Một số phương pháp hiệu quả giải phương trình vi phân đại số phi tuyến có cấu trúc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- NGUYỄN DUY TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN CĨ CẤU TRÚC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2019 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———————- NGUYỄN DUY TRƯỜNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP HIỆU QUẢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ PHI TUYẾN CĨ CẤU TRÚC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan kết trình bày luận án này, hướng dẫn PGS TSKH Vũ Hoàng Linh, trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Những kết viết chung với phó giáo sư Vũ Hoàng Linh cộng đồng ý đưa vào luận án Hà nội, tháng năm 2019 Nghiên cứu sinh Nguyễn Duy Trường LỜI CẢM ƠN Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, PGS TSKH Vũ Hồng Linh Thầy người dìu dắt hướng dẫn đường nghiên cứu khoa học Trong suốt trình làm luận án, Thầy quan tâm giúp đỡ, bảo động viên tơi lúc gặp khó khăn nghiên cứu Nhờ ý tưởng mà Thầy gợi ý, góp ý, hướng dẫn Thầy, tài liệu bổ ích mà Thầy cung cấp, tơi hồn thành đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn thầy cô anh chị em Bộ môn Tốn ứng dụng nói riêng Khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung Những ý kiến quý báu thầy bạn kỳ Xêmina môn tạo điều kiện khoa môn giúp tơi nhiều việc hồn thành luận án Tôi xin chân thành cảm ơn anh chị em khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Sĩ Quan Lục Qn Phịng Quản lý Học viên, Đồn 871, Tổng Cục Chính Trị Đơn vị tạo điều kiện thuận lợi cho yên tâm học tập, nghiên cứu công tác Sự quan tâm lời động viên, khích lệ anh chị em đồng nghiệp giúp nhiều việc hồn thành luận án Tơi xin gửi lời cảm ơn tới "Quỹ phát triển khoa học công nghệ quốc gia Nafosted" Quỹ dành nhiều hỗ trợ q báu giúp tơi có điều kiện tốt để hoàn thành đề tài nghiên cứu Cuối cùng, luận án khơng thể hồn thành khơng có động viên hỗ trợ mặt gia đình Qua đây, tơi gửi lời cảm ơn tới vợ, tôi, người cho động lực, tiếng cười tạo điều kiện thời gian cho học tập nghiên cứu Luận án này, tơi cố gắng thực hiện, để gửi tới cha mẹ, vợ con, anh chị em người thân gia đình, với tất lòng biết ơn sâu sắc MỤC LỤC Trang Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục Bảng kí hiệu Bảng chữ viết tắt Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 18 1.1 Giới thiệu phương trình vi phân đại số phương trình vi phân đại số có chậm 18 1.1.1 Khái niệm phân loại phương trình vi phân đại số 18 1.1.2 Phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân đại số có chậm 22 1.2 1.3 1.1.3 Sự phụ thuộc nghiệm vào liệu Phương pháp số cho phương trình vi phân thường 1.2.1 Các khái niệm 1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta 1.2.3 Phương pháp Runge-Kutta đầu liên tục 1.2.4 Phương pháp đa bước 1.2.5 Phương pháp Runge-Kutta với thác triển liên 25 28 28 31 33 36 phương trình vi phân có chậm Phương pháp số cho phương trình vi phân đại số dạng nửa số 1.3.1 Phương pháp Runge-Kutta 1.3.2 Phương pháp đa bước 38 tục cho 40 40 42 1.4 Phương pháp số cho lớp phương trình vi phân đại số 44 2.1 Một lớp phương trình vi phân đại số khơng có tính lạ 44 2.1.1 Phân tích cấu trúc tốn 44 2.1.2 Sự phụ thuộc nghiệm vào liệu 46 2.2 Các phương pháp Runge-Kutta 2.2.1 Rời rạc hóa phương pháp Runge-Kutta bán 2.2.2 Rời rạc hóa phương pháp Runge-Kutta ẩn 2.2.3 Sự hội tụ phương pháp Runge-Kutta 2.2.4 Tính ổn định tuyệt đối phương pháp Runge-Kutta 2.2.5 Sự tích lũy sai số 2.2.6 Thử nghiệm số 