Một số ứng dụng của giải tích phi tuyến vào phương trình vi phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THỊ OANH MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN VÀO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 I HC QUăC GIA H NáI TRìNG I HC KHOA HC Tĩ NHI N NGUY N TH OANH MáT Să NG DƯNG CÕA GI ITCHPHITUY NV O PH×ÌNG TR NH VI PH N Chuyản ng nh: ToĂn GiÊi tch M s: LU NV NTH CSòKHOAHC NGìI HìNG D N KHOA HC: TS NGUY N TH NH CHUNG PGS TS HO NG QUăC TO N H NáI 2016 Mửc lửc Líi nâi ƒu Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 1.1 Kh¡i ni»m ⁄o h m G¥teaux, ⁄o kh£ vi khæng gian Ban 1.2 Khæng gian Sobolev v ành 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 Sü hºi tö m⁄nh, hºi tö yu 1.4 Tnh nòa liản tửc dữợi yu ca gian Banach i•u ki»n Coerci 1.5 Cüc trà cıa phi‚m h m i•u ki»n hm 1.6 i•u ki»n Palais - Smale v Ùng dưng ph÷ìng trnh vi phƠn 2.1 Sỹ tỗn ti nhĐt nghiằm yu phữỡng trnh vi phƠn 2.2 B i to¡n gi¡ trà ri¶ng 2.3 p dửng nh lỵ qua nói K‚t lu“n T i li»u tham kh£o L˝I N´I U Trữợc ht ta cõ mt nhn xt rng: Trong gi£i t‰ch cŒ i”n, mºt nhœng øng döng quan trång nh§t cıa kh¡i ni»m ⁄o h m l kh£o s¡t b i to¡n cüc trà M b i to¡n cỹc tr thữớng xuĐt hiằn nghiản cứu cĂc lợp b i to¡n quan trång kh¡c cıa to¡n håc, õ bao gỗm cÊ nhng mổ hnh toĂn hồc ca cĂc b i toĂn vt lỵ v cỡ hồc thĐy ữổc mi liản hằ n y, ta hÂy lĐy mt v dử ỡn giÊn sau Ơy: Ta xt phữỡng tr…nh f(x) = kho£ng I R, â f(x) l h m li¶n tưc I ” gi£i quy‚t b i to¡n n y ng÷íi ta câ th” ÷a v• t…m cüc trà àa ph÷ìng cıa mºt h m kh£ vi F (x); x I tho£ m¢n F (x) = f(x); x I: Tuy nhi¶n vi»c t…m cüc trà àa ph÷ìng cıa mºt h m kh£ vi F (x) nh÷ v“y l mºt b i to¡n khỉng tƒm th÷íng V… v“y ” t…m nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh f(x) = kho£ng I ng÷íi ta câ th” t…m c¡c i”m tỵi h⁄n cıa h m F (x) I, tøc l c¡c i”m x0 m t⁄i â F (x0) = ¥y cơng ch‰nh l ỵ tững ca phữỡng phĂp bin phƠn Trong nhiãu ph÷ìng ph¡p cıa gi£i t‰ch phi tuy‚n øng dưng v o phữỡng trnh vi phƠn khổng tuyn tnh th phữỡng ph¡p bi‚n ph¥n tä câ hi»u qu£ hìn c£ ị tững ca phữỡng phĂp bin phƠn Ăp dửng v o phữỡng trnh vi phƠn dỹa trản cỡ s lỵ thuy‚t i”m tỵi h⁄n cıa phi‚m h m kh£ vi khæng gian Banach, m nºi dung cıa nâ l ữa b i toĂn ang xt vã viằc nghiản cứu mºt phi‚m h m F kh£ vi li¶n tưc theo mºt ngh¾a n o â khỉng gian Banach ÷ỉc chån th‰ch hỉp (gåi l phi‚m h m n«ng lữổng liản kt vợi b i toĂn) cho im tỵi h⁄n cıa phi‚m h m F l nghi»m y‚u cıa b i to¡n ang x†t Mºt ph÷ìng ph¡p thỉng thữớng tm im tợi hn ca phim h m l t…m i”m cüc ti”u cıa phi‚m h m â Tuy nhi¶n vi»c t…m i”m cüc ti”u cıa mºt phi‚m h m khỉng h• ìn gi£n V… v“y, nhi•u trữớng hổp ngữới ta quan tƠm n cĂc im yản ngüa (khæng ph£i l i”m cüc ti”u) cıa c¡c phi‚m h m nông lữổng Viằc tm cĂc im yản ngỹa cıa mºt phi‚m h m ÷ỉc