Luận văn thạc sĩ số fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAM TH± LIÊN SO FIBONACCI VÀ M®T SO ÚNG DUNG TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐIEN LU¼N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Cán b® hưáng dan: PGS TS Nguyen Nhny H NđI - 2015 LốI CAM N Luắn oc hồn thành vói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Nhuy, Trưịng Đai HQc Giáo duc - ĐHQGHN Tơi xin đưoc bày to lịng biet ơn sâu sac đoi vói sn quan tâm, đ®ng viên sn chi bao hưóng dan nhi¾t tình, chu đáo cna thay suot thịi gian tơi thnc hi¾n Lu¾n văn Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành cna đen q Thay Cơ giáo khoa Tốn – Cơ – Tin, phòng Đào tao Sau đai HQc, Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên – ĐHQGHN, đ¾c bi¾t nhung Thay Cơ giáo tùng giang day o lóp PPTSC, khóa HQc 2013 – 2015 Cam ơn Thay Cô truyen cho kien thúc giúp đõ suot q trình HQc t¾p tai khoa Đong thịi, tơi xin gui lịi cam ơn tói t¾p the lóp Cao HQc Tốn PPTSC, khóa HQc 2013 - 2015 đ®ng viên, giỳp tụi cú c hđi thao luắn v trỡnh by ve mđt so van e Luắn cna mỡnh Tơi xin gui lịi cam ơn tói So Giáo duc - o tao H Nđi, Ban Giỏm hiắu, cỏc ong nghi¾p Trưịng THPT Đơng Đơ - Qu¾n Tây Ho - Tp H Nđi ó tao ieu kiắn cho tụi ve thành khóa HQc MQI m¾t đe tham gia HQc t¾p hồn Cuoi cùng, tơi xin gui lịi cam ơn đen nhung ngưịi thân gia đình, ban bè luụn nng hđ v nhiắt tỡnh giỳp tụi thòi gian vùa qua Tuy nhiên, sn hieu biet cna ban thân khn khő cna Lu¾n văn thac sĩ, nên chac rang q trình nghiên cúu khơng tránh khoi nhung thieu sót Tơi rat mong đưoc sn chi day đóng góp ý kien cna Thay Cơ v đc gia quan tõm túi Luắn ny H N®i, ngày 08 tháng 10 năm 2015 HQc viên Pham Th% Liên Mnc lnc 0.1 Lý cHQN đe tài Lu¾n văn 0.2 Muc đích cna đe tài Lu¾n văn .6 0.3 Bo cuc cna Lu¾n văn .6 So Fibonacci moi liên h¾ vái tE nhiên, Tốn HQC Éng dnng 1.1 Sn đòi cna so Fibonacci moi liên h¾ vói tn nhiên Toán HQc .8 1.1.1 Sn đòi cna so Fibonacci 1.1.2 So Fibonacci vói tn nhiên 10 1.1.3 So Fibonacci vói Tốn HQc 18 1.2 Đ%nh nghĩa dãy Fibonacci 23 1.2.1 Đ%nh nghĩa dãy Fibonacci .23 1.2.2 Đ%nh nghĩa dãy Lucas 24 1.2.3 M®t so bien the cna dãy Fibonacci 24 1.3 So Fibonacci vói chi so âm 25 1.3.1 So Fibonacci vói chi so âm 25 1.3.2 So Lucas vói chi so âm .26 1.4 Dãy Fibonacci Ty so vàng úng dung .28 1.4.1 Đ%nh nghĩa Ty so vàng moi quan hắ vúi cuđc song 1.4.2 Ty so vng tn nhiên 30 1.4.3 Ty so vàng kien trúc 37 1.4.4 Ty so vàng thiet ke 39 1.4.5 Ty so vàng ngh¾ thu¾t 41 1.4.6 Dãy Fibonacci th% trưịng tài 43 28 1.4.7 Các úng dung khác 47 Các tính chat cua so Fibonacci Cơng thÉc Binet cho so Fibonacci 49 2.1 Các tính chat đơn gian cna so Fibonacci .49 2.1.1 M®t so tính chat cna so Fibonacci 49 2.1.2 M®t so tính chat cna so Lucas 62 2.2 Tính chia het t¾p so Fibonacci .66 2.3 Công thúc tőng quát cna so Fibonacci 74 2.4 M®t áp dung cna cơng thúc Binet 78 2.5 Đieu ki¾n