Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội- Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, cô Khoa Toán – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, ngƣời bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hồn thành luận văn Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề 1.2.2 Hệ tọa độ cong 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide 14 1.3 Thành phần vật lý tenxơ 20 1.3.1 Tenxơ hạng 20 1.3.2 Tenxơ hạng hai 21 1.3.3 Khai triển cụ thể 21 1.4 Đạo hàm hiệp biến 23 1.4.1 Đạo hàm véctơ sở 23 1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng 31 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 32 Chƣơng - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động .33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .42 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 49 2.3.3 Phƣơng trình cân 52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53 TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực nhƣ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đƣợc nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải tốn lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phƣơng trình dựa hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thƣờng nêu trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ thức Cơsi mà khơng nói rõ bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu đƣợc phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chƣơng trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chƣơng - Chƣơng vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phƣơng trình cân bằng- chuyển động xây dựng phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây: Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trƣờng hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trƣng hay nhiều số dƣới Ví dụ nhƣ�� , �� , ��� , ��� Theo quy ƣớc: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu �� nghĩa biểu thị phần tử � 1, � , � ��� biểu thị phần tử �11, �12,�13, �21 ,�22, �23 ,�31 , �32 ,�33 Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lƣợng số kí hiệu tenxơ Nhƣ�� phụ thuộc vào số nên �� hệ thống hạng bao gồm hạng tử ��� phụ thuộc vào số(�, �) nên��� hệ thống hạng bao gồm 32 = phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm 3� phần tử Quy ƣớc số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số nhƣ số câm nên thay chữ khác Ví dụ: �� �� = �� �� = �1�1 + �2�2 + �3 �3 Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai��� Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống ��� gọi hệ thống đối xứng ��� = ��� Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống ��� hệ thống phản đối xứng ��� = −��� Ví dụ hệ thống Kronecker 1, � = �� 0, � = � � ≠ � hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần khơng thay đổi đổi chỗ hai số cho Ví dụ: Nếu hệ thống ���� đối xứng theo số ( �, � ) ���� = ���� Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng 0, ���� = 1, −1, số �, �, � hoán vị chẵn số 1, 2, �, �, � hoán vị lẻ số 1, 2, Cụ thể:�123 = �231 = �312 = , �132 = �213 = �321 = −1, Cách thành phần lại ���� = Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định vị trí số Hệ thống hạng hai��� gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai��� gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai��� gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đềcác Xét hệ tọa độ Đềcác vng góc � 1, � , � với véc tơ sở � , � ,� �3 �1 (Hình 1) �� �� O� � � = � (� 1, � , � ) véctơ bán kính �2 điểm P hệ tọa độ Đềcác Hình Véc tơ � đƣợc biểu diễn dƣới dạng � = � � + � � + � � = � � � � � = 1,2,3 (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P � � = �� = � � � � � = � � �� � + � � �� � = � � �� � (���� � = 0) �� độ dài bình phƣơng vơ nhỏ � � �� = �� �� = � � �� � � � �� � = � � � � �� � �� � Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở � 1, � 2, � véctơ đơn vị trực giao nên tích vơ hƣớng� � � � =0 � ≠ �, � � � � = � = � nên � � � � = ��� Suy ra: �� = � � � � �� � �� � = ��� �� � �� � = �� � �� � = ��1 + ��2 + ��3 a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ) Xét hệ thống� có thành phần � � hệ sở � � Phép cộng � + � = �� � � + �� � � = �� + �� � � = �1 + � � + � + � � + � + � � Nhân với số �� = � � � � � = �� � � � = ��1 � + �� � + �� � Nhân vô hƣớng � � = �� � � � � � � = �� � � � � � � = �� � � ��� = � � �� = � 1� + � � + � � Nhân véctơ �1 �2 � � × � = �1 � � �1 �2 �3 = � � − � � � + � 3� − � � � + � � − � � � Hay viết dƣới dạng: � × � = �� � � × � � � � = �� � � � � × � � = �� � � � ��� �� ��−�� = � � � − � �1 � − � � � − � � � + � � � + � �1 � = � � − � � � + � 3� − � � � + � � − � � � Tích hỗn hợp � × � � = ���� �� � � � � � � � � = ���� �� � � � � � � � � = ���� �� �� �� ��� = ���� �� �� �� = �1�2�3 − �1�3�2 − �2�1�3 + �2�3�1 + �3�1�2 − �3�2�1 = �1�2�3 + �2�3�1 + �3�1�2 − �1�3�2 − �2�1�3 − �3�2�1 Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ⊗) � ⨂� = � � � � ⊗ � � � � = � � � � � � ⨂� � = �1 �1 � ⨂� + �1 � � ⨂� + �1 � � ⨂� + � �1 � ⨂� + � � � ⨂� +� � � ⨂� + � � � ⨂� + � � � ⨂� + � � � ⨂� 3 b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao � ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật. .. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động .33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .42 2.3 Ứng dụng. .. - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trƣờng hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành