Luận văn thạc sĩ sử dụng kỹ thuật phễu tìm đường ngắn nhất giữa hai điểm trong đa giác đơn và trên mặt khối đa diện

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN Đ¾NG TH± NGOC ÁNH SU DUNG KY THU¾T "PHEU" TÌM ĐƯèNG NGAN NHAT GIUA HAI ĐIEM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN VÀ TRÊN M¾T KHOI ĐA DIfiN LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC Hà N®i - 2016 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - Đ¾NG TH± NGOC ÁNH SU DUNG KY THU¾T "PHEU" TÌM ĐƯèNG NGAN NHAT GIUA HAI ĐIEM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN VÀ TRÊN M¾T KHOI ĐA DIfiN Chun ngành: Tốn úng dung Mã so: 60 46 01 06 LU¾N VĂN THAC SĨ KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS PHAN THÀNH AN Hà N®i - 2016 Lài cam ơn Lịi đau tiên ban lu¾n văn cho phép tơi đưoc gui lịi cam ơn chân thành sâu sac nhat tói thay Phan Thành An, thay dành nhieu thịi gian q giá cna t¾n tình chi bao, hưóng dan giúp đõ đe tơi có the hồn thành lu¾n văn Tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành tói tồn the thay day bao tơi suot q trình HQc t¾p, đ¾c bi¾t thay khoa Tốn Cơ Tin HQc, trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i Tơi xin đưoc gui lịi cam ơn tói gia đình, ban bè anh ch% nhóm nghiên cúu ln cő vũ, đ®ng viên, giúp đõ tơi suot q trình thnc hi¾n lu¾n văn tot nghi¾p Đ¾c bi¾t, tơi xin gui lịi cam ơn tói anh Lê Hong Trang, em Đong Văn Vi¾t, em Phong Th% Thu Huyen giúp đõ tơi q trình nghiên cúu hồn thi¾n lu¾n văn, vói ch% Nguyen Th% Vân Hịa, anh Pham Quang Khoái anh ch% em bđ mụn Toỏn trũng HQc Lõm nghiắp ó tao đieu ki¾n rat nhieu đe tơi có thêm thịi gian HQc v nghiờn cỳu luắn H Nđi, thỏng 10 năm 2016 HQc viên Đ¾ng Th% NGQc Ánh Mnc lnc Kien thÉc chuan b% 1.1 M®t so kien thúc ban ve lý thuyet đo th% v đ phỳc tap thuắt toỏn 1.1.1 o th%, chu trình 1.1.2 đ phỳc tap thuắt toỏn 1.2 Đ%nh nghĩa đa giác đơn đưòng gap khúc 1.3 Phép tam giác phân đa giác .11 1.4 Khái ni¾m điem điem tương đoi 12 1.5 Đ%nh nghĩa dãy m¾t tam giác đưịng DQc theo dãy m¾t tam giác 13 1.6 Khỏi niắm gúc tai mđt iem be m¾t khoi đa di¾n 15 1.7 Phép l¾t .16 Thu¾t tốn tìm đưàng ngan nhat giEa điem đa giác đơn sE dnng ky thu¾t “pheu” cua Lee Preparata 19 2.1 Cây đoi ngau 19 2.2 Hình ong tay hình pheu 21 2.3 Thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem hình ong tay24 2.4 Chúng minh tính đánh giá đ® phúc tap cna thu¾t tốn 26 2.4.1 Chúng minh tính đan cna thu¾t tốn 26 2.4.2 ỏnh giỏ đ phỳc tap cna thuắt toỏn 28 2.5 Chương trình minh HQA thu¾t tốn java .29 Thu¾t tốn tìm đưàng ngan nhat giEa hai điem be m¾t khoi đa di¾n 34 3.1 Hình pheu khơng gian chieu 35 3.2 Thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua hai điem dQc theo dãy m¾t tam giác 40 3.3 Chúng minh tính an v ỏnh giỏ đ phỳc tap cna thuắt toỏn42 3.3.1 Chúng minh tính đan cna thu¾t tốn 42 3.3.2 Đánh giá đ® phúc tap cna thu¾t tốn 46 3.4 Ví du minh HQA cho thu¾t tốn phan mem javaview 46 Ket lu¾n 56 Tài li¾u tham khao 58 Danh mnc ký hi¾u [a, b] ho¾c ab a1a2 ak S = {f1 , f2 , , fm+1 } E = {e1, e2, , em} fi ∩ fi+1 σ d(x, y) length(x, y) SP (x, y) L(x, y) Oxyz r(x) ho¾c x Đoan thang noi điem a b Đưòng gap khúc qua đinh a1, a2, , ak Dãy m + m¾t tam giác T¾p m canh ke cna dãy m + m¾t tam giác Giao cna hai m¾t tam giác fi fi+1 Phân hoach cna đoan [a, b] Khoang cách Euclid giua hai điem x, y DQc theo S Đ® dài đoan thang noi điem x y Đưòng ngan nhat tù x đen y Đưòng tùy ý tù điem x đen y Tam giác có đinh lan lưot x, y, z Anh cna điem x qua phép l¾t r Lài ma đau Hình HQc tính tốn đưoc bat nguon tù lĩnh vnc phân tích thiet ke giai thu¾t sau nhung năm 1970, có tam quan TRQng rat thiet thnc Nhieu úng dung có the áp dung hình HQc tính tốn nh¾n dang mau, đo HQA mỏy tớnh, xu lý anh, tn đng húa, hắ thong thơng tin đ%a lý hay tốn cơng nghi¾p cách bo trí mach kim loai, ban mach Giai quyet tot toán máy tính vói toc đ® cao xác het súc can thiet Trong tốn tìm đưịng ngan nhat giua hai điem m®t mien hình HQc m®t nhung van đe ban có nhieu úng dung ky thu¾t robot, ky thu¾t tn đ®ng, thơng tin đ%a lý (xem [5],[18]) Thnc te thu hút rat nhieu nhà tốn HQc quan tâm nghiên cúu Dijkstra, Lee, Preparata, O’Rourke Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua hai điem m®t đa giác đơn khơng gian chieu, sau phát trien thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem be m¾t khoi đa di¾n chieu Vói tốn tìm đưịng ngan nhat đa giác đơn, năm 1984 tác gia Lee Preparata đưa thu¾t tốn đe giai quyet tốn vói đ® phúc tap ve thịi gian tuyen tính, thơng qua vi¾c tam giác phân đa giác, sau thu¾t tốn tiep tuc xây dnng hình “pheu” cho đưòng biên cna pheu chúa đưòng ngan nhat can tìm (xem [13]) Dna ý tưong đưoc trình bày ban thao cna An, Giang, Phú Polthier (xem [7]), lu¾n văn tiep tuc trình bày chi tiet thu¾t tốn su dung ky thu¾t “pheu” tương tn chieu ket hop vói ky thu¾t l¾t đe tìm đưịng ngan nhat giua hai điem be m¾t khoi đa di¾n khơng gian chieu Tù tác gia cHQN đe tài “SE dnng ky thu¾t “pheu” tìm đưàng ngan nhat giEa hai điem đa giác đơn m¾t khoi đa di¾n” Lu¾n văn đưoc chia thành ba chương Chương 1: Kien thúc chuan b% Vói quan điem chương so, phan chúng tơi trình bày h¾ thong kien thúc ban ve lý thuyet đo th%, đ® phúc tap thu¾t tốn, đ%nh nghĩa đa giác đơn, phép tam giác phân đa giác Ngoài ra, phan chúng tơi trình bày thêm kien thúc ve dãy m¾t tam giác, đưịng DQc theo dãy m¾t, đ%nh nghĩa phép l¾t tính chat cna phép l¾t khơng gian chieu Đây nhung kien thúc so can thiet cho chương chương Chương 2: Thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem đa giác đơn su dung ky thu¾t “pheu” cna Lee Preparata Chương trình bày chi tiet thu¾t tốn su dung ky thu¾t pheu cna Lee Preparata báo đăng tap chí Networks năm 1984 (xem [13]) Sau chúng tơi trình