can đn đe m®t so tn nhiên n so Fibonacci 81 2.6 Hai moi liên h¾ đ¾c bi¾t cna dãy Fibonacci so 11 85 2.6.1 Moi liên h¾ thú nhat 85 2.6.2 Moi liên h¾ thú hai 86 So Fibonacci m®t so Éng dnng tam giác kinh đien 90 3.1 So Fibonacci tam giác Pascal 90 3.1.1 Các kien thúc ban 90 3.1.2 Tam giác Pascal 91 3.1.3 M®t so tính chat rõ ràng cna tam giác so Pascal 93 3.1.4 Moi liên h¾ giua tam giác Pascal vói so Fibonacci 95 3.1.5 Các đưịng Fibonacci cna m®t qn cị m®t bàn cị 103 3.2 So Fibonacci tam giác tna Pascal 106 3.2.1 Moi liên h¾ giua tam giác tna Pascal vói so Lucas 106 3.2.2 M®t cơng thúc thay the cho Ln 110 3.2.3 Moi liên h¾ giua tam giác tna Pascal vói so Fibonacci 111 3.2.4 M®t cơng thúc thay the cho Fn 113 3.2.5 Tam giác Lucas 113 3.2.6 M®t đ%nh nghĩa đ¾ quy cho D(n, j ) 115 3.3 So Fibonacci tam giác tna Pascal mo r®ng .119 3.3.1 Moi liên h¾ giua tam giác tna Pascal mo r®ng vói so Fibonacci 119 3.3.2 Moi liên h¾ giua tam giác tna Pascal mo r®ng vói so Lucas .122 Ket lu¾n 127 Tài li¾u tham khao 128 Me ĐAU 0.1 Lý cHQN e ti Luắn Dóy Fibonacci l mđt nhung ve đep cna kho tàng Toán HQc Dãy Fibonacci xuat hi¾n bien hóa vơ t¾n tn nhiên, vói rat nhieu bien the đep úng dung quan TRQNG Trưóc Fibonacci, có nhieu HQc gia nghiên cúu ve dãy Fibonacci Susantha Goonatilake viet rang sn phát trien cna dãy Fibonacci "m®t phan tù Pingala, sau đưoc ket hop vói Virahanka, Gopala Hemachan- dra" Sau Fibonacci, cịn có rat nhieu nhà Khoa HQc nghiên cúu ve dãy Fibonacci Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 1891), Binet (1857 - 1911), D’Ocagne (1862 - 1938), Có rat nhieu tính chat cna dãy đưoc mang tên nhà khoa HQc Hi¾n nay, ti liắu bang tieng Viắt ve dóy Fibonacci v mđt so úng dung tam giác kinh đien chưa có nhieu cịn tan man, can phai giúi thiắu dóy Fibonacci v mđt so ỳng dung tam giác kinh đien m®t cách đay đn thong nhat Vì v¾y, vi¾c tìm hieu sâu giói thiắu dóy Fibonacci v mđt so ỳng dung cỏc tam giác kinh đien rat can thiet cho vi¾c HQc t¾p, giang day Tốn HQc sn hieu biet cna ngũi Ban Luắn "So Fibonacci v mđt so úng dung tam giác kinh đien" đưoc tien hành vào cuoi năm 2015 chn yeu dna cỏc ti liắu tham khao v mđt so phỏt hiắn riêng cna tác gia M¾c dù Lu¾n văn đe c¾p đen ca so Fibonacci so Lucas, so Fibonacci chn yeu Chú ý rang so Lucas đưoc xây dnng sau xuat hi¾n so Fibonacci, the nua hai dãy so đưoc xây dnng m®t phương pháp dãy Lucas đưoc giói Tốn HQc cho rang thuđc HQ Fibonacci, nờn Luắn vỡ the lay tên so Fibonacci 0.2 Mnc đích cua đe tài Lu¾n văn HQc t¾p giói thi¾u dãy Fibonacci vói tính chat ban Đ¾c biắt, giỳp đc gia nam oc sn xuat hiắn a dang cna dãy Fibonacci tn nhiên nhung úng dung tam giác kinh đien Chú ý rang MQI l¾p lu¾n, ta chi dùng đen kien thúc Tốn Trung HQc 0.3 phő thơng Bo cnc cua Lu¾n Ban Luắn "So Fibonacci v mđt so ỳng dung tam giác kinh đien" gom có: Mo au, ba chng nđi dung, ket luắn v ti liắu tham khao