Một số ứng dụng của phương tích trong hình học phẳng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± THU HANG M®T SO ÚNG DUNG CUA PHƯƠNG TÍCH TRONG HÌNH HOC PHANG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC HÀ N®I - 2017 NGUYEN TH± THU HANG M®T SO ÚNG DUNG CUA PHƯƠNG TÍCH TRONG HÌNH HOC PHANG LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: Phương pháp toán sơ cap Mã so: 60 46 01 13 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC GS TSKH NGUYEN VN MắU H NđI - 2017 i Mnc lnc Ma đau 1 M®t so kien thÉc ban ve phương tích 1.1 Phương tích cna m®t điem đoi vói m®t đưịng trịn 1.2 Truc phương cna đưòng tròn .7 1.2.1 Truc phương cna hai đưòng tròn 1.2.2 Cách dnng truc phương 1.2.3 Tâm phương cna ba đưịng trịn 10 1.3 M®t so đ%nh lý ban cna hình HQc 11 Úng dnng cua phương tích tốn chÉng minh tính chat hình HQC 16 2.1 Chúng minh ba đưòng thang đong quy 16 2.2 Chúng minh ba điem thang hàng .22 2.3 Chúng minh điem thu®c m®t đưịng trịn 27 2.4 Chúng minh hQ đưòng thang qua điem co đ%nh 31 2.5 Chúng minh m®t so tính chat hình HQc khác 39 M®t so dang tốn liên quan 45 3.1 Các dang tốn ve tính tốn ưóc lưong đai lưong hình HQc 45 3.2 M®t so tốn thi HQc sinh gioi quoc gia Olympic nưóc 49 Ket lu¾n 58 Tài li¾u tham khao 59 Ma đau Các dang tốn ve hình HQc phang rat phong phú ve chnng loai vói chúng sn can thiet cHQN lna công cu tương úng phù hop đe tiep cắn lũi giai mđt cỏch hiắu qua nhat Trong so đó, phương tích truc phương đóng vai trị l mđt nhung cụng cu ắc biắt huu ớch đoi vói m®t so lóp tốn liên quan tói điem, đưịng trịn đưịng thang Phân tích lịi giai tốn ve hình hQc phang bang phương tích truc phương, ta thay tính ưu vi¾t cna cách l¾p lu¾n, tư sac bén, lịi giai ngan GQN cna phương pháp Trong nhung năm gan đây, tốn ve hình phang liên quan đen phương tích truc phương thưịng xun xuat hi¾n kì thi HQc sinh gioi quoc gia, Olympic nưóc ln đưoc xem nhung dang tốn khó rat khó M¾c dù chun đe ve phương tích truc phương quen thu®c o phő thơng, kien thúc ve rat đơn gian de hieu, song ky thu¾t áp dung chúng nhieu trưịng hop cu the lai khơng đơn gian, can sn phân loai ky ve hình xác Chính the nhung tốn có liên quan đen phương tích truc phương thưịng đưoc xem nhung dang tốn hay, có súc hap dan Vì nhung lý trên, tơi cHQN đe tài lu¾n văn “M®t so úng dung cna phương tích hình HQc phang Nđi dung cna luắn ny chn yeu e c¾p đen nhung dang tốn thưịng hay xuat hi¾n kỳ thi cHQN HQc sinh gioi chúng minh điem thang hàng, tính đong quy cna đưịng thang, nhắn dang cỏc iem thuđc mđt ũng trũn cho trưóc tốn chúng minh tính chat hình HQc có su dung đen phương tích truc phương, Cau trúc cna lu¾n văn gom phan mo đau, ket lu¾n đưoc chia thành ba chương Chương trình bày m®t so kien thúc hình HQc ban can thiet cho nhung chương sau Chương xét m®t so úng dung cna phương tích Chương trình bày m®t so dang tốn liên quan tù đe thi gioi Quoc gia, Olympic nưóc HQ c sinh Hà N®i, ngày 12 tháng 11 năm 2017 Tác gia Nguyen