49 49 52 58 60 62 67 2.3 Các phương pháp đa bước 2.3.1 Rời rạc hóa phương pháp đa bước ẩn bán 2.3.2 Sự tích lũy sai số 2.3.3 Sự hội tụ phương pháp đa bước 2.3.4 Tính ổn định tuyệt đối phương pháp đa bước 2.3.5 Thử nghiệm số So sánh phương pháp 71 73 76 84 86 87 91 2.4 Một số kết bổ trợ khác 42 Phương pháp số cho lớp phương trình vi phân đại số có chậm 96 3.1 Phân loại tốn phân tích phụ thuộc nghiệm vào liệu 96 3.2 Phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 104 3.3 3.4 3.2.1 Rời rạc hóa phương pháp đa bước kết hợp với nội suy104 3.2.2 Sự hội tụ phương pháp đa bước kết hợp với nội suy 106 Phương pháp Runge-Kutta bán với thác triển liên tục 109 3.3.1 Rời rạc hóa phương pháp Runge-Kutta bán với thác triển liên tục 109 3.3.2 Sự hội tụ phương pháp Runge-Kutta bán với thác triển liên tục 111 Thử nghiệm số 118 Kết luận 127 Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 128 Tài liệu tham khảo 129 BẢNG KÍ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực C Tập hợp số phức I Đoạn [0, T ] ⊂ R Rm , (Cm ) Không gian véc tơ m chiều R, (C) Rm1 ,m2 Không gian ma trận thực cỡ m1 × m2 C p (I, Rm ) Không gian hàm véc tơ m chiều khả vi liên tục cấp p C p (I, Rm1 ,m2 ) Khơng gian hàm ma trận cỡ m1 × m2 khả vi liên tục cấp p Ik Ma trận đơn vị kích thước k × k rank A Hạng ma trận A ⊗ Tích Kronecker Const Một số O(hk ) Vơ bé bậc với hk ✷ Kết thúc chứng minh BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT BTGTĐ Bài toán giá trị ban đầu OĐTĐ Ổn định tuyệt đối PTVPC Phương trình vi phân có chậm PTVPĐS Phương trình vi phân đại số PTVPĐSC Phương trình vi phân đại số có chậm PTVPT Phương trình vi phân thường AM Adams-Moulton RK Runge-Kutta ERK Runge-Kutta (Explicit Runge-Kutta) IRK Runge-Kutta ẩn (Implicit Runge-Kutta) CRK Runge-Kutta liên tục (Continuous Runge-Kutta) NCE Thác triển liên tục tự nhiên (Natural Continuous Extension) HEEL Euler bán (Half-explicit Euler) HERK Runge-Kutta bán (Half-explicit Runge-Kutta) HERK-CE Runge-Kutta bán với thác triển liên tục (Half-explicit Runge-Kutta with Continuous Extension) HERK-NCE Runge-Kutta bán với thác triển liên tục tự nhiên (Half-explicit Runge-Kutta with Natural Continuous Extension) HEMID-NCE Trung điểm bán với thác triển liên tục tự nhiên (Half-Explicit Midpoint with Natural Continuous Extension) HELM Đa bước bán (Half-explicit Linear Multistep) HEOL Một chân bán (Half-explicit One-Leg) HEMID Trung điểm bán (Half-Explicit Midpoint) HEAB Adams-Bashforth bán (Half-Explicit Adams-Bashforth) IMID Trung điểm ẩn (Implicit Midpoint) TRAP Hình thang (Trapezoidal) BDF Công thức vi phân lùi (Backward Differentiation Formula) MỞ ĐẦU Rất nhiều toán thực tế lĩnh vực khoa học kĩ thuật học, hóa học, thiết kế mạch điện, điều khiển, v.v mơ hình hóa dạng hệ hỗn hợp phương trình vi phân kết hợp với ràng buộc đại số Các hệ gọi phương trình vi phân đại số (PTVPĐS) PTVPĐS có dạng tổng quát F (t, x, x ) = 0, (0.1) t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , n, m ∈ N Nếu ma trận Jacobian F theo x không suy biến từ phương trình (0.1) ta giải x theo t, x, thu phương trình vi phân thường (PTVPT) Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobian F theo x suy biến Khi có PTVPĐS, cịn gọi phương trình vi phân ẩn hay phương trình vi phân suy biến Ví dụ 0.1 [38, Example 1.2] Bài tốn mơ tả tiêu hao điện mạch điện gồm điện trở tụ điện (xem Hình 0.1) Chúng ta ký hiệu xi , i = 1, 2, điện nút mạch điện, U (t) hiệu điện thế, R, C trở kháng điện trở điện dung tụ điện Hình 0.1: Mạch điện Dựa vào định luật bảo tồn, ta