Định lý tách và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - TRỊNH HỮU TRANG ĐỊNH LÝ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU Hà Nội – Năm 2012 MỤC LỤC Mở đầu Chương Các khái niệm 1.1 Tập lồi 1.1.1 Tổ hợp lồi 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện 1.1.3 Nón lồi 11 1.2 Hàm lồi 15 Chương Định lý tách tập lồi 21 2.1 Định lý tách 21 2.2 Định lý tách 26 Chương Một số ứng dụng định lý tách 27 3.1 Điều kiện tối ưu 32 3.2 Hệ bất đẳng thức lồi 36 3.3 Xấp xỉ tuyến tính hàm lồi 41 3.4 Sự tồn vi phân hàm lồi 43 3.5 Ứng dụng phép vơ hướng hóa tốn véctơ 46 Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 MỞ ĐẦU Giải tích lồi mơn giải tích đại, nghiên cứu tập lồi hàm lồi vấn đề liên quan Bộ mơn có vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực khác toán học ứng dụng, đặt biệt tối ưu hóa, bất đẳng thức biến phân, toán cân Một vấn đề trung tâm giải tích lồi định lý tách Về chất, định lý tách trả lời câu hỏi phần tử có thuộc tập lồi hay khơng, khơng thuộc mang tính chất gì? Đây câu hỏi liên thuộc, vấn đề toán học Ta hình dung tập lồi tập hợp nghiệm hệ phương trình đại số, hay vi, tích phân, tập điểm bất động ánh xạ, tập nghiệm toán tối ưu,…Dĩ nhiên câu trả lời có, vấn đề liên thuộc giải Trái lại, câu trả lời khơng, xảy điều gì? Điều giải thích định lý tách thuộc loại định lý chọn công cụ mạnh, thường dùng để chứng minh tồn đối tượng nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác Trong luận văn này, tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách ứng dụng quan trọng Luận văn chia làm ba chương: Chương 1: Trình bày số kiến thức sở tập lồi hàm lồi Chúng công cụ cho nghiên cứu trình bày luận văn Chương 2: Là phần luận văn, chương tác giả trình bày nội dung hai định lý tách hệ (Bổ đề Farkas) Chương 3: Trình bày ứng dụng hai định lý tách để: Chứng minh điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi hàm non a-phin nó, chứng minh tồn vi phân hàm lồi, vơ hướng hóa tốn tối ưu véc tơ Luận văn hồn thành hướng dẫn khoa học GS.TSKH Lê Dũng Mưu, Viện Tốn học, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc Giáo sư Tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn tới thầy giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội ý kiến đóng góp quý báu, giúp đỡ tận tình cổ vũ to lớn suốt thời gian qua Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng sau Đại học, khoa Toán – Cơ – Tin học trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Bản luận văn hồn thành q trình gái tác giả trào đời, ủng hộ mặt tinh thần từ hai mẹ Kết luận văn q mà tác giả giành tặng cho hai mẹ Chương CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm giải tích lồi với tính chất đặc trưng như: tập lồi, tập a-phin, nón nồi, hàm lồi… 1.1 Tập lồi Những tập hợp quen thuộc mà biết không gian con, siêu phẳng, … tập lồi Khái niệm tập lồi có vai trị quan trọng giải tích lồi Trong phần chúng tơi trình bày định nghĩa, tính chất tập lồi, tập aphin, tập lồi đa diện, nón lồi 1.1.1 Tổ hợp lồi Định nghĩa 1.1 Một đường thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b Rn tập hợp tất điểm (véc tơ) x∈ Rn có dạng {x ∈R n } | x = (1 − )a + b,  ∈ R Một đoạn thẳng nối hai điểm (véc tơ) a b Rn tập hợp tất điểm (véc tơ) x∈ Rn có dạng {x ∈ R n } | x = (1− )a + b, ≤  ≤ Định nghĩa 1.2 C⊆ Một tập Rn gọi tập lồi C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C lồi ∀x, y ∈ C, ∀ ∈[0;1] ⇒ (1 − )x +  y ∈ C Ta nói véc tơ x ∈ Rn gọi tổ hợp lồi véc tơ x1, x2, , xm ∈ Rn m m x = ∑  xi ,  ≥ 0∀i = 1, 2, , m, ∑ i i i=1 = i i=1 Mệnh đề 1.1 [xem [2], mệnh đề 1.1) Một tập Rn tập lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức C lồi khi: k ∀k ∈ N , ∀ , ,  k k ≥ : ∑ = 1, ∀x1, , xk ∈ C ⇒ ∑ x j ∈ C j =1 j j j =1 Chứng minh Điều kiện đủ: Suy từ định nghĩa tập lồi ứng với k = Điều kiện cần: Ta chứng minh quy nạp theo số điểm Với k = , điều kiện cần chứng minh suy từ định nghĩa tập lồi tổ hợp lồi Giả sử mệnh đề với k −1 điểm, ta cần chứng minh mệnh đề với k điểm Thật vậy, x tổ hợp lồi k điểm x1, , xk ∈ C Tức k k x = ∑  x j ,  ≥ 0, ∀j = 1, , k , ∑  =1 j =1 Giả sử k > , đặt: j j j =1 j k −1  = ∑  j Khi đó, <  < j =1 x = ∑k 1  x +  x =  ∑k 1 j k j =1  j =1 j Do k 1 ∑ j =1 Ta có  j =1 j  >0 x =  y + k xk k j j k x + x với j = 1, 2, , k −1 nên theo giả thiết quy nạp, điểm y := k 1 ∑ j =1  j xj∈C Do  > 0, k >  + k = ∑  j = j =1 nên x tổ hợp lồi hai điểm y xk thuộc C Vậy x ∈ C Từ định nghĩa tập lồi ta suy lớp tập lồi đóng với phép giao, phép cộng đại số phép nhân tích Decastes Mệnh đề 1.2 (xem [2], mệnh đề 1.2) Nếu A, B tập lồi Rn , C lồi trong Rm , tập sau lồi: A ∩ B := {x | x ∈ A, x ∈ B},  A +  B := {x | x = a + b, a ∈ A, b ∈ B,  ,  ∈ R}, A× C := {x ∈ R m+n } | x = (a, c ) : a ∈ A, c ∈ C 1.1.2 Tập a-phin, tập lồi đa diện Trong giải tích cổ điển, ta làm quen với không gian con, siêu phẳng Đó trường hợp riêng tập a-phin (đa tạp a-phin) định nghĩa sau: Định nghĩa 1.3 Một tập C gọi tập a-phin chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức ∀x, y ∈ C, ∀ ∈ R ⇒ (1− )x +  y ∈ C Nhận xét 1.1 a) Mọi tập affin (bao gồm tập ∅ Rn ) tập lồi b) Mọi siêu phẳng Rn tập a-phin M ệnh đề cho ta thấy tập aphin ảnh tịnh tiến khơng gian Ví dụ 3.5 C ⊂ Rn tập lồi, khác rỗng f( x) = ( x) = C 0  +∞ x∈ C x∉C hàm C Khi với x0 ∈ C , ta có: { ∂ C( x ) = x* | x*, x − x0 } ≤ C ( x ) , ∀x V  = +∞ nên bất đẳng thức C Vậy i x ∉ C C ∂ ( x ) = {x C * } = N (x ) | x*, ≤ 0, ∀x ∈ C x− x0 Vậy vi phân hàm tập lồi C khác rỗng điểm x0 ∈ C nón x0 pháp tuyến C Mệnh đề 3.3 (xem [2], mệnh đề 11.3) Cho f : Rn → R ∪{+∞} lồi, thường Khi đó: (i) Nếu x ∉ domf , ∂f ( x ) = ∅ (ii) Nế x t ∂f ( x) ≠ ∅ h com-pắc Ngược u (dom ì lại, vàf ) ∈int ∂f ( x) ≠ ∅ Co x ∈ ri (domf ) m- pắc Chứng minh (i) C h f( z f( x )< )= nên tồn siêu phẳng tựa bao đóng epi f Vậy x ∉ q u p khơng đồng a ∈ thời R thỏa mãn +∞ +∞ dom f, ( ∀∈ m ydo f n , t x, f ∈ ( R x khx* + f ( x ) ≤ ônth gỏ f ( z ) < +∞ thể a tồn m tạiã