Hàm đặc trưng và một số ứng dụng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ THÙY DUNG HÀM Đ¾C TRƯNG VÀ MđT SO NG DUNG LUắN VN THAC S KHOA HOC HÀ N®I - NĂM 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ THÙY DUNG HM ắC TRNG V MđT SO NG DUNG Chuyờn ngành: LÝ THUYET XÁC SUAT VÀ THONG KÊ TOÁN HOC Mã so: 60.46.01.06 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC: PGS TS PHAN VIET THƯ HÀ N®I - NĂM 2016 Mnc lnc Me ĐAU Khái ni¾m tính chat cua hàm đ¾c trưng 1.1 Bien ngau nhiên cna giá tr% phúc 1.2 Hàm đ¾c trưng tính chat ban 1.3 M®t so đ%nh lý ban cna hàm đ¾c trưng 17 Hm ắc trng cua mđt so phõn phoi 29 2.1 Hm ắc trng cna mđt so phõn phoi quan TRQNG 29 2.2 Tính chat đ¾c trưng cna phân phoi chuan 31 2.3 Hàm đ¾c trưng cna phân phoi nhieu chieu 49 M®t so Éng dnng cua Hàm đ¾c trưng 3.1 Phân phoi phân chia vô han 57 57 3.2 Phân phoi őn đ%nh 59 3.3 Úng dung cna Hàm đ¾c trưng Lu¾t so lón 64 3.4 Úng dung cna Hàm đ¾c trưng Đ%nh lý giói han trung tâm 67 KET LU¾N 77 Tài li¾u tham khao 78 Lài cam ơn Tôi xin đưoc bày to lịng kính tRQNg lịng biet ơn sâu sac đen PGS TS Phan Viet Thư, ngưịi thay t¾n tình giang day, truyen thu nhung kien thúc bő ích tao đieu ki¾n đe tơi hồn thành lu¾n văn Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot q trình tơi thnc hi¾n đe tài Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, Phịng sau đai hQc Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên, Đai HQc Quoc gia Hà N®i; thay tham gia giang day khóa cao HQc 2013 -2015 tao đieu ki¾n thu¾n loi cho tơi suot q trình HQc t¾p nghiên cúu Cuoi cùng, xin chân thành cam ơn gia đình, ngưịi thân, ban bè ln đ®ng viên nng h® giúp đõ tơi suot q trình HQc t¾p hồn thành lu¾n văn Hà N®i, tháng năm 2016 HQc viên Đo Thùy Dung Me AU Hm ắc trng l mđt khỏi niắm quan TRQNG cna tốn hQc vói nhieu úng dung lý thuyet nhóm, lý thuyet đ® đo tích phân đ¾c bi¾t lý thuyet xác suat Vói mong muon đưoc tìm hieu sâu ve Hàm đ¾c trưng lý thuyet xác suat, cHQN đe tài: "Hm ắc trng v mđt so ẫng dnng" Muc ớch cna lu¾n văn tìm hieu khái ni¾m, tớnh chat v mđt so ỳng dung cna Hm ắc trưng Ban lu¾n văn đưoc chia làm chương: Chương 1: Khái ni¾m tính chat cna hàm đ¾c trưng Trỡnh by cỏc khỏi niắm, tớnh chat v mđt so đ%nh lý ban cna hàm đ¾c trưng đe phuc vu cho chương sau Chương 2: Hàm đ¾c trưng cna m®t so phân phoi Chương trình bày hàm ắc trng cna mđt so phõn phoi quan TRQNG nh phân phoi chuan, phân phoi mũ, phân phoi nh% thúc, phân phoi χ2 , hàm đ¾c trưng cna phân phoi chuan nhieu chieu Và TRQNG vào tính chat ắc trng cna phõn phoi chuan Chng 3: Mđt so úng dung cna Hàm đ¾c trưng Đe c¾p đen mđt so ỳng dung cna Hm ắc trng khỏi ni¾m phân phoi phân chia vơ han, phân phoi őn đ%nh, quan TRQNG úng dung cna hàm đ¾c trưng Lu¾t so lón vàtrong Đ%nh lý giói han trung tâm M¾c dù có nhieu co gang, xong nhieu yeu to khách quan chn quan, nên q trình cHQN LQc tư li¾u trình bày nđi dung khú trỏnh khoi nhung thieu sút Vỡ vắy tơi rat mong nh¾n đưoc nhung ý kien chi bao cna thay cơ, sn góp ý chân thành cna ban HQc viên đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Chương Khái ni¾m tính chat cua hàm đ¾c trưng Hàm đ¾c trưng cơng cu phân tích huu ích cna lý thuyet xác suat, đ¾c bi¾t đe nghiên cúu đ%nh lý giói han cna lý thuyet xác suat e chương se trình bày đ%nh nghĩa tính chat cna hàm đ¾c trưng 1.1 Bien ngau nhiên cua giá tr% phÉc Cho bien ngau nhiên ξ , xét kì vQNG cna m®t bien ngau nhiên giá tr% phúc eiξt , ta se nghiên cúu kỳ vQNG cna bien ngau nhiên vói giá tr% phúc trưóc; sau ta se thay đ%nh lý ve bien ngau nhiên thnc có the mo r®ng đen bien ngau nhiên phúc the Neu ξ η bien ngau nhiên thnc, đ¾t đai lưong ζ = ξ + iη m®t bien ngau nhiên phúc Phân phoi cna ζ có the đ¾c trưng boi phân phoi cna ξ η Chúng ta đ%nh nghĩa kì vQNG cna ζ = ξ + iη boi ∫ E (ζ) = ζdP (1.1.1) Ω Hay E (ζ) = E (ξ) + iE (η) (1.1.2) Bien ngau nhiên ζ1 = ξ1 + iη1 ζ2 = ξ2 + iη2 oc GQI l đc lắp neu cỏc vộc t ngau nhiên hai chieu (ξ1 ; η1 ) (ξ2 ; ) l đc lắp Sn đc lắp cna nhieu bien ngau nhiên phúc đưoc đ%nh nghĩa tương tn Neu ξ1 , ξ2 , , ξn bien ngau nhiờn phỳc đc lắp, v ton tai k vQNG E (ξk ) (k = 0, 1, 2, , n) thì: E (Πξk ) = ΠE (ξk ) (1.1.3) Neu A (x) = a (x) + ib (x) m®t hàm Borel giá tr% phúc cna bien x thnc ξ m®t bien ngau nhiên thnc, nua neu kỳ vQNG cna ζ = A(ξ) ton tai, ta tính đưoc: ∫+∞ A (x) dF (x) E (ζ) = (1.1.4) −∞ F (x) phân phoi cna ξ Th¾t v¾y ta có: ∫+∞ ∫+∞ a (x) dF (x) +i E (ζ) = −∞ b (x) dF (x) −∞ Đieu de dàng chúng minh đưoc cho MQI bien ngau nhiên vói giá tr% phúc |E (ζ)| ≤ E (|ζ|) (1.1.5) 1.2 Hàm đ¾c trưng tính chat ban Chúng ta đ%nh nghĩa hàm đ¾c trưng cna m®t bien ngau nhiên ξ kỳ vQNG cna eiξt ; m®t hàm theo bien t đưoc ký hi¾u ϕ(t) Theo đ%nh nghĩa : ϕξ (t) = E eiξt Theo công thúc (1.1.4) Σ (1.2.1) ∫+∞ ϕξ (t) = eixt dF (x) (1.2.2) −∞ F(x) hàm phân phoi cna ξ ; tù ϕξ (t) đưoc GQI phép bien đői Fourier - Stieltjes cna F(x) Neu hàm phân phoi cna ξ ròi rac ξ có giá tr% gia đ%nh xk (k=1,2, vói xác suat tương úng : pk (k=1,2, ) ϕξ (t)có the viet dưói dang: ∞ Σ ϕξ (t) = ) (1.2.3) pk eitxk k=1 Neu hàm phân phoi cna ξ liên tuc tuy¾t đoi vói hàm m¾t đ® f (x) = F j (x) Ta có: ∫+∞ eitx f (x) dx ϕξ (t) = (1.2.4) −∞ Do ϕξ (t) phép bien đői Fourier - Stieltjes cna f(x) Tù thay rang hàm đ¾c trưng cna bien ngau nhiên tùy ý chi phu thu®c vào phân phoi xác suat cna nó; hàm đ¾c trưng cna bien ngau nhiên có phân phoi đong nhat Hàm đ¾c trưng đưoc đ%nh nghĩa theo cơng