Th% Thu Hang Lài cam ơn Lòi đau tiên em xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac tói thay GS.TSKH Nguyen Văn M¾u, ngưịi thay t¾n tình hưóng dan giúp đõ em thịi gian HQc t¾p hồn thành lu¾n văn Em xin trân TRQNG cam ơn Ban giám hi¾u trưịng Đai HQc Khoa hQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i thay, cơng tác giang day tai trưịng nhi¾t tình giúp đõ tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em q trình HQc t¾p nghiên cúu đe tài Chương M®t so kien thÉc ban ve phương tích Chương giói thi¾u kien thúc ban ve phương tích Đ%nh nghĩa đ%nh lý dùng tốn chúng minh Đ¾c bi¾t, o cuoi chương có đe c¾p đen hai đ%nh lý női tieng chúng minh tính thang hàng đong quy Đó đ%nh lý Menelaus đ%nh lý Ceva Các kien thúc se đưoc dùng đen thưòng xuyên o chương sau 1.1 Phương tích cua m®t điem đoi vái m®t đưàng tròn Đ%nh lý 1.1 (xem [1],[7]) Cho đưòng tròn (O; R) m®t điem M co đ %nh M®t đưịng thang thay đői qua M cat đưòng tròn (O; R) tai hai điem − −→ − −→ − −→ − −→ A, thìMBtích vơ hưóng B m®t hang so khơng đői " M MB A × M = d2 − R2 ", d = OM ChÚng minh GQI C điem đoi xúng cna A qua O Ta có CB⊥AM hay B hình chieu cna C AM Khi đó, ta có − −→ − −→ − −→ − −→ − −→ MA × MB = M A× M B= M C× M A= M O − → − −→ − → + O CΣ M O + O AΣ − −→ − → − −→ − → = M O − O AΣ M O + O AΣ = − −→ − → M O2 − O A2 = OM − OA2 = d2 − R2 − −→ − −→ tích Đ%nh cna điem nghĩa M đoi 1.1 vói(xem đưịng [1]) trịnGiá (O;tr%R) M M B đưoc GQI phương Kí hi¾u PM/(O) − −→ − −→ Vắy PM/(O) = M Aì M B = d2 R Tù đ%nh nghĩa có the thay rang giá tr% cna phương tích PM/(O) âm hay dương tùy thu®c vào v% trí điem M tương úng nam hay ngồi đưịng trịn (O) Cu the, ta có Nh¾n xét 1.1 *) PM/(O) < ⇔ M nam đưòng tròn(O; R) *) PM/(O) = ⇔ M nam đưòng tròn (O; R) *) PM/(O) > ⇔ M nam ngồi (O; R) Trong MQI trưịng hop, ta có PM /(O) = M A × M B Nh¾n xét 1.2 − − → 2 (O) MT 2là tiep tuyen - Neu đưòng tròn trònMtanam có Pngồi M T = M T vói đưịng M/(O) ) = d − R = − −→ − −→ − −→ 2và thu®c AB nam ngồi AB Khi MC M C tiep tuyen cna (O; R) ⇔ M A × = M C hay M A × MB = - Cho tam giác ABC, M lMmđt B iem Nhắn xột 1.3 Neu A, B co đ%nh AB × AM = const điem M điem co đ%nh Ta su dung ý tưong đe chúng minh đưòng thang qua điem co đ %nh Đ%nh lý 1.2 (xem [1],[7]) Neu hai đưòng thang AB CD cat tai M MA × MB = MC × MD bon điem A, B, C, D thu®c m®t đưịng trịn ChÚng minh Gia su đưòng tròn ngoai tiep tam giác ABC cat CD tai DJ Khi theo đ%nh lý 1.2, ta có P A × P B = P C × P DJ , suy P C × P D = P C × P DJ nên D ≡ DJ Suy bon điem A, B, C D cựng thuđc mđt ũng trũn Nhắn xột 1.4 Tự đ%nh lý 1.2, đe chúng minh tú giác ABCD n®i tiep ta can chi đưòng thang AB CD cat tai M có MA × MB = MC × MD ” 1.2 Trnc phương cua đưàng tròn Trong phan này, ta khao sát truc phương cna hai đưòng tròn nêu cách dnng truc phương, tâm phương cna ba đưòng tròn 1.2.1 Trnc phương cua hai đưàng tròn Đ%nh 1.3 (xem Cho haicác đưịng trịn phân bi¾t (O1)và đoi (O có vói bánlý kính R[1]) điem Mtrịn có phương tích vàcna Quy hai phương haitích đưịng (O (O )GQI ) đưịng trịn làRm®t đưịng thang, đưịng thang đưoc truc Ta có PA/(C2) = AE × AF = AB2 = AB × 2AB = AD × AC Suy tú giác DCFE n®i tiep Do M tâm đưòng tròn ngoai tiep tú giác DCFE Mà M nam AC nên MD = MC= DC Tù tính đưoc AM AB MC AB = = V¾ AM = y MC thang CD Bài ∩ AB = 3.2 M, AD N Chúng rang MN = M/(O)) + P tốn Cho∩túBC giác=ABCD n®i minh tiep đưịng trịn tâm O.((N/(O)) Đưòng Lài giai Lay điem P MN cho tỳ giỏc MPAD nđi tiep Mắt khỏc, tỳ giỏc ABCD n®i tiep nên tú giác PNBA n®i tiep Ta có MP × MN = MANP ×× MB; NM = NA × ND 2 MN = (MP + PN )× MN = MA MB điem + NAnam ngồi =TST + Cho Vỡ3.3 vắy MN P(M/(O)) P(N/(O)) vìmđt BàiSuy toán (Romani 2006) (O) ND (O) Tù A ke cát tuyen ABC, ADE(B thu®c đoan AC,D thu®c đoan AE Qua D ke đưịng thang song song vói AC cat (O) lan thú hai tai F Đưòng thang AF cat (O) tai G Đưòng thang EG cat AC tai M Chúng minh 1 rang = + A AB AC M Lài giai Ta có ∠GED = ∠GCD = ∠GAB Suy tam giác AMG đong dang vói tam giỏc EMA Mắt khỏc MA = MG ì ME = MB × MC Nên MA = (AB − MA) × (AC − MA) = AB × AC − MA × (AB + AC) + MA Suy 1 AB × AC MA = Do = + AB + AC AM AB AC Bài tốn 3.4 Cho tú giác ABCD n®i tiep (O) Điem P nam cung CD không chúa A, B Hai đưòng thang PA, PB cat DC lan lưot tai M, N MD × NC Chúng minh rang = const MN Lài giai Trên DC lay điem E cho ∠AED = ∠APB = const Suy E co đ%nh Tú giác AEPN n®i tiep, suy ME × MN = MA × MP ; MD × MC (MD + DE) × MN = MD × (MN + NC)] MD × = DE = const DE MN = MD NC NC × MN (O) trịn (Ogiác tiep xúc vói canh BC tiep xúc vói cung BC 1; R) nho Đưịng Tính AO theo avà tiep vàtrịn R Bài ABC toán 3.5 Cho tam đeu canh a n®i đưịng tâm Lài giai GQI M tiep điem cna đưịng thang BC vói đưịng trịn (O1) N điem tiep xúc chung cna hai đưòng tròn (O); (O1) Do MO O1M nên A, N, M thang hàng OA = O1N ON ǁ AO M¾t khác ∠ANB = ∠ABC = 600 nên ∆ABM ∼ ∆ANB (g.g) Suy AM × AN = AB2 = a22 Hơn nua P(A/(O )) = AO − R = AM ì AN == a2 Vỡ vắy AO1 = √ 1 a2 + R2 Bài toán 3.6 (All-Russian MO 2007) Hai đưòng tròn (O1) (O2) giao RB tròn, điem P, R(O là2tiep điem tròntuyen (O vàRB Q, cat Scna là(O tiep 1),chung điem cna )) Gia sucna RB PQ, đưòng thang 2) tai Ađưòng B.trịn Đưịng thang PQ, làđưịng hai tiep hai đưịngvói lan nua tai W Tính ǁ RW Lài giai 2 QI ∩ PJ,(O Q J giác điem Q JQ Th¾t v¾y PJ/(O ) =AB = JA JB = JQtrung JB De dàng có 1Suy ) tú P màJ×hay P= QAB ǁ= RB nênthì Pnên JBR làP= hình bình hành raJP P ǁJ =RG RB 2 2 RB × RW = RS = PQ = (2 × PJ)| = 4RB Do RW = 4RB RB Vắy = RW 3.2 Mđt so toán thi HQC sinh gioi quoc gia Olympic nưác Sau m®t so tốn xuat hi¾n đe thi ngồi nưóc có su dung phương tích truc phương đe chúng minh Bài toán 3.7 (IMO shorlist 2014-G3) Cho tam giác ABC NHQN n®i tiep đưịng trịn (O) vói AB > BC Phân giác cna góc ABC cat (O) tai M khác B GQI (ε) đưòng tròn đưòng kính BM Phân giác cna góc ∠AOB ∠BOC cat (ε) tai P Q Trên đưòng thang P Q lay điem R cho RB = RM Chúng minh rang BR ǁ AC Lài giai GQI K trung điem cna BM K tâm cna (ε) OK OM trung trnc cna BM AC, R giao điem cna P Q vói OK GQI N giao điem thú hai cna OM vói đưịng trịn (ε), ta có BN ǁ AC Ta chi can chúng minh đưòng thang BN qua R xong Đieu đong nghĩa vói ba đưòng thang BN, PQ, OK đong quy Ta se dnng ba đưòng tròn mà đưòng thang BN, PQ, OK lan lưot truc phương cna c¾p đưịng trịn, tù se thu đưoc đieu can chúng minh Tù đ¾c điem vng góc tai N K ta suy N K nam đưòng tròn (ω) đưịng kính OB Tiep theo ta se chúng minh O, K, P, Q nam đưòng tròn GQI D E lan lưot trung điem cna BC AB D nam OQ E nam OP Do điem B, E, O, K, D nam đưòng tròn (ω) nên ta đưoc ∠EOR = ∠EBK = ∠KBD = ∠KOD Suy OK phân giác ngồi cna góc ∠POQ M¾t khác K tâm cna (ε) nên Knam trung trnc cna PQ Tù suy K điem giua cung POQ cna đưòng tròn ngoai tiep tam giác POQ Suy O, K, P, Q nam đưòng tròn (γ) Khi OK, BN, PQ lan lưot truc phương cna c¾p đưịng trịn (ω), (γ) (ε) V¾y OK, BN, PQ đong quy, tốn đưoc chúng minh hồn tồn Bài tốn 3.8 (VMO 2014) Cho tam giác ABC n®i tiep đưịng trịn (O), B, C co đ%nh A thay đői (O) Trên tia AB, AC lan lưot lay điem M, N cho MA = MC; NA = NB Các đưòng tròn ngoai tiep tam giác AMN, ABC cat tai P (P ƒ= A) Đưòng thang MN cat đưòng thang BC tai Q a) Chúng minh ba điem A, P, Q thang hàng b) GQI D trung điem BC Các đưịng trịn có tâm M, N qua A cat tai K(K ƒ= A) Đưòng thang qua A vng góc vói AK cat BC tai E Đưòng tròn ngoai tiep tam giác ADE cat (O) tai F (F ƒ= A) Chúng minh đưòng thang AF qua m®t điem co đ%nh Lài giai a) Khơng mat tính tőng quát, gia su AB ≤ AC, trưịng hop cịn lai hồn tồn tương tn Khi đó, M nam đoan AB; N nam đoan AC Lài giai Do NA = NB nên ∠NBA = ∠NAB; MA = MC Vì the ∠MCA = ∠MAC, suy ∠NBA = ∠MCA Nên tú giác BMCN n®i tiep ta đưoc QM × QN = QB × QC Suy Q có phương tích đoi vói hai đưịng trịn (O), (AMN ) Do Q thu®c truc phương AP cna hai đưịng trịn V¾y A, P, Q thang hàng b) Ta thay (ODC), (O) tiep xúc vói tai C nên truc phương cna hai đưịng trịn tiep tuyen d cna đưòng tròn (O) tai C Ta chúng minh O ∈ (ADE) Th¾t v¾y, O, M nam đưịng trung trnc cna AC nên OM⊥AC Tương tn, ta có ON⊥AB ⇒ O trnc tâm tam giác AMN Suy AO⊥MN Xéthàng hai đưòng tròn (M, MA); (N, NA) Ta có AK⊥MN, nên A, O, K thang Vì v¾y ∠OAE = 900 M¾t khác, ta có ∠ODE = 900 nên AODE tú giác n®i tiep hay O ∈ (ADE) Do truc phương cna (ADE), (OCD) OD V¾y nên truc phương cna hai đưịng trịn (O) (ADE) AF Tiep theo, ta thay ba đưòng trịn (O), (ADE), (ODC) đơi m®t có truc phương OD, d, AF nên chúng đong quy tai mđt iem Vắy nờn AF i qua iem co %nh giao điem cna OD, d Bài toán 3.9 (VMO 2015) Cho đưòng tròn (O) hai điem B, C co đ%nh (O), BC khơng đưịng kính M®t điem A thay đői (O) cho tam giác ABC NHQN GQI E, F chân đưòng cao ke tù B, C cna tam giác ABC Cho (I) đưịng trịn thay đői qua E, F, vói I tâm DB a) Gia su (I) tiep xúc vói BC tai điem D Chúng minh rang = DC cot B cot C b) Gia su (I) cat canh BC tai M, N GQI H trnc tâm tam giác ABC; P, Q giao điem cna (I) vói đưịng trịn ngoai tiep tam giác HBC Đưịng