Chương So Fibonacci moi liên h¾ vái tE nhiên, Toán HQC Éng dnng Chương này, giói thi¾u sn địi cna dãy Fibonacci moi liên h¾ vói tn nhiên, Tốn HQc; đ%nh nghĩa dãy Fibonacci dãy so Lucas; so Fibonacci so Lucas vói chi so âm; dãy Fibonacci Ty so vàng úng dung Chương M®t so tính chat cua so Fibonacci Công thÉc Binet cho so Fibonacci Chương này, trình bày m®t so tính chat cna so Fibonacci so Lucas; công thúc tőng quát cna so Fibonacci, so Lucas công thúc Binet cho so Fibonacci Chúng minh tính chat cna so Fibonacci so Lucas sn tìm tịi, suy nghĩ cna tác gia Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày đieu ki¾n can đn đe so tn nhiên n m®t so Fibonacci; m®t áp dung cna cơng thúc Binet cho thay moi liên h¾ giua so Fibonacci so Lucas Đ¾c bi¾t nua trình bày hai moi liên h¾ đ¾c bi¾t cna so Fibonacci so 11, có mđt moi liờn hắ m chỳng tụi ó thay ngũi ta phát bieu chưa đưoc chúng minh tőng quát e đưa tính chat ra, chúng tơi chúng minh tőng quát đay đn Chương So Fibonacci m®t so Éng dnng tam giác kinh đien M®t so úng dung cna so Fibonacci tam giác kinh đien tam giác Pascal, tam giác tna Pascal tam giác tna Pascal mo rđng, oc e cắp en chng ny Chng So Fibonacci moi liên h¾ vái tE nhiên, Toán HQC Éng dnng Trong Chương 1, chúng tơi chn yeu giói thi¾u sn địi cna dãy Fibonacci; moi liên h¾ vói tn nhiên, Tốn HQc; đ%nh nghĩa dãy Fibonacci úng dung cna dãy Fibonacci Ty so vàng Tài li¾u tham khao [1, 2] Các kí hi¾u Các so Fibonacci Fn, n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · Các so Lucas Ln, n = 0, 1, 2, 3, 4, · · · 1.1 1.1.1 SE đài cua so Fibonacci moi liên h¾ vái tE nhiên Toán HQC SE đài cua so Fibonacci Fibonacci tên viet tat cna m®t nhà tốn HQc o châu Âu thịi trung đai, ơng sinh năm 1170 mat năm 1240, tên đay đn cna ông Leonardo of Pisa, ơng đưoc sinh o Pisa (Italy) thu®c dịng HQ Bonacci Fibonacci női tieng the giói hi¾n đai có cơng lao truyen h¾ đem Hinđu -A R¾p o châu Âu, đ¾c bi¾t dãy so hi¾n đai mang tên ơng, dãy Fibonacci cuon sách Liber Abaci - Sách ve Toán đo năm 1202 e phương Tây, dãy Fibonacci đau tiên xuat hi¾n cuon sách Liber Abaci (năm 1202) viet boi Leonardo of Pisa - đưoc biet đen vói tên Fibonacci, m¾c dù dãy so đưoc mơ ta trưóc Tốn HQc An Đ® Fibonacci xem xét sn phát trien cna m®t đàn tho đưoc lý tưong hóa, gia %nh rang: e mđt cắp tho múi sinh, mđt nc, m®t m®t cánh đong, đen m®t tháng tuői tho có the giao phoi tói hai tháng tuői, mđt tho cỏi cú the sinh thờm mđt cắp tho khác, tho khơng bao giị chet v viắc giao phoi mđt cắp luụn tao mđt cắp múi (mđt nc, mđt cỏi) moi thỏng tự thỏng thú hai tro Câu đo mà Fibonacci đ¾t "Trong moi năm có c¾p tho?" (a) Vào cuoi tháng đau tiên, chúng giao phoi, van chi có c¾p (b) Vào cuoi tháng thú hai, tho cỏi tao mđt cắp múi Vỡ vắy bõy (c) giị có + = (c¾p) tho cánh đong Vào cuoi tháng thú ba, tho ban au lai tao mđt cắp tho nua, bien so lưong tho cánh đong lúc + = (c¾p) Và vào cuoi tháng thú t, tho cỏi ban au ó sinh thờm mđt cắp mói, tho sinh cách hai tháng cho mđt cắp (d) au tiờn, tng so lỳc + = (c¾p) ··· (e) Vào cuoi tháng thú n, so lưong c¾p tho bang so lưong c¾p mói (bang so lưong cắp thỏng (n 2)) cđng vúi so cắp tháng (n − 1) Đây so Fibonacci thú n Và tien thân cna dãy Fibonacci đưoc xác đ%nh bang cách li¾t kê phan tu sau 1 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 · · · đó, moi phan tu nam dãy so ln bang tőng cna so lien trưóc Dãy Fibonacci đưoc công bo năm 1202 đưoc "tien hóa" hau vơ t¾n Chính đieu đó, thu hút đưoc rat nhieu sn quan tâm làm say mê nghiên cúu, khám phá tính chat cna E(n, j) = E(n − 1, j − 1) + E(n − 1, j), n ≥ Hình (3.17) m®t dang đoi xúng cna tam giác Lucas, nên E(n, j) = D(n, n − j) = n n− n + j Σ n j − − − 1Σ = Σ+ Σ n n−1 j j Boi v¾y, có the tìm đưoc hàng thú n cna mang tam giác Hình (3.17) bang cách c®ng hàng thú n− n (theo le bên trái) cna tam giác Pascal Ta đưa ví du minh HQA cu the Ví dn 46 Vái n = 4, ta đưac hình minh HQa dưái Hình 3.18: MQI so hang D(n, j) bang tőng hàng thú n n − cna tam giác Pascal Hơn nua, tù Hình (3.17) c®ng phan tu moi đưòng chéo tăng ta đưoc MQI tőng so Fibonacci (xem Hình (3.19) dưói đây) Đieu đúng, |Σ n/2∫ j=0 E(n − j, j) = |n/2∫ Σ |n/2∫ n Σ jj Σ− + n j=0 j=0 = Fn+1 + Fn (theo (3.19)) jΣ j − − = Fn+2 (theo đ%nh nghĩa so Fibonacci) Hình 3.19: Tőng phan tu đưịng chéo tăng cna dang đoi xúng tam giác Lucas so Fibonacci Mang tam giác Hình (3.19) có thêm tính chat sau Σn (a E(k, j) = E(n + 1, k= ) j + 1) Σ 2) = (n − 1)2, n ≥ (b) E(n, (c ) k =1 n E(k, 1) = n2 3.3 So Fibonacci tam giác tEa Pascal ma r®ng Chúng ta tìm hieu dang bien the tiep theo cna tam giác Pascal dưói thay chúng có moi liên h¾ ch¾t che vói so Fibonacci, so Lucas 3.3.1 Moi liên h¾ giEa tam giác tEa Pascal ma r®ng vái so Fibonacci Đưa tam giác tna Pascal má r®ng Hình (3.20) dưói Tőng phan tu hàng so Fibonacci, v¾y gia su rang tőng phan tu hàng n Fn+1, n ≥ Đe thiet l¾p đieu này, kí hi¾u f (i, j) phan tu o hàng i c®t j, i ≥ j ≥ 0; f (i, j) = neu j > i; f (i, 0) = 1; f (i, i) = 1, ∀i Các phan tu o giua đưoc đ%nh nghĩa boi quan h¾ truy tốn f (i + 1, 2j + 1) = f (i, 2j) f (i + 1, 2j) = f (i, 2j − 1) + f (i, 2j) Hai quan h¾ truy tốn o đưoc tő hop thnh mđt quan hắ truy toỏn sau j f (i + 1, j) = f (i, j + ( 1) f (i, j) − 1) + Bang phương pháp quy nap, ta đưoc n− k n−k−1 f (n, 2k) = Σ f (n, 2k + 1) = Σ k k V¾y, cơng thúc cho f (n, r) có dang f (n, r) = n − |(r + 1)/2∫ | r/2∫ Σ Hình 3.20: Tőng phan tu hàng so Fibonacci Các Đ%nh lý tiep theo cho thay tính chat đ¾c bi¾t cna mang tam giác Hình (3.20) n Đ%nh lý 10 Σ f (n, r) = Fn+2, n≥0 (3.22) r=0 Chúng minh (Bang phương pháp quy nap.) Khi n = 0, Σ r= f (0, r) = f (0, Σ 0)0= = F2 V¾y thúc vói n = Gia su thúc vói MQI so nguyên i ≤ k, i ≥ k tùy ý Khi đó, theo gia thiet quy nap đ%nh nghĩa so Fibonacci ta có