bày ví du cu the minh HQA cho tùng bưóc cna thu¾t tốn bang hình anh minh HQA tù chương trình đưoc viet bang ngơn ngu l¾p trình java boi Josh Tyler năm 1998 Chương 3: Thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua hai điem be m¾t khoi đa di¾n Chương cuoi trình bày đ%nh nghĩa pheu không gian chieu đưoc đưa boi An, Giang, Phú Polthier (xem [7]) chúng minh m®t so tính chat mói cna pheu Sau dna ý tưong cna thu¾t tốn trình bày [7], chúng tơi trình bày thu¾t tốn mói tiep tuc su dung ky thu¾t pheu đe tìm đưịng ngan nhat giua hai iem trờn be mắt cna mđt khoi a di¾n khơng gian chieu Phan cuoi chương mđt so vớ du cu the minh HQA cho thuắt tốn phan mem hình HQc tính tốn javaview Hà Nđi, ngy 11 thỏng 10 nm 2016 HQc viờn ắng Th% NGQC Ánh Chương Kien thÉc chuan b% Trong chng ny luắn trung trỡnh by mđt so kien thúc làm so cho vi¾c trình bày nghiên cúu n®i dung cna chương tiep theo 1.1 1.1.1 M®t so kien thÉc ban ve lý thuyet o th% v đ phẫc tap thuắt toỏn o th%, chu trình Lý thuyet đo th% m®t nhung ngành khoa HQc địi sóm gan ket nhieu ngành khoa HQc vói nhau, giúp mơ ta hình HQc giai quyet nhieu toán thnc te phúc tap liên quan đen khái ni¾m đưịng đi, chu trình, đưịng ngan nhat Các khái ni¾m sau đưoc trình bày theo tài li¾u [3] Đ%nh nghĩa 1.1.1 T¾p hop V ƒ= ∅ cỏc oi tong v bđ E cỏc cắp sap thỳ tn không sap thú tn phan tu cna V oc GQI l mđt o th% Kớ hiắu l G = (V, E) ã V l hop cỏc snh ã E V ì V l hop canh Neu c¾p đinh khơng sap thú tn đưoc GQI canh, c¾p đinh sap thú tn đưoc GQI canh có hưóng Ví dn 1.1.1 Cho đo th% G hình dưói b a c e d Hình 1.1: Đo th% huu han có đinh - T¾p đinh V = {a, b, c, d, e} - T¾p canh E = {(a, b), (a, c), (b, c), (d, b), (d, c), (e, a), (e, b), (e, d)} Neu (a, b) m®t canh cna đo th% G ta nói đinh b ke vói đinh a, hay hai đinh a b ke vói canh (a, b) Hai canh ke hai canh có nhat m®t đinh chung Đo th% vơ hưáng đo th% chi chúa canh vơ hưóng Đơn đo th% (GQI tat đo th%) đo th% mà moi c¾p đinh đưoc noi vói boi khơng m®t canh Đ%nh nghĩa 1.1.2 Cho đo th% G = (V, E), đưàng đo th% m®t dãy đinh < x1, x2, , xk > cho moi đinh dãy(không ke đinh đau tiên) ke vói đinh trưóc bang m®t canh đó, nghĩa ∀i = 2, 3, , k canh (xi−1, xi) ∈ E Ta nói đưịng tù đinh đau x1 đen đinh cuoi xk Đ%nh nghĩa 1.1.3 Chu trình m®t đưịng khép kín (đinh cuoi trùng vói đinh đau cna đưịng đi) Chu trình đơn chu trình mà đinh khác tùng đơi m®t Trong đo th% G = (V, E), b¾c cna đinh v đo th%, kí hi¾u deg(v) so canh ke vói đinh v Tiep theo, chỳng tụi trỡnh by mđt khỏi niắm c ban lý thuyet đo th% Đó khái ni¾m đưoc Caley đưa đau tiên vào năm 1857 Cây đo th% vơ hưóng liên thơng khơng có chu trình Ket lu¾n Lu¾n văn t¾p trung nghiên cúu ve thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem mđt mien hỡnh HQc Trong ú thuắt toỏn tỡm đưịng ngan nhat giua điem m®t đa giác đơn trình bày lai theo thu¾t tốn cna Lee