Luận văn thạc sĩ sử dụng kỹ thuật phễu tìm đường ngắn nhất giữa hai điểm trong đa giác đơn và trên mặt khối đa diện

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH SỬ DỤNG KỸ THUẬT "PHỄU" TÌM ĐƯỜNG NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN VÀ TRÊN MẶT KHỐI ĐA DIỆN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH SỬ DỤNG KỸ THUẬT "PHỄU" TÌM ĐƯỜNG NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRONG ĐA GIÁC ĐƠN VÀ TRÊN MẶT KHỐI ĐA DIỆN Chuyên ngành: Mã số: Toán ứng dụng 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN THÀNH AN Hà Nội - 2016 Lời cảm ơn Lời luận văn cho phép gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới thầy Phan Thành An, thầy dành nhiều thời gian quý giá tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy dạy bảo tơi suốt q trình học tập, đặc biệt thầy khoa Tốn Cơ Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè anh chị nhóm nghiên cứu ln cổ vũ, động viên, giúp đỡ suốt trình thực luận văn tốt nghiệp Đặc biệt, tơi xin gửi lời cảm ơn tới anh Lê Hồng Trang, em Đồng Văn Việt, em Phong Thị Thu Huyền giúp đỡ tơi q trình nghiên cứu hồn thiện luận văn, với chị Nguyễn Thị Vân Hòa, anh Phạm Quang Khoái anh chị em mơn Tốn trường Đại học Lâm nghiệp tạo điều kiện nhiều để tơi có thêm thời gian học tập nghiên cứu luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2016 Học viên Đặng Thị Ngọc Ánh Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức lý thuyết đồ thị độ phức tạp thuật toán 1.1.1 Đồ thị, chu trình 1.1.2 Độ phức tạp thuật toán 1.2 Định nghĩa đa giác đơn đường gấp khúc 1.3 Phép tam giác phân đa giác 11 1.4 Khái niệm điểm điểm tương đối 12 1.5 Định nghĩa dãy mặt tam giác đường dọc theo dãy mặt tam giác 13 1.6 Khái niệm góc điểm bề mặt khối đa diện 15 1.7 Phép lật 16 Thuật tốn tìm đường ngắn điểm đa giác đơn sử dụng kỹ thuật “phễu” Lee Preparata 19 2.1 Cây đối ngẫu 19 2.2 Hình ống tay hình phễu 21 2.3 Thuật toán tìm đường ngắn điểm hình ống tay 24 2.4 Chứng minh tính đánh giá độ phức tạp thuật toán 26 2.5 2.4.1 Chứng minh tính đắn thuật tốn 26 2.4.2 Đánh giá độ phức tạp thuật toán 28 Chương trình minh họa thuật tốn java 29 Thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện 34 3.1 Hình phễu khơng gian chiều 35 3.2 Thuật toán tìm đường ngắn hai điểm dọc theo dãy mặt tam giác 40 3.3 3.4 Chứng minh tính đắn đánh giá độ phức tạp thuật tốn 42 3.3.1 Chứng minh tính đắn thuật toán 42 3.3.2 Đánh giá độ phức tạp thuật toán 46 Ví dụ minh họa cho thuật toán phần mềm javaview 46 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 58 Danh mục ký hiệu [a, b] ab a1 a2 ak S = {f1 , f2 , , fm+1 } E = {e1 , e2 , , em } fi ∩ fi+1 σ d(x, y) length(x, y) SP (x, y) L(x, y) xyz r(x) x Đoạn thẳng nối điểm a b Đường gấp khúc qua đỉnh a1 , a2 , , ak Dãy m + mặt tam giác Tập m cạnh kề dãy m + mặt tam giác Giao hai mặt tam giác fi fi+1 Phân hoạch đoạn [a, b] Khoảng cách Euclid hai điểm x, y dọc theo S Độ dài đoạn