trịn (K) qua P, Q tiep xúc vói (O) tai T (T phía A đoi vói PQ) Chúng minh rang đưịng phân giác cna góc MTN ln qua m®t điem co đ%nh Lài giai 2 (I), ta có = (I) BX= ×∠Y BE; CD = CF tích E nên a) đưịng Xét GQI ∆BXF X,trịn Y giao ∆CY điem EBD có cna ∠XBF vói BE, CE, CF ∠BXF XétCYphương =×∠CY vói hai tam giác đong dang Suy B X CY BD Do v¾y CD2 = = BF CE = cos B cos C cos B sin C BX × BE CY × CF = × cot B BD hay = cot C CD cot B cot C cos C sin = B b) Đoi vói trưịng hop tam giác ABC cân tai A, ta thay ket lu¾n cna tốn Xét trưịng hop tam giác khơng cân tai A Khơng mat tính tőng quát, gia su AB < AC GQI G giao điem cna EF ; BC Xét đưòng tròn (BHC), (I) đưịng trịn đưịng kính BC Nh¾n xét rang truc phương cna (BHC), (I) PQ truc phương cna (I) đưịng trịn đưịng kính BC EF Tương tn, truc phương cna (BHC) đưịng trịn đưịng kính BC BC Do PQ, EF, BC đong quy tai tâm phương cna ba đưòng tròn Do GT = GP × GQ = GM × GN nên đưòng tròn (TMN ) ^ tiep xúc vói đưịng trịn (O) tai T Do ∠GTM = ∠GNT (vì chan TM cna đưịng trịn (K)) M¾t khác, theo tính chat góc ngồi cna tam giác NCT ∠GNT = ∠NTC + ∠NCT Hơn nua, GT tiep xúc vói (O) nên ∠GTB = ∠GCT nên ∠BTM = ∠CTN Tù ket qua de thay phân giác cna hai góc ∠MTN ;^∠BTC trùng hay phân giác góc ∠MTN qua trung điem J cna BC không chúa A Suy J điem co đ%nh, đpcm Bài toán 3.10 (IMO 2013) Cho tam giác NHQN ABC vói trnc tâm H điem MXlà N tương úng làý chân đưịng cao havói B C.đưịng Kí hi¾u ω1 đưịng trịn ngoai tiep tam giác BW X điem ω cho Cho W điem tùy canh BC, khác B C Các W làm®t đưịng kính cna Tương tn, ωtù tròn ngoai 1là hàng tiep giác CW M, GQI điem ωGQI cho Wđưịng Yđiem kính 2hi¾u cna ωtam minh rang cácYω điem X,N, Ytrên vàkí H thang Chúng Lài giai BNMC tròn đưòng BC nên AN = Gđưòng QIgiác P làtròn chân caoZđưòng ke A điem cna tam giác O , OAB tâm cácTú ω1đưịng ,n®i ω2, tiep GQI tù giao thúkính hai ABC, cna v v 12ì AM ì AC hay A thuđc truc phương cna ω1 ω2 Suy A, Z, W nam m®t đưịng thang vng góc vói O1O2 XY Tú giác BNHP n®i tiep nên AH × AP = AN × AB = AZ × AW, tù PHZW tú giác n®i tiep Do v¾y HZ vng góc vói ZW Suy X, Y, H thang hàng, đieu phai chúng minh AB < AC n®iABC tiep đưịng trịn (O) 2011-G4) GQI qua B1 , C trung điem cna , canh Bài tốn 3.11AB (IMO shorlist giác ABC NHQN vói giác trịn BCho BC tiep xúc AC 1tam (O) điem G QI D đưịng hình chieu cna Gvói TRQNGtai tâm tamAC X khácGQI A (ω) Chúng minh rang D, G, X thang hàng Lài giai GQI a, x lan lưot tiep tuyen cna đưòng tròn (O) tai A X GQI (ω1 ) đưịng trịn ngoai tiep tam giác AB1C1 v¾ya ba đưòng thang x B1C1 lan lưot truc phương cna De tiep cnaNhư haithay đưòng tròn (O) vàtuyen (ωa, 1).cna (ω1) tai A nên a truc phương c¾p đưịng trịn (O) (ω1); (O) (ω); (ω) (ω1) Do a, x B1C1 đong quy tai điem M TaADX có MA = MD = MX nên M tâm đưòng tròn ngoai tiep tam giác GQI T giao điem thú hai cna DX vói (O), ý O ∈ (ω1) Σ Ta có ∠DAT = ∠ADX − ∠ATD = 360 − ∠AMX = −∠AOX 2 Do ATCB hình thang cân BC 180 −2 (∠AMX + ∠AOX) = 900, suy AD⊥AT suy AT