Preparata, thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem be m¾t khoi đa di¾n dna thu¾t tốn cna An, Giang, Phú Polthier Tóm tat ket qua mà lu¾n văn đat đưoc nh sau: ã Trỡnh by lai cỏc khỏi niắm c ban ve lý thuyet đo th%, thu¾t tốn, đa giác đơn đưòng gap khúc, phép tam giác phân đa giỏc ã Trỡnh by lai cỏc khỏi niắm dóy mắt tam giác đưịng DQc theo dãy m¾t tam giỏc, cỏc khỏi niắm gúc tai mđt iem trờn be mắt khoi a diắn, %nh ngha ve phộp lắt ã Trình bày lai khái ni¾m đoi ngau, hình ong tay, pheu đa giác đơn pheu dãy mắt tam giỏc ã Trỡnh by lai thuắt toỏn Dijkstra, thuắt toỏn tỡm tiep tuyen vúi mđt ũng cong loi • Trình bày lai bưóc chi tiet, chúng minh tính đan đánh giá đ® phúc tap cna thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem đa giác đơn su dung ky thu¾t pheu cna Lee v Preparata ã Minh HQA trnc quan thuắt toỏn tìm đưịng ngan nhat giua điem đa giác đơn bang phan mem java đưoc xây dnng boi Josh Tyler năm 1998 • Xây dnng chúng minh m®t so tính chat mói cna hình pheu dóy mắt tam giỏc ã Trỡnh by chi tiet thuắt tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem be m¾t khoi đa di¾n su dung ky thu¾t l¾t dna ý tưong đưoc đưa boi An, Giang, Phú Polthier Tuy nhiên, đe đơn gian thu¾t tốn chúng tơi trình bày lu¾n văn khơng su dung đ¾ quy khơng su dung khái ni¾m đưịng đ%nh hưóng Ngồi ra, lu¾n văn đưa đưoc chúng minh tính đan cna thu¾t tốn mói ã Giúi thiắu ve phan mem javaview, mđt phan mem huu ích dùng hình HQc tính tốn • Đưa đưoc minh HQA trnc quan tùng bưóc cna thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat be m¾t khoi đa di¾n bang phan mem javaview Do han che ve thịi gian kien thúc Cịn rat nhieu hưóng nghiên cúu mói có the phát trien thêm mà chúng tơi chưa đat đưoc lu¾n văn Chúng tơi xin đưa m®t so van đe có the tiep tuc nghiên cỳu v phỏt trien nh sau: ã Lắp trỡnh cho thu¾t tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem trờn be mắt khoi a diắn ã Xõy dnng thuắt tốn tìm đưịng ngan nhat giua điem m®t mien hình HQc cu the vói đinh nguon đinh đích khơng co đ%nh mà có the chuyen đ®ng trờn mđt ũng cong no ú ã Xõy dnng thuắt tốn tìm dãy m¾t tam giác chúa điem nguon iem ớch tự mđt khoi a diắn tựy ý cho thịi gian chay cna thu¾t tốn tot nhat Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1]Nguyen Huu Đien (2005), Mđt so van e ve thuắt toỏn, NXB Giỏo duc, Hà N®i [2]Nguyen Huu Ngn (2001), Lý thuyet đo th%, NXB HQc Quoc Gia, H Nđi [3]ắng Huy Ru¾n (2004), HQc Lý thuyet đo th% úng dnng, NXB Khoa Ky thuắt, H Nđi [4]Tran V Thiắu, Nguyen Th% Thu Thny (2011), Giáo trình toi ưu phi tuyen, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i Tieng Anh [5]Agarwal P L., Har-Peled S., Karia M (2002), “Computing approximate shortest paths on convex polytopes”, Algorithmica, pp 227-242 [6]Amato N M., Goodrich M T., Ramos E A (2000), "Linear-Time Trian- gulation of a Simple Polygon Made