k+1 f (k + r) = r=0 1, f (k + 1, r) + r Σch rΣ f (k + 1, r) le an Σ f (k + 1, r) + k Σ | k/2 f (k + 1, r) ∫ + r= ) = ∫ = =0Fk+2 + Fk+1 = Fk+3 (theo đ%nh nghĩa so Fibonacci) Do đó, bang phương pháp quy nap thúc vói MQI n ≥ V¾y ta có đieu phai chúng minh ΣĐ%nh lý 11 n (−1)r f (n, r) = Fn−1, n ≥ (3.23) gia thiet quy nap đ%nh nghĩa so Fibonacci ta có Σ Σ (−1)r f (k + 1, r) = (−1)r f (k + 1, r) + Σ (−1)r f (k + 1, r) r = rch an Chúng minh (Bang phương pháp quy nap.) r=0 ( Σ k Σ K (f (0, r) h− i = f (0, n1 = )0) = = r , F−1 t h ì + ) / ∫ = r= V¾y thúc vói n = Gia su thúc vói MQI so nguyên i ≤ k, i ≥k+ k tùy ý Khi đó, theo | Σ r le |k/2∫ r=0 (−1)r f (k + 1, r) + r (−1) 1, r) f (k + r=0 = Fk−1 + Fk−2 = Fk Do đó, bang phương pháp quy nap thúc vói V¾y ta có đieu phai chúng minh Ta đưa m®t so ví du minh HQA MQI n ≥ cu the Ví dn 47 (a)Vái n = 7, ta đưac f (7, r) = + + + + 10 + + + Σ (−1)r r=0 = 34 = F9 (b)Vái n = 8, ta đưac f (8, r) = − + − + 15 − 10 + 10 − + Σ (−1)r r=0 3.3.2 = 13 = F7 Moi liờn hắ giEa tam giỏc tEa Pascal ma rđng vái so Lucas Chúng ta cịn có the xây dnng m®t tam giác tna Pascal mo r®ng bang cách khác Các quy tac xây dnng giong mang tam giác trên, chi thay đői f (1, 1) boi Hình (3.21) dưói Hình 3.21: Tőng phan tu hàng so Lucas Tőng cna phan tu hàng so Lucas Kí hi¾u, g(i, j) phan tu hàng i c®t j, i ≥ j ≥ 0, g(i, j) = neu j > i, g(i, 0) = 1, g(1, 1) = 2, g(i+1, 2j +1) = g(i, 2j), g(i+1, 2j) = g(i, 2j − 1)+g(i, 2j) Khi đó, ta có quan h¾ truy tốn g(i + 1, j) = g(i, j − + ( 1)j − 1) + g(i, j) Theo phương pháp quy nap, ta có n n −r g(n, 2r) = Σ g(n, n −1 n −r −1 2r + 1) = Σ, n −r r n −r −1 r g(1, 1) = Do n n −r g(n, r) = Σ n −r r Tù Σ L|n = n/2∫ r Σ n n n−r r= −r Mang tam giác Hình (3.21) thoa mãn tính chat tương úng vói thúc (3.22) (3.23) Đ%nh lý (12) tiep theo, cho thay tính chat đ¾c bi¾t cna mang tam giác Hình (3.21) Đ%nh lý 12 n (a) Σ g(n, r) = Ln+1, n ≥ 0, (3.24) 0r= n (b) (−1)rg(n, r) = Ln−2, n ≥ Σ r=0 Ta đưa ví du minh HQA cu the Ví dn 48 (a) Vái n = 5, ta đưac Σ5g(5, r) r= = L6 = + + + + + = 18 (b) Vái n = 7, ta đưac Σ (−1)r g(7, r) = − + − + 14 − + − = 11 = L5 r=0 Đieu thú v% là, mang tam giác Hình (3.20) (3.21) đưoc tőng quát thành mang tam giác Hình (3.22) dưói Kí hi¾u, h(i, j) phan tu hàng i c®t j, i ≥ j ≥ 0, h(i, j) = neu j > i, h(i, 0) = a, h(1, 1) = b, + (−1)j h(i + 1, j) = h(i, j − 1) + h(i, j), i ≥ Hình 3.22 Trong quan h¾ truy tốn này, đe đơn gian gia su i ≥ Gia su i = j = 1, ta có h(1, 1) = h(0, 0) + = a, h(1, 1) = b Kí hi¾u S (a, b) =b) a b (a, ·+ ·3102b · SS = 2a + b S (a, b) = 3a + (a, = 5a + 43b b) Sn(a,hàng b) =boi aFn+1 + bF ,n≥ Tương tn, thay the tőng Tn(a, b) nnhư sau T −01(a, b b) = a T2(a, b) = b T (a, b)b=b) a + T+ 5(a, =43b 2a T6(a, b) = 3a + 2b ··· Tn(a, b) = aFn−2 + bFn−3, n ≥ Tù đó, ta có Đ%nh lý (13) dưói Đ%nh lý 13 Kí hi¾u, Sn(a, b) tőng cua phan tu hàng n Hình (3.22) Tn(a, b) thay