thẳng nối điểm x y Đường ngắn từ x đến y Đường tùy ý từ điểm x đến y Tam giác có đỉnh x, y, z Ảnh điểm x qua phép lật r Lời mở đầu Hình học tính tốn bắt nguồn từ lĩnh vực phân tích thiết kế giải thuật sau năm 1970, có tầm quan trọng thiết thực Nhiều ứng dụng áp dụng hình học tính tốn nhận dạng mẫu, đồ họa máy tính, xử lý ảnh, tự động hóa, hệ thống thơng tin địa lý hay tốn cơng nghiệp cách bố trí mạch kim loại, mạch Giải tốt tốn máy tính với tốc độ cao xác cần thiết Trong tốn tìm đường ngắn hai điểm miền hình học vấn đề có nhiều ứng dụng kỹ thuật robot, kỹ thuật tự động, thông tin địa lý (xem [5],[18]) Thực tế thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Dijkstra, Lee, Preparata, O’Rourke Luận văn tập trung nghiên cứu thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn khơng gian chiều, sau phát triển thuật tốn tìm đường ngắn điểm bề mặt khối đa diện chiều Với toán tìm đường ngắn đa giác đơn, năm 1984 tác giả Lee Preparata đưa thuật toán để giải toán với độ phức tạp thời gian tuyến tính, thơng qua việc tam giác phân đa giác, sau thuật tốn tiếp tục xây dựng hình “phễu” cho đường biên phễu chứa đường ngắn cần tìm (xem [13]) Dựa ý tưởng trình bày thảo An, Giang, Phú Polthier (xem [7]), luận văn tiếp tục trình bày chi tiết thuật tốn sử dụng kỹ thuật “phễu” tương tự chiều kết hợp với kỹ thuật lật để tìm đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện khơng gian chiều Từ tác giả chọn đề tài “Sử dụng kỹ thuật “phễu” tìm đường ngắn hai điểm đa giác đơn mặt khối đa diện” Luận văn chia thành ba chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Với quan điểm chương sở, phần chúng tơi trình bày hệ thống kiến thức lý thuyết đồ thị, độ phức tạp thuật toán, định nghĩa đa giác đơn, phép tam giác phân đa giác Ngồi ra, phần chúng tơi trình bày thêm kiến thức dãy mặt tam giác, đường dọc theo dãy mặt, định nghĩa phép lật tính chất phép lật khơng gian chiều Đây kiến thức sở cần thiết cho chương chương Chương 2: Thuật tốn tìm đường ngắn điểm đa giác đơn sử dụng kỹ thuật “phễu” Lee Preparata Chương trình bày chi tiết thuật tốn sử dụng kỹ thuật phễu Lee Preparata báo đăng tạp chí Networks năm 1984 (xem [13]) Sau chúng tơi trình bày ví dụ cụ thể minh họa cho bước thuật toán hình ảnh minh họa từ chương trình viết ngơn ngữ lập trình java Josh Tyler năm 1998 Chương 3: Thuật tốn tìm đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện Chương cuối trình bày định nghĩa phễu khơng gian chiều đưa An, Giang, Phú Polthier (xem [7]) chứng minh số tính chất phễu Sau dựa ý tưởng thuật tốn trình bày [7], chúng tơi trình bày thuật toán tiếp tục sử dụng kỹ thuật phễu để tìm đường ngắn hai điểm bề mặt khối đa diện không gian chiều Phần cuối chương số ví dụ cụ thể minh họa cho thuật toán phần mềm hình học tính tốn javaview Hà Nội, ngày 11 tháng 10 năm 2016 Học viên Đặng Thị Ngọc Ánh Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương luận văn tập trung trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày nghiên cứu nội dung chương 1.1 1.1.1 Một số kiến thức lý thuyết đồ thị độ phức tạp thuật toán Đồ thị, chu trình Lý thuyết đồ thị ngành khoa học đời sớm gắn kết nhiều ngành khoa học với nhau, giúp mô tả hình học giải nhiều tốn thực tế phức tạp liên quan đến khái niệm đường đi, chu trình, đường ngắn Các khái niệm sau trình bày theo tài liệu [3] Định nghĩa 1.1.1 Tập hợp V = ∅ đối tượng E cặp thứ tự không thứ tự phần tử V gọi đồ thị Kí hiệu G = (V, E) • V tập hợp đỉnh • E ⊆ V × V tập hợp cạnh Nếu cặp đỉnh không thứ tự gọi cạnh, cặp đỉnh thứ tự gọi cạnh có hướng Ví dụ 1.1.1 Cho đồ thị G hình b a c e d Hình 1.1: Đồ thị hữu hạn có đỉnh - Tập đỉnh V = {a, b, c, d, e} - Tập cạnh E = {(a, b), (a, c), (b, c), (d, b), (d, c), (e, a), (e, b), (e, d)} Nếu (a, b) cạnh đồ thị G ta nói đỉnh b kề với đỉnh a, hay hai đỉnh a b kề với cạnh (a, b) Hai cạnh kề hai cạnh có đỉnh chung Đồ thị vô hướng đồ thị chứa cạnh vô hướng Đơn đồ thị (gọi tắt đồ thị) đồ thị mà cặp đỉnh nối với không cạnh Định nghĩa 1.1.2 Cho đồ thị G = (V, E), đường đồ thị dãy đỉnh < x1 , x2 , , xk > cho đỉnh dãy(không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước cạnh đó, nghĩa ∀i = 2, 3, , k cạnh (xi−1 , xi ) ∈ E Ta nói đường từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk Định nghĩa 1.1.3 Chu trình đường khép kín (đỉnh cuối trùng với đỉnh đầu đường đi) Chu trình đơn chu trình mà đỉnh khác đôi Trong đồ thị G = (V, E), bậc đỉnh v đồ thị, kí hiệu deg(v) số cạnh kề với đỉnh v Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm lý thuyết đồ thị Đó khái niệm Caley đưa vào năm 1857 Cây đồ thị vô hướng liên thông chu trình Hình 3.37: Dãy mặt thứ ba S3 Hình 3.38: Dãy mặt thứ tư S4 Lần lượt tìm đường ngắn từ X tới Y dãy mặt S1 , S2 , S3 , S4 cách áp dụng thuật toán Gọi SP1 , SP2 , SP3 , SP4 đường ngắn tìm bước Trong hình vẽ bên minh họa thuật toán với dãy S2 Hình 3.39: Khởi tạo phễu F1 Trong dãy mặt tam giác lại làm tương tự ta tìm đường ngắn từ X đến Y Tìm đường ngắn đường có độ dài nhỏ Kết luận đường ngắn cần tìm P đường có độ dài nhỏ 54 Hình 3.40: Lật phễu F1 lên mặt tam giác thứ Hình 3.41: Trong mặt phẳng f2 , tìm phễu F2 Hình 3.42: Lật phễu F2 trở lại bề mặt P ta SP2 (X, Y ) 55 Kết luận Luận văn tập trung nghiên cứu thuật tốn tìm đường ngắn điểm miền hình học Trong thuật tốn tìm đường ngắn điểm đa giác đơn trình bày lại theo thuật toán Lee Preparata, thuật toán tìm đường ngắn điểm bề mặt khối đa diện dựa thuật toán An, Giang, Phú Polthier Tóm tắt kết mà luận văn đạt sau: • Trình bày lại khái niệm lý thuyết đồ thị, thuật toán, đa giác đơn đường gấp khúc, phép tam giác phân đa giác • Trình bày lại khái niệm dãy mặt tam giác đường dọc theo dãy mặt tam giác, khái niệm góc điểm bề mặt khối đa diện, định nghĩa phép lật • Trình bày lại khái niệm đối ngẫu, hình ống tay, phễu đa giác đơn phễu dãy mặt tam giác • Trình bày lại thuật tốn Dijkstra, thuật tốn tìm tiếp tuyến với đường cong lồi • Trình bày lại bước chi tiết, chứng minh tính đắn đánh giá độ phức tạp thuật tốn tìm đường ngắn điểm đa giác đơn sử dụng kỹ thuật phễu Lee Preparata • Minh họa trực quan thuật tốn tìm đường ngắn điểm đa giác đơn phần mềm java xây dựng Josh Tyler năm 1998 56 • Xây dựng chứng minh số tính chất hình phễu dãy mặt tam giác • Trình bày chi tiết thuật tốn tìm đường ngắn điểm bề mặt khối đa diện sử dụng kỹ thuật lật dựa ý tưởng đưa An, Giang, Phú Polthier Tuy nhiên, để đơn giản thuật tốn chúng tơi trình bày luận văn khơng sử dụng đệ quy khơng sử dụng khái niệm đường định hướng Ngồi ra, luận văn đưa chứng minh tính đắn thuật tốn • Giới thiệu phần mềm javaview, phần mềm hữu ích dùng hình học tính tốn • Đưa minh họa trực quan bước thuật tốn tìm đường ngắn bề mặt khối đa diện phần mềm javaview Do hạn chế thời gian kiến thức Cịn nhiều hướng nghiên cứu phát triển thêm mà chưa đạt luận văn Chúng xin đưa số vấn đề tiếp tục nghiên cứu phát triển sau: • Lập trình cho thuật tốn tìm đường ngắn điểm bề mặt khối đa diện • Xây dựng thuật tốn tìm đường ngắn điểm miền hình học cụ thể với đỉnh nguồn đỉnh đích khơng cố định mà chuyển động đường cong • Xây dựng thuật tốn tìm dãy mặt tam giác chứa điểm nguồn điểm đích từ khối đa diện tùy ý cho thời gian chạy thuật toán tốt 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Hữu Điển (2005), Một số vấn đề thuật toán, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Ngự (2001), Lý thuyết đồ thị, NXB Đại Học Quốc Gia, Hà Nội [3] Đặng Huy Ruận (2004), Lý thuyết đồ thị ứng dụng, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [4] Trần Vũ Thiệu, Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Giáo trình tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] Agarwal P L., Har-Peled S., Karia M (2002), “Computing approximate shortest paths on convex polytopes”, Algorithmica, pp 227-242 [6] Amato N M., Goodrich M T., Ramos E A (2000), "Linear-Time Triangulation of a Simple Polygon Made Easier Via Randomization", ACM New York, 201-212 [7] An P T., Giang D T., Phu H X., Polthier K (2015), Straightest geodesics for finding locally and globally shortest paths on polyhedral surfaces, manuscript 58 [8] Chein O and Steinberg L (1983), “Routing past unions of disjoint rectilinear battiers”, Networks, 13, 389-398 [9] Chen J, Han Y (1990), “Shortest paths on polyhedron”, In: Proceedings of the sixth annual symposium on computational geometry, p 360-9 [10] Garey M R., Johnson D S., Preparata F P., and Tarjan R E (1978), “Triangulating a simple polygon”, Information Processing Lett, 7, 175-179 [11] Guibas L., Hershberger J., Leven D., Sharir M and Tarjan R E (1987), “Linear-Time Algorithms for Visiblitity and Shortest path Problems Inside Triangulated Simple Polygons”, Springer New York, Algorithmica 2, 1-4: 209-233 [12] Hales T C (2007), “Jordan’s Proof of the Jordan Curve Theorem”, Studies in Logic, Grammar and Rhetoric, 10 (23), pp 45-60 [13] Lee