thu PTVPĐS có dạng C ( x − x ) + ( x1 − x2 )/R = 0, x1 − x3 − U (t) = 0, x3 + α(t) = (0.2) HELM3 (3.25) HELM3 thông thường h = 0.1 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số x1 Tốc độ x1 h/2 7.7009e-02 2.6086 1.3742e+270 h/4 1.6818e-02 2.1950 7.2704e+305 Không h/8 4.1021e-03 2.0356 1.9288e+305 hội tụ h/16 1.0138e-03 2.0165 2.9598e+304 h/32 2.5205e-04 2.0080 9.1235e+303 h = 0.1 Sai số x2 Tốc độ x2 Sai số x2 h/2 3.4649e-03 2.1126 6.8368e+267 h/4 8.3080e-04 2.0603 5.9109e+303 Không h/8 2.0322e-04 2.0314 2.9392e+303 hội tụ h/16 5.0236e-05 2.0163 8.5637e+302 h/32 1.2487e-05 2.0082 5.0164e+302 Tốc độ x2 Bảng 3.3: Kết số cho (3.17) khoảng [0, 20] với λ = −1.5, ω = 10, a = 0.5, b = 1, c = 0.8 AM2 (3.25) AM2 thông thường h = 0.1 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số x1 Tốc độ x1 h/2 1.4609e-04 3.0518 1.2302e+172 h/4 1.7941e-05 3.0256 3.5469e+266 Không h/8 2.2271e-06 3.0100 1.1341e+305 hội tụ h/16 2.7735e-07 3.0054 Inf h/32 3.4612e-08 3.0024 Inf h = 0.1 Sai số x2 Tốc độ x2 Sai số x2 h/2 7.2103e-06 3.0402 6.1205e+169 h/4 8.8852e-07 3.0206 1.7646e+264 Không h/8 1.1031e-07 3.0098 8.3234e+302 hội tụ h/16 1.3741e-08 3.0050 Inf h/32 1.7147e-09 3.0025 Inf Tốc độ x2 Bảng 3.4: Kết số cho (3.17) khoảng [0, 20] với λ = −1.5, ω = 10, a = 0.5, b = 1, c = 0.8 120 phương pháp HEMID-NCE2 hội tụ có cấp cấp rời rạc Với phương pháp HERK4-NCE có cấp rời rạc k d = 4, ta sử dụng hai trường hợp: NCE có cấp k u = (NCE2) có hệ số b1 (θ ) = 32 θ − 21 θ , b2 (θ ) = b3 (θ ) = 13 θ, b4 (θ ) = 12 θ − 13 θ, NCE cấp k u = (NCE3) có hệ số b1 (θ ) = θ − 23 θ + 32 θ , b2 (θ ) = b3 (θ ) = θ − 23 θ , b4 (θ ) = − 12 θ + 32 θ , với (0 ≤ θ ≤ 1), xem [12] Kết số Bảng 3.6, 3.7 cho thấy cấp hội tụ cấp hội tụ rời rạc phương pháp HERK4-NCE3 4, phương pháp HERK4-NCE2 có cấp hội tụ rời rạc 4, cấp hội tụ đạt siêu hội tụ điểm θ = 0.5 Sai số tốc độ hội tụ rời rạc x h = 0.1 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số x2 Tốc độ x2 h/2 8.3682e-03 2.1552 3.9912e-04 2.0925 h/4 1.9919e-03 2.0708 9.6558e-05 2.0473 h/8 4.8450e-04 2.0396 2.3753e-05 2.0233 h/16 1.1954e-04 2.0190 5.8903e-06 2.0117 h/32 2.9684e-05 2.0098 1.4666e-06 2.0059 Sai số tốc độ hội tụ liên tục η (t) với θ = 0.3 h = 0.1 Sai số η1 Tốc độ η1 Sai số η2 Tốc độ η2 h/2 7.8777e-03 2.0468 3.8854e-04 2.0539 h/4 1.9333e-03 2.0267 9.5272e-05 2.0279 h/8 4.7773e-04 2.0168 2.3595e-05 2.0136 h/16 1.1869e-04 2.0090 5.8706e-06 2.0069 h/32 2.9580e-05 2.0045 1.4642e-06 2.0034 Bảng 3.5: Kết số cho (3.17) với λ = −1.5, ω = 10, a = 0.5, b = 2, c = 0.8 khoảng t ∈ [0, 20] phương pháp HEMID-NCE2 Ví dụ 3.3 Xét PTVPĐSC khơng có tính lạ phi tuyến dạng x1 (t) x1 (t) + (t2 + sin t) x2 (t) = x1 (t) x2 (t)e−t + x1 (t) sin(2t) +e−2t x2 (t − π ) + t2 e−t cos t − e−2t , = et x1 (t) − x2 (t) − x2 (t − π ) − 1, 121 (3.63) θ = 0.3 θ = 0.5 h = 0.1 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số e1 Tốc độ η1 Sai số e1 Tốc độ η1 h/2 9.9611e-06 4.0900 1.0675e-05 3.9596 1.5471e-05 3.9151 h/4 6.0478e-07 4.0418 6.7657e-07 3.9799 9.9502e-07 3.9587 h/8 3.7249e-08 4.0211 4.2580e-08 3.9900 6.3073e-08 3.9796 h/16 2.3107e-09 4.0108 2.6706e-09 3.9949 3.9700e-09 3.9898 h/32 1.4377e-10 4.0065 1.6715e-10 3.9979 2.4908e-10 3.9944 h = 0.1 Sai số x2 Tốc độ x2 Sai số e2 Tốc độ η2 Sai số e2 Tốc độ η2 h/2 1.7564e-07 4.0864 3.7148e-07 3.9985 5.6622e-07 3.9746 h/4 1.0655e-08 4.0431 2.3234e-08 3.9989 3.5704e-08 3.9872 h/8 6.5587e-10 4.0219 1.4527e-09 3.9994 2.2414e-09 3.9936 h/16 4.0680e-11 4.0110 9.0811e-11 3.9998 1.4040e-10 3.9968 h/32 2.5227e-12 4.0113 5.6516e-12 4.0061 8.7648e-12 4.0016 Bảng 3.6: Kết số cho (3.17) với λ = −1.5, ω = 10, a = 0.5, b = 2, c = 0.8 khoảng t ∈ [0, 20] phương pháp HERK4-NCE3 với t ∈ [0, 10π ] Bài tốn có nghiệm trơn x1 = e−t , x2 = sin t giá trị ban đầu với t ≤ cho nghiệm xác Để giải số BTGTĐ (3.63) phương pháp đa bước phương pháp RK đề xuất trên, ta biến đổi hệ (3.63) dạng x1 (t) x1 (t) + (t2 + sin t) x2 (t) = x1 (t) x2 (t)(e−t + 2t + cos t) + x1 (t) sin(2t)+e−2t x2 (t − π ) + t2 e−t cos t − e−2t , (3.64) = et x1 (t) − x2 (t) − x2 (t − π ) − Chúng ta giải số BTGTĐ (3.64) phương pháp HELM3, AM2, HEMID-NCE2, HERK4-NCE3 HERK4-NCE2 lưới π ∗ Các kết số trình bày Bảng 3.8 3.9 minh họa rõ ràng sơ đồ HELM3 AM2 (3.25) hội tụ cấp Bảng 3.10 3.11 phương pháp HEMID-NCE2 HERK4-NCE3 có cấp hội tụ cấp hội tụ rời rạc Với phương pháp HERK4-NCE2 có cấp hội tụ rời rạc 4, cấp hội tụ đạt siêu hội tụ điểm θ = 0.5, 122 θ = 0.5 θ = 0.3 h = 0.1 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số e1 Tốc độ η1 Sai số e1 Tốc độ η1 h/2 9.9611e-06 4.0900 1.5471e-05 3.9151 6.9003e-05 2.8058 h/4 6.0478e-07 4.0418 9.9502e-07 3.9587 9.6147e-06 2.8433 h/8 3.7249e-08 4.0211 6.3073e-08 3.9796 1.2657e-06 2.9253 h/16 2.3107e-09 4.0108 3.9700e-09 3.9898 1.6227e-07 2.9635 h/32 1.4377e-10 4.0065 2.4908e-10 3.9944 2.0539e-08 2.9820 h = 0.1 Sai số x2 Tốc độ x2 Sai số e2 Tốc độ η2 Sai số e2 Tốc độ η2 h/2 1.7564e-07 4.0864 5.6622e-07 3.9746 3.8641e-06 2.6674 h/4 1.0655e-08 4.0431 3.5704e-08 3.9872 5.3260e-07 2.8590 h/8 6.5587e-10 4.0219 2.2414e-09 3.9936 6.9669e-08 2.9345 h/16 4.0680e-11 4.0110 1.4040e-10 3.9968 8.9019e-09 2.9683 h/32 2.5227e-12 4.0113 8.7648e-12 4.0016 1.1248e-09 2.9844 Bảng 3.7: Kết số cho (3.17) với λ = −1.5, ω = 10, a = 0.5, b = 2, c = 0.8 khoảng t ∈ [0, 20] phương pháp HERK4-NCE2 điều thể rõ ràng kết số Bảng 3.12 Phương pháp HELM3 (3.25) h = π/30 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số x2 Tốc độ x2 h/4 9.1536e-04 2.1586 1.1426e-02 1.4119 h/8 2.1242e-04 2.1074 3.4002e-03 1.7486 h/16 5.0851e-05 2.0626 9.2099e-04 1.8844 h/32 1.2419e-05 2.0338 2.3923e-04 1.9448 h/64 3.0672e-06 2.0175 6.0933e-05 1.9731 Bảng 3.8: Sai số tốc độ hội tụ cho toán (3.63) Kết luận chương Trong chương này, phân loại nghiên cứu phụ thuộc nghiệm vào liệu cho lớp PTVPĐSC dạng khơng có tính lạ với trễ 123 Phương pháp AM2 (3.25) h = π/10 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số x2 Tốc độ x2 h/4 1.3863e-04 2.9582 2.9698e-03 3.0033 h/8 1.7502e-05 2.9857 3.7209e-04 2.9967 h/16 2.1967e-06 2.9940 4.6550e-05 2.9988 h/32 2.7499e-07 2.9979 5.8198e-06 2.9998 h/64 3.4398e-08 2.9990 7.2747e-07 3.0000 Bảng 3.9: Sai số tốc độ hội tụ cho toán (3.63) θ = 0.5 θ = 0.3 h =π/10 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số e1 Tốc độ η1 Sai số e1 Tốc độ η1 h/4 4.8389e-03 1.7949 4.8230e-03 1.7872 4.8247e-03 1.7901 h/8 1.2990e-03 1.8972 1.2973e-03 1.8944 1.2972e-03 1.8950 h/16 3.3647e-04 1.9489 3.3627e-04 1.9478 3.3624e-04 1.9478 h/32 8.5615e-05 1.9746 8.5591e-05 1.9741 8.5586e-05 1.9741 h/64 2.1593e-05 1.9873 2.1590e-05 1.9871 2.1589e-05 1.9871 h = π/10 Sai số x2 Tốc độ x2 Sai số e2 Tốc độ η2 Sai số e2 Tốc độ η2 h/4 1.0147e-01 2.3129 1.0137e-01 2.3027 1.0143e-01 2.3092 h/8 2.5627e-02 1.9854 2.5621e-02 1.9842 2.5625e-02 1.9849 h/16 6.5444e-03 1.9694 6.5441e-03 1.9691 6.5443e-03 1.9693 h/32 1.6600e-03 1.9791 1.6600e-03 1.9790 1.6600e-03 1.9791 h/64 4.1844e-04 1.9881 4.1844e-04 1.9881 4.1844e-04 1.9881 Bảng 3.10: Kết số cho (3.63) phương pháp HEMID-NCE2 (3.1) Sử dụng cách tiếp cận Chương 2, hội tụ lời giải số phương pháp đa bước kết hợp với phép nội suy phương pháp HERK với thác triển liên tục áp dụng cho PTVPĐSC biến đổi (3.2) phân tích Các kết lý thuyết số thử nghiệm số đưa minh chứng rõ ràng phương pháp đa bước HERK-CE đề xuất áp dụng tốt cho PTVPĐSC (3.1) Việc so sánh ưu nhược điểm lớp phương pháp giống 124 θ = 0.5 θ = 0.7 h =π/10 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số e1 Tốc độ η1 Sai số e1 Tốc độ η1 h/4 3.4495e-05 3.7223 3.9162e-05 3.7157 4.3174e-05 3.7193 h/8 2.3693e-06 3.8638 2.6930e-06 3.8622 2.9595e-06 3.8667 h/16 1.5507e-07 3.9335 1.7642e-07 3.9321 1.9347e-07 3.9352 h/32 9.9166e-09 3.9669 1.1286e-08 3.9664 1.2363e-08 3.9680 h/64 6.2686e-10 3.9836 7.1363e-10 3.9833 7.8126e-10 3.9841 h = π/10 Sai số x2 Tốc độ x2 Sai số e2 Tốc độ η2 Sai số e2 Tốc độ η2 h/4 7.7280e-04 3.7369 7.7209e-04 3.7328 7.7252e-04 3.7354 h/8 5.2951e-05 3.8674 5.2940e-05 3.8664 5.2946e-05 3.8670 h/16 3.4633e-06 3.9344 3.4632e-06 3.9342 3.4632e-06 3.9343 h/32 2.2139e-07 3.9675 2.2139e-07 3.9674 2.2139e-07 3.9675 h/64 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 Bảng 3.11: Kết số cho (3.63) phương pháp HERK4-NCE3 θ = 0.5 θ = 0.7 h =π/10 Sai số x1 Tốc độ x1 Sai số e1 Tốc độ η1 Sai số e1 Tốc độ η1 h/4 3.4495e-05 3.7223 3.9162e-05 3.7157 4.1926e-05 3.6565 h/8 2.3693e-06 3.8638 2.6930e-06 3.8622 3.1345e-06 3.7416 h/16 1.5507e-07 3.9335 1.7642e-07 3.9321 2.4126e-07 3.6996 h/32 9.9166e-09 3.9669 1.1286e-08 3.9664 2.3625e-08 3.3522 h/64 6.2686e-10 3.9836 7.1363e-10 3.9833 3.5422e-09 2.7376 h = π/10 Sai số x2 Tốc độ x2 Sai số e2 Tốc độ η2 Sai số e2 Tốc độ η2 h/4 7.7280e-04 3.7369 7.7209e-04 3.7328 7.6777e-04 3.7389 h/8 5.2951e-05 3.8674 5.2940e-05 3.8664 5.2353e-05 3.8743 h/16 3.4633e-06 3.9344 3.4632e-06 3.9342 3.3892e-06 3.9493 h/32 2.2139e-07 3.9675 2.2139e-07 3.9674 2.1214e-07 3.9978 h/64 1.3993e-08 3.9838 1.3993e-08 3.9838 1.2838e-08 4.0465 Bảng 3.12: Kết số cho (3.63) phương pháp HERK4-NCE2 125 trường hợp cho PTVPĐS khơng có chậm Do tính linh hoạt việc thay đổi bước đi, nói chung phương pháp Runge-Kutta với thác triển liên tục ưu việt so với phương pháp đa bước 126 KẾT LUẬN Luận án đề xuất nghiên cứu tính chất phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bước cho lớp PTVPĐS phi tuyến có cấu trúc Luận án nghiên cứu hội tụ phương pháp đa bước kết hợp với phép nội suy phương pháp Runge-Kutta bán với thác triển liên tục cho lớp PTVPĐSC phi tuyến có cấu trúc Các kết luận án bao gồm: Xây dựng thuật toán, phân tích tính ổn định, hội tụ phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bước tuyến tính cho lớp phương trình vi phân đại số phi tuyến có cấu trúc Các phương pháp giữ tính ổn định tốc độ hội tụ áp dụng cho phương trình vi phân thường Khi áp dụng cho lớp phương trình vi phân đại số nửa tuyến tính, phương pháp bán có chi phí tính tốn thấp nhiều so với phương pháp ẩn Một số thử nghiệm số đưa để minh họa cho kết lý thuyết Phân tích, phân loại khảo sát phụ thuộc nghiệm vào liệu cho lớp PTVPĐSC phi tuyến có cấu trúc với trễ Xây dựng phương pháp chứng minh hội tụ nghiệm số cho toán phương pháp đa bước kết hợp với nội suy phương pháp Runge-Kutta bán kết hợp với thác triển liên tục Một số thử nghiệm số đưa minh họa cho kết lý thuyết Một số hướng nghiên cứu tiếp theo: Xây dựng thuật toán với đánh giá sai số lựa chọn bước tự động Cài đặt áp dụng phương pháp Runge-Kutta phương pháp đa bước đề xuất tốn tính số mũ Lyapunov hay khoảng phổ Sacker-Sell Từ áp dụng nghiên cứu tính ổn định PTVPĐS lý thuyết phổ Mở rộng nghiên cứu lý thuyết phương pháp số cho PTVPĐSC phi tuyến với trễ biến thiên 127 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN V.H Linh, N.D Truong (2018), "Runge-Kutta methods revisited for a class of structured strangeness-free differential-algebraic equations", Electr Trans Num Anal., 48: 131-155 (SCIE) V.H Linh and N.D Truong (2018), "Stable numerical solution for a class of structured differential-algebraic equations by linear multistep methods", Acta Math Vietnamica., Published online 29 January 2019, https://doi.org/10.1007/s40306-018-00310-5, (ESCI/SCOPUS) V.H Linh, N.D Truong and M.V Bulatov (2018), "Convergence analysis of linear multistep methods for a class of delay differential-algebraic equations", Bull South Ural State Univ., Series “Math Model., Prog & Software”., 11 (4): 78-93 (ESCI/SCOPUS) V.H Linh and N.D Truong, "On convergence of continuous Runge-Kutta methods for a class of delay differential-algebraic equations", (submitted for publication) 128 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải Tích Số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] Arnold M (1993), Stability of numerical methods for differentialalgebraic equations of higher index, Appl Num Math., 13: 5–14 [3] Arnold M., Strehmel K and Weiner R (1993), Half-explicit Runge-Kutta methods for semi-explicit differential-algebraic equations of index 1, Numer Math., 64: 409–431 [4] Arnold M (1998), Half-explicit Runge-Kutta methods for semi-explicit differential-algebraic equations of index 2, BIT., 38: 415–438 [5] Ascher U and Petzold L (1991), Projected implicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic equations, SIAM J Numer Anal., 28 (4): 1097– 1120 [6] Ascher U and Petzold L (1993), Stability of computational methods for constrained dynamics systems, SIAM J Sci Comput., 14: 95–120 [7] Ascher U and Petzold L (1995), The numerical solution of delaydifferential-algebraic equations of retarded and neutral type, SIAM J Numer Anal., 32: 1635–1657 [8] Ascher U and Petzold L (1998), Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations, SIAM, Philadelphia [9] Baker C.T.H, Paul C.A.H and Tian H (2002), Differential algebraic equations with after-effect, J Comput Appl Math., 140: 63–80 [10] Bellen A (1984), One-step collocation for delay differential equations, J Comput Appl Math., 10: 275–283 129 [11] Bellen A., Zennaro M (1988), Stability properties of interpolants for Runge-Kutta methods, SIAM J Numer Anal., 25: 411–432 [12] Bellen A., Zennaro M (2003), Numerical Methods for Delay Differential Equations, Oxford University Press [13] Bellman R and Cooke K.L (1963), Differential-Difference Equations, Mathematics in Science and Engineering, Elsevier Science [14] Bellman R and Cooke K.L (1965), On computational solution of a class of functional differential Equations, J Math Anal Appl., 12: 495–500 [15] Brasey V and Hairer E (1993), Half explicit Runge-Kutta methods for differential-algebraic systems of index 2, SIAM J Numer Anal., 30: 538– 552 [16] Brenan K.E., Campbell S.L and Petzold L (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations, 2nd ed., SIAM, Philadelphia [17] Bulatov M.V., Linh V.H., Solovarova L.S (2016), On BDF-Based Multistep Schemes for Some Classes of Linear Differential-Algebraic Equations of Index at Most 2, Acta Math Vietnam., 41: 715–730 [18] Campbell S.L and Linh V.H (2009), Stability criteria for differentialalgebraic equations with multiple delays and their numerical solutions, Appl Math Comput., 208: 397–415 [19] Cao Y., Li S., Petzold L., and Serban R (2003), Adjoint sensitivity analysis for differential-algebraic equations: the adjoint DAE system and its numerical solution, SIAM J Sci Comput., 24: 1076–1089 [20] Cryer C.W (Sep., 1974), Highly Stable Multistep Methods for Retarded Differential Equations, SIAM J Numer Anal., 11 (4): 788–797 [21] Dieci L and Eirola T.