phép quay và các ứng dụng của phép quay trong hình học phẳng

Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU I LÝ THUYẾT I.1.Các khái niệm mở đầu I.1.1 Phép biến hình I.1.2 Phép dời hình I.2 Phép quay I.2.1.Định nghĩa phép quay I.2.2.Tính chất I.2.3 Biểu thức tọa độ phép quay II.BÀI TẬP II.1 Hệ trục tọa độ với phép quay II.2 Sử dụng phép quay làm tốn dựng hình II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh tính chất hình học 11 II.5 Sử dụng phép quay để làm tốn tìm cực trị, định lượng 13 II.6 Bài tập tích phép quay 15 KẾT LUẬN 17 Tài liệu tham khảo 18 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình dạy học tốn phổ thơng, phép biến hình phép dời hình mặt phẳng thường lựa chọn để giải nhiều dạng tốn khác Hiện nay, nội dung phép biến hình mặt phẳng đưa vào chương trình Hình học 11 Nhưng tốn giải cần kiến thức hình học thuộc lớp trung học sở, giải lại phương pháp biến hình Bên cạnh đó, tài liệu tham khảo phép biến hình không nêu rõ phương pháp ứng dụng chúng để giải tốn Do đó, học sinh chưa hiểu rõ khơng vận dụng cách có hiệu Đề tài tập trung nghiên cứu sâu phép quay ứng dụng phép quay mặt phẳng Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng I LÝ THUYẾT I.1.Các khái niệm mở đầu I.1.1 Phép biến hình Định nghĩa: Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định điểm M’ mặt phẳng Điểm M’ gọi ảnh M qua phép biến hình Kí hiệu: f phép biến hình đó, M’ ảnh M qua phép biến hình f f Ta viết: M '  f (M) hay f (M)  M' hay f : M  M ' hay M  M ' Lưu ý: + Điểm M gọi tạo ảnh, M’ ảnh + f phép biến hình đồng ⟺ f (M)  M với M Điểm M gọi điểm bất động, điểm kép, bất biến + f1 , f phép biến hình f1 f phép biến hình Nếu H hình tập hợp điểm M '  f (M) , với M ∈ H, tạo thành hình H’ gọi ảnh H qua phép biến hình f , ta viết H '  f (H) I.1.2 Phép dời hình Định nghĩa: Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách điểm bất kỳ, tức với điểm M,N ảnh M’, N’ chúng, ta ln có: M’N’ = MN (bảo tồn khoảng cách) Tính chất: Phép dời hình biến: - điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng, điểm không thẳng hàng thành điểm không thẳng hàng - đường thẳng thành đường thẳng - tia thành tia - đoạn thẳng thành đoạn thẳng - tam giác thành tam giác (trực tâm → trực tâm, trọng tâm → trọng tâm) - đường tròn thành đường tròn (tâm biến thành tâm: I → I’, R = R’) - góc thành góc Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng I.2 Phép quay I.2.1.