D T and Preparata F P (1984), “Euclidean shortest paths in the presence of rectilinear battiers”, Networks, 14, pp 393-410 [14] Mitchell JSB, Mount DM, Papadimitriou CH (1987), “The discrete geodesics problem”, SIAM Journal on Computing, 16 (4): 647-68 [15] O’Rourke J (2004), Computational Geometry in C, second edition, Cambridge University Press [16] Papadopoulos A (2005), Metric spaces, convexity and non-positive curvature, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, vol 6, European Mathematical Society (EMS), Zurich [17] Polthier K and Schmies M (1998), “Straightest Geodesics on Polyhedral Surfaces”, in H C Hege and K Polthier, Editors, Mathematical Visualization, Springer Verlag, Heidelberg, pp 135-150 [18] Sethian J A (1999), “Fast marching methods”, SIAM Review, 41 (2), pp 199-235 59 [19] Sharir M., Schorr A (1986), “On shortest paths in polyhedral spaces”, SIAM Journal on Computing, 15 (1): 193-215 [20] Toponogov, Victor Andreevich (2006), Differential Geometry of Curves and Surfaces: A Concise Guide, Springer, p 15, ISBN 9780817643843 [21] Trong V.P (2001), “Determination geometrique de chemins geodesiques sur des sufaces de subdivision”, Applied Mathematics, University Joseph Fourier, Laboratory LMC-IMAG, PhD Thesis [22] Trong V.P, Szafran N., Biard L (2001), “Pseudo-geodesics on threedemensional surfaces and pseudo-geodesic meshes”, Numerical Algorithms, 26, pp 305-315 [23] Xin S.-Q., Wang G.-J (2007), “Efficiently determining a locally shortest path on polyhedral surfaces”, Computer-Aided Design, 39, pp 1081-1090 [24] Guibas L., Hershberger J., Leven D., Sharir M., Tarjan R E (1987), “Linear-Time Algorithms for Visibility and Shortest Path Problems Inside Triangulated Simple Polygons”, Algorithmica, textbf2, pp 209-233 60 PHỤ LỤC A Giới thiệu JavaView JavaView phần mềm dùng hình học tính tốn, viết ngơn ngữ lập trình Java nhóm tác giả Polthier JavaView cho phép hiển thị đối tượng hình học dạng 3D, ngồi cịn trang bị thư viện phần mềm tính tốn giúp cung cấp lời giải cơng cụ hữu ích cho nhiều tốn hình học khác Giúp người dùng nhìn đồ thị với đồ họa sinh động khơng gian chiều Hơn nữa, javaview cịn cho phép tích hợp dễ dàng với phần mềm khác Mathematica Maple Đây phần mềm miễn phí với lớp thư viện tải từ địa www.javaview.de Hướng dẫn cách cài đặt JavaView Các bước cài đặt JavaView sau: Xác định xem bạn muốn cài đặt JavaView riêng biệt (mặc định) hay muốn chạy JavaView Mathematica hay Maple Tải cài đặt file ZIP tương ứng cách nhấn vào tên Khởi động chương trình cài đặt tương ứng từ file ZIP vào thư mục bạn muốn lưu Khi giải nén, bạn cần đảm bảo cấu trúc thư mục file ZIP tên file không thay đổi Bạn tải file bổ sung từ mục Tools giải nén vào thư mục 61 Để xem hướng dẫn chi tiết bạn tham khảo www.javaview.de/download/ Giới thiệu sơ lược chức JavaView JavaView công cụ giúp người dùng hình dung cách trực quan xác đường hai điểm bề mặt vật thể 3D Nó cho phép