Easier Via Randomization", ACM New York, 201-212 [7]An P T., Giang D T., Phu H X., Polthier K (2015), Straightest geodesics for finding locally and globally shortest paths on polyhedral surfaces, manuscript [8]Chein O and Steinberg L (1983), “Routing past unions of disjoint rectilin- ear battiers”, Networks, 13, 389-398 [9]Chen J, Han Y (1990), “Shortest paths on polyhedron”, In: Proceedings of the sixth annual symposium on computational geometry, p 360-9 [10] Garey M R., Johnson D S., Preparata F P., and Tarjan R E (1978), “Triangulating a simple polygon”, Information Processing Lett, 7, 175-179 [11] Guibas L., Hershberger J., Leven D., Sharir M and Tarjan R E (1987), “Linear-Time Algorithms for Visiblitity and Shortest path Problems Inside Triangulated Simple Polygons”, Springer New York, Algorithmica 2, 1-4: 209-233 [12] Hales T C (2007), “Jordan’s Proof of the Jordan Curve Theorem”, Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, 10 (23), pp 45-60 [13] Lee D T and Preparata F P (1984), “Euclidean shortest paths in the presence of rectilinear battiers”, Networks, 14, pp 393-410 [14] Mitchell JSB, Mount DM, Papadimitriou CH (1987), “The discrete geodesics problem”, SIAM Journal on Computing, 16 (4): 647-68 [15] O’Rourke J (2004), Computational Geometry in C, second edition, Cam- bridge University Press [16] Papadopoulos A (2005), Metric spaces, convexity and non- positive cur- vature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol 6, European Mathematical Society (EMS), Zurich [17] Polthier K and Schmies M (1998), “Straightest Geodesics on Polyhedral Surfaces”, in H C Hege and K Polthier, Editors, Mathematical Visualiza- tion, Springer Verlag, Heidelberg, pp 135-150 [18] marching methods”, Sethian J A (1999), “Fast SIAM Review, 41 (2), pp 199-235 [19] Sharir M., Schorr A (1986), “On shortest paths in polyhedral spaces”, SIAM Journal on Computing, 15 (1): 193-215 [20] Toponogov, Victor Andreevich (2006), Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide, Springer, p 15, ISBN 9780817643843 [21] Trong V.P (2001), “Determination geometrique de chemins geodesiques sur des sufaces de subdivision”, Applied Mathematics, University Joseph Fourier, Laboratory LMC-IMAG, PhD Thesis [22] Trong V.P, Szafran N., Biard L (2001), “Pseudo-geodesics on three- demensional surfaces and pseudo-geodesic meshes”, Numerical Algorithms, 26, pp 305-315 [23] Xin S.-Q., Wang G.-J (2007), “Efficiently determining a locally shortest path on polyhedral surfaces”, Computer-Aided Design, 39, pp 1081-1090 [24] Guibas L., Hershberger J., Leven D., Sharir M., Tarjan R E (1987), “Linear-Time Algorithms for Visibility and Shortest Path Problems Inside Triangulated Simple Polygons”, Algorithmica, textbf2, pp 209-233 PHU LUC A Giái thi¾u ve JavaView JavaView m®t phan mem dùng hình HQc tính tốn, đưoc viet bang