ǁ GQI A1 trung điem cna B1 C1 Xét phép v% tn V (G, − ) bien A ›→ A Suy ∠T CB = ∠T J C1 B1 1; B ›→ B 1; C ›→ C 1; T ›→ T J M¾t khácJ ∠TCB = ∠CBA = ∠B1C1A = ∠DC1B1 Do T ≡ D, tù suy D, G, T thang hàng ta có đieu phai chúng minh Bài tốn 3.12 (VMO 2007) Cho hình thang ABCD có đáy lón BC n®i tiep (O) GQI P m®t điem thay đői BC nam ngồi đoan BC cho P A không tiep tuyen cna (O) Đưịng trịn đưịng kính P D cat (O) tai E (E khác D) GQI M giao điem cna BC vói DE, N giao điem khác A cna PA vói (O) Chúng minh rang đưịng thang MN qua m®t điem co đ%nh Lài giai GQI A1 điem đoi xúng cna A qua tâm O Ta chúng minh N, M, A1 thang hàng, tù suy MN qua A1 co đ %nh Vì ∠PNA 90 nênlàNA truc phương cna đưòng =ta(T trịn đưịng kính PD Th¾t v¾y, có1)DE truc phương cna đưòng tròntròn (O) (O) và đưòng đưòng trịn (T2) đưịng kính PA1 Gia su DA cat BC tai F, ∠ADA1 = 900 suy ∠PFA1 = 900 Do F giao điem thú hai cna (T1) (T2), suy FP truc phương cna (T1) (T2) Vì truc phương đong quy tai tâm phương nên DE, FP NA1 đong quy tai điem M V¾y M, N, A1 thang hng Ket luắn Luắn "Mđt so ỳng dung cna phương tích hình HQc phang" giai quyet nhung van đe sau: H¾ thong kien thúc ve phương tích dang tốn hình HQc liên quan Phân loai dang tốn hình hQc phang có su dung phương tích đe giai quyet Trình bày m®t so dang tốn thi HQc sinh gioi Quoc gia Olympic nưóc có liên quan đen phương tích Úng dung phan mem "Geo Gebra" ve hình đe mơ ta kênh hình rõ ràng xác Tài li¾u tham khao [1] Văn Như Cương, Phan Văn Vi¾n (2001), Hình duc HQc 10, NXB Giáo [2] Nguyen Minh Hà, Nguyen Xuân Bình (2006), Bài nõng cao v mđt so chuyờn e hỡnh HQc 10, NXB Giáo duc [3] Nguyen M®ng Hy, Các phép bien hình măt phang, NXB Giáo duc [4] Nguyen Văn M¾u Đàm Văn Nhi (2015), Đong nhat thúc phương pháp TQa đ® Hình HQc, NXB ĐHQG Hà N®i [5] Đàm Văn Nhi (2012), Má r®ng Bat thúc Ptolemy Hayashi cho đa giác, Tap chí Toán HQc Tuői tre so T426, No12 [6] Nguyen Đăng Phat (2010), Các phép bien hình m¾t phang úng dnng giai tốn hình HQc, NXB Giáo duc [7] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Tran Nam Dũng, Nguyen Minh Hà, Đo Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2013), Tài li¾u chun tốn, Hình HQc 10, NXB Giáo duc [8] Đào Tam (2007), Giáo trình Hình HQc sơ cap, NXB ĐHSP Hà N®i [9] O Bottema (2008), Topics in elementary Geometry, Springer [10] A Pogorelov (1987), Geometry, Mir Publishers, Moscow ... ve phương tích 1.1 Phương tích cna m®t điem đoi vói m®t đưịng trịn 1.2 Truc phương cna đưòng tròn .7 1.2.1 Truc phương cna hai đưòng tròn 1.2.2 Cách dnng truc phương 1.2.3 Tâm phương. .. Phân tích lịi giai tốn ve hình hQc phang bang phương tích truc phương, ta thay tính ưu vi¾t cna cách l¾p lu¾n, tư sac bén, lòi giai ngan GQN cna phương pháp Trong nhung năm gan đây, tốn ve hình. .. cnaTrong canh hop chúng minh tương Đ%nh lí đưoc chúng minh Chương Úng dnng cua phương tích tốn chÉng minh tính chat hình HQC Chương nham h¾ thong m®t so dang tốn su dung phương tích truc phương