-03 1.7901 h/8 1.2990e-03 1.8972 1.2973e-03 1.8944 1.2972e-03 1.8950 h/16 3.3647e-04 1.9489 3.3627e-04 1.9478 3.3624e-04 1.9478 h/32 8.5615e-05 1.9746 8.5591e-05 1.9741 8.5586e-05 1.9741 h/64 2.1593e-05 1.9873 2.1590e-05 1.9871 2.1589e-05 1.9871 h = p/10 Sai số X2 Tốc độ X2 Sai số e2 Tốc độ h2 Sai số e2 h/4 1.0147e-01 2.3129 1.0137e-01 2.3027 1.0143e-01 2.3092 h/8 2.5627e-02 1.9854 2.5621e-02 1.9842 2.5625e-02 1.9849 h/16 6.5444e-03 1.9694 6.5441e-03 1.9691 6.5443e-03 1.9693 h/32 1.6600e-03 1.9791 1.6600e-03 1.9790 1.6600e-03 1.9791 h/64 4.1844e-04 1.9881 4.1844e-04 1.9881 4.1844e-04 1.9881 h =p/10 Tốc độ hi Tốc độ h2 Bảng 3.10: Kết số cho (3.63) phương pháp HEMID-NCE2 (3.1) Sử dụng cách tiếp cận Chương 2, hội tụ lời giải số phương pháp đa bước kết hợp với phép nội suy phương pháp HERK với thác triển liên tục áp dụng cho PTVPĐSC biến đổi (3.2) phân tích Các kết lý thuyết số thử nghiệm số đưa minh chứng rõ ràng phương pháp đa bước HERK-CE đề xuất áp dụng tốt cho PTVPĐSC (3.1) Việc so sánh ưu nhược điểm lớp phương pháp giống e = 0.5 Sai số X1 Tốc độ X1 h/4 3.4495e-05 h/8 = 0.7 Sai số ei Tốc độ h1 Sai số ei 3.7223 3.9162e-05 3.7157 4.3174e-05 3.7193 2.3693e-06 3.8638 2.6930e-06 3.8622 2.9595e-06 3.8667 h/16 1.5507e-07 3.9335 1.7642e-07 3.9321 1.9347e-07 3.9352 h/32 9.9166e-09 3.9669 1.1286e-08 3.9664 1.2363e-08 3.9680 h/64 6.2686e-10 3.9836 7.1363e-10 3.9833 7.8126e-10 3.9841 h = p/10 Sai số X2 Tốc độ X2 Sai số e2 Tốc độ h2 Sai số e2 h/4 7.7280e-04 3.7369 7.7209e-04 3.7328 7.7252e-04 3.7354 h/8 5.2951e-05 3.8674 5.2940e-05 3.8664 5.2946e-05 3.8670 h/16 3.4633e-06 3.9344 3.4632e-06 3.9342 3.4632e-06 3.9343 h/32 2.2139e-07 3.9675 2.2139e-07 3.9674 2.2139e-07 3.9675 h/64 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 h =p/10 Tốc độ hi Tốc độ h2 Bảng 3.11: Kết số cho (3.63) phương pháp HERK4-NCE3 = 0.5 = 0.7 Sai số X1 Tốc độ X1 Sai số e1 Tốc độ h1 h/4 3.4495e-05 3.7223 3.9162e-05 3.7157 4.1926e-05 3.6565 h/8 2.3693e-06 3.8638 2.6930e-06 3.8622 3.1345e-06 3.7416 h/16 1.5507e-07 3.9335 1.7642e-07 3.9321 2.4126e-07 3.6996 h/32 9.9166e-09 3.9669 1.1286e-08 3.9664 2.3625e-08 3.3522 h/64 6.2686e-10 3.9836 7.1363e-10 3.9833 3.5422e-09 2.7376 h = p/10 Sai số X2 Tốc độ X2 Sai số e2 Tốc độ h2 h/4 7.7280e-04 3.7369 7.7209e-04 3.7328 7.6777e-04 3.7389 h/8 5.2951e-05 3.8674 5.2940e-05 3.8664 5.2353e-05 3.8743 h/16 3.4633e-06 3.9344 3.4632e-06 3.9342 3.3892e-06 3.9493 h/32 2.2139e-07 3.9675 2.2139e-07 3.9674 2.1214e-07 3.9978 h/64 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 1.2838e-08 4.0465 h =p/10 Sai số e1 Sai số e2 Bảng 3.12: Kết số cho (3.63) phương pháp HERK4-NCE2 Tốc độ h1 Tốc độ h2 trường hợp cho PTVPĐS khơng có chậm Do tính linh hoạt việc thay đổi bước đi, nói chung phương pháp Runge-Kutta với thác triển liên tục ưu việt so với phương pháp đa bước KẾT LUẬN Luận án đề xuất nghiên cứu tính chất phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bước cho lớp PTVPĐS phi tuyến có cấu trúc Luận án nghiên cứu hội tụ phương pháp đa bước kết hợp với phép nội suy phương pháp Runge-Kutta bán với thác triển liên tục cho lớp PTVPĐSC phi tuyến có cấu trúc Các kết luận án bao gồm: Xây dựng thuật tốn, phân tích tính ổn định, hội tụ phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bước tuyến tính cho lớp phương trình vi phân đại số phi tuyến có cấu trúc Các phương pháp giữ tính ổn định tốc độ hội tụ áp dụng cho phương trình vi phân thường Khi áp dụng cho lớp phương trình vi phân đại số nửa tuyến tính, phương pháp bán có chi phí tính toán thấp nhiều so với phương pháp ẩn Một số thử nghiệm số đưa để minh họa cho kết lý thuyết Phân tích, phân loại khảo sát phụ thuộc nghiệm vào liệu cho lớp PTVPĐSC phi tuyến