Luận văn thạc sĩ sử dụng các phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân và một số mô hình ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU Mục lục Lời nói đầu Lời cảm ơn Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach 1.1 Một số kiến thức lý thuyết toán tử giới nội không gian Banach .5 1.1.1 Những mệnh đề tổng quát hình học khơng gian Banach ánh xạ tuyến tính chúng 1.1.2 Hàm tốn tử tuyến tính giới nội 1.1.3 Toán tử e-mũ 1.1.4 Ví dụ 1.1.5 Định lý Lyapunov tổng qt tốn tử có phổ nằm nửa mặt phẳng trái 10 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach với toán tử .12 1.2.1 Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng .12 1.2.2 Dáng điệu nghiệm phương trình khoảng vơ hạn .13 1.2.3 Tính giới nội nghiệm phương trình 18 1.2.4 Điều kiện tồn nghiệm giới nội phương trình khơng 24 Về phương pháp Lyapunov phương trình vi phân số ứng dụng 30 2.1 Các khái niệm ổn định nghiệm phương trình vi phân 30 2.2 Sự ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính với hệ số biến thiên( khơng ơtơnơm) 32 2.2.1 Tính ổn định hệ tuyến tính với hệ số biến thiên 32 2.2.2 Tính ổn định phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33 2.3 Các hàm xác định dấu 35 2.4 Các định lí Lyapunov .36 2.5 Một số mơ hình ứng dụng 45 2.5.1 Sự ổn định trình chuyển động quay vật thể rắn 45 2.5.2 Sự ổn định phi chuyển động .46 2.5.3 Mơ hình quần thể 47 Về cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert 49 3.1 Sự cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert .49 3.2 Về tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert 54 Tài liệu tham khảo 58 Lời nói đầu Việc nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩa quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân, đồng thời có nhiều ứng dụng mơ hình thực tế Vì năm gần có nhiều cơng trình nhà khoa học nước sâu nghiên cứu lĩnh vực Mục đích luận văn trình bày lại số kết tính chất nghiệm PTVP tuyến tính khơng gian Banach số ứng dụng phương pháp Lyapunov mơ hình cụ thể khoa học kỹ thuật Bố cục luận văn gồm ba chương Chương 1: Trong chương chúng tơi trình bày số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach Chương 2: Trong chương hai chúng tơi trình bày số kết phương pháp Lyapunov việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Sau trình bày số ví dụ minh họa mơ hình thực tế Chương 3: Trình bày kết tính cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân PTVP không gian Hilbert Nội dung chương dựa vào kết nghiên cứu của: GS TS Nguyễn Thế Hồn Chương Một số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Banach Nội dung chương bao gồm kiến thức chuẩn bị toán tử tuyến tính khơng gian Banach số tính chất nghiệm phương trình vi phân tuyến tính với tốn tử Các kết chương trích dẫn từ tài liệu [1] 1.1 Một số kiến thức lý thuyết toán tử giới nội không gian Banach 1.1.1 Những mệnh đề tổng qt hình học khơng gian Banach ánh xạ tuyến tính chúng Khơng gian định chuẩn không gian Banach Tập hợp L đươc gọi không gian định chuẩn thực (phức) L khơng gian tuyến tính (vector) trường số thực (phức) phần tử (vector) x ∈ L xác định số không âm ǁxǁ chuẩn phần tử x- có tính chất sau: (a) ǁαxǁ = |α| ǁxǁ x ∈ L với số thực (phức) α (b) ǁx + yǁ ≤ ǁxǁ + ǁyǁ với x, y ∈ L (bất đẳng thức tam giác) (c) ǁxǁ = x = Hàm số ρ (x, y) = ǁx − yǁ xác định không gian định chuẩn metric, L- không gian metric Dãy {xn} ⊂ L gọi dãy sở ǁxn − xmǁ = Không gian lim n,m→∞ định chuẩn gọi khơng gian Banach dãy sở có giới hạn, phần tử x ∈ L cho lim ǁxn − xǁ = (nói cách khác khơng n→∞ gian Banach L(=B) không gian đủ metric ρ (x, y) = ǁx − yǁ) Tốn tử tuyến tính Giả sử B1 B2 không gian Banach Ánh xạ A : B1 → B2 gọi toán tử tuyến tính nếu: A (αx + βy) = αAx+βAy với số α, β x, y ∈ B1 Tốn tử tuyến tính liên tục liên tục x = Tính liên tục tương đương với tính giới nội tốn tử A, tức tính hữu hạn đại lượng def ǁAǁ = sup Σ ǁAxǁ2 |x ∈ B , x ƒ= = sup {ǁAxǁ |x ∈ B , ǁxǁ = 1} 1 ǁxǁ1 Tập toán tử tuyến tính giới nội A : B1 → B2 kí hiệu [B1; B2] Tập không gian Banach với chuẩn định nghĩa với phép cộng phép nhân toán tử với số (A + B) x = Ax + Bx; (αA)x = α (Ax) Toán tử B : B2 → B1 gọi toán tử ngược toán tử A : B1 → B2 kí hiệu B = A−1, AB = I2; BA = I1, Ik tốn tử đồng Bk : Ikx = x với x ∈ Bk (k = 1, 2) Định lý 1.1.1 Giả sử toán tử A ∈ [B1, B2] ánh xạ một-một tương ứng từ không gian Banach B1 tới khơng gian Banach B2 Khi tốn tử nghịch đảo A−1 tốn tử tuyến tính bị chặn A−1 ∈ [B1, B2] Tập toán tử giới nội khơng gian B vào kí hiệu ngắn gọn [B] Tổng trực tiếp không gian phép chiếu Một tập tuyến tính đóng khơng gian Banach B gọi khơng gian Ta nói không gian Banach B phân rã thành tổng trực tiếp không gian B1và B2 : · B = B1 + B2 (1.1) phần tử x ∈ B biểu diễn dạng x = x1 + x2, (1.2) x1 ∈ B1, x2 ∈ B2 Mỗi không gian B1và B2 phần bù trực tiếp không gian Phép khai triển (1.2) sinh hai toán tử Pk : B → Bk (k = 1, 2) xác định đẳng thức Pkx = xk (k = 1, 2); x1 x2 thành phần x khai triển (1.1) Các toán tử P1 P2 có tính chất P k = P k; P1 + P2 = I; P1P2 = P2P1 = (1.3) Toán tử P ∈ [B] gọi phép chiếu P = P 1.1.2 Hàm tốn tử tuyến tính giới nội Phổ giải thức Giả sử B không gian Banach phức Điểm λ mặt phẳng phức gọi điểm qui tốn tử A ∈ B [B] tồn toán tử (giải thức toán tử A), Rλ = (A − λI)−1 Tập hợp ρ (A) tất điểm qui toán tử A mở Phần bù σ (A) gọi phổ tốn tử Phổ σ (A) ln khác rỗng, đóng nằm hình trịn |λ| ≤ ǁAǁ Chính xác hơn, phổ σ (A) nằm hình trịn có bán kính rA rA = lim n→∞ √ n ǁAnǁ (Sự tồn giới hạn dễ dàng suy từ hệ thức Am+n ≤ ǁAmǁ ǁAnǁ) Thật vậy, với λ λ−(k+1)Ak hội tụ tuyệt đối metric |λ| > với Σ chuỗi ∞ rA k=0 [B] , chuỗi tương ứng từ chuẩn làm trội cấp số nhân với công bội r A+ ε |λ| I với ε > 0, chỗ Khi nhân chuỗi với λI − A ta có Vậy, |λ| > rA tồn giải thức, Σλ−(k+1)Ak (1.4) ∞ Rλ = − k=0 Có thể đường tròn |λ| = rA ln có điểm phổ σ (A) √ Vì giới hạn lim ǁAnǁ gọi bán kính phổ toán tử A n n→∞ 1.1.3 Toán tử e-mũ Định nghĩa e-mũ toán tử Trong lý thuyết phương trình vi phân tốn tử hàm eAt đóng vai trị đặc biệt quan trọng, đưa nhờ hai hệ thức Đầu tiên ma trận eA xác định , eA = lim n→∞ I + A A2 + 1! 2! I Chương Về cân tiệm cận tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert 3.1 Sự cân tiệm cận phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Hilbert Trong khơng gian Hilbert H ta xét phương trình x = A(t)x (3.1) Trong phần luôn giả thiết A(t) ∈ [H] , ∀t ∈ R+ thỏa mãn điều kiện bảo đảm tồn nghiệm toán Cauchy Định nghĩa 3.1.1 Ta nói phương trình (3.1) có cân tiệm cận nghiệm có giới hạn hữu hạn vô (khi t → +∞)và với u0 ∈ H tồn nghiệm x(t) (3.1) cho x(t) → u0 t → +∞ Định nghĩa 3.1.2 Cho A(t)=A*(t), t ≥ t0 ≥ x(t) gọi nghiệm mở rộng phương trình · x = A(t)x thỏa mãn phương trình dt d (x(t), y) = (x(t), A(t)y) , ∀y ∈ D (A) ; t ≥ to ≥ Chúng xin nhắc lại A (t) h ∈ L1 [0, ∞) ∀h ∈ S (0, 1) tồn số T > số q ∈ (0, 1) cho ∀h ∈ S (0, 1) cho +∫∞ ǁA (t) hǁdt < q T Định lý 3.1.1 Cho h ∈ H, ǁA(t)hǁ ∈ L1 [0, +∞) toán tử A(t) toán tử tự liên hợp Khi nghiệm giới nội phương trình (3.1) có giới hạn (yếu) hữu hạn Hơn nữa, bao hàm ǁA(t)hǁ ∈ L1 [0, +∞) h ∈ S(0,1), nghiệm bị chặn (3.1) có giới hạn hữu hạn vơ hạn Chứng minh Cho x(t) nghiệm bị chặn (3.1), nghĩa tồn M > cho ǁx(t)ǁ ≤ M, ∀t ≥ Khi với h ∈ H ta có (3.2) ∫ (x (τ ) , A (τ ) h) dτ ∫ t t (x(t), h) = (x0, h) (A (τ ) x (τ ) , h) dτ = (x0, + h) + t0 t0 t2 ∫ Ở x0 = x (t0) Do |(x(t1) − x(t2), h)| = t2 ∫ (x (τ ) , A (τ ) h) dτ ≤ M ) hǁ dτ < ε t1 ǁA (τ t1 t1, t2 > T , với T đủ lớn Điều có nghĩa tồn (x(t), h) với lim t→+∞ h ∈ H Do phần thứ định lí chứng minh Do H đầy đủ nên tồn h0 ∈ H cho (x (t) , h) = (h , h) , h ∈ H lim t→+∞ Từ biểu thức (3.2), ta có ∫+∞ (x (τ ) , A (τ ) h) dτ (h0, h) = (x0, h) − t0 Từ (3.2), (3.3) ta có (3.3) (x(t), h) = (h0, h) − ∫+∞ (x (τ ) , A (τ ) h) dτ, h ∈ H (3.4) t Do |(x(t), h)| ≤ |(h0, h)| +M ∫+∞ ǁA (τ ) hǁ dτ < |(h0, h)| + ε (3.5) t với t đủ lớn Từ (3.5) tính đầy đủ H ta có (3.6) ǁx(t)ǁ ≤ ǁh0ǁ + ε với t đủ lớn Mặt khác, từ hội tụ yếu chứng minh ta có (3.7) ǁh0ǁ ≤ ǁx(t)ǁ + ε với t đủ lớn Từ bất đẳng thức (3.6), (3.7) ta suy ǁx(t)ǁ = ǁh0ǁ Vì x(t) lim t→+∞ tiến yếu tới h0 ta thu lim x(t) = h0 Định lí chứng t→+∞ Hệ 3.1.1 Giả sử với h ∈ H, ǁA(t)hǁ ∈ L1 [0, +∞) với h ∈ S (0, 1) A(t) tốn tử phản tự liên hợp Khi nghiệm phương trình vi phân (3.1) có giới hạn hữu hạn vô cực Chứng minh Trước hết ta chứng minh nghiệm (3.1) giới nội Thật vậy: Ta xét hàm Lyapunov V (x (t)) = x2 (t) V (x (t)) = (x (t) , x (t)) Ta xét đạo hàm dọc theo nghiệm: Σ V (x (t)) = Σ x (t) , x (t) x (t) , x (t) + = (A (t) x (t) , x (t)) + (x (t) , A (t) x (t)) = (A (t) x (t) , x (t)) + (−A (t) x (t) , x (t)) =0 Từ suy ǁx (t)ǁ2 = C, C số hay ǁx (t)ǁ = x(t0)=hngs Vậy nghiệm bị chặn Áp dụng định lý (3.1) ta suy điều phải chứng minh Định lý 3.1.2 Giả sử ǁA(t)hǁ ∈ L1 [0, +∞) với