düa v o c¡c nguyản lỵ bin phƠn Mửc ch ca lun vôn n y l l m quen vợi mt s vĐn ã cıa gi£i t‰ch phi tuy‚n, cư th” l ph÷ìng ph¡p bin phƠn v ứng dửng khÊo sĂt sỹ tỗn ti nghiằm ca mt v i lợp phữỡng trnh vi phƠn thữớng khổng tuyn tnh Ni dung chnh ca lun vôn gỗm cõ chữỡng: Chữỡng D nh cho vi»c tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m, nºi dung quan trồng ữổc sò dửng lun vôn Chữỡng Tr…nh b y øng dưng cıa ph÷ìng ph¡p gi£i tch phi tuyn v o phữỡng trnh vi phƠn H Nºi, ng y 09 th¡ng 10 n«m 2016 Nguy„n Thà Oanh Ch÷ìng Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà Trong chữỡng n y, chúng tổi trch dÔn cĂc khĂi niằm, nh lỵ v mt s kin thức b trổ ữổc sò dửng lun vôn 1.1 KhĂi niằm o h m G¥teaux, ⁄o h m Fr†chet cıa phi‚m h m kh£ vi khỉng gian Banach Mưc ti¶u ch‰nh cıa phƒn n y l tr…nh b y l⁄i c¡c kh¡i ni»m ⁄o h m khæng gian Banach v cĂc tnh chĐt quan trồng ca chúng nh nghắa 1.1.1 ( o h m GƠteaux) GiÊ sò X l khổng gian Banach, x X; f : X ! R (ho°c C) l mºt phi‚m h m x¡c ành tr¶n X Ta nâi f kh£ vi G¥teaux t⁄i i”m x nu tỗn ti Ănh x f (x) tuyn tnh v li¶n tưc cho lim t ! N‚u f kh£ vi G¥teaux t⁄i måi i”m x X khiâ ta nõi f khÊ vi GƠteaux trản X ành ngh¾a 1.1.2 ( ⁄o h m Fr†chet) Cho X l khæng gian Banach, f l phi‚m h m x¡c ành tr¶n X Ta nâi phi‚m h m f kh£ vi m⁄nh hay kh£ vi Fr†chet t⁄i i”m u X nu tỗn ti mt Ănh x tuyn tnh liản tửc, kỵ hiằu f (u) X (X l khổng gian i ngÔu ca X) v ữổc gồi l ⁄o h m Fr†chet cıa f t⁄i u cho l lim N‚u ¡nh x⁄ u 7!f (u) l li¶n tưc th… ta nâi phi‚m h m f thuc lợp C (X; R) GiÊ sò f l phim h m kh£ vi Fr†chet khæng gian Banach X th… ¡nh x⁄ f :X!X; l ⁄o h m Fr†chet cıa f N‚u f : X ! R kh£ vi Fr†chet t⁄i x th… f kh£ vi G¥teaux t⁄i x N‚u f : X ! R câ ⁄o h m GƠteaux f liản tửc X th f khÊ vi Fr†chet v f C (X; R) im u X thọa mÂn phữỡng trnh f (u) = ữổc gồi l im tợi hn, ngữổc l⁄i n‚u f (u) 6= th… u ÷ỉc gåi l i”m •u ( hay i”m ch‰nh quy) cıa f S R ữổc gồi l giĂ tr tợi hn ca f nu tỗn ti mt im tợi hn u X cho f(u) = 1.2 ; f (u) = 0: Khổng gian Sobolev v nh lỵ nhúng Trong phƒn n y ta nh›c l⁄i mºt sŁ ành nghắa, tnh chĐt quan trồng ca p khổng gian L ( ), khæng gian Holder , khæng gian Sobolev v nh lỵ nhúng 1.2.1 Khổng gian L p n nh nghắa 1.2.1 GiÊ sò l o ữổc ca R , vợi p [1; +1) ta kỵ hi»u p L ()= p Khi â L ( ) l khỉng gian Banach vỵi chu'n kfkp = kfkLp( ) = nh lỵ 1.2.1 (BĐt flng thức Holder p q L ( ) ; g L ( ) vỵi Ta nâi r‹ng h m o ÷ỉc f bà ch°n thüc sü tr¶n c > cho H‹ng sŁ c nhä nh§t cho b§t flng thøc n y thọa mÂn ữổc kỵ hiằu l kfk1: Kỵ hiằu L ( ) l t“p hæp c¡c h m bà chn thỹc sỹ trản Banach xĂc nh vợi chu'n kfk1: kfk1 = essinf fc : fx â l º : jf (x)j > cg = 0g ; o Lebesgue nh nghắa 1.2.2 Vợi p [1; +1) ta ành ngh¾a L1loc ( ) = ff : f Lp (K) ; 8K K‰ hi»u (K ) ngh¾a l Kl t“p compact g: : , l khæng gian Nh“n