có cấu trúc với trễ Xây dựng phương pháp chứng minh hội tụ nghiệm số cho toán phương pháp đa bước kết hợp với nội suy phương pháp Runge-Kutta bán kết hợp với thác triển liên tục Một số thử nghiệm số đưa minh họa cho kết lý thuyết Một số hướng nghiên cứu tiếp theo: Xây dựng thuật toán với đánh giá sai số lựa chọn bước tự động Cài đặt áp dụng phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bước đề xuất tốn tính số mũ Lyapunov hay khoảng phổ Sacker-Sell Từ áp dụng nghiên cứu tính ổn định PTVPĐS lý thuyết phổ Mở rộng nghiên cứu lý thuyết phương pháp số cho PTVPĐSC phi tuyến với trễ biến thiên DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN V.H Linh, N.D Truong (2018), "Runge-Kutta methods revisited for a class of structured strangeness-free differential-algebraic equations", Electr Trans Num Anal., 48:131-155 (SCIE) V.H Linh and N.D Truong (2018), "Stable numerical solution for a class of structured differential-algebraic equations by linear multistep methods", Acta Math Vietnamica., Published online 29 January 2019, https://doi.org/10.1007/s40306-018-00310-5, (ESCI/SCOPUS) V.H Linh, N.D Truong and M.V Bulatov (2018), "Convergence analysis of linear multistep methods for a class of delay differential-algebraic equations", Bull South Ural State Univ., Series “Math Model., Prog & Software”., 11 (4): 78-93 (ESCI/SCOPUS) V.H Linh and N.D Truong, "On convergence of continuous Runge-Kutta methods for a class of delay differential-algebraic equations", (submitted for publication) TÀI LIÊU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải Tích Số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] Arnold M (1993), Stability of numerical methods for differentialalgebraic equations of higher index, Appl Num Math., 13: 5-14 [3] Arnold M., Strehmel K and Weiner R (1993), Half-explicit Runge-Kutta methods for semi-explicit differential-algebraic equations of index 1, Numer Math., 64: 409-431 [4] Arnold M (1998), Half-explicit Runge-Kutta methods for semi-explicit differential-algebraic equations of index 2, BIT., 38: 415-438 [5] Ascher U and Petzold L (1991), Projected implicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic equations, SIAM J Numer Anal., 28 (4): 10971120 [6] Ascher U and Petzold L (1993), Stability of computational methods for constrained dynamics systems, SIAM J Sci Comput., 14: 95-120 [7] Ascher U and Petzold L (1995), The numerical solution of delaydifferential-algebraic equations of retarded and neutral type, SIAM J Numer Anal., 32:1635-1657 [8] Ascher U and Petzold L (1998), Computer methodsfor ordinary differential equations and differential-algebraic equations, SIAM, Philadelphia [9] Baker C.T.H, Paul C.A.H and Tian H (2002), Differential algebraic equations with after-effect, J Comput Appl Math., 140: 63-80 [10] Bellen A (1984), One-step collocation for delay differential equations, J Comput Appl Math., 10: 275-283 [11] Bellen A., Zennaro M (1988), Stability properties of interpolants for Runge-Kutta methods, SIAM J Numer Anal., 25: 411-432 [12] Bellen A., Zennaro M (2003), Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press [13] Bellman R and Cooke K.L (1963), Differential-Difference Equations, Mathematics in Science and Engineering, Elsevier Science [14] Bellman R and Cooke K.L (1965), On computational solution of a class of functional differential Equations, J Math Anal Appl., 12: 495-500 [15] Brasey V and Hairer E (1993), Half explicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 2, SIAM J Numer Anal., 30: 538552 [16] Brenan K.E., Campbell S.L and Petzold L (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia [17] Bulatov M.V., Linh V.H., Solovarova