(1999), On smooth decompositions of matrices, SIAM J Matr Anal Appl., 20: 800–819 130 [22] Dokchan R (2011), Numerical Integration of Differential-Algebraic Equations with Harmless Critical Point, Ph.D thesis, Humboldt-University of Berlin [23] Du N.H., Linh V.H., Mehrmann V and Thuan D.D.(2013), Stability and robust stability of linear time-invariant delay differential-algebraic equations, SIAM J Matr Anal Appl., 34 (4): 1631–1654 [24] Gear C.W., Leimkuhler B and Gupta G.K (1985), Automatic integration of Euler-Lagrange equations with constraints, J Comput Appl Math., 12/13: 77–90 [25] Gear C.W (1988), Differential-algebraic equation index transformations, SIAM J Sci Statist Comput., 9: 3947 [26] Griepentrog E and Măarz R.(1986), Differential-Algebraic Equations and their Numerical Treatment, Teubner Verlag, Leipzig [27] Guglielmi N (1997), On the asymptotic stability properties of RungeKutta methods for delay differential equations, Numer Math., 77: 467–485 [28] Guglielmi N and Hairer E (2001), Implementing Radau IIA methods for stiff delay differential equations, Computing., 67: 1–12 [29] Guglielmi N and Hairer E (2008), Computing breaking points in implicit delay differential equations, Adv Comput Math., 29: 229–247 [30] Hairer E., Lubich C and Roche M (1989), The numerical solution of differential-algebraic systems by Runge-Kutta methods, Springer, Berlin [31] Hairer E., Nørsett S.P and Wanner G (1996), Solving Ordinary Differential Equation I – nonstiff Problems, 2nd ed., Springer, Berlin [32] Hairer E and Wanner G (1996), Solving ordinary differential equation II – Stiff and differential-algebraic problems, 2nd ed., Springer, Berlin [33] Hauber R (1997), Numerical treatment of retarded differential-algebraic equations by collocation methods, Adv Comput Math., 7: 573–592 131 [34] Higueras I and Garcia-Celayeta B (1999), Runge-Kutta methods for DAEs A new approach, J Comput Appl Math., 111: 4961 [35] Higueras I., Măarz R and Tischendorf C (2003), Stability preserving integration of index-1 DAEs, Appl Num Math., 45: 175–200 [36] Kunkel P and Mehrmann V (1998), Regular solutions of nonlinear DAEs and their numerical determination, Numer Math., 79: 581–600 [37] Kunkel P and Mehrmann V (2004), Index reduction for DAEs by minimal extension, Z Angew Math Mech., 84: 579–597 [38] Kunkel P and Mehrmann V (2006), Differential-Algebraic Equations Analysis and Numerical Solution, European Mathemantical Society, Zurich ă [39] Kunkel P and Mehrmann V (2007), Stability properties of DAEs and spin-stabilized discretization, Electr Trans Num Anal., 26: 383420 [40] Lamour R., Măarz R., and Tischendorf C (2013), Differential-Algebraic Equations: A Projector Based Analysis, Springer, Heidelberg [41] Linh V.H and Mehrmann V (2011), Approximation of spectral intervals and associated leading directions for linear DAEs via smooth singular value decompositions, SIAM J Numer Anal., 49: 1810–1835 [42] Linh V.H., Mehrmann V and Vleck E.V (2011), QR methods and error analysis for computing Lyapunov and Sacker-Sell spectral intervals for linear differential-algebraic equations, Adv Comput Math., 35: 281–322 [43] Linh V.H and Mehrmann V (2014), Efficient integration of matrix-valued non-stiff DAEs by half-explicit methods, J Comput Appl Math., 262: 346– 360 [44] Linh V.H and Truong N.D (2018), "Half-explicit Runge-KuttaChebyshev methods for strangeness-free stiff DAEs", Vietnam J Math Applic., (accepted for publication) [45] Liniger W (1979), Multistep and one-leg methods for implicit mixed differential algebraic systems, IEEE Trans Circ and Syst., CAS-26: 755–762 132 [46] Liu H and Xiao A (2012), Convergence of linear multistep methods and one-leg methods for index-2 differential-algebraic equations with a variable delay, Adv AppL Math Mech., (5): 636–646 [47] Lotstedt P and Petzold L (1986), Numerical Solution of Nonlinear Difă ferential Equations with Algebraic Constraints I: Convergence Results for Backward Differentiation Formula, Math Comput., 46 (174): 491516 [48] Măarz R (1985), On Initial Values Problems in Differential-Algebraic Equations and Their Numerical Treatment, Computing., 35: 1337 [49] Măarz R (1986), On one-leg methods for differential-algebraic equations, Circ Syst Signal Proc., 2: 87–95 [50] Murua A (1997), Partitioned Half-Explicit Runge-Kutta Methods for Differential-Algebraic Systems of Index 2, Computing., 59: 43–61 [51] Oberle H.J and Pesch H.J (1981), Numerical Treatment of Delay Differential Equations by Hermite Interpolation, Numer Math., 37: 235–255 [52] Pantelides C.C (1988), The consistent initialization of differentialalgebraic systems, SIAM J Sci Statist Comput., 9: 213–231 [53] Petzold L (1986), Order results for implicit Runge-Kutta methods applied to differential/algebraic systems, SIAM J Numer Anal., 23 (4): 837– 852 [54] Phi H (2015), Analysis and Numerical solution of Delay Differential-Algebraic Equations, PhD thesis, TU Berlin, Berlin, Germany [55] Rabier P.J and Rheinboldt W.C (2002), Theoretical and Numerical Analysis of Differential-Algebraic Equations, Vol VIII of Handbook of Num Analysis., Elsevier Publications, Amsterdam, The Netherlands [56] Rheinboldt W.C (1984), Differential-algebraic systems as differential equations on manifolds, Math Comp., 43: 473-–482 [57] Shampine L.F and Gahinet P (2006), Delay-differential-algebraic equations in control theory, Appl Num Math., 56: 574–588 133 [58] Van der Houwen P.J and Sommeijer B.P (1980), On the internal stability of explicit m-stage Runge-Kutta methods for large m-values, Z Angew Math Mech., 60: 479–485 [59] Verwer J.G., Hundsdorfer W.H and Sommeijer B.P (1990), Convergence properties of the Runge-Kutta-Chebyshev method, Numer Math., 57: 157– 178 [60] Verwer J.G (1996), Explicit Runge-Kutta methods for parabolic partial differential equations, Appl Num Math., 22: 359–379 [61] Zhu W., Petzold L.R (1997), Asymptotic stability of linear delay DAEs and numerical methods, Appl Num Math., 24: 247–264 [62] Zhu W., Petzold L.R (1998), Asymptotic stability of Hessenberg delay DAEs of retarded or neutral type, Appl Num Math., 27: 309–325 134 ... đầu OĐTĐ Ổn định tuyệt đối PTVPC Phương trình vi phân có chậm PTVPĐS Phương trình vi phân đại số PTVPĐSC Phương trình vi phân đại số có chậm PTVPT Phương trình vi phân thường AM Adams-Moulton RK... cầu phát triển phương pháp số hiệu giải phương trình vi phân nói chung PTVPĐS, phương trình vi phân đại số có chậm (PTVPĐSC) nói riêng Vi? ??c nghiên cứu lý thuyết phương pháp số giải PTVPĐS phát... phương trình vi phân đại số 18 1.1.2 Phương trình vi phân có chậm phương trình vi phân đại số có chậm 22 1.2 1.3 1.1.3 Sự phụ thuộc nghiệm vào liệu Phương pháp số