n Vậ y x ∂ ( ) ) , t ứ c t n tạ i p, x t + +p t ∀ f , ( ( y y, x  x = ∅ (ii) x nằm (dom biên f ) Ta có điểm ) ∈int ( x, f (x )) epi f Do f lồi, thường, ≤ ) ∈ e pi f T ếu a p p, y c x ó ≤ t ≠ , v ì n (3 Nhưng x ∈int (dom f nên điều kéo theo ) p = Vậy, t ≠ Hơn nữa, t > , v ì n ế u t < t h ì t r o n g b ấ t đ ẳ n g t cố a + địn h t s h u ứ y Chia t> hai vế0 , đồn g (x) thời cho tha y c r ( f a m â ) u , k h h u i ẫ n c h v o ì  + f ( ( ế ) ∀y ∈dom f t r ê n y c h o → t + ∞ r i N d t f( ếu o yh y ) đ ∉ì = ó ∞, mf m i n h x) ≤ f v ∀y c h ứ n g ≤ Hay y C c h ) ) )  v x* = f p à− , = ta Chứn đ t g x* tỏ ∈∂f ( f ặ x) ( t y Nhậ n xét ) 3.3 + +x f ∀y * ∈dom f f , ( (y x ( (≤ ) y t x x * y − x t h ấ y d i đ o h m c ủ a f t i x c h í n h ( x, f ( x )) 3.5 Phép vơ hướn g hóa toán véc tơ T r o n g c u ộ c l s v é c t pháp tuyến siêu phẳng tựa bao đóng epi f ố n g , c c v ấ u iên n ộ hệ c đ ề Tron g phần chún g ta nghi ên cứu toán tối ưu véc tơ tốn K học t h h i ta m n g tốn h nhiề c ì u ó n biến h Nếu n ta Bài toán m F i )n = Tron { : g đó, (RF n h h coi i ó nhiề ề a u u biến n m h véc ố ữ tơ i n ta g r m n ố toán g i véc tơ b l →( x R ) ,p : x ∈ , D f ⊆ f p R n } ( x : biến D : tập xác định (tập ràng buộc) F : hàm mục tiêu (hàm tiêu chuẩn) Với hai véc tơ aT = (a , , a a < b a < b ⇔ < bi n ) bT = (b , , b ) Rn , ta nói a ≤ b a ≤ b ∀i n i i ∀i Định nghĩa 3.5 Véc tơ x* ∈ D gọi nghiệm Pareto lý tưởng toán (VP ) F (x* ) ≤ F ( x ) ∀x ∈ D Trong trường hợp tổng quát nghiệm Pareto lý tưởng nói chung thường khơng tồn Định nghĩa 3.6 Véc tơ cho x* ∈ D gọi nghiệm Pareto tốn VP khơng tồn x ∈ D F ( x ) ≤ F ( x* ) F ( x ) ≠ F (x* ) Nếu không tồn x ∈ D yếu toán (VP) Định nghĩa 3.7 Véc tơ x* ∈ D mà F ( x ) < F ( x* x* gọi nghiệm Pareto ) gọi nghiệm Pareto lý tưởng toán { max F ( x ) : x ∈ D ⊆ Rn không tồn x ∈ D cho } F ( x) ≥ F (x ) * (VP max ) F ( x ) ≠ F ( x * ) Nếu không tồn x ∈ D mà yếu toán (VP max ) Nhận xét 3.4 F ( x) > F x* ) ( th x* gọi nghiệm Pareto ì Một điểm nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) toán cực tiểu { F ( x) : x ∈ D ⊆ R n } nghiệm Pareto (nghiệm Pareto yếu) toán cực đại { max −F ( x) : x ∈ D ⊆ R n } Bài tốn véc tơ tuyến tính: Bài tốn (VP ) (VP max ) F ( x ) = Cx với C ma trận thực, x ∈ Rn D tập lồi đa diện xác định rõ, ví dụ D = {x ≥ 0, Ax ≥ b} với A ma trận (m × n) b ∈ Rm gọi tốn tối uu véc tơ tuyến tính Bài tốn tối ưu véc tơ lồi Bài toán (VP ) (VP max ) D tập lồi tất hàm mục tiêu hàm lồi D gọi toán tối ưu véc tơ lồi Ví dụ 3.6 Giả thiết cơng ty sản xuất hai loại hàng hóa Đặt: xj số lượng loại hàng hóa j ( j = 1, 2) , f1 ( x1, x2 ) chi phí sản suất ( x1, x2 ) , f1 ( x1, x2 ) chi phí xử lý chất thải sản phẩm ( x1, x2 ) Chẳng hạn: f1 ( x1, x2 ) = 2x1 + 3x2, f2 ( x1, x2 ) = 4x1 + x2 Tập ràng buộc ≤ x1 ≤ a1, ≤ x2 ≤ a2 (giới hạn số lượng sản phẩm) b1x1 + b2 x2 ≤ b (ngân sách) Bài toán đặt xác định số lượng hàng hóa cần sản xuất để giảm tối đa chi phí tức tìm nghiệm ( x1, x2 ) toán (VP ) Để giải toán tối ưu véc tơ ta thường sử dụng cách vơ hướng hóa toán véc tơ Mệnh đề 3.4 (i) Cho  > ∈ R p Khi nghiệm cực tiểu tồn cục tốn m F x (P ( )) Rn nghiệm Pareto toán (VP ) (ii) Cho ≠  ≥ ∈ R p Khi nghiệm cực tiểu tồn cục tốn F( x∈ Rn } nghiệm Pareto yếu toán (VP ) Chứng minh Hiển nhiên Mệnh đề 3.5.2 Giả sử (VP ) (P ( )) toán lồi ( F D tập lồi) Khi đó, với nghiệm Pare to u tồn cho ≠  (VP ) ≥0 u ∈ arg { T F ( x ) : x ∈ D} Chứng minh Đặt K := {y ∈ R p : y = F ( x ) − F (u ), x ∈ } D Đặt C = coK x Ta chứng minh C ∩ Rp− = {0} Do ∈ K nên C ≠ ∅ Giả sử y ∈ C , đó, tồn y1, , y r ∈ thỏa mãn K r r y = ∑t y j , t > ∀j, ∑t j =1 Với j , yj∈ K j j j =1 j = thỏa mãn y j = F (x j ) − F (u ) nên tồn x j ∈ D r Đặt x = ∑t jx j Do F hàm lồi nên ta có j =1 r F ( x ) − F (u ) ≤ ∑ j t F (x )− j j =1 = ∑t r j =1 ( F ( x ) − F ( u ) ) = ∑r t yj j j Từ đó, u nghiệm Pareto nên j =1 j y ≤ kéo theo y = Do C ∩ Rp− = {0} Theo định lý tách tồn  ≠ thỏa mãn  T y ≤ ∀y ∈ Rp T  y≥0 (3.10) − (3.11) ∀y ∈ K p Bằng cách chia cho ∑ j =1 p j , giả thiết ∑ j =1 j =1 Từ (3.10) ta thấy  ≥ , từ (2) định nghĩa K ta suy  T ( F ( x ) − F ( u ) ) ≥ ∀x ∈ D Điều có nghĩa u nghiệm nhỏ ( P (  )) Như vậy, ta vơ hướng hóa xong tốn (VP ) Kết luận Luận văn trình bày hai định lý tách số ứng dụng nó, cụ thể: Nội dung hai định lý tách hệ Ứng dụng định lý tách để: Chứng minh điều kiện tối ưu, tìm điều kiện có nghiệm hệ bất đẳng thức lồi, chứng minh tồn xấp xỉ tuyến tính hàm lồi hàm non a-phin, chứng minh tồn vi phân hàm lồi vơ hướng hóa tốn tối ưu véc tơ Trong luận văn này, tác giả đề cập đến định lý tách tập lồi ứng dụng không gian hữu hạn chiều Rn , chưa xét trường hợp tổng quát xét không gian vô hạn chiều Một số vấn đề lý thú tiếp tục từ đề tài là: Ứng dụng định lý tách không gian vô hạn chiều Xây dựng giải toán tối ưu kinh tế dựa định lý tách Mơ hình hóa tốn học hoạt động sản xuất doanh nghiệp dự đoán thành bại doanh nghiệp…bằng việc mở rộng định lý kiểu tách cho tập rời rạc Vì thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật Lê Dũng Mưu Nguyễn Văn Hiền (2009), Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất Khoa học tự nhiên cơng nghệ Hà Nội Hồng Tụy (2006), Lý thuyết tối ưu, Viên toán học Hà Nội Hoàng Tụy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer academic Publishers R.Tyrrell Rockafellar (1997), Convex Analysis, Princeton University press Princeton, New Jersey ... 11 1.2 Hàm lồi 15 Chương Định lý tách tập lồi 21 2.1 Định lý tách 21 2.2 Định lý tách 26 Chương Một số ứng dụng định lý tách 27 3.1 Điều kiện tối ưu ... thích định lý tách thuộc loại định lý chọn công cụ mạnh, thường dùng để chứng minh tồn đối tượng nhiều vấn đề thuộc lĩnh vực khác Một mệnh đề thường dùng làm tảng lý thuyết tối ưu đại định lý tách. .. tồn siêu phẳng tách bổ đề suy từ mệnh đề 2.2 Định lý 2.1 (Định lý tách 1) (xem [2], định lý 6.1) Cho C D hai tập lồi khác rỗng Rn cho C ∩ D = ∅ Khi có siêu phẳng tách C D Chứng minh Do C D