L.S (2016), On BDF-Based Multistep Schemes for Some Classes of Linear Differential-Algebraic Equations of Index at Most 2, Acta Math Vietnam, 41: 715-730 [18] Campbell S.L and Linh V.H (2009), Stability criteria for differential- algebraic equations with multiple delays and their numerical solutions, Appl Math Comput., 208: 397-415 [19] Cao Y., Li S., Petzold L., and Serban R (2003), Adjoint sensitivity analysis for differential-algebraic equations: the adjoint DAE system and its numerical solution, SIAM J Sci Comput., 24:1076-1089 [20] Cryer C.W (Sep., 1974), Highly Stable Multistep Methods for Retarded Differential Equations, SIAM J Numer Anal., 11 (4): 788-797 [21] Dieci L and Eirola T.(1999), On smooth decompositions of matrices, SIAM J Matr Anal Appl., 20: 800-819 [22] Dokchan R (2011), Numerical Integration of Differential-Algebraic Equations with Harmless Critical Point, Ph.D thesis, Humboldt-University of Berlin [23] Du N.H., Linh V.H., Mehrmann V and Thuan D.D.(2013), Stability and robust stability of linear time-invariant delay differential-algebraic equations, SIAM J Matr Anal Appl, 34 (4): 1631-1654 [24] Gear C.W., Leimkuhler B and Gupta G.K (1985), Automatic integra- tion of Euler-Lagrange equations with constraints, J Comput Appl Math., 12/13: 77-90 [25] Gear C.W (1988), Differential-algebraic equation index transformations, SIAM J Sci Statist Comput, 9: 39-47 [26] Griepentrog E and Marz R.(1986), Differential-Algebraic Equations and their Numerical Treatment, Teubner Verlag, Leipzig [27] Guglielmi N (1997), On the asymptotic stability properties of Runge- Kutta methods for delay differential equations, Numer Math., 77:467-485 [28] Guglielmi N and Hairer E (2001), Implementing Radau IIA methods for stiff delay differential equations, Computing., 67:1-12 [29] Guglielmi N and Hairer E (2008), Computing breaking points in implicit delay differential equations, Adv Comput Math., 29: 229-247 [30] Hairer E., Lubich C and Roche M (1989), The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods, Springer, Berlin [31] Hairer E., Norsett S.P and Wanner G (1996), Solving Ordinary Differential Equation I - nonstiff Problems, 2nd ed., Springer, Berlin [32] Hairer E and Wanner G (1996), Solving ordinary differential equation II - Stiff and differential-algebraic problems, 2nd ed., Springer, Berlin [33] Hauber R (1997), Numerical treatment of retarded differential- algebraic equations by collocation methods, Adv Comput Math., 7: 573-592 [34] Higueras I and Garcia-Celayeta B (1999), Runge-Kutta methods for DAEs A new approach, J Comput Appl Math., 111: 49-61 [35] Higueras I., Marz R and Tischendorf C (2003), Stability preserving integration of index-1 DAEs, Appl Num Math., 45:175-200 [36] Kunkel P and Mehrmann V (1998), Regular solutions of nonlinear DAEs and their numerical determination, Numer Math., 79: 581-600 [37] Kunkel P and Mehrmann V (2004), Index reduction for DAEs by minimal extension, Z Angew Math Mech, 84: 579-597 [38] Kunkel P and Mehrmann V (2006), Differential-Algebraic Equations Analysis and Numerical Solution, European Mathemantical Society, Zurich [39] Kunkel P and Mehrmann V (2007), Stability properties of DAEs and spin-stabilized discretization, Electr Trans Num Anal., 26: 383-420 [40] Lamour R., Marz R., and Tischendorf C (2013), Differential- Algebraic Equations: A Projector Based Analysis, Springer, Heidelberg [41] Linh V.H and Mehrmann V (2011), Approximation of spectral intervals and associated leading directions for linear DAEs via smooth singular value decompositions, SIAM J Numer Anal., 49:1810-1835 [42] Linh V.H., Mehrmann V and Vleck E.V (2011), QR methods and error analysis for computing Lyapunov and Sacker-Sell spectral intervals for linear differential-algebraic equations, Adv Comput Math., 35: 281-322 [43] Linh V.H and Mehrmann V (2014), Efficient integration of matrix- valued non-stiff DAEs by half-explicit methods, J Comput Appl Math., 262: 346- 360 [44] Linh V.H and Truong N.D (2018), "Half-explicit Runge-Kutta- Chebyshev methods for strangeness-free stiff DAEs", Vietnam J Math Applic., (accepted for publication) [45] Liniger W (1979), Multistep and one-leg methods for implicit mixed differential algebraic systems, IEEE Trans Circ and Syst., CAS-26: 755-762 [46] Liu H and Xiao A (2012), Convergence of linear multistep methods and one-leg methods for index-2 differential-algebraic equations with a variable delay, Adv AppL Math Mech., (5): 636-646 [47] Lotstedt P and Petzold L (1986), Numerical Solution of Nonlinear Differential Equations with Algebraic Constraints I: Convergence Results for Backward Differentiation Formula, Math Comput., 46 (174): 491-516 [48] Marz R (1985), On Initial Values Problems in Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Computing., 35:13-37 [49] Marz R (1986), On one-leg methods for differential-algebraic equations, Circ Syst Signal Proc., 2: 87-95 [50] Murua A (1997), Partitioned Half-Explicit Runge-Kutta Methods for Differential-Algebraic Systems of Index 2, Computing., 59: 43-61 [51] Oberle H.J and Pesch H.J (1981), Numerical Treatment of Delay Differential Equations by Hermite Interpolation, Numer Math., 37: 235-255 [52] Pantelides C.C (1988), The consistent initialization of differential- algebraic systems, SIAM J Sci Statist Comput., 9: 213-231 [53] Petzold L (1986), Order results for implicit Runge-Kutta methods ap- plied to differential/algebraic systems, SIAM J Numer Anal., 23 (4): 837852 [54] Phi H (2015), Analysis and Numerical solution ofDelay Differential- Algebraic Equations, PhD thesis, TU Berlin, Berlin, Germany [55] Rabier PJ and Rheinboldt W.C (2002), Theoretical and Numerical Analysis of Differential-Algebraic Equations, Vol VIII of Handbook ofNum Analysis., Elsevier Publications, Amsterdam, The Netherlands [56] Rheinboldt W.C (1984), Differential-algebraic systems as differential equations on manifolds, Math Comp., 43: 473—482 [57] Shampine L.F and Gahinet P (2006), Delay-differential-algebraic equations in control theory, Appl Num Math., 56: 574-588 [58] Van der Houwen PJ and Sommeijer B.P (1980), On the internal stability of explicit m-stage Runge-Kutta methods for large m-values, Z Angew Math Mech., 60: 479-485 [59] Verwer J.G., Hundsdorfer W.H and Sommeijer B.P (1990), Convergence properties of the Runge-Kutta-Chebyshev method, Numer Math., 57:157178 [60] Verwer J.G (1996), Explicit Runge-Kutta methods for parabolic partial differential equations, Appl Num Math., 22: 359-379 [61] Zhu W., Petzold L.R (1997), Asymptotic stability of linear delay DAEs and numerical methods, Appl Num Math., 24: 247-264 [62] Zhu W., Petzold L.R (1998), Asymptotic stability of Hessenberg delay DAEs of retarded or neutral type, Appl Num Math., 27: 309-325 ... VI? ??T TẮT BTGTĐ OĐTĐ Bài toán giá trị ban đầu Ổn định tuyệt đối PTVPC Phương trình vi phân có chậm PTVPĐS Phương trình vi phân đại số PTVPĐSC Phương trình vi phân đại số có chậm PTVPT Phương trình. .. cầu phát triển phương pháp số hiệu giải phương trình vi phân nói chung PTVPĐS, phương trình vi phân đại số có chậm (PTVPĐSC) nói riêng Vi? ??c nghiên cứu lý thuyết phương pháp số giải PTVPĐS phát...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN DUY TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN CĨ CẤU TRÚC Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: