Ứng dụng của tích phân trong hình học

* Chú ý 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ rồi sử dụng công thức 2... Chọn trục Ox song song với đường cao của khối lăng trụ, còn hai đ

1/ Nhắc lại công thức tính diện tích hình thang cong giới hạn

bởi : đths y = f(x) 0 liên tục trên [a;b], Ox, x = a, x = b

S = F(b) – F(a)(Với F(x) là một nguyên hàm của f(x)

trên [a;b])

2/ Nhắc lại công thức Niutơn-Laipnit (Định nghĩa tích phân xác đinh)



baf(x).dx = F(x)|ab = F(b) – F(a)

BÀI CŨ

Vậy:

Nếu hàm số y = f(x) liên tục, y = f(x) 0 trên [a;b], thì

diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), Ox, x = a, x =

b được tính như thế nào?

Hình vẽ 1

( )

b a

S   f x dx

TH1: f(x)≥0 trên đoạn [a;b]:

TH2: f(x) ≤ 0 trên đoạn [a;b] :

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ĐTHS y = f(x), trục Ox và hai đường

thẳng

x = a; x = b

O

1/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)

liên tục trên [a; b], hai đường thẳng x = a, x = b và Ox là:

I) Diện tích của hình phẳng:

S = 

ba |f(x)|.dx

Chú ý 1: Khi áp dụng cơng thức (1) ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của hàm dưới dấu tích phân bằng cách xét dấu biểu thức f(x):

- Giải phương trình f(x) = 0 tìm các nghiệm trên [a; b].

- Lập bảng xét dấu (nếu cần)

- Khử dấu giá trị tuyệt đối

2/ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x),

y = g(x) liên tục trên [a;b] và hai đường thẳng x = a; x = b được tính theo công thức:

I) Diện tích của hình phẳng:

(2)

S = 

ba

ta cần khử dấu giá trị tuyệt đối của

hàm dưới dấu tích phân bằng cách:

* Chú ý 3: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhiều đường thì chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ rồi sử dụng công thức (2)

3 1

2 2 3

S

4

MAB

x S

MA AB S

4

MAB

x S

MA AB S

II) Thể tích của các vật thể:

1/ Công thức tính thể tích c a m t v t th ủa một vật thể ột vật thể ật thể ể

Hình vẽ 4

( )

b a

(3)

Chọn trục Ox song song với đường

cao của khối lăng trụ, còn hai đáy

nằm trong hai mặt phẳng vuông

góc với Ox tại x=0 và x=h

Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vuông

góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo

thiết diện có diện tích không đổi

S(x)=B; (0< x <h)

Áp dụng CT (1) ta có:

Bh Bx

dx x

S V

h h

0

) (

a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và

chiều cao bằng h Tính thể tích khối chóp đó.

b h

b) Từ công thức và cách tính thể tích khối chóp, hãy xác

định công thức tính thể tích khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện tích hai đáy lần lượt là B’, B và chiều cao

Với f(x) là một hàm xđ và liên tục trên [a; b]

III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox

- Quay hình (H) quanh trục Ox thì

tạo thành một vật thể tròn xoay T

- Thiết diện của vật thể T, với mp

vuông góc với Ox tại điểm x, là một

Ví dụ 6:

1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình

ph ng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= sinx v i tr c ẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y= sinx với trục ới trục ục

Ox, trên đoạn [0;] quay quanh Ox

cos2x -

2 Tính thể tích giữa y= x2-4x quay quanh Ox, với 1  x  4

4

1

3 4

3

16 + x 2 -

x 5

4 - 8 x + 16 x dx x

Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên [a,b] thì

thể tích của vật thể được

tính bởi công thức:

Với f(x), g(x) là 2 hàm số xđ và liên tục trên [a; b]

III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox

III) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Ox

IV) Thể tích của khối tròn xoay khi quay hình (H) quanh trục Oy

 ab 2

V f (y)dy

Thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra

khi quay hình (H) quanh trục Oy là:

CỦNG CỐ ƯNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

TÍNH DIỆN TÍCH CỦA HÌNH

PHẲNG (H)

TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRÒN XOAY SINH RA KHI QUAY (H) QUANH TRỤC Ox

(H) giới hạn bởi các đường

quanh trục Oy