Định nghĩa phép quay Để trình bày khái niệm phép quay ta đưa khái niệm góc định hướng mặt phẳng định hướng Định nghĩa góc định hướng: Góc tạo tia Ox, Oy có phân biệt thứ tự tia đầu tia cuối gọi góc định hướng Nếu tia Ox tia đầu, Oy tia cuối người ta kí hiệu góc định hướng (Ox, Oy) y  x O Mặt phẳng định hướng chiều quay tia xung quanh điểm chọn chiều làm chiều dương, chiều làm chiều âm Ta chọn chiều (+): chiều ngược chiều kim đồng hồ chiều (-): chiều chiều kim đồng hồ Tính chất góc định hướng mặt phẳng định hướng: + cho góc định hướng 1 ,  , đó: 1  2 độ lớn, hướng 1  2 độ lớn, ngược hướng + Nếu Ox quay tới Oy theo chiều dương (Ox, Oy) > Nếu Ox quay tới Oy theo chiều âm (Ox, Oy) < +  = (Ox, Oy)   k gọi góc định hướng suy rộng Góc định hướng suy rộng hiệu chúng k Như   k   Định nghĩa phép quay: Phép biến hình mặt phẳng biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M’ cho OM=OM’ (OM, OM')   gọi phép quay tâm O, góc  Kí hiệu phép quay tâm O góc   là: QO Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng 2k Q : phép đồng nhất, ∀ k ∈ Z Lưu ý: + I (2 k 1) + QI : phép đối xứng tâm I, ∀ k ∈ Z I.2.2.Tính chất 1) Phép quay mang đầy đủ tính chất phép dời hình 2) Các tính chất riêng phép quay: a) Cho đường thẳng d qua O, ảnh d d’ qua O góc định hướng d d’ là: +    900 + 1800     900 + Q    900 O b) A’, B’ ảnh điểm A, B mặt phẳng qua Q  O : (AB, A’B’)= α (00< α < 1800) M'' c) Tích phép quay tâm: Giả sử có phép quay   O O Q  Q Q Q  O Q  O M'  phép quay có tâm  M O O góc quay     d) Tích phép quay không tâm: Định lý: Cho điểm phân biệt O1, O2 góc định  0      0   hướng α, β thỏa mãn điều kiện:        Khi phép biến đổi   O1 O2 Q Q Q phép quay với góc M' M M''  d1 /2 O1  + d2 O2 O /2 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng quay φ = α + β, tâm O xác định sau: O = d1∩ d2, đó:    d1  Q (O1O2 ) , d  Q (O1O2 ) O1 O1 Nếu φ = 2π Q phép tịnh tiến I.2.3 Biểu thức tọa độ phép quay i) Quay quanh điểm O(0;0)  Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm M(x,y), M’(x’,y’)= QO (M(x,y)) Đặt OM = r, góc lượng giác (Ox, OM) = α  x  r cos  M  y  rsin  Mặt khác: (Ox,OM')     Do đó: y M' y' y  x '  r.cos(   ) M '  y '  r.sin(   )  x '  r.cos  cos   r.sin  sin  ⇒  ⇒  y '  r.sin  cos   r.cos  sin  M  x  O x' x  x '  x.cos   y.sin    y '  x.sin   y.cos   x '  x.cos   y.sin  M '  y '  x.sin   y cos  ii)Bằng phép dịch chuyển tâm với I(a,b) ta có:  x  r cos   a M ⇒  y  rsin   b  x  a  r.cos    y b  r.sin  Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng y  x '  r.cos(   )  a M '  y  r.sin(   )  b  x '  r.cos  cos   r.sin  sin   a   y'  r.sin  cos   r.cos  sin   b  x '  (x  a).cos   (y b).sin   a M '  Suy ra:  y'  (y b).cos   (x  a).sin   b M' y' r y M r  b  I x O a x' x II.BÀI TẬP Lưu ý làm tập phép quay: + Chọn cách vẽ hình tốn cho thực phép quay riêng biệt phép quay theo chiều dương + Nếu toán có sử dụng tích phép quay việc tìm tâm quan trọng + Nhiều toán mà giả thiết xuất yếu tố đặc biệt góc 300, 600, 900, …có độ dài gợi ý tưởng dùng phép quay II.1 Hệ trục tọa độ với phép quay Bài 1: Trong mp Oxy cho phép quay Q 45 Tìm ảnh: O a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C): (x-1)2 + y2 = 45 QO  M (x'; y') Thì: Giải: Gọi M (x; y)   x '  x.cos 45  y.sin 45 M '  y '  x.sin 45  y.cos 45  2 x  y x '   2 hay M '   y '  x  y  2  45 QO  A '(0; 2) a) A(2; 2)    2 45  I (1; 0) Q O ; )  I '(  (C') :  2 b) (C) :  R  R  R '   Vậy (C') : (x  2 2 )  (y ) 4 2 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): x+y-2=0 Tìm ảnh (d’) đường thẳng (d) qua phép quay Q 90 O Cách 1: Lấy điểm A, B (d), tìm ảnh A’, B’ A, B Đường thẳng (d’) đường thẳng qua điểm A’, B’ Giả sử A(0;2) ϵ (d) B(2;0) ∈ (d)  QO  A '(2;0)  A(0; 2)  Ta có:  90 QO B(2;0)   B'(0; 2)  90 A ' B '  (2; 2)  n d '  (1; 1) Vậy (d’): x y20 Cách 2: 90 QO M (x; y)  (d)   M '(x'; y')  (d')  x '  x.cos90  y.sin 90 x '   y M '  M '  y '  x.sin 90  y.cos90 y'  x Lúc đó: Suy ra: x  y '  , thay vào pt (d) ta được: y ' ( x')    x' y'   y  x ' Hay đường thẳng (d’) có pt: x  y   Bài 3: Tìm ảnh điểm M(1;1) phép quay tâm I(-1;0) với góc quay α = 600 Bài giải: 600 Giả sử M '(x'; y')  Q I ( 1;0)(M(1;1)) Áp dụng công thức: Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng  x '  (x  a).cos   (y b).sin   a   y'  (y b).cos   (x  a).sin   b a  1 , b  với  x   ;  3) ,     60 Suy ra: M '( 2 y 1 Bài tập tự giải Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (∆): 2x-y+1=0 thẳng qua phép quay : a) Tâm O(0;0), góc quay α= -600 b) Tâm I(1;1), góc quay α= 600 Tìm ảnh đường Bài 2: Trong mp tọa độ Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(-1;5) thành điểm B(5;1) II.2 Sử dụng phép quay làm toán dựng hình Như ta biết hình H tập P – tập hợp điểm mặt phẳng ⇒ H tập hợp điểm Vì để dựng hình H thơng thường ta dựng điểm H Để dựng điểm M dễ dàng ta dựng ảnh M’ M qua phép dời hình Ta dựa vào đặc trưng điểm cần dựng tính chất phép biến hình để chọn phép biến hình thích hợp Các bước: - bước 1: phân tích - bước 2: dựng hình - bước 3: chứng minh - bước 4: biện luận Bài toán: Cho ∆ABC, điểm M thuộc cạnh AB Dựng BC, AC điểm N,P tương ứng cho thỏa mãn điều kiện: - MP = MN - đường tròn qua A, M, P tiếp xúc với NM Phân tích: Giả sử dựng điểm M, P thỏa mãn yêu cầu toán Nghĩa là: MP = MN MN tiếp tuyến đường tròn qua diểm A, M, P M Khi đó: +Ta có: NMP  MAP ( chắn cung MP) Mà: MP = MN nên xác định phép quay  Q : N  P với   BAC cố định M C Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng ⇒ N tạo ảnh P qua phép quay Q  M' M 1500 + Lại có: P ∈ AC nên N ∈ A’C’ – tạo ảnh AC qua  Q , đó: M M  Q : A’ ⟶ A 60 M C’ ⟶ C Mà N ∈ BC nên suy N giao BC A’C’ 1500 B A Cách dựng: - Dựng A’, C’ ảnh A, C qua phép Q  , nghĩa là: MA’ = MA, MC’ = MC, M (MA’,MA) = (MC’, MC) = α - Xác định giao điểm BC với A’C’ N - P = Q  (N) A  M Chứng minh: P  Q : A’ ⟶ A M A'  M C’ ⟶ C N = BC ∩ A’C’ ⇒ N ∈ A’C’ N ⇒P=  Q (N) ∈ AC C B M (MN, MP) = α, MP = MN⟹ thỏa mãn điều kiện C' N ∈ BC, P ∈ AC, MP = MN Chứng minh MN tiếp tuyến đường tròn ngoai tiếp ∆AMP Xét đường tròn (O) ngoại tiếp ∆AMP có MAP góc nội tiếp chắn cung MP N ∉ (O), NMP  MAP = α ⇒ MN tiếp tuyến (O) Biện luận: Vì ∆ABC cho trước, M cho trước ⟹ A   cố định ⟹ Q  xác định M A’, C’ xác định ⟹ N xác định ⟹ P xác định Vậy tốn có nghiệm hình Bài tập tự giải Bài 1: Dựng tam giác ABC biết đỉnh nằm đường thẳng song song d1, d2, d3 cho trước 10 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng Bài 2: Cho điểm đường thẳng Hãy dựng hình vng mà phần kéo dài cạnh cắt đường điểm cho II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh tính chất hình học Sử dụng phép quay hay phép dời hình làm tốn chứng minh, ta chứng minh nhiều tốn như: chứng minh góc, chứng minh đoạn thẳng nhau, chứng minh đoạn thẳng vng góc, song song, đồng quy, thẳng hàng, … - Trong trường hợp chứng minh hình H=H’, ta cần tồn phép dời hình biến H → H’ Các yếu tố góc nhau, đoạn thẳng yếu tố hướng ta nghĩ tới phép quay Cách giải: - Bước 1: Thực phép dời hình thích hợp - Bước 2: Sử dụng tính chất phép dời hình để giải yêu cầu tập Bài toán: Cho điểm A, B, C theo thứ tự thẳng hàng Vẽ phía dựng tam giác ABE BCF Gọi M, N tương ứng trung điểm AF CE Chứng minh rằng: ∆BMN Giải: Xét phép quay Q 60 ta có: B 60 Q B (A)  E , 60 Q B (F)  C E Suy ra: Q 60 (AF)  EC B Do M trung điểm AF, N trung điểm EC, nên: Q 60 (M)  N  BM  BN N B F MBN  600 ⟹ ∆BMN Bài tập tự giải: M A B Bài 1: Trên cạnh BC, CD hình vng ABCD lấy điểm M K tương ứng cho BAM  MAK Chứng minh rằng: BM + KD = AK Bài 2: Trên cạnh tam giác ABC bất kỳ, phía ngồi, dựng tam giác ABC1, AB1C, A1BC Chứng minh rằng: a) AA1 = BB1 = CC1 b) Các đường thẳng AA1, BB1, CC1 đồng quy II.4 Sử dụng phép quay để làm tốn tìm quỹ tích Tìm tập hợp điểm M có tính chất α thực tìm hình F có tính chất α Để tìm 11 C Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng tập hợp H dựa vào phép dời hình f người ta thường chuyển tìm tập hợp ảnh F’ F qua phép dời hình F’ dễ dàng tìm so với F Do tính chất 1-1 phép dời hình ta suy F  f 1 (F') Vì phép dời hình song ánh nên ta cần làm phần thuận Thông thường có cách tìm quỹ tích điểm M Cách 1: Bước 1: Chỉ phép dời hình f : M  M ' Bước 2: Xác định quỹ tích điểm M’, giả sử F’ Bước 3: Quỹ tích M ảnh F’ qua f Cách 2: Bước 1: Bằng thực nghiệm dự đốn quỹ tích M cần tìm (dựng số điểm đặc biệt M di chuyển), giả sử F Bước 2: Xác định điểm F’ cho f : F'  F Bước 3: Với M thuộc F, chứng minh thỏa mãn tập f(M) thuộc F’ quỹ tích F  f (F') Bài toán: Cho ∆ABC Tìm tập hợp điểm M tam giác cho: MA2  MB2  MC Phân tích: Giả thiết ∆ABC nên ta có: AB  AC  BC , A  B  C  600 ⟹ Nghĩ tới phép quay 600 -600 Điểm M thỏa mãn biểu thức: MA2  MB2  MC liên quan tới độ lớn, mà phép quay bảo tồn khoảng cách ⟹ Ta nghĩ tới việc tìm ảnh điểm cố định biểu thức thay vào biểu thức tìm quỹ tích Lời