thêm đồ thị 3D vào tài liệu dạng HTML để sử dụng trực tuyến Các chức mà JavaView cung cấp bao gồm: Minh họa đối tượng hình học dạng 3D thể tính tốn số học chúng Đưa thể tốn học tạp chí điện tử trực tuyến Phát triển thuật toán lớp thư viện mở Các thuật toán riêng định dạng file để cung cấp cho mơ hình tính tốn Có thể tích hợp với phần mềm thứ ba thông qua JavaView API Minh họa số chức Kỹ thuật Tạo dãy mặt tam giác 3D Mở khối đa diện Dùng chức đánh dấu dãy mặt (Method > Mark > Mark Elements) Đảo ngược đánh dấu (Method > Invert Elements Marked) Xóa mặt đánh dấu (Delete > Remove Marked Elements) Các bước minh họa cụ thể hình bên Kỹ thuật Tìm đường trắc địa (hoặc đường ngắn nhất) dãy mặt tam giác t 62 Hình 3.43: Bước Hình 3.44: Bước Hình 3.45: Bước Hình 3.46: Bước Mở dãy mặt tạo Mở hộp thoại chức (Method > Effect > Compute Geodesics) Chọn điểm nguồn điểm đích nằm dãy mặt Tích chọn tìm đường trắc địa tìm đường ngắn Chọn nút bắt đầu tìm đường 63 Hình 3.47: Hộp thoại chức tìm đường trắc địa Hình 3.48: Đường trắc địa dọc theo dãy mặt tam giác B Thuật tốn Dijkstra tìm đường ngắn đồ thị Trong mục này, chúng tơi trình bày thuật tốn Dijkstra để tìm đường ngắn điểm đồ thị Đây thuật tốn phụ cần thiết để tìm hình ống tay thuật toán Thuật toán Dijkstra đưa đưa năm 1959, nhằm tìm đường ngắn điểm a b đồ thị G có n đỉnh trọng số khơng âm Input Đồ thị G = (V, E) có n đỉnh, hai điểm a, b ∈ V Output Đường ngắn từ a đến b Thuật toán thực ý tưởng gán giảm giá trị nhãn d(i) tương ứng đỉnh i đồ thị G (xem [2]) • Với đỉnh nguồn a, gán d(a) := • Nếu có cạnh (i, j) mà đỉnh i gán nhãn đỉnh j chưa gán nhãn đỉnh j gán nhãn d(i) + l(i, j) < d(j) thực giảm nhãn d(j) := d(i) + l(i, j) • Lặp lại bước không gán giảm nhãn 64 Thuật tốn chi tiết mơ tả sau: (xem [2]) DIJKSTRA(G(a, b)) for v ∈ V d(v) := ∞; d(a) := 0; S := 0; end for while b ∈ / S Begin u := đỉnh khơng thuộc S có nhãn d(u) nhỏ nhất; S := S ∪ u; for v ∈ V \ S if d(u) + l(u, v) < d(u) then d(v) := d(u) + l(u, v); truoc[v] := u; end if end for End C Thuật tốn tìm tiếp tuyến với đường gấp khúc lồi Trong mục này, chúng tơi trình bày bước chi tiết để từ điểm x tìm tiếp tuyến với hai đường gấp khúc lồi ua ua+1 ub ua ua−1 u0 với đỉnh ua (xem [24]) Input Cho hai đường gấp khúc lồi D1 = ua ua+1 ub D2 = ua ua−1 u0 với đỉnh ua 65 Output Tiếp tuyến với hai đường gấp khúc Kí hiệu slope([a, b]) hệ số góc đoạn [a, b] gọi y tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm • So sánh slope([x, ua ]) với hệ số góc đoạn ua ua−1 ua ua+1 – Nếu slope([x, ua ]) nằm hai hệ số góc cịn lại gán y := ua – Nếu hai hệ số góc đoạn ua ua−1 ua ua+1 lớn slope([x, ua ]) tiếp tục tìm kiếm đường gấp khúc chứa đoạn có hệ số góc nhỏ – Ngược lại, thực tìm kiếm đường gấp khúc có hệ số góc lớn Các hình vẽ chi tiết cho trường hợp minh họa sau u0 ua−1 ua ua+1 x ub Hình 3.49: Tiếp điểm y trùng với đỉnh ua • Tìm kiếm tiếp tuyến hai đường gấp khúc xác định sau: Lần lượt xét đỉnh ui với a