thúc (1.2.2) có the đưoc GQI hàm đ¾c trưng cna F(x) (Hay hàm đ¾c trưng cna bien ngau nhiên vói hàm phân phoi F(x)) Trưóc tiên, ý rang: MQI hm phõn phoi eu cú mđt hm ắc trưng tích phân Slieltjes (1.2.2) ton tai, theo quy ưóc: eixt = Neu gia thiet ξ chi nh¾n giá tr% ngun dương vói : P (ξ = k) = pk Ta thay : n Σ ϕξ (t) = k= (k = 0, 1, ) pk eikt = Gξ Σeit o đây: Gξ (z) = n Σ pk z k (|z| ≤ 1) k=0 hàm sinh cna ξ Trong trưòng hop giá tr% cna hàm đ¾c trưng bang vói giá tr% cna hàm sinh bên đưòng tròn đơn v% Trong trưịng hop tőng qt, ξ có the nh¾n khơng chi nhung giá tr% khơng âm hàm sinh khơng đưoc đ%nh nghĩa, nhiên hàm đ¾c trưng ln ton tai vói MQI bien ngau nhiên Ta se chúng minh mđt so %nh lý c ban ve hm ắc trưng cna phân phoi xác suat ≤ 1, dau "="xay t=0 Đ%nh lí 1.2.1 Ta ln có ϕξ (t) Chúng minh: Tù eiξt = tù cơng thúc (1.1.5), ta có: Σ ϕξ (t) ≤ E eiξt = Hơn nua vói t=0 : Σ ϕξ (0) = E e0 = V¾y dau "=" xay t=0 Q Đ%nh lí 1.2.2 Hàm ϕξ (t) liên tnc đeu toàn trnc so, −∞ < t < +∞ Chúng minh: Lay ε > 0, cHQN λ > cho: P (|ξ| > 3λ) < ε Neu ta ký hi¾u Aλ bien co :|ξ| > λ Hien nhiên ta có: Σ Σ Σ ϕξ (t) = E eiξt /Aλ P (Aλ ) + E eiξt /Aλ P Aλ (1.2.5) Σ Tù E eiξt /Aλ ≤ Ta ket lu¾n: (t) − E ϕ Vì v¾y : ϕ (t )− ϕξ Σ ≤ P (Aλ) εD √ n k=1 Vì v¾y đ%nh lý 3.4.3 bao gom đ%nh lý 3.4.1 mđt trũng hop ắc biắt Chỳ ý rang %nh lý 3.4.1 không suy tù đ%nh lý 3.4.2, tù +∞ ∫ |x|3dF (x) = +∞ bang vói −∞ +∞ ∫ +∫ ∞ x2dF (x) có the ton tai −∞ |x|3dF (x) vói ∀β > −∞ KET LU¾N Ve c ban Luắn trỡnh by mđt so cỏc khái ni¾m, đ%nh lý tính chat ban ve hm ắc trng cng nh mđt so ỳng dung cna hàm đ¾c trưng lý thuyet xác suat M¾c dù rat co gang, trình đ® thịi gian có han, v¾y lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn chinh Tài li¾u tham khao [1]A Rényi (1970), Probability Theory, Akadénmiai Kiadó, Pudapest, Hungary [2]Nguyen Viet Phú, Nguyen Duy Tien (2004), Cơ sá lý thuyet xác suat, Nhà xuat ban HQc Quoc gia H Nđi [3]ắng Hựng Thang (2013), Xác suat nâng cao, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [4]Nguyen Duy Tien, Vũ Viet Yên (2003), Lý thuyet xác suat, Nhà xuat ban Giáo duc ... phoi χ2 , hàm đ¾c trưng cna phân phoi chuan nhieu chieu Và TRQNG vào tính chat đ¾c trưng cna phân phoi chuan Chương 3: M®t so úng dung cna Hàm ắc trng e cắp en mđt so ỳng dung cna Hàm đ¾c trưng khái... thu®c vào phân phoi xác suat cna nó; hàm đ¾c trưng cna bien ngau nhiên có phân phoi đong nhat Hàm đ¾c trưng đưoc đ%nh nghĩa theo cơng thúc (1.2.2) có the đưoc GQI hàm đ¾c trưng cna F(x) (Hay hàm. .. 0,±1, ) Ta chúng minh đưoc neu hàm đ¾c trưng ϕn (t) cna hàm Fn (x) h®i tu tói m®t hàm ϕ(t) liên tuc tai t=0, hàm Fn (x) h®i tu tói m®t hàm phân phoi F(x) vói hàm đ¾c trưng ϕ(t) Neu ta bo qua đieu