h ∈ S (0, 1) ; A(t) = A∗(t) Khi với h0 ∈ H tồn nghiệm suy rộng x(t) phương trình (3.5) cho: lim x(t) = h0 t→+ ∞ (3.8) Chứng minh Xét phiếm hàm ζ1(t, h) = (h0, h) − ∫+∞ (A (τ ) x0 (τ ) , h) dτ, t ∫+∞ ǁζ1( t, h)ǁ ≤ ǁh0 ǁ ǁhǁ + t ≥ t0; h ∈ H; x0(t) ≡ h0 q= < ǁA(τ )hǁ dτ t0 ǁx0(τ )ǁ ǁA(τ )hǁ dτ ≤ ǁh0ǁ (ǁhǁ + q), (3.9) t ∫ + ∞ 0< q Ta chọn đủ lớn cho Từ bất đẳng t0 thức (3.11) suy ζ1 (t, h) hàm tuyến tính xác định H Theo định lí Riesz, tồn phần tử x1(t) H cho ζ1 (t, h) = (x1(t), h) Rõ ràng ǁx1(t)ǁ ≤ (1 + q) ǁh0ǁ Bây ta xét hàm ∫+∞ ζ ( t , h ) : = ( h , h) − t đoạn [t0, +∞) Để (x1 (τ ) , A (τ ) h) dτ, h ∈ H chứng minh điều ta Chứng minh tương tự chứng minh bất đẳng thức ta thu ζ2(t, h) sau quy nạp: hàm tuyến tính liên ǁxn (t) − xn−1 (t)ǁ ≤ ǁh0ǁ qn tục, xác định H Ngược lại (3.13) ζ2 (t, h) = (x2(t), h) Σ ǁx2 (t)ǁ ≤ + q + q ǁh0ǁ Tiếp tục trình này, ta có hàm tuyến tính liên tục ∫+∞ ζ h ( h (xn−1 (τ ) , A (τ ) h) dτ, (3.10) t xác định H Mở rộng tính liên tục hàm có dạng ζn (t, h) = (xn(t), h) (3.11 ) ǁxn (t)ǁ ≤ (1 + q + + qn ) ǁh0 ǁ h ǁ ǁ≤ − q Bây dãy {xn(t)} hội tụ ( ) Với n = ta có ǁx1(t) − x0(t)ǁ = sup |(x1 (t) − x0 (t) , h)| +∞ ǁhǁ≤1 sup ∫ (x1 (t) − x0 (t) , h) dτ t = h∈S(0,1) +∞ ≤ sup ∫ ǁA (τ ) hǁ ǁx0 (τ )ǁ dτ ≤ ǁh0ǁ q h∈S(0,1) t0 Công thức (3.13) với n = Giả sử (3.13) với n Khi ǁ|(xn+1 (t) − xn (t) , h)| x n + ( t ) − x n ( t ) ǁ = s u p ǁhǁ≤1 = sup h∈S(0,1) (xn (τ ) − xn−1 (τ ) , A (τ ) h) dτ t0 x(t) nghiệm ǁ ∫ ∞ suy rộng (3.1) x(t) ≤ ǁ x q có giới hạn yếu h0 t n → +∞ Bây ta chứng + minh x(t) hội tụ mạnh tới h0 t → +∞, việc kiểm tra lại tính hội tụ n ( dãy {xn (t)} Khi ta τ t suy xn (t) → h0 − x n − ( τ ǁ ǁ A Công thức (3.4) với n + Với < q < 1, bất đẳng thức (3.13) dãy xn (t) hội tụ khoảng [t0, +∞) Đ xn (t) cho n → ặ+∞ (3.10), t(3.11) ta thu x ∫ ( τ h ǁ d τ + ∞ ( t ) = l i m n→+∞ ( (x (τ ) , A h (τ ) h) dτ, h (h ∈ H) ≤ ǁ h t (3.14) Điều t → +∞ Thật vậy, ta có (t) , ∫+ (τ )ǁ ǁA (τ ∫+∞ |(xn − h) ∞ ) hǁ dτ ≤ ǁA (τ ) hǁ ǁ h0 | dτ, < x t n − t Do Do ǁxn (t) − h0ǁ ≤ ǁh ǁ +∫∞ ǁA (τ ) hǁ dτ 1−q t ǁA (τ ) hǁ dτ → theo h t → +∞ nên định lý chứng minh t +∫∞ 3.2 Về tương đương tiệm cận phương trình vi phân khơng gian Hilbert Trong phần xét hai phương trình y = A (t) y (3.15) x = A (t) x + f (t, x) (3.16) Định nghĩa 3.2.1 Các phương trình (3.15), (3.16) gọi tương đương tiệm cận với nghiệm x(t) (3.16) tồn nghiệm y(t) (3.15) cho ǁx (t) − y (t)ǁ = (3.17) ngược lại, với y(t) (3.15) tồn nghiệm x(t) (3.16) thỏa mãn (3.17) Chúng ta giả sử A (t) ∈ L [H] với t ≥ A(t) toán tử liên tục mạnh [0, +∞) ; f : [0, +∞) × H → H tốn tử liên tục Trong (3.15) ta k z z í ì n (3.18) h h ǁ ≤ M Hơn ta giả sử phương trình (3.18) có cân tiệm cận Khi phương trình (3.15) (3.16) tương đương tiệm cận i Đ ệ ị ( n Chứng minh Cho x(t) nghiệm tùy ý (3.16) Dễ dàng thử lại h z (t) = U u U l ý ) l l ( t ) t o ổ n n t C ị h n o h u p v c h h y C a t h n g ỏ a đ ǁ U ( t t r ) −1 (t) x (t) nghiệm (3.18) Thay vào giả thiết, tồn z+∞ = lim t→+∞ z (t) Đặt y(t) = U (t)z+∞ ta dễ dàng thử lại y(t) nghiệm (3.15) mà thỏa mãn (3.17) Ngược lại, cho y(t) nghiệm tùy ý (3.15) thỏa mãn điều kiện y (0) = y0 Thì y (t) = U (t)y0 Theo giả sử tồn nghiệm z(t) (3.18) cho lim z (t) = y0 Cho x(t) = U (t)z(t) Dễ t→+∞ dàng thử lại x(t) nghiệm (3.16) lǁx(t) − y(t)ǁ ≤ ǁz(t) − y0ǁ = iM lim m t→+∞ t → + ∞ Định lí chứng minh Ví dụ: Xét phương trình sau: x = Ax + B (t) x y = Ay Trong đóA = Σ −1 0 Σ Σ ;B (t) Trong trường hợp e−t e−t −2 U (t) = Σ 0 Σ Σ e−t Σ ;U −1 (t) = et 0 e2t e−2t Σ U (t)B (t) U (t) = −1 e−2t Σ Σ T on (xem [5]) phương trình tương đương h tiệm cận Tuy nhiên, phương trình e z−1(t)B (t) U (t) z = U o đ ị n h lí v ề s ự t n g đ n g ti ệ m c ậ n L e v i s khơng có cân tiệm cận Thực vậy, phương trình viết dạng z = e−2tz2 z2 = z1 Giả sử hệ có cân tiệm cận Cho h0 = (1, 1) tồn nghiệm (z1 (t) , z2 (t)) cho z1 (t) → I; Do z2 (t) → I z2 (t) → I t → +∞ t → +∞ Ta có − ε < z2 (t) < + ε, Suy ∀t ≥ T > z2 (t) > z2 (T ) + (1 − ε) (t − T ) Cho t → +∞ ta suy điều phải chứng minh KÊT LUẬN Bản luận văn trình bày lại số kết tính chất nghiệm PTVP tuyến tính khơng gian Banach bao gồm: tính ổn định nghiệm theo Lyapunov, tính giới nội nghiệm nửa trục, tính cân tiệm cận tính tương đương tiệm cận Ngồi luận văn trình bày số ứng dụng phương pháp Lyapunov mơ hình cụ thể khoa học kỹ thuật Tài liệu tham khảo [1]Ju L Daleckii and M G Krein (1974) Stabilitiy of solutions of differential Equation in Banach Space Springer [2]Nguyen The Hoan (1975), Asymptotic equivalence of system of differential equation, IZV Acad Nauk ASSR Number 2, 35-40 (Russian) [3]M A Krasnoselski, S G Kreinn (1956) On the theory of differential equa- tion in Banach space Voronez Gos Univ Trudy sem Funkcional Anal No (in Russian) [4]A V Balakrishnan (1974)Introduction to theory of optimization in Hilbert space (in Russian) [5]B P Demidovic (1967) Lectures on the mathematical theory of stability, "Nauka" Moscow (in Russian) [6]Hoàng Tụy, 2005 Hàm thực giải tích hàm NXB ĐHQG Hà Nội [7]N Rouche P Habets, M Laloy (1977) Stability Theory by Lyapunov Direct Method [8]Nguyen Van Dao (1998)Stability of dynamic systems.NXB ĐHQG Ha Noi [9]W A Coppel (1965) Stability and Asymptotic behaviour of differential Equation.Copyright by D.C Heath and Company [10] Nguyen The Hoan (1981)Some asympptotic behaviour of solutions of non- linear system of differential equation (Uravnenija) ... NGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... phương trình vi phân tuyến tính không gian Banach Chương 2: Trong chương hai trình bày số kết phương pháp Lyapunov vi? ??c nghiên cứu tính ổn định nghiệm phương trình vi phân Sau trình bày số ví dụ... 2.2.2 Tính ổn định phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 33 2.3 Các hàm xác định dấu 35 2.4 Các định lí Lyapunov .36 2.5 Một số mơ hình ứng dụng 45 2.5.1 Sự ổn định trình chuyển