x†t 1.2.1 n N‚u l t“p hæp mð R v p [1; +1) th… p C0 ( ) trò m“t L ( ) N‚u meas( ) < +1 (meas( ) kỵ hiằu o Lebesgue cıa p )v q q < p th… khỉng gian L ( ) nhóng li¶n tưc v o L ( ), ÷ỉc k‰ p q hi»u l L ( ) ,! L ( ) v ta câ kfkq (meas( )) Mằnh ã 1.2.1 GiÊ sò dÂy ffng hºi tö p ‚n f L ( ) Khi p tỗn ti dÂy ffnk g hi tử n f hu khp nỡi v tỗn ti g(x) L ( ), g(x) cho jfnk (x)j g (x) hu khp nỡi ( nh lỵ hi tử trºi) Gi£ sß ffng l fn ! f hƒu kh›p nìi v Khi â n!+1 Z lim 1.2.2 Khỉng gian Holder Trữợc ht, ta cõ nh nghắa khổng gian Holder nh nghắa 1.2.3 (Khổng gian Holder gồi l liản tửc Holder cho bĐt flng thức thọa mÂn vợi mồi x; y T“p hỉp t§t c£ c¡c h m liản tửc Holder C0; : õ 33 nh nghắa hai h m sŁ R ! R nh÷ sau : Khi â G C (R) v G (s) = g (s) vỵi måi s R (ghi nhỵ r‹ng p > 2) °t H := W 1;2 (0; ) v ành ngh¾a F (x) := hay vợi x H nh lỵ 2.3.2 Nu > Chøng minh Ta câ Z F (x; y) = Vỵi x; x1 H v j 8y H ta câ F (x; y) F (x1; y)j Z x: x:1 = = : x x1 : L (0; ) y: d L max jx t2[0; ] kx x1j kykL2(0; ) x1kH kykH + ( + L) kx (1 + C) kx x1kC[0; ]kykL2(0; ) x1kH kykH : 34 Tł â, vỵi 8y H th… F (x; y) ! F (x1; y) x ! x1 : Do v“y F (x; y) li¶n tưc tr¶n H nản F C (H; R) Vợi > biu thức x kj thọa mÂn vợi bĐt ký x H â ci > 0; i = 1; l L⁄i câ (nhí b§t Z @ 0 Suy F (x) = Z kjxjk2 = kjxjk flng thøc Poincar†): Bði v… p > 2, nhớ (2.10) nản tỗn ti r > ı nhä thäa m¢n b = inf F (x) > = F (o) : kxk=r 35 Gi£ sß x H; x > (0; ) Khi â vỵi s > ta câ s p F (sx) = s Vỵi s > °t e = sx Khi â vỵi s ı lỵn chóng ta câ nh lỵ 2.3.3 Nu > Chứng minh Ta chứng minh bĐt ký dÂy fxngn =1 H thọa mÂn d := sup th… chøa mºt d¢y hºi tư Bữợc Chứng minh dÂy fxngn =1 l dÂy b ch°n Ta câ 1 Z p jxn (t)j dtA : 36 Vỵi n ı lỵn, ta câ d + kxnk F (xn) =2 Z = c1 Tł õ suy kxnk b chn Bữợc T bữợc v H l khổng gian Hilbert nản ta câ th” tr‰ch mºt d¢y hºi tư y‚u H: Gi£ sß xn * x H: Do ph†p nhóng H ,!,! C [0; ] l compact (theo nh lỵ nhúng Rellich - Kondrachov) nản ta cõ xn ! x C [0; ] v g (xn) ! g (x) C [0; ] : Câ jjjxn (t) x (t) jjj = Z : x (t) : x = R + xnp R 37 n hay jjjxn xjjj = (F (xn) F (x) ; xn x) R + (g (xn (t)) g (x (t))) (xn (t) x (t)) dt Rª r ng (F (xn) F (x) ; xn x) ! Tł sü hºi tö n!1 (do (2.8)): •u cıa fxng n=1 v fg (xn)g n=1 ta câ Z (g (xn (t)) g (x (t))) (xn (t) x (t)) dt ! n ! 1: Tł â suy kjxn xjk ! n ! hay xn ! x H(do (2.10) ): nh lỵ 2.3.4 Nu > th b i to¡n (2.8) câ mºt nghi»m y‚u khỉng ¥m [0; ] Chứng minh T nh lỵ 2:3:2 v 2:3:3 ta thĐy F thọa mÂn nh lỵ qua núi nản tỗn ti mt im tợi hn x0 H cıa F ( x0 l mºt nghi»m y‚u cıa b i to¡n (2.8)) vỵi F (x0) = c b > Chóng ta chøng tä x 0 [0; ] Th“t v“y, v… x0 l i”m tỵi h⁄n cıa F n¶n F (x0; y) = 0; hay Z : : x (t): y (t) dt + Z x0 (t) :y (t)dt Do õ, Z0 38 vợi bĐt ký y H Tł â °t y = x0 , â x0 = max f0; x0g, chóng ta ÷ỉc 39 KTLUN Mưc ‰ch ch‰nh cıa lu“n v«n l Ăp dửng lỵ thuyt im tợi hn ca phim h m kh£ vi khæng gian Banach, düa v o nguyản lỵ cỹc tiu v nh lỵ qua núi chứng minh sỹ tỗn ti nghiằm yu ca b i toĂn biản Kt quÊ ca lun vôn ữổc th hiằn cĂc ni dung sau Ơy: Chứng minh ữổc b i toĂn Dirichlet i vợi phữỡng trnh (2.1) cõ nhĐt nghiằm yu khổng tm thữớng khổng gian H := W 1;2 (0; 1) B‹ng c¡ch ¡p dửng lỵ thuyt im tợi hn ca phim h m khÊ vi khổng gian Banach thổng qua nguyản lỵ cỹc tiu v nh lỵ nhúng khổng gian Sobolev, chứng minh phim h m nông lữổng Euler - Lagrange liản kt vợi b i toĂn tỗn ti im tợi hn v õ b i toĂn ( 2.1) tỗn ti nghiằm yu khổng gian H ữổc xƠy dỹng th‰ch hỉp Nghi¶n cøu gi¡ trà ri¶ng cıa b i toĂn i vợi phữỡng trnh (2.6) Viằc chứng minh sỹ tỗn ti giĂ tr riảng ca b i toĂn ữổc ữa vã viằc chứng minh sỹ tỗn ti nghiằm y‚u cıa b i to¡n (2.6) khæng gian X := W0 1;p (0; 1) B‹ng c¡ch ¡p dưng ph÷ìng phĂp nhƠn tò Lagrange vợi nh lỵ nhúng khổng gian Sobolev, chúng tổi  chứng minh ữổc giĂ tr riảng b nhĐt tĐt cÊ cĂc giĂ tr riảng ca b i toĂn l t ữổc Xt sỹ tỗn ti nghiằm ca b i toĂn biản i vợi phữỡng trnh (2.8) khổng gian H := W0 1;2 (0; ) Düa v o c¡c gi£ thi‚t §n nh lản phữỡng trnh (2.8), chúng tổi  nh nghắa phim h m F liản kt vợi b i toĂn v bng cĂch Ăp dửng nh lỵ qua núi, nh lỵ nhúng, lỵ thuyt im tợi hn ca phim h m kh£ vi chóng tỉi ¢ chøng minh K‚t lu“n ữổc sỹ tỗn ti nghiằm khổng Ơm trản [0; ] vợi iãu kiằn ca tham s Mc dũ  c gng, nhiản lun vôn khổng trĂnh khọi nhng sai sõt, rĐt mong nhn ữổc sỹ gõp ỵ ca quỵ thy cổ v bn ồc T i liằu tham kh£o [1] A Ambrosetti, P H Rabinowitz, Dual variational methods in critical point theory and application, Journal of Functional Analysis14, 349 381, 1973 [2] D÷ìng Minh øc, Gi£i t‰ch h m, HQG Th nh ph Hỗ Ch Minh 2000 [3] Haim Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differen-tial Equations, Springer NewYork 2011 [4] Ho ng Töy, H m thüc v gi£i t‰ch h m, HQG H Nºi 2005 [5] James C Robinson, Infinite - Dimensional Dynamical System, Cam- bridge University Press , USA 2001 [6] Pavel Dr¡bek, Jaroslav Milota , Methods of Nonlinear Analysis Appli- cations to Differential Equations, Birkhauser, Basel Boston Berlin 2007 ... phim h m khÊ vi khæng gian Banach, m nºi dung cıa nâ l ữa b i toĂn ang xt vã vi? ??c nghiản cøu mºt phi? ??m h m F kh£ vi li¶n tưc theo mºt ngh¾a n o â khỉng gian Banach ÷ỉc chån th‰ch hỉp (gåi l phi? ??m... h⁄n cıa phi? ??m h m F l nghi»m y‚u cıa b i to¡n ang x†t Mºt ph÷ìng ph¡p thổng thữớng tm im tợi hn ca phim h m l t…m i”m cüc ti”u cıa phi? ??m h m â Tuy nhi¶n vi? ?c t…m i”m cüc ti”u cıa mºt phi? ??m h... th… ta nâi phi? ??m h m f thuc lợp C (X; R) GiÊ sò f l phi? ??m h m kh£ vi Fr†chet khæng gian Banach X th… ¡nh x⁄ f :X!X; l ⁄o h m Fr†chet cıa f N‚u f : X ! R kh£ vi Fr†chet t⁄i x th… f kh£ vi G¥teaux