Phép quay và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Lụa PHÉP QUAY VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN Nguyễn Thị Lụa PHÉP QUAY VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình Học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội – Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy cô giáo khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên em, động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực đề tài thực tập Hà Nội, ngày 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Lụa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết trình học tập, nghiên cứu em bảo, dìu dắt thầy cô giáo, đặc biệt hướng dẫn nhiệt tình thầy Nguyễn Năng Tâm Em xin cam đoan Khóa luận tốt nghiệp với tên đề tài: "Phép quay ứng dụng" trùng lặp với khóa luận khác Hà Nội, 04 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Lụa Mục lục Lời mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Ơclit 1.2 Định hướng 1.2.1 Định hướng đường thẳng 1.2.2 Định hướng mặt phẳng 1.2.3 Định hướng không gian Phép biến hình 1.3.1 Các khái niệm phép biến hình 1.3.2 Phép biến hình afin 10 1.3.3 Phép biến hình đẳng cự 12 1.3 Phép Quay 2.1 2.2 14 Phép quay quanh điểm mặt phẳng 14 2.1.1 Định nghĩa 14 2.1.2 Tính chất 15 Phép quay quanh trục không gian 20 2.2.1 20 Định nghĩa i Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.2.2 2.3 Nguyễn Thị Lụa Tính chất 20 Phép quay quanh (n − 2)- phẳng 22 Ứng dụng phép quay vào giải số toán hình học 23 3.1 3.2 3.3 3.4 Phép quay toán tính toán 23 3.1.1 Bài toán tính toán 23 3.1.2 Giải toán tính toán nhờ phép biến hình 23 Phép quay toán quỹ tích 27 3.2.1 Bài toán quỹ tích 27 3.2.2 Giải toán quĩ tích nhờ phép biến hình 28 Phép quay với toán dựng hình 32 3.3.1 Bài toán dựng hình 32 3.3.2 Giải toán dựng hình nhờ phép biến hình 33 Phép quay với toán chứng minh 38 3.4.1 Bài toán chứng minh 38 3.4.2 Giải toán chứng minh nhờ phép biến hình 39 Tài liệu tham khảo 46 ii Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Lời mở đầu Lý chọn đề tài Toán học có vai trò quan trọng đời sống thực tiễn nghiên cứu khoa học Toán học sở, tảng để nghiên cứu môn khoa học khác Bất kì sinh viên khoa toán có niềm say mê nghiên cứu toán học Hình học môn học khó sinh viên nào, tính chặt chẽ, logic tính trìu tượng hình học cao môn học khác Các phép biến hình sơ cấp phần hay quan trọng hình học, công cụ hữu ích, thể tính ưu việt giải toán hình học Phép quay phép biến hình sơ cấp vận dụng linh hoạt việc giải toán dựng hình, toán chứng minh, toán tính toán, toán quỹ tích Tuy nhiên, việc ứng dụng phép quay để giải toán việc dễ dàng Bằng kiến thức học với say mê, tìm tòi, ham học hỏi niềm yêu thích môn hình học nên em lựa chọn nghiên cứu mảng nhỏ hình học với tên đề tài: “Phép quay ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép quay ứng dụng giải toán hình học không gian En Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày sở lý thuyết phép quay Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa + Các ví dụ minh họa thể ứng dụng phép quay việc giải lớp toán hình học nâng cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng phép quay + Phạm vi nghiên cứu: Do điều kiện trình độ thời gian, em nghiên cứu số toán hình học áp dụng phép quay trình giải Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu dựa sở lý thuyết phép quay + Nghiên cứu sách giáo trình hình học, tạp trí toán học tài liệu có liên quan đến phép quay Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm phần Mở đầu Nội dung gồm chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Phép quay Chương 3: Ứng dụng phép quay vào giải số toán hình học Kết luận Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Ơclit Không gian Ơclit không gian afin liên kết với không gian véctơ Ơclit hữu hạn chiều Không gian Ơclit gọi n chiều không gian véctơ Ơclit liên kết với có số chiều n Không gian Ơclit thường kí hiệu E, không gian véctơ Ơclit liên kết với kí hiệu E Ví dụ: Không gian Ơclit thông thường E3 học phổ thông 1.2 Định hướng 1.2.1 Định hướng đường thẳng Định nghĩa Cho đường thẳng a a ta xét chiều quy ước dương, chiều ngược lại âm ta nói định hướng đường thẳng a Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Độ dài đại số Cho đường thẳng a có định hướng hai điểm A, B thuộc a Ta gọi độ dài đại số AB, kí hiệu AB số có trị số khoảng cách hai điểm A B mang dấu dương AB hướng với hướng dương a, mang dấu âm trường hợp ngược lại Hệ thức Salơ Trên đường thẳng a định hướng cho điểm A1 , A2 , ,An ta có hệ thức: A1 A2 + A2 A3 + · · · + An−1 An = A1 An gọi hệ thức Salơ 1.2.2 Định hướng mặt phẳng Định nghĩa Trong mặt phẳng cho điểm O xung quanh O có hai chiều quay; ta chọn chiều làm chiều dương chiều lại làm chiều âm, ta nói ta định hướng mặt phẳng Thông thường ta chọn chiều quay xung quanh O ngược chiều kim đồng hồ làm chiều dương, chiều ngược lại làm chiều âm Góc định hướng hai tia Cho hai tia OA, OB Góc định hướng hai tia OA OB hình gồm hai tia OA OB hai tập hợp hai tia phân Khóa luận tốt nghiệp Đại học Q60 A : Nguyễn Thị Lụa   C→B    N →N    P →P Vì C nằm cạnh P N B nằm đoạn P N Do C giao điểm đoạn P N cạnh QM -Bước 2(cách dựng): Dựng N , P ảnh N, P qua phép quay Q60 A ◦ Dựng giao điểm B đoạn P N với cạnh M Q ◦ Dựng C ảnh B qua phép quay Q−60 A -Bước 3(chứng minh): B giao điểm đoạn P N với cạnh M Q nên B nằm   cạnh M Q   N → N N → N ◦ ◦ −60 60 nên QA : Vì QA :   P → P P → P   C = Q−60◦ (B) A ⇒ C ∈ [N P ] Mà  B ∈ [N P ] ◦ Vì C = Q−60 (B) nên tam giác ABC A Vậy ta tam giác ABC thỏa mãn yêu cầu toán -Bước 4(biện luận): Bài toán có nghiệm hình đoạn P N cắt đoạn M Q Bài toán vô nghiệm hình đoạn P N không cắt đoạn M Q Ví dụ 2: Cho ba đường thẳng a, b, c đôi cắt Hãy dựng tam giác có đỉnh nằm ba đường thẳng cho Giải 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa - Bước (phân tích): Giả sử dựng tam giác ABC thỏa mãn: A ∈ a, B ∈ b, C ∈ c ◦ Xét phép quay: Q60 A ◦ Q60 A :   C → B  c → c C ∈c⇒B ∈c ⇒B =b∩c - Bước (cách dựng): Lấy điểm A a Hình 3.8: ◦ Dựng ảnh c c qua phép quay Q60 A Dựng giao điểm B c b ◦ Dựng ảnh C B qua phép quay Q−60 A 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Khi ta tam giác ABC cần dựng - Bước (chứng minh): ◦ −60 Ta có: QA : c → c ⇒ C ∈ c Theo cách dựng ta có: B ∈ b, A ∈ a ◦ −60 (B) ⇒ CBA = 60◦ , AC = AB ⇒ C = QA ABC tam giác Vậy tam giác ABC tam giác cần dựng - Bước (biện luận): Bài toán có nghiệm hình c cắt b Bài toán vô nghiệm hình c song song với b Bài toán có vô số nghiệm hình c trùng c *Nhận xét: Trong ví dụ này, ta thay ba đường thẳng ba hình khác, chẳng hạn: ba đường tròn, ba hình vuông, ba hình bình hành, đường thẳng hai đường tròn, đường tròn hai đường thẳng, ta toán hoàn toàn tương tự, sử dụng cách giải Ví dụ 3: Hãy dựng hình vuông có bốn đỉnh nằm bốn đường thẳng chứa bốn cạnh hình bình hành khác hình vuông Giải - Bước (phân tích): Giả sử dựng hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm bốn đường thẳng chứa bốn cạnh hình bình hành M N P Q cho trước với: A ∈ M N, B ∈ N P, C ∈ P Q, D ∈ QM Ta có: ABCD M N P Q có chung tâm đối xứng O ◦ Xét phép quay: Q90 O ◦ Q90 O :A→ D 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Giả sử đường thẳng a ảnh đường thẳng M N qua phép quay thì: D = a ∩ QM - Bước (cách dựng): Từ việc phân tích ta có cách dựng sau: Hình 3.9: ◦ Dựng a = Q90 O (M N ) Dựng D = a ∩ QM ◦ ◦ ◦ 90 90 Xác định: C = Q90 O (D), B = QO (C), A = QO (B) Ta hình vuông ABCD cần dựng - Bước (chứng minh): Theo cách dựng ABCD hình vuông   D = a ∩ QM  a = Q90◦ (M N ) O 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa ⇒ D ∈ QM, a ⊥ M N Vì M N//P Q ⇒ a ⊥ P Q ◦ C = Q90 O (D) ⇒ C ∈ P Q ◦ Vì B = Q90 O (C) nên B đối xứng với D qua O Do B ∈ N P ◦ Vì A = Q90 O (B) nên A đối xứng với C qua O Do A ∈ M N Vậy hình vuông ABCD vừa dựng thỏa mãn đề - Bước (biện luận): Bài toán có nghiệm hình 3.4 Phép quay với toán chứng minh 3.4.1 Bài toán chứng minh Bài toán chứng minh có dạng A ⇒ B, đó: A giả thiết, bao gồm: yếu tố cho (điểm, đường thẳng, đường tròn, ); quan hệ biết (liên thuộc, song song, vuông góc, ; yếu tố lượng (độ dài, góc, ) A kết luận cần khẳng định ⇒ suy luận hợp logic dựa giả thiết có mặt A, định nghĩa, định lý, công cụ, để khẳng định A 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 3.4.2 Nguyễn Thị Lụa Giải toán chứng minh nhờ phép biến hình Nếu ta thiết lập liên hệ điểm hay đường cho giả thiết A với điểm hay đường kết luận B thông qua phép biến hình nhờ tính chất bảo toàn qua phép biến hình ta nhận kết về: + Tính đồng quy hay tính thẳng hàng + Các quan hệ song song, vuông góc hay liên thuộc + Các đoạn thẳng hàng hay góc giúp ta suy điều cần chứng minh Phép quay công cụ ưu việt việc sử dụng để đưa đến kêt Ta đổi toán nhờ phép biến hình, chuyển mệnh đề A ⇒ B thành mệnh đề A ⇒ B cách chuyển A thành A va B thành B qua phép biến hình Khi mệnh đề thay chứng minh nhờ có tính chất 1-1 tính chất phép biến hình sử dụng để suy mệnh đề ban đầu Trong nhiều trường hợp, việc vẽ thêm điểm, đường mà ta quen gọi dựng hình phụ giúp mang liệu với hình có liên quan hợp thành hình để từ nhận điều cần chứng minh Thông thường việc dựng hình phụ tương đương với việc dựng ảnh điểm hay đường qua phép biến hình Ví dụ 1: Chứng minh mặt phẳng (P ) song song với đường thẳng d (P ) ảnh (P ) qua phép quay Q(d, 90◦ ) (P ) ⊥ (P ) 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Giải Hình 3.10: Gọi O điểm đương thẳng d Chọn điểm M mặt phẳng (P ) cho OM ⊥ (P ) Gọi M ảnh M qua phép quay Q(d, 90◦ ) Khi O, M, M nằm mặt phẳng (α) ⊥ d O OM ⊥ OM hay ta có: Q(d, 90◦ ) : OM → OM (1) Vì OM ⊥ (P ) nên OM pháp tuyến (P ) (2) Mặt khác, theo giả thiết (P ) ảnh (P ) qua phép quay Q(d, 90◦ ) (3) Từ (1), (2), (3) suy OM pháp tuyến mặt phẳng (P ) Theo chứng minh OM ⊥ OM nên (P ) ⊥ (P ) ⇒ Đpcm Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy điểm M , cạnh CD lấy 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa điểm N cho M AN = 45◦ Chứng minh CM + CB + M N không phụ thuộc vị trí điểm M, N BC CD Giải Hình 3.11: ◦ Thực phép quay: Q−90 A   B → C ◦ −90 ⇒ BM = DM M thuộc tia đối tia DC QA :  M → M AM N = AM N (c.g.c) ⇒ M N = M N = DM + DN = BM + DN ⇒ M N + CM + CN = BM + DN + CM + CN = (BM + CM ) + (DN + CN ) = BC + DC = 2BC Vậy CM + CB + M N không phụ thuộc vị trí điểm M, N BC CD Ví dụ 3: Cho tam giác ABC Dựng phía tam giác hình vuông ABM N , ACP Q a Chứng minh rằng: BQ = CN, BQ ⊥ CN 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa b Gọi D trung điểm BC K, H theo thứ tự tâm hình vuông ABM N , ACP Q Chứng minh tam giác DKH tam giác vuông cân Giải Hình 3.12: 90 a Thực  phép quay: QO  N → B ◦ 90 QO :  C → Q   CN = BQ ⇒  (CN, BQ) = 90◦   CN = BQ ⇔  CN ⊥ BQ ◦ b Ta có: 42 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa    DK//CN, DK = 12 CN     DH//BQ, DH = 12 BQ ⇒ DK = DH, DK ⊥ KH      CN = BQ, CN ⊥ BQ Nghĩa tam giác DKH vuông cân D Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD Một đường thẳng d cắt đường thẳng AB CD điểm M, N Một đường thẳng d vuông góc với d, cắt đường thẳng AD BC P Q Chứng minh rằng: M N = P Q Giải Hình 3.13: Gọi O tâm hình vuông ABCD Thực phép quay Q90 O ◦ 43 Khóa luận tốt nghiệp Đại học ◦ Q90 O : Nguyễn Thị Lụa     AB → DA       DC → CB    M →M       N → N M ∈ AB ⇒ M ∈ DA N ∈ DC ⇒ N ∈ CB M N= M N , M N ⊥ M N  M N ⊥ P Q nên M N song song trùng với P Q Vì:  M N ⊥ M N trường ta có M N = P Q Do đó: M N = P Q Ví dụ 5: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với đường thẳng d ảnh a a qua phép quay Q(d, 90◦ ) cắt vuông góc với a Giải Hình 3.14: 44 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa Lấy M ∈ a kí hiệu M ảnh M qua phép quay Q(d, 90◦ ) Khi M M nằm mặt phẳng (P ) vuông góc với d Như a (P ) có điểm chung M vuông góc với d nên a ⊂ (P ) Gọi a ảnh a qua phép quay Q(d, 90◦ ) Vì a , (P ) có điểm chung M vuông góc với đường thẳng d nên a ⊂ (P ) Vậy a a thuộc mặt phẳng (P ) Phép quay mặt phẳng (P ) với góc quay 90◦ biến đường thẳng a thành đường thẳng a nên a cắt a a ⊥ a (đpcm) 45 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa KẾT LUẬN Khi nghiên cứu hình học, em nhận thấy phép biến hình công cụ hữu ích việc giải lớp toán hình học Nó giúp có lời giải hay, tiết kiệm thời gian công sức Nhằm góp phần đạt mục tiêu đó, khóa luận đưa hệ thống lý thuyết ví dụ minh họa để làm bật ứng dụng phép quay giải toán hình học Như đề tài “Phép quay ứng dụng” hoàn thành nội dung đạt mục tiêu nghiên cứu Với vốn kiến thức ỏi bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học nên khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em mong quý thầy cô bạn đọc đóng góp ý kiến để khóa luận em hoàn thiện Cuối em xin bày tỏ lòng biết ơn thầy, cô giáo, đặc biệt thầy Nguyễn Năng Tâm tận tình hướng dẫn em hoàn thiện khóa luận 46 Tài liệu tham khảo [1] Bùi Văn Bình, Bài tập hình học sơ cấp, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [2] Bùi Văn Bình, Nguyễn Văn Vạn, Giáo trinh hình học sơ cấp tập 1, tập 2, ĐHSP Hà Nội 2, 1993 [3] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục , 2007 [4] Đỗ Thanh Sơn, Phép biến hình mặt phẳng, Nxb Giáo dục, 2006 [5] Nguyễn Mộng Hy, Các phép biến hình mặt phẳng, Nxb Giáo dục, 2004 [6] Nguyễn Việt Hải, Vũ Hoàng Lâm, Phan Quân, 100 tập sử dụng phép biến hình, Sở giáo dục đào tạo Hải Phòng, 1993 [7] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh THPT, Nxb Đai học Quốc gia Hà Nội, 1999 [8] Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Bài tập hình học 11 (nâng cao), Nxb Giáo Dục, 2007 47 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Nguyễn Thị Lụa [9] Văn Như Cương, Tạ Mân , Hình học afin hình học Ơclit, Nxb Đại học Sư Phạm 48 ... R) Phép quay Q(d, ϕ) phép đối hợp ϕ = k.180◦ (k ∈ Z) Phép quay Q(d, ϕ) giữ bất động điểm trục d tức d đường thẳng bất động 2.3 Phép quay quanh (n − 2)- phẳng Một phép dời f : En → En gọi phép quay. .. với tên đề tài: Phép quay ứng dụng ” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phép quay ứng dụng giải toán hình học không gian En Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày sở lý thuyết phép quay Khóa luận tốt nghiệp... Lụa Tính chất 20 Phép quay quanh (n − 2)- phẳng 22 Ứng dụng phép quay vào giải số toán hình học 23 3.1 3.2 3.3 3.4 Phép quay toán tính toán 23 3.1.1