the tőng hàng Khi Sn(a, b) = aFn+1 + bFn, n ≥ 0, Tn(a, b) = aFn−2 + bFn−3, n ≥ Hình 3.23 Đ¾c bi¾t, Sn(1, Fn+1 Fn==FF n+2 Tn(1, 1) =1)F= + F+ , n−2 n−3 n−1 Cũng v¾y, S 2) = F 2F = L n(1, n+1 + n(3.22) n+1 Đieu đong nhat vói thúc và, (3.23) Tn(1, 2) = Fn−2 + 2Fn−3 = Ln−2 Đieu đong nhat vói thúc (3.24) Mang tam giác Hình (3.23) có m®t so tính chat rõ ràng sau (a) Phan tu đau tiên o hàng n F2n−1 (b) MQI phan tu tiep o giua bat kỳ moi trái hàng đeu tính bang cách c®ng trnc so o so bên cna nóđưoc o hàng phía (c) Tőng phan tu hàng n F2n+1 Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày đat đưoc m®t so ket qua sau Trình bày đ%nh nghĩa nguon goc xuat hiắn dóy Fibonacci, dóy Lucas Giúi thiắu mđt "ty l¾" rat đ¾c bi¾t đưoc su dung đe mơ ta tính cân đoi cna van v¾t Đó Ty so vàng ϕ Đã tőng hop đưoc úng dung quan TRQNG cna dãy Fibonacci Ty so vàng tn nhiên m®t so lĩnh vnc kien trúc, thiet ke, ngh¾ thu¾t, th% trưịng tài chính, Giói thi¾u công thúc tőng quát công thúc Binet cho so Fi- bonacci Ngồi vi¾c phát bieu lai tính chat đai so so HQc ban cna dãy Fibonacci, dãy Lucas chúng tơi co gang tìm tịi tn chúng minh tính chat m®t cách đơn gian de hieu Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày đieu ki¾n can đn đe so tn nhiên n m®t so Fibonacci; m®t áp dung cna cơng thúc Binet cho thay moi liên h¾ giua so Fibonacci so Lucas Đ¾c bi¾t nua trình bày hai moi liên h¾ đ¾c bi¾t cna so Fibonacci so 11, ú cú mđt moi liờn hắ m chúng tơi thay ngưịi ta phát bieu chưa đưoc chúng minh tőng quát e đưa tính chat ra, chúng tơi chúng minh tőng qt ay n e cắp so Fibonacci v mđt so úng dung tam giác kinh đien Tam giác Pascal, tam giác tna Pascal, tam giác tna Pascal mo r®ng Tuy nhiên, ban thân cịn han che tài li¾u Tieng vi¾t chưa có nhieu nên chac chan Lu¾n văn cịn nhieu thieu sót Vì v¾y, rat mong nh¾n đưoc sn góp ý tù Thay Cơ ban đe Lu¾n văn đưoc hồn chinh Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Nhuy (2009), Úng dnng phương pháp đai so tő hap đe tính đ® đo xác suat rài rac, Đe tài khoa HQc Đai HQc Quoc gia H Nđi [2] V Nhắt Cng (2012), Dãy Fibonacci, dãy Lucas úng dnng, Lu¾n văn Thac sĩ Phương pháp Tốn sơ cap, Trưịng Đai HQc Thái Nguyên [3] Thomas Koshy (2001), Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, John Wiley & Sons ... minh tőng qt đay đn Chương So Fibonacci m®t so Éng dnng tam giác kinh đien M®t so úng dung cna so Fibonacci tam giác kinh đien tam giác Pascal, tam giác tna Pascal tam giỏc tna Pascal mo rđng,... nh¾t vàng thơng qua hình chu nh¾t Fibonacci Đưịng xoan oc Fibonacci nam bên hình chu nh¾t vàng cịn đưoc GQI đưòng xoan oc vàng 3 Tam giác Fibonacci Trong m®t lưói tam giác đeu, ta ve m®t tam giác. .. so Fibonacci liên tiep 4 Lnc giác Fibonacci Ngôi Fibonacci So Fibonacci lưái hình vng đinh Matterhorn dãy An-pơ a Thny Sĩ Trong lưói hình vng, ta sap xep tương tn lưói tam giác đeu thay tam giác