ngơn ngu l¾p trình Java boi nhóm tác gia Polthier JavaView cho phép hien th% đoi tưong hình HQc dưói dang 3D, ngồi cịn oc trang b% mđt th viắn cỏc phan mem tớnh tốn giúp cung cap lịi giai cơng cu huu ích cho nhieu tốn hình HQc khác Giúp ngưịi dùng có the nhìn đo th% vói đo HQA sinh đ®ng khơng gian chieu Hơn nua, javaview cịn cho phép tích hop de dàng vói phan mem khác Mathematica Maple Đây m®t phan mem mien phí vói lóp thư vi¾n cna có the tai ve tù đ%a chi www.javaview.de Hưáng dan cách cài đ¾t JavaView Các bưóc cài đ¾t JavaView sau: Xác đ%nh xem ban muon cài đ¾t JavaView riêng bi¾t (m¾c đ%nh) hay muon chay JavaView Mathematica hay Maple Tai b® cài đ¾t ho¾c file ZIP tương úng bang cách nhan vào tờn cna nú Khoi đng chng trỡnh ci tương úng tù file ZIP vào m®t thư muc ban muon lưu Khi giai nén, ban can đam bao cau trúc thư muc cna file ZIP tên file khơng thay đői Ban có the tai ve file bő sung tù muc Tools giai nén vào thư muc Đe có the xem hưóng dan chi tiet ban có the tham khao www.javaview.de/download/ Giái thi¾u sơ lưac chÉc cua JavaView JavaView cơng cu giúp ngưịi dùng hình dung m®t cách trnc quan xác đưịng giua hai iem trờn be mắt cna mđt vắt the 3D Nú cho phép thêm đo th% 3D vào tài li¾u dang HTML đe su dung trnc tuyen Các chúc mà JavaView cung cap bao gom: Minh HQA đoi tưong hình HQc dưói dang 3D the hi¾n tính tốn so HQc cna chúng Đưa the hi¾n tốn HQc tap chí đi¾n tu trnc tuyen 3.Phỏt trien cỏc thuắt toỏn mđt lóp thư vi¾n mo Các thu¾t tốn riêng đ%nh dang file đe cung cap cho mô hình tính tốn Có the tích hop vói m®t phan mem thú ba thông qua JavaView API Minh HQA mđt so chẫc nng c ban Ky thuắt Tao mđt dóy cỏc mắt tam giỏc 3D 1.Mo mđt khoi a diắn 2.Dựng chỳc nng ỏnh dau mđt dãy m¾t (Method > Mark > Mark Ele- ments) 3.Đao ngưoc sn đánh dau o (Method > Invert Elements Marked) 4.Xóa m¾t đánh dau (Delete > Remove Marked Elements) Các bưóc đưoc minh HQA cu the hình bên dưói Ky thu¾t Tìm đưịng trac đ%a (ho¾c đưịng ngan nhat) dãy m¾t tam giác Hình 3.43: Bưóc Hình 3.44: Bưóc Hình 3.45: Bưóc Hình 3.46: Bưóc 1.Mo m®t dóy mắt ó tao oc o trờn 2.Mo hđp thoai chúc (Method > Effect > Compute Geodesics) 3.CHQN điem nguon điem đích nam dãy m¾t 4.Tích cHQN tìm đưịng trac đ%a ho¾c tìm đưịng ngan nhat 5.CHQN nút bat đau tìm đưịng Hình 3.47: H®p thoai chúc tìm đưịng trac đ%a Hình 3.48: Đưịng trac đ%a DQc theo dãy m¾t tam giác B Thu¾t tốn Dijkstra tìm đưàng ngan nhat đo th% Trong muc này, chúng tơi trình bày thu¾t tốn Dijkstra đe tìm đưịng ngan nhat giua điem đo th% Đây thu¾t tốn phu can thiet đe tìm hình ong tay thu¾t tốn Thu¾t tốn Dijkstra đưoc đưa đưa năm 1959, nham tìm đưòng ngan nhat giua điem a b m®t đo th% G có n đinh TRQNG so không âm Input Đo th% G = (V, E) có n đinh, hai điem a, b ∈ V Output Đưịng ngan nhat tù a đen b Thu¾t tốn thnc hi¾n ý tưong gán giam giá tr% nhãn d(i) tương úng tai moi đinh i