giải: Giữ nguyên vế phải biểu thức, ta biểu diễn vế phải phép quay cho vế trái co liên quan tới vế phải Ta thấy Q 60 (B)  C, Q 60 (A)  C A B Ta chọn phép quay cho biểu diễn MA2, MB2 qua C, M’ – ảnh M Chọn Q 60 A : B  C, M  M ' ⇒ MB  M ' C, MA  M ' A (AM, AM')  600 ⇒ ∆AMM’ ⇒ MM’ = MA 12 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng ⇒ MA2  MB2  MC ⇒ M ' C  MM '2  MC ⇒ ∆MM’C vuông M’ (định lý Pitago) ⇒ CM ' M  900 ⇒ AM ' C  CM ' M  AM ' M  900  600  1500 Như vậy: Q 60 : A  A; M  M '; B  C ⇒ AMB  AM ' C ⇒ AMB  1500 A ⇒ M thuộc cung nhỏ chứa góc 1500 dựng dây AB Đảo lại: Nếu M thuộc cung MA2  MB2  MC Bài tập tự giải: Bài 1: Cho đường thẳng d điểm O cố định không thuộc d, M điểm di động d Tìm tập hợp điểm N cho ΔOMN Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi C điểm chạy nửa đường tròn, AC lấy điểm D cho AD = CB Tìm quỹ tích điểm D C thay đổi II.5 Sử dụng phép quay để làm tốn tìm cực trị, định lượng Bài tốn: Cho tam giác nhọn ABC Tìm tập hợp điểm M cho MA + MB + MC nhỏ Phân tích: Giả sử M điểm nằm tam giác thỏa mãn MA  MB  MC nhỏ Ta tìm phép dời hình thích hợp biểu diễn tổng qua phép dời hình với điều kiện tổng sau biểu diễn đánh giá vị trí M ⟹ ta chọn phép quay Q góc quay 600 tâm quay ba đỉnh tam giác Giả sử đỉnh A, rõ ràng ∆AMM’ Nên: AM’ = AM = MM’ ⟹ tổng qua phép quay biểu diễn qua M ảnh M’ Lời giải: 13 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng Giả sử M điểm nằm ∆ABC Xét Q 60 : C' A Giả sử: BM  MM ' M ' C ' ⟹ MB  M ' B ', MC  M ' C ', MA  M ' A M' B' Có (AM, AM')  600 ⟹ ∆MAM’ ⟹ MA = MM’ ⟹ MA  MB  MC  BM  MM ' M ' C ' ⟹MA + MB + MC nhỏ ⟺ BM  MM ' M ' C ' nhỏ ⟺ đường gấp khúc BMM’C’ đoạn thẳng C A M B ⟺ BMA  AMM '  MM ' A  AM ' C '  1800 ⟺ BMA  AM ' C '  1200 Vì phép quay bảo tồn góc nên AMC  1200 ⟹ BMA  AMC  MBC  120 ⟹M giao điểm cung chưa góc 1200 chắn đoạn AB, BC, AC ⟹∆ABC nhọn ⟹ M nằm tam giác Đảo lại: với điểm M xác định ta chứng minh MA  MB  MC nhỏ Bài toán: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) có BAC  800 Bên tam giac ta lấy điểm M cho MBC  300 , MCB  10 Tính MAC Giải: A M C B E 14 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng E CAE  60 Thực phép quay Q A,60 : C   0 Tia AE nằm góc BAC Tam giác ACE tam giác , ACE  60 Vì ACB  500 Suy BCE  100 Ta thấy điểm B, E, C nằm đường tâm A nên EBC  300 BMC  BEC (c.g.c) nên CE = CM = CA Các điểm E, M, A nằm đường tròn tâm C nên 2MAE  MCE  200 Vậy MAE  10 suy MAC  700 Bài tập tự giải: Khoảng cách từ điểm P cố định tới điểm A, B tam giác Xác định khoảng cách lớn từ P tới C II.6 Bài tập tích phép quay Bài tốn: Cho tam giác ABC Dựng tam giác BCA1, CAB1, ABC1 phía ngồi tam giác Chứng minh trọng tâm tam giác vừa dựng đỉnh tam giác Giả sử A0, B0, C0 trọng tâm tam giác BCA1, CAB1, ABC1 Ta có: 120 120 120 120 Q : B  A , Q : A  C , Q Q Q :BC 0 B0 C0 B0 C0 Theo định lý tích phép quay khơng tâm phần lý thuyết góc tích phép quay Q 2400 -1200 Tâm phép quay xác định sau: Q 600 C0 : C0 B0  C0 x Q 600 B0 : B0 C0  B0 y M  B0 y  C0 x Vậy phép quay Q 1200 M :B C B1 A Mặt khác: Q 120 A :B C B0 C1 C0 Từ suy phép quay trùng nhau, tức M≡A0 Q 1200 A0 1200 Q M B C A0 15 A1 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng Tam giác A0B0C0 có góc đỉnh B0, C0 600 nên tam giác Bài tập tự giải: Bài 1: Trên cạnh hình bình hành, phía ngồi dựng hình vng Chứng minh tâm hình vng vừa dựng tạo thành hình vng Bài 2: Trên cạnh ∆ABC dựng tam giác A’BC, B’AC phía ngồi C’AB phía Gọi M tâm ∆C’AB Chứng minh A’B’M tam giac cân với góc AMB’ =1200 16 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng KẾT LUẬN Đề tài tiến hành nghiên cứu hướng dẫn thầy giáo Trần Nam Dũng trình bày sở lý thuyết phép quay mặt phẳng Phương pháp giải toán, ứng dụng thể qua ví dụ, tập minh họa tập đề nghị Việc ứng dụng phép biến hình vào việc giải tốn trường phổ thơng sở có ý nghĩa quan trọng: Nó giúp học sinh rèn luyện kĩ năng, thao tác tư duy, phương pháp suy luận khả sáng tạo, từ liên hệ phép biến hình giải tốn hình học với phương pháp sử dụng cấp trung học sở; việc lựa chọn cơng cụ thích hợp cho loại toán việc làm cần thiết, giúp tiết kiệm thời gian cơng sức để giải tốn cách tối ưu Đồng thời, giúp cho giáo viên tự nâng cao trình độ chun mơn 17 Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng Tài liệu tham khảo [1] Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh (chủ biên), 2013, Tài liệu chun Tốn hình học 10, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Nguyễn Đăng Phất, 2006, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn trung học phổ thơng – Các phép biến hình mặt phẳng ứng dụng giải tốn hình học, NXB Giáo dục [4].V.V Praxolov, 2002, Các tốn hình học phẳng – Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi tốn thi vơ địch toán quốc gia & quốc tế, Tập 1, NXB Đại học quốc gia TP.HCM, người dịch Hồng Đức Chính, Nguyễn Đễ [5] Internet, Phép quay, http://baigiang.violet.vn/present/show?entry_id=5687580 [6] Internet, Các phép biến hình, http://websrv1.ctu.edu.vn/coursewares/supham/hhsocap12/chuong8a.ht m 18 .. .Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng LỜI MỞ ĐẦU Trong chương trình dạy học tốn phổ thơng, phép biến hình phép dời hình mặt phẳng thường lựa chọn để giải nhiều... R’) - góc thành góc Phép quay ứng dụng phép quay hình học phẳng I.2 Phép quay I.2.1.Định nghĩa phép quay Để trình bày khái niệm phép quay ta đưa khái niệm góc định hướng mặt phẳng định hướng Định... II.3 Sử dụng phép quay để chứng minh tính chất hình học Sử dụng phép quay hay phép dời hình làm tốn chứng minh, ta chứng minh nhiều tốn như: chứng minh góc, chứng minh đoạn thẳng nhau, chứng minh