Ứng dụng của tích phân trong hình học

BÀI CŨ 1/ Nhắc lại cơng thức tính diện tích hình thang cong giới hạn : đths y = f(x)≥ liên tục [a;b], Ox, x = a, x = b. y S = F(b) – F(a) y = f(x) (Với F(x) ngun hàm f(x) [a;b]) x b O a 2/ Nhắc lại cơng thức Niutơn-Laipnit (Định nghĩa tích phân xác đinh) b b f(x).dx = F(x) = F(b) – F(a) a a b Vậy: S = f(x).dx a ∫ | ∫ Nếu hàm số y = f(x) liên tục, y = f(x)≤ [a;b], diện tích hình phẳng giới hạn y = f(x), Ox, x = a, x = b tính nào?. Hình vẽ TĨM LẠI: TH1: f(x)≥0 đoạn [a;b]: b S = ∫ f ( x ) dx a TH2: f(x) ≤ đoạn Diện tích[a;b] hình: phẳng giới b hạn ĐTHS y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a; x = b S = − ∫ f ( x ) dx a Vậy: b S = ∫ f ( x ) dx a Bài 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC y=f(x) y O a b X I) Diện tích hình phẳng: 1/ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y=f(x) liên tục [a; b], hai đường thẳng x = a, x = b Ox là: b S = |f(x)|.dx a ∫ (1) Chú ý 1: Khi áp dụng cơng thức (1) ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm dấu tích phân cách xét dấu biểu thức f(x): - Giải phương trình f(x) = tìm nghiệm [a; b]. - Lập bảng xét dấu (nếu cần) - Khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hàm số y= sinx , đoạn [0;2π] vàOx 2π S = |sinx|.dx y ∫ Diện tích hình phẳng cần tìm là: Ta có: sinx = ⇔ x = π ∈ (0; 2π ) BXD: x y=sinx π + 2π - O π 2π Vậy S = sinx.dx - sinx.dx π π 2π = -cosx + cosx = (đ.v.d.t) π ∫ ∫ | | π 2π x Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị h/s trục hồnh đường thẳng x = -2 , x=1 Lời giải Hình vẽ Diện tích hình phẳng cần tìm là: S= ∫ −2 S= −2 x dx= ∫ x dx + ∫ x dx −2 3 -x dx + x ∫( ) ∫ dx x S=− x + −2 17 = . y = x 3, I) Diện tích hình phẳng: 2/ Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thò hai hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục [a;b] hai đường thẳng x = a; x = b tính theo công thức: b S = |f(x)- g(x)|.dx a ∫ y y (2) Chú ý 2: Khi áp dụng cơng thức (2) ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm dấu tích phân cách: x) ( f = y= O a b ) x ( g x - Giải phương trình f(x) – g(x) =  tìm nghiệm [a; b], giả sử có n nghiệm x1, x2, …, xn thuộc [a; b] , (x1< x2< …< xn ) - áp dụng: x1 x2 b a x1 xn S = ∫ f ( x) − g ( x) dx + ∫ f ( x) − g ( x) dx + . + ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = x1 x2 b a x1 xn ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx + ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx + . + ∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số sau: y = x3 -3x y = x y = x3 − 3x Giải : Hình vẽ y = x − 3x Xét PT hđộ gđiểm: Diện tích hình phẳng cần tìm là: x3 -3x = x 2 ⇔ x - 4x = S= = x= ⇔ x= x= -2 ∫ |x - 4x|.dx |∫ (x - 4x)dx| +|∫(x - 4x)dx| -2 | x ( -2x2) = -2 | -2 | | x ( -2x2) + | | = |- 4+8 | + | 4-8 | = (đ.v.d.t) * Chú ý 3: Diện tích hình phẳng giới hạn nhiều đường chia diện tích nhiều vùng nhỏ sử dụng công thức (2) y = h(x) y = f(x) Ví dụ: y = g(x) S1 S2 S = S1 + S c b a c = ∫ f ( x) − h( x) dx + ∫ g ( x ) − h( x ) dx Ví dụ 4: Tính dthp giới hạn bởi: Đồ thị h/s y = x,3 trục hồnh đường thẳng y=-x+2 x S1 = ∫ x dx = x S1 = ∫ x dx = Lời giải y = x3 = MA. AB S2 = S ∆MAB = = 2 ⇒ S = S1 + S = = MA. AB = 2 ⇒ S = S1 + S = y= x S2 = S ∆MAB = S1 S2 y = − x+ y = −x+ II) Thể tích vật thể: 1/ Công thức tính thể tích vật thể Cắt vật thể hai mặt phẳng (α ) ( β ) vng góc với trục Ox x = a x = b dựng mặt phẳng (γ ) Vng góc với với trục Ox x ( a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo thiết diện S(x), giả sử S(x) hàm số liên tục [a; b] Khi đó: Thể tích vật thể là: b V = ∫ S ( x )dx a (3) Hình vẽ Ví dụ : Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy B chiều cao h. Giải: Chọn trục Ox song song với đường cao khối lăng trụ, hai đáy nằm hai mặt phẳng vng x góc với Ox x=0 x=h. Vậy mặt phẳng tuỳ ý vng góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích khơng đổi S(x)=B; (0< x [...]... hình (H) quanh trục Oy  x = f ( y)  Hình ( H ) :  x = 0  y = a; y = b  Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh trục Oy là: b V = π ∫ f (y)dy 2 a Đọc thêm SGK – nâng cao Hình vẽ 9 CỦNG CỐ ƯNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG (H) (H) giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0, x = a, x = b b S = f ( x ) dx ∫ TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY SINH RA KHI QUAY... III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox  y = f ( x)  1 Hình ( H ) :  y = 0  x = a; x = b  Hình vẽ 5 Với f(x) là một hàm xđ và liên tục trên [a; b] - Quay hình (H) quanh trục Ox thì tạo thành một vật thể tròn xoay T - Thiết diện của vật thể T, với mp vng góc với Ox tại điểm x, là một hình tròn bán kính R = f(x) Diện tích thiết diện: S(x) = π.f2(x) b Thể tích V của vật thể:... quay hình (H) quanh trục Ox Lời giải III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox  y = f ( x)  ( H ) :  y = g ( x) 3 Hình Hình vẽ 8  y = h( x )  Chẳng hạn các hàm số y=f(x), y=g(x), y=h(x) có đồ thị như hình vẽ: c b  c 2   b 2  2 2 V = V1 + V2 =  π ∫ g ( x )dx −π ∫ h ( x)dx ÷+  π ∫ g ( x )dx −π ∫ f ( x )dx ÷ a c  a   c  IV) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình. .. Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox  y = f ( x)  2 Hình ( H ) :  y = g ( x ) Hình vẽ 7  x = a; x = b  Với f(x), g(x) là 2 hàm số xđ và liên tục trên [a; b] Nếu f(x) – g(x) khơng đổi dấu trên [a,b] thì thể tích của vật thể được tính bởi cơng thức: b b V = π ∫ f (x)dx − π ∫ f 2 (x)dx a 2 a Ví dụ 7: Cho hình phẳng 1 2  y = x (H ) :  4  y = − x2 + 5x  Tính thể tích của. .. dụ 6: 1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y= sinx với trục Ox, trên đoạn [0;π] quay quanh Ox Lời giải Hình vẽ 6.1 Thể tích của vật thể tròn xoay cần tìm là: π π V = π∫sin2xdx = π 1 - cos2x dx ∫ 0 0 = π (x - sin2x 2 2 = π2 2 (đ.v.t.t) π )|0 2 Ví dụ 6: 2 Tính thể tích giữa y= x2-4x quay quanh Ox, với 1 ≤ x ≤ 4 Lời giải Hình vẽ 6.2 Thể tích của vật thể tròn... 2 II) Thể tích của các vật thể: 1/ Công thức tính thể tích của một vật thể Cắt vật thể bởi hai mặt phẳng (α ) và ( β ) vng góc với trục Ox tại x = a và x = b dựng mặt phẳng (γ ) Vng góc với với trục Ox tại x ( a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo thiết diện là S(x), giả sử S(x) là một hàm số liên tục trên [a; b] Khi đó: Thể tích của vật thể là: b V = ∫ S ( x )dx a (3) Hình vẽ 4 Ví dụ 5 : Tính thể tích khối... lăng trụ, biết diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h Giải: Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vng x góc với Ox tại x=0 và x=h Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích khơng đổi S(x)=B; (0< x . hạn bởi ĐTHS y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a; x = b Bài 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC a b y=f(x) X y O (1) 1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y=f(x). h. S(x)=B h x O x Giải: Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đáy nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với Ox tại x=0 và x=h. Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vuông góc với trục