cna đo th% G (xem [2]) • Vói đinh nguon a, gán d(a) := • Neu có canh (i, j) mà đinh i đưoc gán nhãn đinh j chưa đưoc gán nhãn ho¾c đinh j gán nhãn d(i) + l(i, j) < d(j) thnc hiắn giam nhón d(j) := d(i) + l(i, j) ã L¾p lai bưóc cho đen khơng gán ho¾c giam nhãn đưoc nua Thu¾t tốn chi tiet đưac mô ta sau: (xem [2]) DIJKSTRA(G(a, b)) for v ∈ V d(v) := ∞; d(a) := 0; S := 0; end for while b ∈/ S Begin u := đinh khơng thu®c S có nhãn d(u) nho nhat; S := S ∪ u; for v ∈ V \ S if d(u) + l(u, v) < d(u) then d(v) := d(u) + l(u, v); truoc[v] := u; end if end for End C Thu¾t tốn tìm tiep tuyen vái m®t đưàng gap khúc loi Trong muc này, chúng tơi trình bày bưóc chi tiet đe tù điem x tìm tiep tuyen vói m®t hai đưịng gap khúc loi uaua+1 ub uaua−1 u0 vói đinh ua (xem [24]) Input Cho hai đưòng gap khúc loi D1 = uaua+1 ub D2 = uaua−1 u0 vói đinh ua Output Tiep tuyen vói m®t hai đưịng gap khúc Kí hi¾u slope([a, b]) h¾ so góc cna đoan [a, b] GQI y tiep điem cna tiep tuyen can tìm • So sánh slope([x, ua]) vói h¾ so góc cna đoan uaua−1 uaua+1 – Neu slope([x, ua]) nam giua hai h¾ so góc cịn lai gán y := ua – Neu ca hai h¾ so góc cna đoan uaua−1 uaua+1 đeu lón slope([x, ua]) tiep tuc tìm kiem o đưịng gap khúc chúa đoan có h¾ so góc nho – Ngưoc lai, thnc hi¾n tìm kiem o đưịng gap khúc có h¾ so góc lón Các hình ve chi tiet cho tùng trưịng hop đưoc chúng tơi minh HQA sau u0 ua ua−1 ua+1 x ub Hình 3.49: Tiep điem y trùng vói đinh ua • Tìm kiem tiep tuyen tai m®t hai đưịng gap khúc xác đ%nh đưoc o sau: Lan lưot xét đinh ui vói ™ i ™ a neu tìm đưịng D2 ho¾c vói a < i ™ b neu tìm D1: – Neu ca hai canh ke tai đinh ui đeu có h¾ so góc lón ho¾c bang vói slope([x, ui]) y đinh ke o phía bên trái cna ui u0 ua ua−1 ua+1 ub x Hình 3.50: H¾ so góc cna đoan uaua−1 uaua+1 đeu lón slope([x, ua]) u0 ua x ua−1 ua+1 ub Hình 3.51: H¾ so góc cna đoan uaua−1 uaua+1 đeu nho slope([x, ua]) – Neu ca hai canh ke tai đinh ui đeu có h¾ so góc nho ho¾c bang vói slope([x, ui]) y đinh ke o phía bên phai cna ui – Neu slope([x, ui]) nam giua h¾ so góc cna hai canh ke tai ui y := ui u0 x ui ua y ub Hình 3.52: Tiep điem y đinh ke o phía bên trái cna ui u0 x y ui ua ub Hình 3.53: Tiep điem y đinh ke o phía bên phai cna ui u0 ui = y ua ub Hình 3.54: Tiep điem y trùng vói ui x ... Điem vi đưoc GQi đsnh cna đa giác đơn đoan ei GQI canh cna đa giác đơn Kí hi¾u đa giác đơn vói đinh vi P = (v0 , v1 , , vn−1 ) Hình 1.2: Đa giác khơng đơn Hình 1.3: Đa giác đơn Đưàng gap khúc q1... canh cna đa giác khác (túc đa giác ke nhau) Khi đinh canh cna đa giác đinh canh cna khoi đa di¾n (xem [21]) Be m¾t cna khoi đa di¾n bao gom tat ca đinh, canh mien cna đa giác Trong lu¾n văn chúng... tốn tìm đưịng ngan nhat đa giác đơn tùy ý ve tốn tìm đưịng ngan nhat m®t hình ong tay y x yt xs Hình 2.2: Đa giác P đoi ngau cna đa giác Hình 2.3: Hình ong tay tìm đưoc tù đoi ngau cna đa giác